Описательная статистика · урок 3 из 4

Диаграммы рассеивания

Вероятность и статистика · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R02 · VIS8-007

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R02 «Описательная статистика. Рассеивание данных» (4 ч), урок 3/4, единица R02.4 «Диаграммы рассеивания». Тип урока — Н (новый материал). Урок 1 — отклонения и дисперсия, урок 2 — стандартное отклонение (VIS8-006), этот урок — диаграммы рассеивания, урок 4 — практикум «Отклонения» (VIS8-008).
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Теория (12,5 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (пары данных → точки) 3 · 6 (виды связи) 3 · 8 (сила связи, нелинейная связь, выброс) 2,5 · 10 (связь ≠ причина, учитель разбирает пример сам) 2.
Практика (32,5 мин): разминка (сл. 3) 2,5 · образцы → сам (сл. 5, 7, 9, 11) по 3 · типичные ошибки (сл. 12) 1,5 · найди ошибку (сл. 13) 2 · самопроверка, база (сл. 14) 3 · повышенный уровень (сл. 15) 2,5 · ОГЭ (сл. 16) 2 · задача из жизни (сл. 17) 2 · самостоятельная работа (сл. 18) 4 · итог и ДЗ (сл. 19) 1.
Если не успеваете: задания 3–4 сл. 15 — в ДЗ; теорию (сл. 4, 6, 8, 10) не сокращать.
Hero: облако точек вытянуто вдоль пунктирной прямой «снизу слева — вверх направо» — так выглядит положительная связь.

R02.4

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Строить диаграмму

каждая пара данных $(x; y)$ — точка на плоскости (ПР-1)

Читать диаграмму

находить значения, считать точки в области (ПР-1, ПР-3)

Выдвигать гипотезу

о наличии или отсутствии связи и её виде (ПР-2)

Отличать связь от причины

и замечать выбросы и нелинейную связь

1 мин · теория
ПР-1 (= REQ-5.1): «Извлекать и преобразовывать информацию, представленную в виде таблиц, диаграмм, графиков, представлять данные в виде таблиц, диаграмм, графиков». ПР-2 (= REQ-5.2): «Описывать данные с помощью статистических показателей: средних значений и мер рассеивания». ПР-3 (= REQ-5.3): «Находить частоты числовых значений и частоты событий». Единица ФРП R02.4 «Диаграммы рассеивания»; вид деятельности: «Выдвигать гипотезы об отсутствии или наличии связи по диаграммам рассеивания. Строить диаграммы рассеивания по имеющимся данным, в том числе с помощью компьютера».

повторение: координаты, VIS8-006

Разминка · устно

Точки на плоскости и разброс

По рисунку

Координаты точки A $(2; 5)$
Координаты точки B $(6; 1)$
Какая точка лежит на прямой $y = x$ ? C
Сколько точек выше прямой $y = x$ ? $2$

Вычислите

Среднее: $2, 6, 4$ $4$
$s$ для набора $1, 3$ $1$
Размах: $42, 49, 62, 55$ $20$

2,5 мин · практика
Ответы: 1) A(2; 5) — сначала абсцисса (по горизонтали), потом ордината. 2) B(6; 1). 3) C(4; 4) — у неё x = y. 4) Выше прямой y = x те точки, у которых y > x: A (5 > 2) и D (3 > 0) — две; B ниже (1 < 6). 5) 12 : 3 = 4. 6) Среднее 2, отклонения −1 и 1, s² = (1 + 1) : 2 = 1, s = 1. 7) 62 − 42 = 20.
1–4 — координатная плоскость (алгебра 7 класса): именно на ней сегодня будут диаграммы. Задание 4 готовит приём «выше / ниже прямой y = x» (сл. 11, 16). 5–7 — характеристики набора с прошлых уроков (VIS8-006). Типичная ошибка в 1–2: перепутан порядок координат.

