Рассеивание данных · урок 2 из 4

Стандартное отклонение числового набора

Вероятность и статистика · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R02 · VIS8-006

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R02 «Описательная статистика. Рассеивание данных» (4 ч), урок 2/4, единица R02.3 «Стандартное отклонение числового набора». Тип урока — Н. Опора: VIS8-005 (отклонения, дисперсия числового набора), среднее арифметическое (7 класс), квадратный корень (алгебра 8).
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Теория (13 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (единицы дисперсии, зачем корень) 2,5 · 5 (определение σ, квадраты отклонений) 3 · 7 (полосы $\overset{x}{ˉ} \pm σ$ , $\overset{x}{ˉ} \pm 2 σ$ ) 3 · 11 (сводка и электронная таблица) 2,5. Теоретические слайды показываются полностью.
Практика (32 мин): разминка (сл. 3) 2,5 · образцы → сам (сл. 6, 8, 9, 10) по 3 · типичные ошибки (сл. 12) 2 · найди ошибку (сл. 13) 2 · самопроверка, база (сл. 14) 3,5 · повышенный уровень (сл. 15) 3 · ОГЭ (сл. 16) 2 · самостоятельная работа (сл. 17) 4 · итог и ДЗ (сл. 18) 1.
Картинка на титуле — рост 20 учеников (сл. 7): $\overset{x}{ˉ} = 160$ см, $σ = 4$ см; в пунктирной полосе $\overset{x}{ˉ} \pm σ$ — 18 точек из 20.
Если не успеваете: задание 3 сл. 9 и задания 3–4 сл. 15 — в ДЗ; теорию не сокращать.

R02.3

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Находить $σ$

стандартное отклонение набора по алгоритму: среднее → отклонения → квадраты → $D$ → корень (ПР-2)

Понимать единицы

$D$ — в квадратных единицах, $σ$ — в тех же, что и данные (ПР-2)

Читать полосы

$\overset{x}{ˉ} \pm σ$ и $\overset{x}{ˉ} \pm 2 σ$ на числовой прямой, замечать необычные значения (ПР-5, ПР-1)

Сравнивать разброс

двух наборов по $σ$ , в том числе по таблице частот (ПР-2, ПР-3)

1 мин · теория
ПР-2 (= REQ-5.2): «Описывать данные с помощью статистических показателей: средних значений и мер рассеивания (размах, дисперсия и стандартное отклонение)». ПР-5 (= REQ-5.5): «Использовать графические модели: … числовая прямая». ПР-1 (= REQ-5.1): извлекать информацию из таблиц и диаграмм. ПР-3 (= REQ-5.3): частоты числовых значений. Элемент содержания: EL-5.5 «Измерение рассеивания данных. Дисперсия и стандартное отклонение числовых наборов».
Единица ФРП: R02.3 «Стандартное отклонение числового набора».

повторение: R02.1, R02.2

Разминка · устно

Среднее, отклонения, квадраты, корни

Набор $3; 5; 7$

среднее $\overset{x}{ˉ}$ $5$
отклонения от $\overset{x}{ˉ}$ $- 2; 0; 2$
сумма отклонений $0$
дисперсия набора $1; 5$ $4$

Вычислите

$(- 3)^{2}$ $9$
$49$ $7$
$0, 81$ $0, 9$
рост в см — дисперсия в … $см^{2}$

R02.3

Новое понятие · единицы измерения разброса

Дисперсия — в «квадратных» единицах

Рост четырёх учеников, см: $151; 153; 153; 159$

$\overset{x}{ˉ} = \frac{616}{4} = 154$ см

отклонения: $- 3; - 1; - 1; 5$

$D = \frac{9 + 1 + 1 + 25}{4} = 9 см^{2}$ ?!

Чтобы вернуться к сантиметрам, извлекаем корень:

9 = 3

см.

