Множества · урок 1 из 4

Множество и подмножество. Операции над множествами

Вероятность и статистика · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R03 · VIS8-009

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R03 «Множества» (4 ч), урок 1/4, единицы R03.1 «Множество, подмножество» и R03.2 «Операции над множествами: объединение, пересечение, дополнение». Тип урока — Н (новый материал). Следующий урок (VIS8-010) — свойства операций; графическое представление множеств подробно — уроки 3–4 строки.
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Теория (12,5 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (множество и элемент) 2 · 6 (подмножество) 2 · 8 (объединение и пересечение) 2,5 · 10 (дополнение) 2 · 12 (промежутки на прямой, учитель решает сам) 2. Теоретические слайды показываются полностью.
Практика (32,5 мин): разминка (сл. 3) 2,5 · образцы → сам (сл. 5, 7, 9, 11, 14) по 2,5, сл. 13 — 2 · типичные ошибки (сл. 15) 1,5 · найди ошибку (сл. 16) 2 · самопроверка, база (сл. 17) 3 · повышенный уровень (сл. 18) 2 · ОГЭ (сл. 19) 2 · самостоятельная (сл. 20) 4 · итог (сл. 21) 1.
Если не успеваете: задания 3–4 сл. 18 и задание 3 сл. 14 — в ДЗ; теорию не сокращать.

R03.1 · R03.2

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Задавать множество

перечислением и свойством, читать знаки $\in$ , $\in /$ , $\emptyset$ (ПР-6)

Находить подмножества

проверять $B \subset A$ и выписывать все подмножества (ПР-6)

Выполнять операции

$A \cup B$ , $A \cap B$ , $\overline{A}$ — со списком элементов и на прямой (ПР-6)

Рисовать круги Эйлера

и решать по ним задачи из жизни (ПР-7)

1 мин · теория
ПР-6 (= REQ-5.6): «Оперировать понятиями: множество, подмножество; выполнять операции над множествами: объединение, пересечение, дополнение; перечислять элементы множеств…». ПР-7 (= REQ-5.7): «Использовать графическое представление множеств и связей между ними для описания процессов и явлений…». Элементы содержания EL-5.2.
Свойства операций (переместительное, сочетательное, распределительное) — следующий урок VIS8-010; сегодня о них не говорим.

повторение: делимость, числа

Разминка · устно

Перечислим и посчитаем

Назовите все

делители числа $12$ $1, 2, 3, 4, 6, 12$
чётные числа от $1$ до $10$ $2, 4, 6, 8, 10$
общие делители $12$ и $18$ $1, 2, 3, 6$
целые числа от $- 2$ до $3$ $- 2, - 1, 0, 1, 2, 3$

Сколько?

двузначных чисел, кратных $10$ $9$
простых чисел меньше $20$ $8$
натуральных среди $- 3; 0; 2, 5; 7$ одно: $7$
чисел от $1$ до $30$ , кратных $3$ $10$

R03.1

Новый материал · множество и элемент

Множество — набор объектов, собранных вместе

Перечислением: $A = {1; 2; 3; 4; 6; 12}$

Свойством: $A$ — множество делителей числа $12$

Элемент: $3 \in A$ (принадлежит), $5 \in / A$

Пустое: $\emptyset$ — нет ни одного элемента

2 мин · теория
Множество — совокупность объектов (элементов); каждый элемент входит в множество один раз, порядок записи не важен: {1; 2; 3} = {3; 1; 2}. Множества обозначают заглавными латинскими буквами, элементы перечисляют в фигурных скобках через точку с запятой (чтобы не путать с десятичной запятой).
На рисунке: внутри овала — элементы A; числа 5, 8, 24 — снаружи, они не принадлежат A (знак ∉). Вопрос классу: принадлежит ли A число 12? (Да.) А 24? (Нет: 24 — кратное 12, а не делитель.)
Конечные и бесконечные множества: делители 12 — конечное (6 элементов), натуральные числа ℕ — бесконечное. Пустое множество — например, множество натуральных корней уравнения x + 5 = 3.

R03.1

Образец → сам · перечисление элементов

От свойства — к списку элементов

Образец: $B$ — двузначные числа, кратные $15$ . Перечислите элементы. Верно ли, что $105 \in B$ ?

