Повторение курса 7 класса · урок 3 из 4

Случайные события, вероятность и частота

Вероятность и статистика · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R01 · VIS8-003

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R01 «Повторение курса 7 класса» (4 ч), урок 3/4, тип О (обобщение и систематизация). Фокус урока — единицы R01.5 «Случайные события» и R01.6 «Вероятности и частоты»; уроки 1–2 строки — представление данных, описательная статистика, изменчивость и средние; урок 4 (VIS8-004) — монета и игральная кость, смешанные задачи.
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Теория (12,5 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (шкала: невозможное — маловероятное — случайное — практически достоверное — достоверное) 3 · 5 (классическая вероятность, урна) 2,5 · 8 (частота и её устойчивость, график) 2,5 · 10 (схема «две дороги к вероятности», прогноз) 2,5.
Практика (32,5 мин): разминка (сл. 3) 2,5 · образцы → сам (сл. 6, 7, 9, 11, 12) по 2,5, сл. 13 — 2 · типичные ошибки (сл. 14) 1,5 · найди ошибку (сл. 15) 2 · самопроверка, база (сл. 16) 3 · повышенный (сл. 17) 2 · ОГЭ (сл. 18) 2 · самостоятельная (сл. 19) 4 · итог (сл. 20) 1.
Если не успеваете: задание 3 сл. 13 и задания 3–4 сл. 17 — в ДЗ; сводки не сокращать.

R01.5 · R01.6

Цели урока

Сегодня вы повторите и научитесь

Оценивать события

невозможное, маловероятное, случайное, практически достоверное, достоверное

Находить вероятность

в опытах с равновозможными исходами: $P (A) = \frac{m}{n}$ (ПР-4)

Находить частоту

события по таблице и диаграмме наблюдений (ПР-3, ПР-1)

Делать прогноз

оценивать вероятность по частоте и решать задачи ОГЭ (линия 10)

1 мин · теория
ПР-3 (REQ-5.3): «Находить частоты числовых значений и частоты событий, в том числе по результатам измерений и наблюдений». ПР-4 (REQ-5.4): «Находить вероятности случайных событий в опытах, зная вероятности элементарных событий, в том числе в опытах с равновозможными элементарными событиями». ПР-1 — извлекать информацию из таблиц и диаграмм.
Из характеристики деятельности строки R01: «Решать задачи на определение частоты случайных событий, обсуждение примеров случайных событий, маловероятных и практически достоверных случайных событий, их роли в природе и жизни человека».

повторение: уроки 1–2

Разминка · устно

Средние, размах и доли

Описательная статистика

Среднее чисел $2$ , $4$ , $9$ $5$
Медиана: $3$ , $8$ , $1$ , $6$ , $5$ $5$
Размах: $12$ , $7$ , $19$ , $10$ $12$
$20 %$ — десятичной дробью $0, 2$

Доли — основа вероятности

Какая часть: $12$ из $40$ ? $0, 3$
$\frac{7}{25}$ — десятичной дробью $0, 28$
$0, 15$ от $200$ $30$
$0, 4$ — это сколько из $15$ ? $6$

R01.5

Сводка · случайные события

Шкала вероятностей: от $0$ до $1$

Случайное событие в опыте может наступить, а может и не наступить. Вероятность — число от

0

до

1

, мера его возможности.

3 мин · теория
Случайный опыт — опыт, результат которого нельзя предсказать заранее (бросок кубика, выбор шара, лотерея). Невозможное событие не наступает никогда — вероятность 0; достоверное наступает всегда — вероятность 1. Остальные — случайные: 0 < P < 1.
Маловероятные события (вероятность близка к 0) в одном опыте почти никогда не происходят — на практике мы на них не рассчитываем (выигрыш главного приза). Практически достоверные (близко к 1) — почти всегда (исправная новая лампа проработает день). Вопрос: приведите свои примеры; почему опасно считать маловероятное событие невозможным (аварии, если опытов очень много)?
Шаги: события открываются по одному — класс сначала сам называет место на шкале.

R01.6

Сводка · классическая вероятность

Равновозможные исходы: $P (A) = \frac{m}{n}$

$n$ — число всех равновозможных исходов,
$m$ — число исходов, благоприятствующих $A$

опыт: наугад вынимают один шар

$n = 10$ — шары одинаковы на ощупь

$A$ = «красный»: $m = 3$

$P (A) = \frac{3}{10} = 0, 3$

2,5 мин · теория (учитель решает пример сам)
Элементарные события (исходы) — то, что может получиться в опыте: здесь 10 шаров, у каждого свой номер. Исходы равновозможны, если ни у одного нет преимущества (шары одинаковы, перемешаны). Тогда вероятность события — доля благоприятствующих исходов.
Вопросы классу: P(синий)? (5/10 = 0,5.) P(зелёный)? (0,2.) P(жёлтый)? (0 — невозможное.) P(не жёлтый)? (1 — достоверное.) Сумма вероятностей всех цветов: 0,3 + 0,5 + 0,2 = 1.
Важно: исходы «красный», «синий», «зелёный» не равновозможны — нельзя писать P(красный) = 1/3.