2,5 мин · теория
Проблемная ситуация: рост в сантиметрах, а дисперсия — в «квадратных сантиметрах», как площадь. Сравнивать разброс 9 см² с ростом 154 см нельзя — величины разной природы.
Геометрическая картинка: $D$ — площадь квадрата, а «типичное отклонение» — его сторона $D$ . Здесь квадрат $3 \times 3$ см, сторона 3 см. Проверка: $616 = 151 + 153 + 153 + 159$ ; квадраты $9, 1, 1, 25$ дают $36$ ; $36 : 4 = 9$ .
Вопрос классу: на сколько в среднем рост отклоняется от 154 см? Ответ «примерно на 3 см» хорошо согласуется с точками на прямой.

R02.3

Новое понятие · стандартное отклонение

Корень из дисперсии

Стандартное отклонение $σ$ — квадратный корень из дисперсии набора.

σ = D

D = \frac{( x _{1} - x ˉ ) ^{2} + \dots + ( x _{n} - x ˉ ) ^{2}}{n}

среднее $\overset{x}{ˉ}$
отклонения $x_{i} - \overset{x}{ˉ}$
квадраты, их среднее — $D$
корень: $σ = D$

3 мин · теория (учитель сам разбирает набор $2; 4; 5; 6; 8$ на чертеже)
Чертёж справа по шагам: точки набора и среднее $5$ → отклонения $- 3, - 1, 0, + 1, + 3$ → квадраты со сторонами $∣ x_{i} - \overset{x}{ˉ} ∣$ , их площади $9, 1, 0, 1, 9$ → средняя площадь $20 : 5 = 4$ — это $D$ → сторона квадрата площади 4 — это $σ = 2$ .
Обозначение $σ$ — греческая буква «сигма». Другие названия: среднее квадратичное отклонение. $σ \geq 0$ ; $σ = 0$ только когда все числа набора равны.
Алгоритм (слева) ученики записывают в тетрадь: он повторяется во всех задачах урока.

R02.3

Образец → сам · стандартное отклонение набора

Алгоритм в таблице

Образец: найдите $σ$ набора $1; 3; 3; 9$

$\overset{x}{ˉ} = \frac{1 + 3 + 3 + 9}{4} = 4$ шаг 1

$x$	$1$	$3$	$3$	$9$
$x - \overset{x}{ˉ}$	$- 3$	$- 1$	$- 1$	$5$
$(x - \overset{x}{ˉ})^{2}$	$9$	$1$	$1$	$25$

$D = \frac{9 + 1 + 1 + 25}{4} = 9$ среднее квадратов

$σ = 9$ = $3$

Сам: найдите $σ$

$1; 5$ $2$
$3; 5; 6; 7; 9$ $2$
$1; 7; 9; 15$ $5$

R02.3

Новое понятие · полосы на числовой прямой

Где лежит большинство данных

Рост 20 учеников: $\overset{x}{ˉ} = 160$ см, $σ = 4$ см

Как правило, большинство значений — в полосе $\overset{x}{ˉ} \pm σ$

почти все — в полосе $\overset{x}{ˉ} \pm 2 σ$

Значение вне

\overset{x}{ˉ} \pm 2 σ

— необычное (выброс).

3 мин · теория
Данные: 152 см — 1 ученик, 156 — 6, 160 — 6, 164 — 6, 168 — 1. Среднее $(152 + 6 \cdot 156 + 6 \cdot 160 + 6 \cdot 164 + 168) /20 = 3200/20 = 160$ . Отклонения $- 8, - 4, 0, 4, 8$ ; $D = (64 + 6 \cdot 16 + 0 + 6 \cdot 16 + 64) /20 = 320/20 = 16$ , $σ = 4$ см.
В полосе $[156; 164]$ — 18 из 20 (90 %), в полосе $[152; 168]$ — все 20. Это не строгая теорема, а наблюдение «как правило», которое выполняется для большинства реальных наборов (рост, масса, время, оценки).
Смысл σ: «типичное» расстояние от значения до среднего. Чем больше σ, тем шире полосы и сильнее разброс. Вопрос: ученик ростом 175 см — необычный для этого класса? (Да: $175 > 168$ .)