R02.4

Новый материал · диаграмма рассеивания

Два признака у каждого объекта — точка $(x; y)$

рост $x$	$150$	$155$	$158$	$162$	$165$	$170$	$174$
масса $y$	$42$	$45$	$50$	$49$	$55$	$58$	$62$

Диаграмма рассеивания — точки $(x; y)$ на координатной плоскости: одна точка — один объект.

1-й ученик: $x = 150, y = 42$ точка $(150; 42)$

Облако точек показывает, как связаны два признака.

3 мин · теория
У 7 учеников измерили два признака: рост x (см) и массу y (кг). Каждая пара из таблицы — точка: по горизонтали рост, по вертикали масса. Первый клик — первая точка (150; 42) с пунктирами к осям; второй — остальные шесть; третий — «облако» вытянуто вверх вправо.
Оси начинаются не с нуля (с 145 см и 40 кг) — так точки не сжимаются в угол; это допустимо, если подписаны деления.
Отличие от графика функции: точки не соединяют линией — порядок учеников в таблице случаен; одному x могут соответствовать несколько точек.
Вопрос классу: что видно по облаку? (Чем выше ученик, тем, как правило, больше масса.) Есть ли исключения? (162 см — 49 кг, меньше, чем у ученика ростом 158 см с массой 50 кг.) «Как правило» — ключевые слова: связь статистическая, не строгая.
Компьютер: в электронной таблице два столбца (x и y) → Вставка → Диаграмма → «Точечная» — это и есть диаграмма рассеивания (ДЗ).

R02.4

Образец → сам · чтение диаграммы рассеивания

Баллы 10 учеников за две контрольные

Образец

математика $8$ → вверх → точка $(8; 7)$ физика $7$

физика $5$ → вправо → $(4; 5)$ и $(7; 5)$ два ученика

Сам

Математика $5$ — физика? $4$ и $6$
Физика $10$ — математика? $9$
Сколько учеников набрали по физике не меньше $6$ ? $5$
Сколько набрали не меньше $7$ по обоим предметам? $3$

3 мин · практика
Образец: по оси x находим 8, поднимаемся до точки — (8; 7), физика 7 баллов. Обратно: на оси y находим 5, идём вправо — две точки (4; 5) и (7; 5): по физике 5 набрали два ученика, у них по математике 4 и 7.
1) Над x = 5 две точки: (5; 4) и (5; 6) — физика 4 и 6. 2) y = 10 — одна точка (9; 10), математика 9. 3) y ≥ 6: (5; 6), (6; 6), (7; 8), (8; 7), (9; 10) — 5 учеников (не забыть «не меньше» — включая 6). 4) x ≥ 7 и y ≥ 7: (7; 8), (8; 7), (9; 10) — 3 (точка (7; 5) не подходит).
Все 10 точек: (2; 3), (3; 2), (4; 5), (5; 4), (5; 6), (6; 6), (7; 5), (7; 8), (8; 7), (9; 10). Подсказка для 3–4: провести горизонталь y = 6 и вертикаль x = 7 и считать точки в нужной области.

R02.4

Новый материал · связь по облаку точек

Три картины — три гипотезы

Положительная связь

больше $x$ — как правило, больше $y$

Отрицательная связь

больше $x$ — как правило, меньше $y$

Связи нет

точки разбросаны без направления

3 мин · теория
По форме облака точек выдвигают гипотезу о связи двух признаков. Облако вытянуто «снизу слева — вверх направо» — положительная (прямая) связь: рост и масса, температура и продажи мороженого. «Сверху слева — вниз направо» — отрицательная (обратная): возраст автомобиля и его цена, время подготовки и число ошибок. Облако без направления — связи нет (не обнаружено): рост ученика и номер его квартиры.
Пунктир показывает направление облака; это не график функции — точки лежат около него, а не на нём.
Слово «гипотеза» важно: по выборке мы предполагаем связь, а не доказываем её. Вопрос классу: приведите свой пример положительной и отрицательной связи (число страниц в книге и время чтения; температура на улице и расход газа на отопление).

