Рассеивание данных · урок 4 из 4 · практикум

Практикум: отклонения и дисперсия

Вероятность и статистика · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R02 · VIS8-008

1,5 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R02 «Описательная статистика. Рассеивание данных» (4 ч), урок 4/4, единицы R02.1 «Отклонения», R02.2 «Дисперсия числового набора». Тип урока — П (практикум): теория — короткими сводками и одним демонстрационным примером, остальное время решают ученики. Опора — VIS8-005 (отклонения, дисперсия), VIS8-006 (стандартное отклонение), VIS8-007 (диаграммы рассеивания).
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Теория (12 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2,5 · 4 (сводка: отклонения) 3 · 6 (сводка: дисперсия) 3,5 · 9 (демонстрационный пример: дисперсия по таблице частот) 3.
Практика (33 мин): разминка (сл. 3) 2,5 · образцы → сам (сл. 5, 7, 8, 10, 11) по 2,5 · электронная таблица (сл. 12) 2 · типичные ошибки (сл. 13) 1,5 · найди ошибку (сл. 14) 2 · самопроверка, база (сл. 15) 3 · повышенный уровень (сл. 16) 2,5 · ОГЭ (сл. 17) 2 · самостоятельная работа (сл. 18) 4 · итог и ДЗ (сл. 19) 1.
Картинка на титуле — набор 2, 4, 5, 6, 8: точки, среднее 5 (пунктир), отклонения (отрезки) и их квадраты. Вопрос для начала урока: какие числа набора дальше всего от среднего? (2 и 8, отклонения −3 и +3.)
Если не успеваете: задания 3–4 сл. 16 и слайд 12 — в ДЗ; сводки теории не сокращать.

R02.1 · R02.2

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Находить отклонения

и восстанавливать числа набора по отклонениям (ПР-2)

Считать дисперсию

по ряду чисел и по таблице частот (ПР-2)

Сравнивать рассеивание

по диаграмме и по значению $D$ (ПР-1, ПР-2)

Считать в таблице

в тетради и в электронной таблице: СРЗНАЧ, ДИСП.Г (ПР-1)

повторение: VIS8-005, VIS8-006

Разминка · устно

Среднее, отклонение, квадрат

Вычислите

Среднее чисел $2, 4, 6$ $4$
Среднее чисел $1, 3, 5, 7$ $4$
$(- 4)^{2}$ $16$
$25$ $5$

Ответьте

Отклонение числа $9$ от среднего $6$ $3$
Отклонение числа $2$ от среднего $5$ $- 3$
Сумма отклонений набора $3, 5, 10$ $0$
Размах набора $3, 8, 1, 6$ $7$

R02.1

Теория · сводка · отклонения

Отклонение — на сколько число дальше от среднего

Набор $3, 5, 6, 8, 13$ ; $\overline{x} = \frac{35}{5} = 7$

Отклонение числа $x$ от среднего: $x - \overline{x}$

«−» — число меньше среднего, «+» — больше

- 4 - 2 - 1 + 1 + 6 = 0

Сумма отклонений всегда равна

0

— это проверка расчёта

3 мин · теория
Сводка урока VIS8-005. Среднее 35 : 5 = 7 (розовый пунктир). Отклонения: 3 − 7 = −4, 5 − 7 = −2, 6 − 7 = −1, 8 − 7 = 1, 13 − 7 = 6. Отрезки на рисунке — отклонения: оранжевые влево (минус), бирюзовые вправо (плюс).
Почему сумма 0: сумма чисел = n · x̄, а сумма отклонений = (сумма чисел) − n · x̄ = 0. «Перевесы» слева и справа уравновешены — среднее как точка равновесия.
Вопрос классу: можно ли по сумме отклонений судить о разбросе? (Нет — она всегда 0; поэтому отклонения возводят в квадрат, сл. 6.)

R02.1

Образец → сам · обратная задача на отклонения

Сумма отклонений равна нулю — найдите пропуск

Образец: отклонения от среднего $- 3, 1, ?, 4, - 1$ ; $\overline{x} = 10$ . Найдите пропуск и сами числа.