$15 \cdot 1, 15 \cdot 2, \dots, 15 \cdot 6 = 90$ $15 \cdot 7 = 105$ — трёхзначное

$B = {15; 30; 45; 60; 75; 90}$ 6 элементов

$105 \in / B$ , $10 \in / B$ не подходят под свойство

Сам

Буквы слова «математика» ${м; а; т; е; и; к}$
Натуральные $x$ , для которых $x^{2} < 30$ ${1; 2; 3; 4; 5}$
Натуральные корни уравнения $x + 5 = 3$ $\emptyset$

R03.1

Новый материал · подмножество

$B \subset A$ : каждый элемент $B$ лежит в $A$

Пример: ${2; 4} \subset {1; 2; 3; 4}$

Числа: $N \subset Z \subset Q$ — натуральные, целые, рациональные

Всегда: $\emptyset \subset A$ и $A \subset A$

Равные: $A = B$ , если $A \subset B$ и $B \subset A$

2 мин · теория
Определение: множество B называют подмножеством множества A, если каждый элемент B является элементом A. Обозначение B ⊂ A. На круге Эйлера подмножество рисуют внутри.
Рисунок: натуральные числа (1, 7, 25) — внутри целых; целые (−3, 0, −11) — внутри рациональных; 1/2 и −0,7 — рациональные, но не целые. Вопрос: где на рисунке число 0? (Целое, но не натуральное.)
Важно различать: элемент и множество из одного элемента. 2 ∈ {1; 2; 3}, но {2} ⊂ {1; 2; 3}. Пустое множество — подмножество любого множества (в нём нет элемента, который «не лежал бы» в A); само A — тоже своё подмножество.

R03.1

Образец → сам · все подмножества

Дерево «берём / не берём» ничего не пропустит

Образец: выпишите все подмножества множества ${а; б; в}$

берём или нет: $2 \cdot 2 \cdot 2$ = $8$ подмножеств

Сам

Все подмножества ${x; y}$ $\emptyset, {x}, {y}, {x; y}$
Верно ли: ${3; 7} \subset {1; 3; 5; 7}$ ? да
Верно ли: ${0; 1} \subset N$ ? нет: $0 \in / N$

2,5 мин · практика
Образец: на каждом уровне дерева решаем судьбу одной буквы — зелёный кружок «берём», перечёркнутый «не берём». 8 путей дают 8 подмножеств: {а; б; в}, {а; б}, {а; в}, {а}, {б; в}, {б}, {в}, ∅. Среди них — само множество и пустое (розовым). Листья открываются шагами — класс называет следующее подмножество.
1) Дерево из двух уровней — 4 подмножества. 2) Да: 3 и 7 есть в большом множестве. 3) Нет: 0 не натуральное.
Правило умножения (2 · 2 · 2) подробно — строка R05 «Введение в теорию графов»; здесь достаточно дерева.

R03.2

Новый материал · объединение и пересечение

$A$ — делители $12$ , $B$ — делители $18$

Объединение $A \cup B$ — элементы, которые есть хотя бы в одном

$A \cup B = {1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18}$

Пересечение $A \cap B$ — элементы, которые есть в обоих

$A \cap B = {1; 2; 3; 6}$

2,5 мин · теория
Круги Эйлера: элементы, общие для A и B (1, 2, 3, 6 — общие делители 12 и 18), ставим в общую часть кругов; 4 и 12 — только в A; 9 и 18 — только в B. Слева закрашено всё, что внутри хотя бы одного круга (объединение), справа — только общая часть (пересечение).
Связь со словами: «или» → объединение, «и», «одновременно», «оба» → пересечение. В объединении общие элементы пишем один раз: 8 элементов, а не 6 + 6 = 12.
Если общих элементов нет, A ∩ B = ∅ — множества не пересекаются (круги рисуют отдельно). Вопрос: найдите пересечение множеств чётных и нечётных чисел (∅).

R03.2

Образец → сам · объединение и пересечение

Сначала — общая часть кругов

Образец: $A$ — простые числа меньше $12$ , $B$ — нечётные однозначные. Найдите $A \cap B$ и $A \cup B$ .