R02.4

Образец → сам · гипотеза о виде связи

Температура и продажи мороженого за 9 дней

$t$ растёт → точки идут вверх облако вверх вправо

положительная связь в жару покупают больше

Сам: какая связь?

А: возраст машины → цена

отрицательная

Б: рост → оценка по истории

нет связи

В: площадь квартиры → цена

положительная

3 мин · практика
Образец: за 9 дней пары (t, °C; порций): (16; 120); (18; 150); (20; 170); (22; 210); (24; 230); (26; 280); (28; 300); (30; 340); (32; 350). При повышении температуры точки поднимаются — положительная связь; гипотеза: в жаркие дни мороженого продают больше.
Сам: А — облако вниз вправо: чем старше машина, тем, как правило, ниже цена — отрицательная. Б — точки без направления — связи нет (рост не влияет на оценку по истории). В — облако вверх вправо — положительная: бо́льшая квартира, как правило, дороже.
Попросить обосновать каждый ответ фразой «чем больше x, тем, как правило, … y».

R02.4

Новый материал · сила и форма связи

Что ещё видно на диаграмме

Сильная связь

точки близко к линии

Слабая связь

направление есть, разброс большой

Нелинейная связь

сначала растёт, потом убывает

Выброс

точка далеко от облака

Вывод делают по многим точкам; выброс проверяют — ошибка или особый случай.

2,5 мин · теория
Сила связи — насколько тесно точки прижаты к линии направления: рост и размер обуви — сильная; часы сна и оценка за четверть — слабая (направление угадывается, но разброс велик).
Нелинейная связь: связь есть, но не «вверх» или «вниз» на всём участке. Пример — количество удобрения и урожай: сначала урожай растёт, при избытке удобрения падает. Неверный вывод «связи нет, облако не вытянуто» — ловушка (см. сл. 12).
Выброс — точка, резко отличающаяся от остальных (как выброс в наборе чисел, VIS8-006). Может быть ошибкой записи (перепутали x и y) или особым случаем; из-за одной точки вывод о связи не меняют.
Связь с прошлым уроком: чем меньше разброс точек около линии, тем «сильнее» связь — та же идея, что малое стандартное отклонение.

R02.4

Образец → сам · построить и сделать вывод

Подготовка к диктанту и число ошибок

часы $x$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
ошибки $y$	$9$	$7$	$8$	$5$	$4$	$2$

отрицательная связь больше часов — меньше ошибок

Сам: постройте, какая связь?

$x$ : $1, 2, 3, 4, 5$ ; $y$ : $2, 4, 5, 7, 9$ положительная
$x$ : $1, 2, 3, 4, 5, 6$ ; $y$ : $5, 2, 6, 3, 5, 4$ нет связи
$x$ : $10, 20, 30, 40, 50$ ; $y$ : $48, 41, 35, 22, 15$ отрицательная

3 мин · практика
Образец: шаг 1 — оси (часы по горизонтали, ошибки по вертикали), точки (1; 9), (2; 7), (3; 8), (4; 5), (5; 4), (6; 2). Шаг 2 — облако идёт вниз вправо (точка (3; 8) немного выбивается, но общее направление ясно). Шаг 3 — гипотеза: чем больше часов подготовки, тем, как правило, меньше ошибок — отрицательная связь.
1) Точки (1; 2), (2; 4), (3; 5), (4; 7), (5; 9) — поднимаются, положительная связь (почти по прямой — сильная). 2) (1; 5), (2; 2), (3; 6), (4; 3), (5; 5), (6; 4) — то вверх, то вниз, направления нет — связи нет. 3) (10; 48), (20; 41), (30; 35), (40; 22), (50; 15) — убывают, отрицательная связь. В 3) удобно взять масштаб: по x клетка = 10, по y клетка = 5.
Если класс медленный — задание 3 только устно по таблице («y убывает при росте x»).