R01.6

Образец → сам · классическая вероятность

Считаем благоприятные исходы

Образец: из карточек $1$ – $20$ наугад берут одну. $P (число делится на 3)$ ?

$n = 20$ , кратных $3$ : $m = 6$ 3, 6, …, 18

$P = \frac{6}{20}$ = $0, 3$

Сам: те же карточки

число простое $0, 4$
число не делится на $4$ $0, 75$
число двузначное, сумма цифр $5$ $0, 05$

R01.5 · R01.6

Образец → сам · перечисляем исходы

Выбор двух дежурных из четырёх

Образец: из Ани, Бори, Веры и Гриши жребием выбирают двух дежурных. $P (Аня дежурит)$ ?

пары: АБ, АВ, АГ, БВ, БГ, ВГ — $n = 6$

с Аней $m = 3$ : $P = \frac{3}{6}$ = $0, 5$

Сам: та же жеребьёвка

дежурят обе девочки $\frac{1}{6}$
мальчик и девочка $\frac{2}{3}$
Боря не дежурит $0, 5$

R01.6

Сводка · частота события

Частота устойчива при большом числе опытов

Частота события $= \frac{m}{N}$
$m$ — сколько раз наступило, $N$ — число опытов

$N$	$m$	частота
$10$	$7$	$0, 7$
$100$	$54$	$0, 54$
$500$	$298$	$0, 596$

Частота колеблется около числа — его и принимают за вероятность:

P \approx 0, 6

2,5 мин · теория
Опыт: канцелярскую кнопку бросают на стол; она падает остриём вверх или на бок. Исходы не равновозможны, посчитать вероятность по формуле m/n нельзя — её оценивают частотой. График — компьютерное моделирование 500 бросков (вероятность в модели 0,6; частота посчитана после каждых 10 бросков).
При малом N частота сильно «прыгает» (0,7 после 10 бросков), при большом — колеблется в узкой полосе около 0,6 (подсвечено). Это проявление закона больших чисел: подробнее — в 9 классе.
Частота — характеристика проведённой серии опытов (у каждой серии своя), вероятность — характеристика самого опыта (одна).

R01.6 · ПР-1

Образец → сам · частота по диаграмме

Как добираются в школу ученики 8 «А»

Образец: опросили всех $25$ учеников класса. Найдите частоту ответа «пешком».

$N = 14 + 8 + 3 = 25$ , $m = 14$

частота $= \frac{14}{25}$ = $0, 56$

Сам: по той же диаграмме

частота ответа «автобус» $0, 32$
частота ответа «не пешком» $0, 44$
В 8 «Б» пешком ходят $12$ из $20$ . Где частота больше? в 8 «Б»: $0, 6$

R01.6

Сводка · как найти вероятность

Две дороги к вероятности и прогноз

2,5 мин · теория
Если исходы опыта равновозможны и их можно перечислить (урна, карточки, жребий, кубик) — классическая формула m/n. Если нет (кнопка, брак на заводе, всхожесть семян, попадание в баскетболе) — вероятность оценивают частотой в большой серии опытов: m/N.
Прогноз: зная вероятность (или частоту), ожидаем, что в N опытах событие наступит примерно N · P раз. Пример: P(брак) = 0,02, партия 1000 деталей — около 20 бракованных (не обязательно ровно 20!).
Вопрос: какой дорогой найти вероятность того, что случайно выбранный житель города — левша? (Только частотой по данным наблюдений.)

R01.6

Образец → сам · оценка вероятности и прогноз

Из частоты — в прогноз

Образец: из $800$ проверенных лампочек $12$ — с браком. Сколько бракованных ожидать в партии из $5000$ ?

частота брака $\frac{12}{800} = 0, 015$ ≈ вероятность

$5000 \cdot 0, 015$ = $75$ примерно

Сам

Из $500$ семян взошло $460$ . Оцените вероятность всхода $0, 92$
Сколько семян взойдёт из $2000$ ? $\approx 1840$
Баскетболист забил $34$ штрафных из $40$ . Сколько забьёт из $60$ ? $\approx 51$

R01.6

Образец → сам · обратная задача

Знаем вероятность — находим число исходов

Образец: в коробке $20$ шаров, вероятность вынуть синий равна $0, 35$ . Сколько синих шаров?