R02.3

Образец → сам · обратная задача: дисперсия и полосы

Знаем $\overset{x}{ˉ}$ и $σ$ — что ещё?

Образец: масса яблок $\overset{x}{ˉ} = 150$ г, $σ = 12$ г. Необычно ли яблоко $180$ г?

$D = σ^{2} = 144 г^{2}$ обратно к дисперсии

$150 - 2 \cdot 12 = 126$ , $150 + 2 \cdot 12 = 174$ полоса $\overset{x}{ˉ} \pm 2 σ$

$180 > 174$ — необычно тяжёлое

Сам

$D = 0, 49$ . Найдите $σ$ $0, 7$
$σ = 1, 5$ . Найдите $D$ $2, 25$
Дорога в школу: $\overset{x}{ˉ} = 40$ мин, $σ = 5$ мин. Необычно ли $52$ мин? да

R02.3 · из жизни

Образец → сам · задача из жизни: какой станок точнее

Средние равны — сравниваем $σ$

Образец: длина болтов, мм. A: $49; 51; 49; 51$ ; B: $47; 49; 49; 55$

$\overset{x}{ˉ}_{A} = \overset{x}{ˉ}_{B} = 50$ по средним не различить

$D_{A} = \frac{1 + 1 + 1 + 1}{4} = 1$ , $σ_{A} = 1$ мм

$D_{B} = \frac{9 + 1 + 1 + 25}{4} = 9$ , $σ_{B} = 3$ мм

$σ_{A} < σ_{B}$ — станок A точнее

Сам

Найдите $σ$ наборов $4; 6$ и $1; 9$ $1$ и $4$
Температура, °C. Город А: $18; 20; 21; 22; 24$ , Б: $15; 19; 21; 23; 27$ . Найдите $σ$ $2$ и $4$
У наборов $1; 5; 5; 5; 9$ и $1; 1; 5; 9; 9$ размах одинаков. У какого $σ$ больше? у второго

3 мин · практика
Образец: на чертеже цветные полосы — $\overset{x}{ˉ} \pm σ$ : у A узкая $[49; 51]$ , у B широкая $[47; 53]$ . У B отклонения $- 3, - 1, - 1, 5$ , квадраты $9, 1, 1, 25$ . Меньший разброс — выше точность станка.
1) Оба средних 5; отклонения $\pm 1$ и $\pm 4$ ; $σ = 1$ и $σ = 4$ — во втором наборе разброс в 4 раза больше. 2) Оба средних 21; А: отклонения $- 3, - 1, 0, 1, 3$ , $D = 20/5 = 4$ , $σ = 2$ ; Б: $- 6, - 2, 0, 2, 6$ , $D = 80/5 = 16$ , $σ = 4$ . Погода устойчивее в городе А.
3) Среднее обоих 5, размах 8. Первый: квадраты $16, 0, 0, 0, 16$ , $D = 6, 4$ ; второй: $16, 16, 0, 16, 16$ , $D = 12, 8$ — $σ$ больше у второго ( $\approx 3, 58$ против $\approx 2, 53$ ). Вывод: размах учитывает только крайние значения, $σ$ — все.

R02.3

Образец → сам · стандартное отклонение по таблице частот

Каждый квадрат — столько раз, сколько встречается

Образец: оценки за контрольную; найдите $σ$

оценка	$3$	$4$	$5$
частота	$2$	$5$	$3$
$(x - \overset{x}{ˉ})^{2}$	$1, 21$	$0, 01$	$0, 81$

$\overset{x}{ˉ} = \frac{3 \cdot 2 + 4 \cdot 5 + 5 \cdot 3}{10} = 4, 1$ $n = 10$

$D = \frac{1 , 21 \cdot 2 + 0 , 01 \cdot 5 + 0 , 81 \cdot 3}{10} = 0, 49$

$σ = 0, 49$ = $0, 7$

Сам: найдите $σ$

$1$ — 1 раз, $3$ — 2 раза, $9$ — 1 раз $3$
$0$ — 5 раз, $2$ — 5 раз $1$
оценка $4$ — 8 раз, $5$ — 2 раза $0, 4$