R02.4

Новый материал · связь и причина

Мороженое вызывает ожоги?

Диаграмма рассеивания даёт гипотезу о связи, но не доказывает, что один признак — причина другого.

2 мин · теория (учитель разбирает пример сам)
По дням лета: x — число проданных порций мороженого, y — число обращений с солнечными ожогами. Облако идёт вверх — положительная связь. Значит ли это, что мороженое вызывает ожоги? Нет: оба признака зависят от третьего — жары (скрытый, или общий, фактор). Убери мороженое — ожогов меньше не станет.
Ещё примеры для обсуждения: размер обуви и умение решать задачи у школьников 1–11 классов — связь положительная, общий фактор — возраст. Число пожарных машин на пожаре и ущерб — общий фактор — размер пожара.
Вывод для записи: «связь есть» ≠ «одно вызывает другое». Причину проверяют экспериментом или рассуждением.

R02.4

Образец → сам · сравнение с прямой $y = x$

12 учеников: баллы за КР 1 ( $x$ ) и КР 2 ( $y$ )

Образец: сколько улучшили результат?

улучшили: $y > x$ выше прямой $y = x$

считаем точки выше: $6$

Сам

Сколько ухудшили результат? $3$
У скольких результат не изменился? $3$
Доля улучшивших $0, 5$
Улучшили не меньше чем на $2$ балла? $5$

R02.4

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Где ошибаются	Неверно	Верно
рост $160$ , масса $50$	точка $(50; 160)$ перепутаны оси	$(160; 50)$ $x$ — по горизонтали
точки соединили ломаной	«график роста массы»	точки не соединяют — порядок объектов случаен
облако-«дуга» (удобрение — урожай)	«не вверх и не вниз — связи нет»	связь есть, она нелинейная
мороженое и ожоги: связь положительная	«мороженое — причина ожогов»	связь ≠ причина: общий фактор — жара

1,5 мин · практика
1) Первым в паре идёт признак, отложенный по горизонтали (x), — рост; точка (160; 50). При перепутанных осях точка уходит из облака и выглядит как выброс. 2) Диаграмма рассеивания — не график: точки разных учеников не связаны между собой, соединять их нельзя. 3) Дуга — тоже связь (сл. 8), просто на разных участках направление разное. 4) По диаграмме выдвигают гипотезу о связи; причину по ней не устанавливают (сл. 10).
Спросить: какая из ошибок встречалась у вас на сл. 9?

R02.4

Найди ошибку

Часы тренировки $x$ и балл за норматив $y$

$x$	$1$	$2$	$3$	$5$	$6$	$7$
$y$	$2$	$3$	$5$	$4$	$7$	$6$

Ученик построил диаграмму (слева) и написал:

«Точки не лежат на одной прямой — связи нет».

1) пара $(5; 4)$ отмечена как $(4; 5)$

2) облако идёт вверх — положительная связь; на прямой точки и не должны лежать

2 мин · практика
Ошибка 1 (построение): пара x = 5, y = 4 отмечена точкой (4; 5) — перепутаны координаты; в таблице нет x = 4. Верная точка (5; 4) — зелёная.
Ошибка 2 (вывод): связь статистическая — точки располагаются около линии направления, а не на ней. Облако (1; 2), (2; 3), (3; 5), (5; 4), (6; 7), (7; 6) поднимается вправо — гипотеза: чем больше часов тренировки, тем, как правило, выше балл (положительная связь).
Ученики 1 минуту ищут ошибки в парах; затем исправления по клику.