$\frac{m}{20} = 0, 35$ формула $P = \frac{m}{n}$

$m = 20 \cdot 0, 35$ = $7$

Сам

В классе $25$ учеников, $P (вызовут девочку) = 0, 52$ . Сколько девочек? $13$
В лотерее $400$ билетов, $P (выигрыш) = 0, 05$ . Выигрышных? $20$
В урне $6$ красных шаров, $P (красный) = 0, 4$ . Сколько всего шаров? $15$

R01.5 · R01.6

Образец → сам · задача из жизни

Маловероятно для одного — заметно для многих

Образец: новая лампа перегорает в первый день с вероятностью $0, 001$ . В школе включили $2000$ новых ламп. Сколько примерно перегорит?

$2000 \cdot 0, 001$ = $2$ лампы прогноз $N \cdot P$

Сам

Брак — с вероятностью $0, 0005$ . Сколько бракованных среди $40000$ изделий? $\approx 20$
Датчик ложно срабатывает с вероятностью $0, 01$ в сутки. Сколько ложных тревог за год? $\approx 4$
Человек родился $29$ февраля: какое это событие? маловероятное

2 мин · практика
Образец: для одной лампы событие маловероятное — на него «не рассчитывают»; но на 2000 ламп ожидается около 2 перегоревших — поэтому завхоз держит запасные лампы. Маловероятные события в массовых процессах обязательно происходят (аварии, брак, ошибки) — отсюда страховка, запасы, контроль качества.
1) 40 000 · 0,0005 = 20. 2) 365 · 0,01 = 3,65 ≈ 4. 3) 29 февраля бывает раз в 4 года: примерно 1 день из 1461, вероятность ≈ 0,0007 — маловероятное (но не невозможное: в России таких людей десятки тысяч).

R01.5 · R01.6

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Где ошибаются	Неверно	Верно
делят на число неблагоприятных: $3$ красных и $7$ синих	$P (красный) = \frac{3}{7}$	$\frac{3}{3 + 7} = 0, 3$
исходы не равновозможны: билет выиграл или нет	$P (выигрыш) = \frac{1}{2}$	$\frac{выигрышных}{всех билетов}$
частота короткой серии = вероятность: $7$ орлов из $10$	$P (орёл) = 0, 7$	частота $0, 7$ ; $P = 0, 5$

R01.5 · R01.6

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Карточки $1$ – $10$ . $P (число чётное и больше 6)$

чётных $5$ , больше $6$ — $4$ : $\frac{5 + 4}{10} = 0, 9$

нужны оба условия сразу: $8$ и $10$

$P = \frac{2}{10} = 0, 2$

б) Из $200$ деталей $6$ с браком. Частота годных?

$\frac{6}{200} = 0, 03$

это частота брака; годных $194$

$\frac{194}{200} = 0, 97$

в) Частота брака $0, 04$ . Сколько брака в партии $2500$ ?

$2500 : 0, 04 = 62500$

брака меньше партии — умножаем

$2500 \cdot 0, 04 = 100$

2 мин · практика
Сначала видны только «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Условие «чётное и больше 6» — оба сразу: только 8 и 10, P = 0,2. Ученик сложил количества: в сумму попали карточки 2, 4, 6, 7, 9, а 8 и 10 посчитаны дважды; проверка — перечислить подходящие карточки. б) Перепутаны события: 6/200 — частота брака, частота годных 194/200 = 0,97 = 1 − 0,03. в) Деление вместо умножения: ответ больше всей партии — сигнал ошибки; прогноз N · P = 100.

R01.5 · R01.6

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

Вероятность

В классе $30$ учеников, $12$ мальчиков. $P (дежурит девочка)$ $0, 6$
В пакете $4$ яблока, $6$ груш, $10$ слив. $P (груша)$ $0, 3$
Числа $1$ – $50$ : число оканчивается на $7$ $0, 1$

Частота и прогноз

Из $400$ опрошенных $140$ любят чай. Частота $0, 35$
Частота попадания $0, 8$ . Сколько попаданий из $45$ ? $\approx 36$
$12$ шаров, $P (белый) = 0, 25$ . Белых? $3$

R01.5 · R01.6

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Белых шаров в $3$ раза больше, чем чёрных. $P (чёрный)$ $0, 25$
повыш. $10$ красных и несколько синих шаров, $P (красный) = 0, 4$ . Синих? $15$
повыш.Числа $1$ – $100$ : двузначное с одинаковыми цифрами $0, 09$
из жизниИз $2000$ абонентов $1600$ продлили подписку. Сколько продлят из $3500$ ? $\approx 2800$

R01.6 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 10

Ответ — десятичной дробью

1. В фирме такси свободно $20$ машин: $3$ красные, $12$ жёлтых и $5$ зелёных. На вызов выехала случайная из них. Найдите вероятность того, что приедет зелёное такси.

$0, 25$

2. На экзамене $50$ билетов, Тимур не выучил $7$ из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.

$0, 86$

3. В среднем из $1000$ садовых насосов, поступивших в продажу, $5$ подтекают. Найдите вероятность того, что случайно выбранный насос не подтекает.