$- 3 + 1 + d + 4 - 1 = 0$ , $d = - 1$ сумма $= 0$

$x = \overline{x} + d$ число = среднее + отклонение

числа: $7, 11, 9, 14, 9$ проверка: $\frac{50}{5} = 10$

Сам

Отклонения: $2, - 5, ?, 1$ . Найдите пропуск $2$
Найдите отклонения набора $4, 7, 9, 12$ $- 4, - 1, 1, 4$
Отклонения $- 2, 0, 5, - 3$ ; $\overline{x} = 20$ . Найдите числа $18, 20, 25, 17$

R02.2

Теория · сводка · дисперсия

Дисперсия — средний квадрат отклонения

D = \frac{( x _{1} - x ) ^{2} + \dots + ( x _{n} - x ) ^{2}}{n}

1) среднее $\overline{x}$ 2) отклонения 3) их квадраты 4) среднее квадратов

$2, 4, 5, 6, 8$ : $D = \frac{9 + 1 + 0 + 1 + 9}{5} = 4$

D \geq 0

;

D = 0

— все числа равны.

σ = D

3,5 мин · теория
Сводка уроков VIS8-005 и VIS8-006. Набор 2, 4, 5, 6, 8: среднее 25 : 5 = 5; отклонения −3, −1, 0, 1, 3 (сумма 0 ✓); квадраты 9, 1, 0, 1, 9 — это площади квадратов на рисунке; сумма 20; D = 20 : 5 = 4; σ = √4 = 2.
Наглядно: дисперсия — площадь «среднего» квадрата отклонения (розовый квадрат 2 × 2), стандартное отклонение — его сторона. Поэтому D измеряется в квадратных единицах, а σ — в тех же, что и данные.
Вопрос классу: почему квадраты, а не сами отклонения? (Сумма отклонений всегда 0; квадраты неотрицательны и «наказывают» большие отклонения сильнее.)

R02.2

Образец → сам · дисперсия по таблице расчёта

Три строки таблицы — и дисперсия готова

Образец: найдите $D$ набора $4, 7, 8, 9, 12$

$\overline{x} = \frac{40}{5} = 8$ среднее

$x$	$4$	$7$	$8$	$9$	$12$	сумма
$x - \overline{x}$	$- 4$	$- 1$	$0$	$1$	$4$	$0$ ✓
$(x - \overline{x})^{2}$	$16$	$1$	$0$	$1$	$16$	$34$

$D = \frac{34}{5}$ = $6, 8$ сумма квадратов : $n$

Сам: найдите $D$

$2, 4, 6, 8$ $D = 5$
$1, 2, 3, 4, 10$ $D = 10$
$12, 14, 15, 16, 18$ ; и $σ$ $D = 4, σ = 2$

R02.1 · R02.2

Образец → сам · сравнение рассеивания

Средние равны — а разброс разный

Образец: А: $4, 5, 5, 6$ и Б: $2, 3, 7, 8$ . Где разброс больше?

А: $D = \frac{1 + 0 + 0 + 1}{4} = 0, 5$

Б: $D = \frac{9 + 4 + 4 + 9}{4} = 6, 5$ → больше у Б

Сам: у какого набора $D$ больше? Без вычислений

$10, 10, 10$ или $9, 10, 11$ второй
$1, 2, 3$ или $101, 102, 103$ поровну
$1, 2, 3$ или $2, 4, 6$ второй

2,5 мин · практика
Образец: у обоих наборов среднее 5 (пунктир). А: отклонения −1, 0, 0, 1, квадраты 1, 0, 0, 1, D = 2 : 4 = 0,5. Б: отклонения −3, −2, 2, 3, квадраты 9, 4, 4, 9, D = 26 : 4 = 6,5. Отрезки-отклонения у Б длиннее — это видно до вычислений.
1) У первого D = 0 (все числа равны), у второго 2/3 — больше у второго. 2) Второй набор — первый, сдвинутый на 100: отклонения те же (−1, 0, 1), дисперсии равны (2/3). 3) Второй набор — первый, умноженный на 2: отклонения вдвое больше, D в 4 раза больше (2/3 и 8/3). Ответы проверены вычислением.
Вывод для класса: дисперсия описывает разброс, а не «величину» чисел; сдвиг всех чисел её не меняет.