$A = {2; 3; 5; 7; 11}$

$B = {1; 3; 5; 7; 9}$

$A \cap B = {3; 5; 7}$

$A \cup B =$

${1; 2; 3; 5; 7; 9; 11}$

Сам

${1; 2; 3; 4} \cap {3; 4; 5}$ ${3; 4}$
${1; 2; 3; 4} \cup {3; 4; 5}$ ${1; 2; 3; 4; 5}$
Буквы слов «лиса» и «лес»: пересечение ${л; с}$
$A$ — кратные $2$ , $B$ — кратные $3$ . Что такое $A \cap B$ ? кратные $6$

R03.2

Новый материал · дополнение

$\overline{A}$ — всё из $U$ , что не входит в $A$

$U$ — всё множество, с которым работаем: $U = {1; 2; \dots; 10}$

$A$ — чётные: ${2; 4; 6; 8; 10}$

Дополнение: $\overline{A} = {1; 3; 5; 7; 9}$

A \cup \overline{A} = U

,

A \cap \overline{A} = \emptyset

2 мин · теория
Дополнение множества A (до множества U) — множество всех элементов U, не принадлежащих A. U рисуют прямоугольником, A — кругом внутри; дополнение — закрашенная часть прямоугольника вне круга (открывается шагом).
Дополнение зависит от U: если U = {1; …; 12}, то дополнение чётных — {1; 3; 5; 7; 9; 11}. Вопрос: что будет дополнением множества A, если A = U? (Пустое множество.) А дополнением дополнения? (Снова A.)
Мостик к вероятности (строка R06): событие — подмножество всех исходов, противоположное событие — его дополнение.

R03.2

Образец → сам · дополнение

Что осталось вне обоих кругов?

Образец: $U = {1; \dots; 12}$ , $A$ — делители $12$ , $B$ — чётные. Найдите $\overline{A \cup B}$ .

$A = {1; 2; 3; 4; 6; 12}$

$A \cup B$ — $8$ элементов закрашено

остались вне кругов:

$\overline{A \cup B} = {5; 7; 9; 11}$

Сам (те же $U$ , $A$ , $B$ )

$\overline{A}$ ${5; 7; 8; 9; 10; 11}$
$\overline{A} \cap B$ ${8; 10}$
$\overline{A \cap B}$ : сколько элементов? $8$

R03.2

Новый материал · демонстрационный пример · числовая прямая

Отрезки $A = [- 2; 4]$ и $B = [1; 6]$

$A \cap B = [1; 4]$ — где отрезки перекрываются

$A \cup B = [- 2; 6]$ — от левого конца до правого, без разрыва

2 мин · теория (учитель решает пример сам)
Отрезок [a; b] — множество всех чисел x, для которых a ≤ x ≤ b; концы входят (закрашенные точки). Это бесконечное множество — элементы не перечислить, поэтому его изображают на прямой.
Ход: рисуем A (розовый) и B (фиолетовый) над одной осью; пересечение — где штриховка двойная: от 1 до 4. Объединение — от самого левого конца до самого правого, разрывов нет: [−2; 6]. Если бы отрезки не перекрывались (например, [−2; 0] и [3; 6]), пересечение было бы пустым, а объединение — из двух кусков.
Строгие неравенства и интервалы (a; b) — в курсе алгебры; на этом уроке используем только отрезки.

R03.2

Образец → сам · отрезки на прямой

Пересечение отрезков и целые числа в нём

Образец: $A = [- 3; 2]$ , $B = [0; 5]$ . Найдите $A \cap B$ и все целые числа в нём.

перекрытие от $0$ до $2$ : $A \cap B = [0; 2]$

целые: $0, 1, 2$ — $3$ числа концы входят

Сам

$[1; 7] \cap [4; 10]$ $[4; 7]$
$[- 5; - 1] \cap [0; 3]$ $\emptyset$
Сколько целых чисел в $[- 4; 6] \cup [2; 9]$ ? $14$

R03.2 · ПР-7

Образец → сам · задача из жизни

Круги Эйлера считают людей

Образец: в классе $28$ учеников, $16$ ходят в бассейн, $12$ — на шахматы, $5$ — и туда, и туда. Сколько не ходят никуда?

в общую часть: $5$

только Б: $16 - 5 = 11$

только Ш: $12 - 5 = 7$

$28 - (11 + 5 + 7)$ = $5$

Сам

$40$ туристов: $25$ знают английский, $18$ — немецкий, $7$ — оба. Сколько не знают ни одного? $4$
$30$ человек: $20$ любят чай, $17$ — кофе, каждый любит хотя бы одно. Сколько любят оба? $7$
$25$ учеников: $15$ — в кружке математики, $12$ — физики, $3$ — нигде. Сколько в обоих? $5$

R03.1 · R03.2

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Где ошибаются	Неверно	Верно
повторили элемент: буквы слова «шалаш»	${ш; а; л; а; ш}$	${ш; а; л}$ — 3 элемента
спутали элемент и подмножество	$2 \subset {1; 2; 3}$	$2 \in {1; 2; 3}$ , ${2} \subset {1; 2; 3}$
сложили круги, забыв общую часть: $16$ в бассейне, $12$ на шахматах, $5$ — оба	$16 + 12 = 28$ — заняты все	$16 + 12 - 5 = 23$