R02.1 · R02.2 · R02.3

Теория · сводка правил

Меры рассеивания и электронная таблица

Что	Как найти	Единицы
отклонение	$x_{i} - \overset{x}{ˉ}$ , сумма $= 0$	как у данных
дисперсия	$D$ — среднее $(x_{i} - \overset{x}{ˉ})^{2}$	в квадрате
станд. отклонение	$σ = D$	как у данных
полосы	$\overset{x}{ˉ} \pm σ$ , $\overset{x}{ˉ} \pm 2 σ$	необычное — вне $\pm 2 σ$

R02.3

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Где ошибаются	Неверно	Верно
забыли корень	$D = 9$ , значит $σ = 9$ или $σ = 4, 5$	$σ = 9 = 3$
нет квадратов	сумма отклонений $0$ — разброса нет	складываем квадраты отклонений
частоты забыты	оценки $3; 4; 5$ (частоты $2; 5; 3$ ): делим на $3$	делим на $n = 10$ , квадраты × частоты
единицы	$σ = 3 см^{2}$	$σ = 3$ см, $D = 9 см^{2}$

R02.3

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Набор $1; 3; 3; 9$ , найдите $σ$

$\overset{x}{ˉ} = 4$ ,

$D = \frac{9 + 1 + 1 + 25}{4} = 9$

$σ = \frac{9}{2} = 4, 5$

$σ$ — корень из $D$

$σ = 9 = 3$

б) Набор $2; 4; 5; 6; 8$ , найдите $σ$

$\overset{x}{ˉ} = 5$ , отклонения $- 3; - 1; 0; 1; 3$

сумма $0$ , значит $D = 0$ и $σ = 0$

нужны квадраты: $9 + 1 + 0 + 1 + 9 = 20$

$D = 4$ , $σ = 2$

в) $2$ — 4 раза, $7$ — 1 раз; найдите $σ$

$\overset{x}{ˉ} = \frac{2 + 7}{2} = 4, 5$

$\overset{x}{ˉ} = \frac{2 \cdot 4 + 7}{5} = 3$

$D = \frac{1 \cdot 4 + 16}{5} = 4$ , $σ = 2$

R02.3

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

Вычислите

$σ$ , если $D = 16$ $4$
$D$ , если $σ = 0, 3$ $0, 09$
$σ$ набора $4; 8$ $2$

Найдите $σ$ набора

$5; 5; 5; 5$ $0$
$6; 8; 9; 10; 12$ $2$
$2; 4; 4; 10$ $3$

R02.3

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.К каждому числу набора прибавили $10$ . Как изменилось $σ$ ? не изменилось
повыш.Каждое число набора умножили на $3$ . Как изменились $σ$ и $D$ ? $σ$ в 3 раза, $D$ в 9 раз
повыш.Набор из двух чисел: $\overset{x}{ˉ} = 10$ , $σ = 3$ . Найдите числа $7$ и $13$
из жизниРост в классе: $\overset{x}{ˉ} = 160$ см, $σ = 4$ см. Необычен ли рост $170$ см? да

R02.3 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 6 и 8 · вычисления

Ответ — числом или десятичной дробью

1. Найдите значение выражения $\frac{( - 1 , 5 ) ^{2} + 0 , 5 ^{2}}{2}$ .

Ответ: $1, 25$

2. Найдите значение выражения $0, 16 \cdot 81$ .