R02.2

Теория · демонстрационный пример · дисперсия по таблице частот

Оценки $20$ учеников за контрольную

оценка $x$	частота $f$	$x - \overline{x}$	$(x - \overline{x})^{2}$	$f \cdot (x - \overline{x})^{2}$
$2$	$1$	$- 2$	$4$	$4$
$3$	$5$	$- 1$	$1$	$5$
$4$	$7$	$0$	$0$	$0$
$5$	$7$	$1$	$1$	$7$
сумма	$20$			$16$

$\overline{x} = \frac{2 + 15 + 28 + 35}{20} = 4$

$D = \frac{16}{20} = 0, 8$ , $σ = 0, 8 \approx 0, 89$

Делим на сумму частот

20

, а не на

4

строки

3 мин · теория (учитель решает и комментирует)
Таблица частот — сжатая запись ряда из 20 чисел: одна двойка, пять троек, семь четвёрок, семь пятёрок. Среднее: (2 · 1 + 3 · 5 + 4 · 7 + 5 · 7) : 20 = 80 : 20 = 4 (пунктир на диаграмме).
Каждое отклонение встречается столько раз, какова частота, поэтому квадрат умножаем на частоту: 4 · 1 + 1 · 5 + 0 · 7 + 1 · 7 = 16. D = 16 : 20 = 0,8; σ = √0,8 ≈ 0,894.
Вопрос классу: что изменится, если ещё один ученик получит «4»? (n = 21, среднее останется 4, сумма квадратов 16, D = 16/21 ≈ 0,76 — разброс уменьшится.)

R02.2

Образец → сам · дисперсия по таблице частот

Квадрат отклонения умножаем на частоту

Образец: число братьев и сестёр у $10$ учеников

$\overline{x} = \frac{0 + 2 + 8 + 6 + 4}{10} = 2$ сумма $x \cdot f$ : $n$

$4 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 0 \cdot 4 + 1 \cdot 2 + 4 \cdot 1 = 12$

$D = \frac{12}{10}$ = $1, 2$ делим на $n = 10$

Сам: найдите $D$

значения $1, 2, 3$ ; частоты $3, 4, 3$ $0, 6$
значения $5, 6, 7, 8$ ; частоты $1, 3, 3, 1$ $0, 75$
значения $0$ и $10$ ; частоты $5$ и $5$ $25$

2,5 мин · практика
Образец: значения 0, 1, 2, 3, 4 с частотами 1, 2, 4, 2, 1 (n = 10, столбики диаграммы). Среднее (0 + 2 + 8 + 6 + 4) : 10 = 2 — диаграмма симметрична относительно 2. Квадраты отклонений 4, 1, 0, 1, 4, умноженные на частоты: 4 + 2 + 0 + 2 + 4 = 12; D = 1,2.
1) n = 10, среднее 20 : 10 = 2; 1 · 3 + 0 · 4 + 1 · 3 = 6; D = 0,6. 2) n = 8, среднее (5 + 18 + 21 + 8) : 8 = 52 : 8 = 6,5; квадраты 2,25; 0,25; 0,25; 2,25; с частотами 2,25 + 0,75 + 0,75 + 2,25 = 6; D = 6 : 8 = 0,75. 3) Среднее 5, все отклонения ±5, квадраты 25; D = 25 (σ = 5). Ответы проверены вычислением.

R02.1 · R02.2

Образец → сам · задача из жизни

Какой автомат фасует точнее?