$0, 995$

Проверка ответа: вероятность — всегда от

0

до

1

.

R01.5 · R01.6

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

В урне $7$ красных и $13$ синих шаров. $P (красный)$ $0, 35$
Числа $1$ – $40$ : число делится на $5$ $0, 2$
Из $250$ семян взошло $225$ . Частота всхода $0, 9$
$30$ шаров, $P (жёлтый) = 0, 2$ . Жёлтых? $6$

Вариант 2

В урне $9$ красных и $16$ синих шаров. $P (красный)$ $0, 36$
Числа $1$ – $60$ : число делится на $4$ $0, 25$
Из $400$ деталей $12$ с браком. Частота брака $0, 03$
$40$ шаров, $P (зелёный) = 0, 15$ . Зелёных? $6$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Чем маловероятное событие отличается от невозможного?
Когда можно считать $P = \frac{m}{n}$ ?
Чем частота отличается от вероятности?

Домашнее задание

Карточки $1$ – $30$ : $P (число делится на 4)$
Из $600$ батареек $9$ с браком. Сколько брака в партии $4000$ ?
Тренажёр: reknow.ru/8/veroyatnost/8_veroyatnost_elementarnye-sobytiya.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

VIS8-003 · Случайные события, вероятность и частота

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Вероятность и статистика», 8 класс
Строка, урок	R01 «Повторение курса 7 класса», 4 ч · урок 3/4 · тип О
Единицы → слайды	R01.5 «Случайные события» → 2, 4, 7, 13–15 · R01.6 «Вероятности и частоты» → 2, 5–19 · R01.2, R01.4 (разминка) → 3
Результаты	ПР-1 (REQ-5.1) → 9 · ПР-3 (REQ-5.3) → 8, 9, 11, 16, 19 · ПР-4 (REQ-5.4) → 5–7, 12, 16–19
Вне урока	представление данных, описательная статистика, изменчивость и средние — VIS8-001, VIS8-002; монета и игральная кость — VIS8-004
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Случайные события, вероятность и частота

Сегодня вы повторите и научитесь

Оценивать события

Находить вероятность

Находить частоту

Делать прогноз

Средние, размах и доли

Описательная статистика

Доли — основа вероятности

Шкала вероятностей: от 0 до 1

Равновозможные исходы: P(A)=nm​

Считаем благоприятные исходы

Образец: из карточек 1–20 наугад берут одну. P(число делится на 3)?

Сам: те же карточки

Выбор двух дежурных из четырёх

Образец: из Ани, Бори, Веры и Гриши жребием выбирают двух дежурных. P(Аня дежурит)?

Сам: та же жеребьёвка

Частота устойчива при большом числе опытов

Как добираются в школу ученики 8 «А»

Образец: опросили всех 25 учеников класса. Найдите частоту ответа «пешком».

Сам: по той же диаграмме

Две дороги к вероятности и прогноз

Из частоты — в прогноз

Образец: из 800 проверенных лампочек 12 — с браком. Сколько бракованных ожидать в партии из 5000?

Сам

Знаем вероятность — находим число исходов

Образец: в коробке 20 шаров, вероятность вынуть синий равна 0,35. Сколько синих шаров?

Сам

Маловероятно для одного — заметно для многих

Образец: новая лампа перегорает в первый день с вероятностью 0,001. В школе включили 2000 новых ламп. Сколько примерно перегорит?

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Карточки 1–10. P(число чётное и больше 6)

б) Из 200 деталей 6 с браком. Частота годных?

в) Частота брака 0,04. Сколько брака в партии 2500?

Решите и проверьте

Вероятность

Частота и прогноз

Подумайте и решите

Ответ — десятичной дробью

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

VIS8-003 · Случайные события, вероятность и частота

Шкала вероятностей: от $0$ до $1$

Равновозможные исходы: $P (A) = \frac{m}{n}$

Образец: из карточек $1$ – $20$ наугад берут одну. $P (число делится на 3)$ ?

Образец: из Ани, Бори, Веры и Гриши жребием выбирают двух дежурных. $P (Аня дежурит)$ ?

Образец: опросили всех $25$ учеников класса. Найдите частоту ответа «пешком».

Образец: из $800$ проверенных лампочек $12$ — с браком. Сколько бракованных ожидать в партии из $5000$ ?

Образец: в коробке $20$ шаров, вероятность вынуть синий равна $0, 35$ . Сколько синих шаров?

Образец: новая лампа перегорает в первый день с вероятностью $0, 001$ . В школе включили $2000$ новых ламп. Сколько примерно перегорит?

а) Карточки $1$ – $10$ . $P (число чётное и больше 6)$

б) Из $200$ деталей $6$ с браком. Частота годных?

в) Частота брака $0, 04$ . Сколько брака в партии $2500$ ?