R02.4

Задания с самопроверкой · база

Время в телефоне и сон: 12 учеников

Сколько учеников спят ровно $9$ ч? $3$
Больше всего спит ученик, который проводит в телефоне … $1$ ч
Сколько спят ученики с $6$ ч в телефоне? $6$ и $7$ ч
Сколько учеников спят меньше $8$ ч? $5$
Сколько учеников: в телефоне не меньше $4$ ч и спят не меньше $7$ ч? $4$
Какая связь? отрицательная

3 мин · практика
Точки: (1; 10); (1; 9); (2; 9); (2; 8); (3; 9); (3; 8); (4; 7); (4; 8); (5; 7); (5; 6); (6; 6); (6; 7).
1) y = 9: (1; 9), (2; 9), (3; 9) — 3. 2) Максимум y = 10 у точки (1; 10) — 1 ч в телефоне. 3) x = 6: (6; 6) и (6; 7). 4) y < 8: (4; 7), (5; 7), (5; 6), (6; 6), (6; 7) — 5. 5) x ≥ 4 и y ≥ 7: (4; 7), (4; 8), (5; 7), (6; 7) — 4. 6) Облако вниз вправо — отрицательная связь: чем больше времени в телефоне, тем, как правило, меньше сон.
Обсудить: доказывает ли диаграмма, что телефон «отнимает» сон? (Нет — это гипотеза; возможны общие причины, например поздний отход ко сну.)

R02.4

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

На диаграмме $20$ точек: $12$ выше прямой $y = x$ , $5$ на ней. Сколько ниже? $3$
Пары $(1; 2), (3; 4), (5; 9)$ . Найдите точку $(\overset{x}{ˉ}; \overset{y}{ˉ})$ $(3; 5)$
Где связь, скорее всего, отрицательная: а) возраст дерева и высота; б) скорость и время в пути на $100$ км; в) рост и размер обуви? б
$x$ : $1, 2, 3, 4, 5$ ; $y$ : $1, 4, 5, 4, 1$ . Есть ли связь? да, нелинейная

к заданию 4

R02.4 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 10

Вероятность по диаграмме рассеивания

Баллы $20$ учеников за пробный тест в сентябре ( $x$ ) и в декабре ( $y$ ). Случайно выбирают ученика. Найдите вероятность того, что:

1. в декабре балл выше, чем в сентябре $0, 5$

2. баллы в сентябре и декабре равны $0, 3$

3. в декабре не меньше $8$ баллов $0, 4$

R02.4

Задача из жизни · поездки на такси

8 поездок: расстояние и цена

Какая связь между расстоянием и ценой? положительная, сильная
Какая поездка — выброс? $5$ км за $700$ руб.
Сколько, по закономерности, стоит $7$ км? $450$ руб.
На сколько дорожает каждый следующий км? $50$ руб.

2 мин · практика
Поездки (км; руб.): (2; 200); (3; 250); (4; 300); (5; 350); (6; 400); (8; 500); (9; 550); (5; 700).
1) Семь точек лежат точно на одной прямой, вверх вправо — сильная положительная связь. 2) (5; 700) — далеко от прямой: обычная поездка 5 км стоит 350 руб.; причина — ночной тариф, пробка, повышенный спрос. 3) Закономерность: 2 км — 200, 3 км — 250, … — каждый километр +50 руб.; 7 км: 400 + 50 = 450 руб. (жёлтая точка). 4) 50 руб.; формула цены 100 + 50x (100 руб. — посадка).
Вывод: по диаграмме видна и закономерность, и необычная поездка; выброс не отменяет связь.

R02.4

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1 · $x$ : $1, 2, 3, 4, 5$ ; $y$ : $2, 3, 3, 5, 6$

Постройте диаграмму рассеивания
Какая связь? положительная
Сколько точек выше прямой $y = x$ ? $4$
Случайно выбирают пару. $P (y > x)$ ? $0, 8$

Вариант 2 · $x$ : $1, 2, 3, 4, 5$ ; $y$ : $6, 4, 5, 3, 1$

Постройте диаграмму рассеивания
Какая связь? отрицательная
Сколько точек выше прямой $y = x$ ? $3$
Случайно выбирают пару. $P (y < x)$ ? $0, 4$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Что изображает одна точка диаграммы?
Как выглядит отрицательная связь?
Почему связь — ещё не причина?