Образец: пакеты по $500$ г. Отклонения масс (г): А: $- 2, 2, 0, - 1, 1$ ; Б: $- 5, 5, 0, - 3, 3$

$D_{А} = \frac{4 + 4 + 0 + 1 + 1}{5} = 2$

$D_{Б} = \frac{25 + 25 + 0 + 9 + 9}{5} = 13, 6$

Точнее автомат А дисперсия меньше

Сам: кто стабильнее? Найдите $D$

Очки стрелков. I: $9, 10, 8, 9, 9$ ; II: $10, 7, 10, 8, 10$ I: $0, 4$ ; II: $1, 6$
Температура за $4$ дня. Город 1: $18, 20, 22, 20$ ; город 2: $14, 26, 20, 20$ $2$ и $18$

2,5 мин · практика
Образец: массы А — 498, 502, 500, 499, 501 г; Б — 495, 505, 500, 497, 503 г; среднее у обоих 2500 : 5 = 500 г, поэтому на слайде сразу отклонения. На диаграмме — отклонения от 500 г, зелёная полоса — допуск ±3 г: у Б два пакета вне допуска. А: квадраты 4, 4, 0, 1, 1 — сумма 10, D = 2 (σ ≈ 1,4 г). Б: 25, 25, 0, 9, 9 — сумма 68, D = 13,6 (σ ≈ 3,7 г). Приём: считать отклонения сразу от 500, не складывая большие числа.
1) Средние у обоих 9. I: квадраты 0, 1, 1, 0, 0 — D = 2/5 = 0,4; II: 1, 4, 1, 1, 1 — D = 8/5 = 1,6. Стабильнее стрелок I. 2) Средние 20. Город 1: 4, 0, 4, 0 — D = 2; город 2: 36, 36, 0, 0 — D = 18. Погода устойчивее в городе 1. Ответы проверены вычислением.

R02.2

Практика · электронная таблица

Что покажут ячейки?

E2: СРЗНАЧ(A2:A6) $12$
B3 $=$ A3 $-$ E2 и C3 $=$ B3 $^{2}$ $3$ и $9$
C7: СУММ(C2:C6) $26$
E5: ДИСП.Г(A2:A6) $5, 2$

ДИСП.Г — сумма квадратов, делённая на

n

2 мин · практика (в парах; на компьютерах — набрать и проверить)
Данные A2:A6 — 12, 15, 9, 14, 10. 1) Среднее 60 : 5 = 12. 2) B3 = 15 − 12 = 3, C3 = 3² = 9 (формула =B3^2). В формуле B3 ячейку E2 закрепляют знаками доллара перед буквой и цифрой, чтобы при протягивании вниз ссылка не сдвигалась. 3) Отклонения 0, 3, −3, 2, −2; квадраты 0, 9, 9, 4, 4 — сумма 26. 4) ДИСП.Г = 26 : 5 = 5,2. Проверено вычислением.
В таблицах есть и ДИСП.В (делит на n − 1) — в 8 классе используем ДИСП.Г, она считает дисперсию по формуле из учебника.

R02.1 · R02.2

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Где ошибаются	Неверно	Верно
усредняют сами отклонения	$D = \frac{- 2 + 0 + 2}{3} = 0$	$D = \frac{4 + 0 + 4}{3} = \frac{8}{3}$
квадрат отрицательного числа	$(- 3)^{2} = - 9$	$(- 3)^{2} = 9$ , $D \geq 0$
в таблице частот делят на число строк	$D = \frac{16}{4} = 4$	$D = \frac{16}{20} = 0, 8$
единицы измерения: рост в см	$D = 16$ см	$D = 16 см^{2}$ , $σ = 4$ см

R02.1 · R02.2

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Найдите $D$ набора $1, 5, 6, 8$

$\overline{x} = 5$ ; отклонения $- 4, 0, 1, 3$

$D = \frac{- 4 + 0 + 1 + 3}{4} = 0$

«разброса нет»