Ответ: $3, 6$

3. Найдите значение выражения

$\frac{( - 3 ) ^{2} + ( - 1 ) ^{2} + 0 ^{2} + 1 ^{2} + 3 ^{2}}{5}$

Ответ: $2$

R02.3

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Набор $4; 6; 7; 8; 10$

Найдите $\overset{x}{ˉ}$ $7$
Найдите $D$ $4$
Найдите $σ$ $2$
$σ$ другого набора, если $D = 0, 64$ $0, 8$

Вариант 2

Набор $3; 5; 5; 11$

Найдите $\overset{x}{ˉ}$ $6$
Найдите $D$ $9$
Найдите $σ$ $3$
$σ$ другого набора, если $D = 0, 25$ $0, 5$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Почему из дисперсии извлекают корень?
Что показывает полоса $\overset{x}{ˉ} \pm 2 σ$ ?
Когда $σ = 0$ ?

Домашнее задание

Найдите $σ$ набора $4; 6; 6; 12$
Оценки: $3$ — 1 раз, $4$ — 6 раз, $5$ — 3 раза. Найдите $σ$
Тренажёр: reknow.ru/8/veroyatnost/8_veroyatnost_dispersiya.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

VIS8-006 · Стандартное отклонение числового набора

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Вероятность и статистика», 8 класс
Строка, урок	R02 «Описательная статистика. Рассеивание данных», 4 ч · урок 2/4 · тип Н
Единицы → слайды	R02.3 «Стандартное отклонение числового набора» → 2, 4–17 · повторение R02.1 «Отклонения», R02.2 «Дисперсия числового набора» → 3, 4, 11
Результаты	ПР-2 / REQ-5.2 (меры рассеивания: дисперсия и стандартное отклонение) → 4–17 · ПР-5 / REQ-5.5 (числовая прямая) → 5, 7, 8 · ПР-1 / REQ-5.1 (таблицы, диаграммы) → 9–11 · ПР-3 / REQ-5.3 (частоты значений) → 10 · EL-5.5
Вне урока	диаграммы рассеивания — VIS8-007; свойства дисперсии при сдвиге и умножении — только как задача повышенного уровня (сл. 15)
Время	теория 13 мин · практика 32 мин (71 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Стандартное отклонение числового набора

Сегодня вы научитесь

Находить σ

Понимать единицы

Читать полосы

Сравнивать разброс

Среднее, отклонения, квадраты, корни

Набор 3; 5; 7

Вычислите

Дисперсия — в «квадратных» единицах

Корень из дисперсии

Алгоритм в таблице

Образец: найдите σ набора 1; 3; 3; 9

Сам: найдите σ

Где лежит большинство данных

Знаем xˉ и σ — что ещё?

Образец: масса яблок xˉ=150 г, σ=12 г. Необычно ли яблоко 180 г?

Сам

Средние равны — сравниваем σ

Образец: длина болтов, мм. A: 49; 51; 49; 51; B: 47; 49; 49; 55

Сам

Каждый квадрат — столько раз, сколько встречается

Образец: оценки за контрольную; найдите σ

Сам: найдите σ

Меры рассеивания и электронная таблица

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Набор 1; 3; 3; 9, найдите σ

б) Набор 2; 4; 5; 6; 8, найдите σ

в) 2 — 4 раза, 7 — 1 раз; найдите σ

Решите и проверьте

Вычислите

Найдите σ набора

Подумайте и решите

Ответ — числом или десятичной дробью

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

VIS8-006 · Стандартное отклонение числового набора

Находить $σ$

Набор $3; 5; 7$

Образец: найдите $σ$ набора $1; 3; 3; 9$

Сам: найдите $σ$

Знаем $\overset{x}{ˉ}$ и $σ$ — что ещё?

Образец: масса яблок $\overset{x}{ˉ} = 150$ г, $σ = 12$ г. Необычно ли яблоко $180$ г?

Средние равны — сравниваем $σ$

Образец: длина болтов, мм. A: $49; 51; 49; 51$ ; B: $47; 49; 49; 55$

Образец: оценки за контрольную; найдите $σ$

Сам: найдите $σ$

а) Набор $1; 3; 3; 9$ , найдите $σ$

б) Набор $2; 4; 5; 6; 8$ , найдите $σ$

в) $2$ — 4 раза, $7$ — 1 раз; найдите $σ$

Найдите $σ$ набора