R03.2

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $A = {1; 3; 5; 7}$ , $B = {3; 4; 5}$ . Найдите $A \cap B$

$A \cap B = {1; 3; 4; 5; 7}$

это объединение — взяты все элементы

$A \cap B = {3; 5}$ — общие

б) $U = {1; \dots; 8}$ , $A = {2; 4; 6; 8}$ . Найдите $\overline{A}$

$\overline{A} = {1; 3; 5; 7; 9}$

$9 \in / U$ — дополнение берут внутри $U$

$\overline{A} = {1; 3; 5; 7}$

в) $30$ учеников: $17$ — футбол, $15$ — волейбол, все занимаются. Только футболом?

только футболом $17$

оба: $17 + 15 - 30 = 2$

только футбол: $17 - 2 = 15$

2 мин · практика
Сначала видны только «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Ученик перепутал знаки ∩ и ∪: {1; 3; 4; 5; 7} — это A ∪ B. Пересечение — общие элементы 3 и 5.
б) Дополнение — только элементы U, не попавшие в A; 9 в U нет. Проверка: A ∪ Ā = U — 4 + 4 = 8 элементов ✓.
в) 17 — все футболисты, в том числе те, кто играет и в волейбол. 17 + 15 = 32 > 30, значит, двое в обеих секциях; только футболом 15. Проверка: 15 + 2 + 13 = 30 ✓.

R03.1 · R03.2

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

Множества и подмножества

Перечислите делители $20$ ${1; 2; 4; 5; 10; 20}$
Верно ли: ${1; 5} \subset {1; 3; 5}$ ? да
Все подмножества ${7}$ $\emptyset, {7}$

Операции

${2; 4; 6; 8} \cap {3; 6; 9}$ ${6}$
${2; 4; 6; 8} \cup {3; 6; 9}$ ${2; 3; 4; 6; 8; 9}$
$U = {1; \dots; 9}$ , $A = {1; \dots; 5}$ . $\overline{A}$ ${6; 7; 8; 9}$
$[- 2; 3] \cap [1; 5]$ $[1; 3]$

R03.1 · R03.2

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш. $A \subset B$ (рисунок). Чему равны $A \cup B$ и $A \cap B$ ? $B$ и $A$
повыш. $A$ — делители $24$ , $B$ — делители $36$ . Сколько элементов в $A \cap B$ ? $6$
повыш.Сколько двузначных чисел кратны $4$ или $6$ ? $29$
из жизниВ лагере $50$ детей: $30$ — плавание, $25$ — футбол, $10$ — ни то, ни другое. Сколько занимаются и тем, и другим? $15$

R03.2 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 10

Событие — это множество благоприятных исходов

1. Из чисел от $1$ до $40$ случайно выбирают одно. Найдите вероятность того, что оно делится на $5$ .

$0, 2$

2. На тарелке $20$ пирожков: $6$ с мясом, $9$ с капустой, остальные с вишней. Найдите вероятность того, что случайно выбранный пирожок окажется с вишней.

$0, 25$

3. Из двузначных чисел случайно выбирают одно. Найдите вероятность того, что оно не делится на $3$ . Результат округлите до сотых.

$0, 67$

P (A) = \frac{число элементов A}{число элементов U}

; «не» — это дополнение

\overline{A}

.

R03.1 · R03.2

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Перечислите делители $15$ ${1; 3; 5; 15}$
${1; 2; 3; 4; 5} \cap {4; 5; 6}$ ${4; 5}$
$U = {1; \dots; 8}$ , $A = {1; 3; 5; 7}$ . $\overline{A}$ ${2; 4; 6; 8}$
$25$ учеников: $14$ — рисование, $9$ — музыка, $4$ — оба. Ни одним? $6$

Вариант 2

Перечислите делители $21$ ${1; 3; 7; 21}$
${2; 4; 6; 8} \cup {4; 5; 6}$ ${2; 4; 5; 6; 8}$
$U = {1; \dots; 10}$ , $A$ — кратные $3$ . $\overline{A}$ ${1; 2; 4; 5; 7; 8; 10}$
$30$ учеников: $18$ — танцы, $10$ — хор, $5$ — оба. Ни одним? $7$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Чем $\in$ отличается от $\subset$ ?
Чем $A \cup B$ отличается от $A \cap B$ ?
Что такое $\overline{A}$ и при чём тут $U$ ?
С какой части кругов Эйлера начинать?