отклонения не возвели в квадрат

$D = \frac{16 + 0 + 1 + 9}{4} = 6, 5$

б) Найдите $D$ набора $1, 4, 7$

$\overline{x} = 4$ ; отклонения $- 3, 0, 3$

квадраты $- 9, 0, 9$ ; $D = 0$

$(- 3)^{2} = 9$ , а не $- 9$

$D = \frac{9 + 0 + 9}{3} = 6$

в) Значения $1, 2, 3$ с частотами $2, 6, 2$

$\overline{x} = 2$ ; $D = \frac{1 + 0 + 1}{3} = \frac{2}{3}$

забыли частоты и разделили на число значений

$n = 2 + 6 + 2 = 10$

$D = \frac{2 + 0 + 2}{10} = 0, 4$

R02.1 · R02.2

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

Отклонения

Отклонения набора $3, 8, 10$ $- 4, 1, 3$
Отклонения: $3, - 2, ?, - 4$ $3$
$D = 0, 49$ . Найдите $σ$ $0, 7$

Найдите дисперсию

$4, 6, 8, 10$ $5$
$10, 10, 10, 10$ $0$
$1, 3, 5, 7, 9$ $8$
значения $1, 2, 3$ ; частоты $1, 2, 1$ $0, 5$

R02.1 · R02.2

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Набор $2, 6, x, 8$ имеет среднее $6$ . Найдите $x$ и $D$ $x = 8, D = 6$
повыш.В наборе $6$ чисел сумма квадратов отклонений равна $27$ . Найдите $D$ $4, 5$
повыш.Каждое число набора умножили на $3$ . Во сколько раз изменилась дисперсия? в $9$ раз
из жизниВремя дороги до школы (мин) за неделю: $18, 22, 20, 25, 15$ . Найдите $D$ $11, 6$

R02.2 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 12

Расчёт по формуле — ответ числом

1. Стандартное отклонение вычисляют по формуле $σ = D$ . Найдите $D$ , если $σ = 1, 5$ .

Ответ: $2, 25$

2. Дисперсию набора из $4$ чисел находят по формуле $D = \frac{d _{1}^{2} + d _{2}^{2} + d _{3}^{2} + d _{4}^{2}}{4}$ , где $d_{i}$ — отклонения. Найдите $D$ , если $d_{1} = - 3$ , $d_{2} = 1$ , $d_{3} = - 1$ , $d_{4} = 3$ .

Ответ: $5$

3. Дисперсию находят по формуле $D = \frac{S}{n}$ , где $S$ — сумма квадратов отклонений, $n$ — число значений. Найдите $n$ , если $D = 2, 5$ , $S = 30$ .

Ответ: $12$

R02.1 · R02.2

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Отклонения: $- 1, 4, ?, - 2$ . Пропуск $- 1$
$D$ набора $3, 5, 6, 10$ $6, 5$
$D$ : значения $4, 5, 6$ ; частоты $1, 3, 1$ $0, 4$
У какого $D$ больше: $7, 8, 9$ или $6, 8, 10$ ? второй

Вариант 2

Отклонения: $3, ?, - 5, 1$ . Пропуск $1$
$D$ набора $2, 4, 8, 10$ $10$
$D$ : значения $2, 3, 4$ ; частоты $2, 1, 2$ $0, 8$
У какого $D$ больше: $20, 30, 40$ или $29, 30, 31$ ? первый

4 мин · практика
Вариант 1: 1) −1 + 4 − 2 = 1, пропуск −1. 2) Среднее 24 : 4 = 6; квадраты 9, 1, 0, 16 — 26 : 4 = 6,5. 3) n = 5, среднее 5; 1 + 0 + 1 = 2 — D = 0,4. 4) Средние равны 8, у второго отклонения ±2 против ±1 — больше у второго (8/3 и 2/3).
Вариант 2: 1) 3 − 5 + 1 = −1, пропуск 1. 2) Среднее 6; квадраты 16, 4, 4, 16 — 40 : 4 = 10. 3) n = 5, среднее 15 : 5 = 3; 2 · 1 + 0 + 2 · 1 = 4 — D = 0,8. 4) Средние 30; отклонения ±10 против ±1 — больше у первого (200/3 и 2/3).
3,5 мин на решение, затем обмен тетрадями и проверка по ответам (по клику). Критерий: 4 верно — «5», 3 — «4», 2 — «3».