Домашнее задание

Рост и размер обуви $6$ – $8$ знакомых — диаграмма и гипотеза
Ту же диаграмму — в электронной таблице («Точечная»)
Тренажёр: reknow.ru/8/veroyatnost/8_veroyatnost_diagramma-rasseivaniya.htm

1 мин · практика
Ответы на вопросы: одна точка — один объект (ученик, день, поездка) с парой значений (x; y); отрицательная связь — облако «сверху слева — вниз направо»; связь может объясняться общим фактором (жара → мороженое и ожоги).
ДЗ: ожидается положительная связь (выше рост — больше размер обуви). В электронной таблице: столбец A — рост, B — размер; выделить оба → Вставка → Диаграмма → Точечная.
Следующий урок (VIS8-008): практикум «Отклонения» — дисперсия и стандартное отклонение в задачах.

Паспорт соответствия · скрытый слайд

VIS8-007 · Диаграммы рассеивания

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Вероятность и статистика», 8 класс
Строка, урок	R02 «Описательная статистика. Рассеивание данных», 4 ч · урок 3/4 · тип Н
Единицы → слайды	R02.4 «Диаграммы рассеивания» → 1–19 · R02.1–R02.3 (отклонения, дисперсия, стандартное отклонение) — VIS8-005, VIS8-006, VIS8-008; разминка — сл. 3
Результаты	ПР-1 / REQ-5.1 (информация из диаграмм, представление данных) → 3–9, 11, 13–18 · ПР-2 / REQ-5.2 (средние, рассеивание) → 3, 8, 15 · ПР-3 / REQ-5.3 (частоты) → 11, 14, 16 · ПР-4 / REQ-5.4 (вероятности) → 16, 18
Вне урока	линейная связь и её числовая мера — углублённый курс (VIS8U); практикум по отклонениям — VIS8-008
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Диаграммы рассеивания

Сегодня вы научитесь

Строить диаграмму

Читать диаграмму

Выдвигать гипотезу

Отличать связь от причины

Точки на плоскости и разброс

По рисунку

Вычислите

Два признака у каждого объекта — точка (x; y)

Баллы 10 учеников за две контрольные

Образец

Сам

Три картины — три гипотезы

Положительная связь

Отрицательная связь

Связи нет

Температура и продажи мороженого за 9 дней

Сам: какая связь?

Что ещё видно на диаграмме

Сильная связь

Слабая связь

Нелинейная связь

Выброс

Подготовка к диктанту и число ошибок

Сам: постройте, какая связь?

Мороженое вызывает ожоги?

12 учеников: баллы за КР 1 (x) и КР 2 (y)

Образец: сколько улучшили результат?

Сам

Неверно → почему → верно

Часы тренировки x и балл за норматив y

Время в телефоне и сон: 12 учеников

Подумайте и решите

Вероятность по диаграмме рассеивания

8 поездок: расстояние и цена

Два варианта — решите свой

Вариант 1 · x: 1, 2, 3, 4, 5; y: 2, 3, 3, 5, 6

Вариант 2 · x: 1, 2, 3, 4, 5; y: 6, 4, 5, 3, 1

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

VIS8-007 · Диаграммы рассеивания

Два признака у каждого объекта — точка $(x; y)$

12 учеников: баллы за КР 1 ( $x$ ) и КР 2 ( $y$ )

Часы тренировки $x$ и балл за норматив $y$

Вариант 1 · $x$ : $1, 2, 3, 4, 5$ ; $y$ : $2, 3, 3, 5, 6$

Вариант 2 · $x$ : $1, 2, 3, 4, 5$ ; $y$ : $6, 4, 5, 3, 1$