Домашнее задание

$A$ — делители $30$ , $B$ — делители $45$ : $A \cup B$ , $A \cap B$ (круги Эйлера)
$35$ учеников: $20$ любят кино, $18$ — театр, $6$ — ни то, ни другое. Сколько любят и то, и другое?
Тренажёр: reknow.ru/8/veroyatnost/8_veroyatnost_mnozhestva.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

VIS8-009 · Множество, подмножество; операции над множествами

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Вероятность и статистика», 8 класс
Строка, урок	R03 «Множества», 4 ч · урок 1/4 · тип Н
Единицы → слайды	R03.1 «Множество, подмножество» → 2–7, 15, 17, 20 · R03.2 «Операции над множествами: объединение, пересечение, дополнение» → 2, 8–21
Результаты	ПР-6 / REQ-5.6 (множество, подмножество, операции) → 3–20 · ПР-7 / REQ-5.7 (графическое представление множеств) → 8–14, 18
Вне урока	свойства операций — VIS8-010; графическое представление множеств подробно — уроки 3–4 строки R03; правило умножения — R05; противоположное событие — R06
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Множество и подмножество. Операции над множествами

Сегодня вы научитесь

Задавать множество

Находить подмножества

Выполнять операции

Рисовать круги Эйлера

Перечислим и посчитаем

Назовите все

Сколько?

Множество — набор объектов, собранных вместе

От свойства — к списку элементов

Образец: B — двузначные числа, кратные 15. Перечислите элементы. Верно ли, что 105∈B?

Сам

B⊂A: каждый элемент B лежит в A

Дерево «берём / не берём» ничего не пропустит

Образец: выпишите все подмножества множества {а;б;в}

Сам

A — делители 12, B — делители 18

Сначала — общая часть кругов

Образец: A — простые числа меньше 12, B — нечётные однозначные. Найдите A∩B и A∪B.

Сам

A — всё из U, что не входит в A

Что осталось вне обоих кругов?

Образец: U={1;…;12}, A — делители 12, B — чётные. Найдите A∪B.

Сам (те же U, A, B)

Отрезки A=[−2;4] и B=[1;6]

Пересечение отрезков и целые числа в нём

Образец: A=[−3;2], B=[0;5]. Найдите A∩B и все целые числа в нём.

Сам

Круги Эйлера считают людей

Образец: в классе 28 учеников, 16 ходят в бассейн, 12 — на шахматы, 5 — и туда, и туда. Сколько не ходят никуда?

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) A={1;3;5;7}, B={3;4;5}. Найдите A∩B

б) U={1;…;8}, A={2;4;6;8}. Найдите A

в) 30 учеников: 17 — футбол, 15 — волейбол, все занимаются. Только футболом?

Решите и проверьте

Множества и подмножества

Операции

Подумайте и решите

Событие — это множество благоприятных исходов

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

VIS8-009 · Множество, подмножество; операции над множествами

Образец: $B$ — двузначные числа, кратные $15$ . Перечислите элементы. Верно ли, что $105 \in B$ ?

$B \subset A$ : каждый элемент $B$ лежит в $A$

Образец: выпишите все подмножества множества ${а; б; в}$

$A$ — делители $12$ , $B$ — делители $18$

Образец: $A$ — простые числа меньше $12$ , $B$ — нечётные однозначные. Найдите $A \cap B$ и $A \cup B$ .

$\overline{A}$ — всё из $U$ , что не входит в $A$

Образец: $U = {1; \dots; 12}$ , $A$ — делители $12$ , $B$ — чётные. Найдите $\overline{A \cup B}$ .

Сам (те же $U$ , $A$ , $B$ )

Отрезки $A = [- 2; 4]$ и $B = [1; 6]$

Образец: $A = [- 3; 2]$ , $B = [0; 5]$ . Найдите $A \cap B$ и все целые числа в нём.

Образец: в классе $28$ учеников, $16$ ходят в бассейн, $12$ — на шахматы, $5$ — и туда, и туда. Сколько не ходят никуда?

а) $A = {1; 3; 5; 7}$ , $B = {3; 4; 5}$ . Найдите $A \cap B$

б) $U = {1; \dots; 8}$ , $A = {2; 4; 6; 8}$ . Найдите $\overline{A}$

в) $30$ учеников: $17$ — футбол, $15$ — волейбол, все занимаются. Только футболом?