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Чему равна сумма отклонений?
Зачем отклонения возводят в квадрат?
На что делят в таблице частот?

Домашнее задание

Отклонения $- 2, 3, ?$ ; $\overline{x} = 7$ . Найдите числа
$D$ набора $5, 7, 7, 9, 12$
Свой набор: рост $5$ членов семьи — найдите $D$ и $σ$
Тренажёр: reknow.ru/8/veroyatnost/8_veroyatnost_dispersiya.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

VIS8-008 · Практикум: отклонения

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Вероятность и статистика», 8 класс
Строка, урок	R02 «Описательная статистика. Рассеивание данных», 4 ч · урок 4/4 · тип П
Единицы → слайды	R02.1 «Отклонения» → 2–5, 8, 11, 13–16, 18, 19 · R02.2 «Дисперсия числового набора» → 2, 3, 6–19
Результаты	ПР-1 / REQ-5.1 (таблицы, диаграммы) → 8–12 · ПР-2 / REQ-5.2 (меры рассеивания: дисперсия, стандартное отклонение) → 3–19
Вне урока	диаграммы рассеивания — VIS8-007; свойства дисперсии (сдвиг, растяжение) — углублённый курс, здесь только как задание повышенного уровня; множества — VIS8-009
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: отклонения и дисперсия

Сегодня вы научитесь

Находить отклонения

Считать дисперсию

Сравнивать рассеивание

Считать в таблице

Среднее, отклонение, квадрат

Вычислите

Ответьте

Отклонение — на сколько число дальше от среднего

Сумма отклонений равна нулю — найдите пропуск

Образец: отклонения от среднего −3, 1, ?, 4, −1; x=10. Найдите пропуск и сами числа.

Сам

Дисперсия — средний квадрат отклонения

Три строки таблицы — и дисперсия готова

Образец: найдите D набора 4, 7, 8, 9, 12

Сам: найдите D

Средние равны — а разброс разный

Образец: А: 4, 5, 5, 6 и Б: 2, 3, 7, 8. Где разброс больше?

Сам: у какого набора D больше? Без вычислений

Оценки 20 учеников за контрольную

Квадрат отклонения умножаем на частоту

Образец: число братьев и сестёр у 10 учеников

Сам: найдите D

Какой автомат фасует точнее?

Образец: пакеты по 500 г. Отклонения масс (г): А: −2, 2, 0, −1, 1; Б: −5, 5, 0, −3, 3

Сам: кто стабильнее? Найдите D

Что покажут ячейки?

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Найдите D набора 1, 5, 6, 8

б) Найдите D набора 1, 4, 7

в) Значения 1, 2, 3 с частотами 2, 6, 2

Решите и проверьте

Отклонения

Найдите дисперсию

Подумайте и решите

Расчёт по формуле — ответ числом

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

VIS8-008 · Практикум: отклонения

Образец: отклонения от среднего $- 3, 1, ?, 4, - 1$ ; $\overline{x} = 10$ . Найдите пропуск и сами числа.

Образец: найдите $D$ набора $4, 7, 8, 9, 12$

Сам: найдите $D$

Образец: А: $4, 5, 5, 6$ и Б: $2, 3, 7, 8$ . Где разброс больше?

Сам: у какого набора $D$ больше? Без вычислений

Оценки $20$ учеников за контрольную

Образец: число братьев и сестёр у $10$ учеников

Сам: найдите $D$

Образец: пакеты по $500$ г. Отклонения масс (г): А: $- 2, 2, 0, - 1, 1$ ; Б: $- 5, 5, 0, - 3, 3$

Сам: кто стабильнее? Найдите $D$

а) Найдите $D$ набора $1, 5, 6, 8$

б) Найдите $D$ набора $1, 4, 7$

в) Значения $1, 2, 3$ с частотами $2, 6, 2$