Итоговое повторение · урок 12 из 12 · обобщение

Итоговый урок: выбор метода решения задачи

Геометрия · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R07 · GEOM9U-102

0,5 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R07 «Повторение, обобщение, систематизация знаний» (12 ч), урок 12/12 — последний урок курса, единица R07.1. Тип О (обобщение): теория — короткими сводками, основное время — задачи. Сегодня связываем разделы курса: подобие, решение треугольников, векторы, метод координат, окружность, правильные многоугольники.
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Теория (13): сл. 1 титул 0,5 · 2 цели 0,5 · 4 четыре метода 3 · 5 одна задача — три способа 3 · 6 схема выбора 2,5 · 10 сводка «окружность и круг» 3,5.
Практика (32): 3 разминка 2 · 7, 8, 9, 11, 12 образцы по 2,5 (12,5) · 13 ошибки 1,5 · 14 найди ошибку 2 · 15 база 2,5 · 16 повышенный 2,5 · 17 ОГЭ 2 · 18 задача из жизни 2 · 19 самостоятельная 4 · 20 итог 0,5 · 21 ДЗ 0,5.
Если времени мало: задания 5–6 сл. 16 и «сам» сл. 18 — в ДЗ; сводки и самостоятельную не выбрасывать.

R07.1

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Видеть несколько путей

решать одну задачу тригонометрией, векторами и координатами (ПР-3, ПР-9, ПР-14)

Выбирать метод

по данным задачи: что дано, что найти, какая фигура (R07.1)

Окружность и круг

отрезки хорд, секущих и касательных; правильные многоугольники; $C$ и $S$ круга (ПР-8, ПР-16)

Строить модель

задача из жизни на координатной плоскости (ПР-10, ПР-11, ПР-19)

0,5 мин · теория
Ученик научится: выбирать метод решения задачи (R07.1, вид деятельности строки — «Выбирать метод для решения задачи»); применять теоремы синусов и косинусов (ПР-3), формулы площади (ПР-4); пользоваться координатами вектора и скалярным произведением (ПР-12, ПР-14); уравнениями прямой и окружности, расстоянием от точки до прямой (ПР-9, ПР-10); теоремами о хордах, секущих и касательной (ПР-8); формулами правильного многоугольника и круга (ПР-16); строить модель практической задачи (ПР-11, ПР-19).

R07.1 · опоры курса 7–9

Разминка · устно

Восемь быстрых вопросов

1.

cos 12 0^{\circ} = ?

- \frac{1}{2}

2.

a (2; - 3)

,

b (3; 2)

.

a \cdot b = ?

0

3. Расстояние между

A (1; 2)

и

B (4; 6)

?

5

4.

(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} = 9

: центр и

R

?

(2; - 1)

,

3

5. Хорды:

A E = 2

,

EB = 6

,

CE = 3

.

E D = ?

4

6. Угол правильного шестиугольника?

12 0^{\circ}

7. Длина окружности радиуса

5

?

10 π

8. Подобны,

k = 3

,

S_{1} = 4

.

S_{2} = ?

36

R07.1 · сводка

Сводка · четыре метода курса

Чем решают геометрические задачи

Подобие и свойства фигур

признаки, вписанные углы, отрезки в окружности

\frac{S _{1}}{S _{2}} = k^{2}, A E \cdot EB = CE \cdot E D

Тригонометрия

стороны и углы треугольника

c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos C, \frac{a}{sin A} = 2 R

Векторы

середины, медианы, углы, перпендикулярность

a \cdot b = ∣ a ∣ ∣ b ∣ cos φ = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}

Координаты

прямые углы, длины, прямые и окружности

d^{2} = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}

R07.1 · ПР-3 · ПР-9 · ПР-14

Демонстрация · одна задача — три способа

$A B = 4$ , $A C = 6$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите $BC$ .

Способ 1 · теорема косинусов

$B C^{2} = 16 + 36 - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2} = 28$

Способ 2 · координаты

$B (4; 0)$ , $C (3; 33)$ : $B C^{2} = 1^{2} + (33)^{2} = 28$

Способ 3 · векторы

$BC = A C - A B$ : $B C^{2} = 36 - 2 \cdot 12 + 16 = 28$

BC = 28 = 27

— ответ один, путь выбираем по условию

R07.1 · сводка

Схема · как выбрать метод

Признак в условии → метод

в условии	метод
стороны и углы треугольника	теоремы синусов и косинусов, $S = \frac{1}{2} ab sin C$
квадрат, прямоугольник, прямой угол, середины сторон	координаты: оси — по сторонам
медиана, «докажите перпендикулярность», угол между прямыми	векторы и скалярное произведение
хорды, секущие, касательные, вписанные углы	подобие и отрезки в окружности
правильный многоугольник, дуга, сектор	$R$ , $r$ ; $C = 2 π R$ , $S = π R^{2}$
даны уравнения прямых и окружностей	система уравнений, расстояние до прямой

ПР-9 · ПР-14

Образец → сам · метод координат

Перпендикулярность в квадрате

Образец: квадрат $A BC D$ со стороной $4$ , $M$ — середина $BC$ , точка $N$ на $C D$ , $CN = 1$ . Докажите: $A M ⊥ MN$ .

$A (0; 0)$ , $M (4; 2)$ , $N (3; 4)$ оси — по $A B$ и $A D$
$M A (- 4; - 2)$ , $MN (- 1; 2)$ конец минус начало
$M A \cdot MN = 4 - 4 = 0$ скалярное произведение в координатах
$A M ⊥ MN$ ∎векторы ненулевые, произведение $0$

Сам:

Квадрат $A BC D$ , $M$ и $N$ — середины $BC$ и $C D$ . Найдите $cos ∠ M A N$ . $0, 8$
$A (1; 2)$ , $B (4; 6)$ , $C (8; 3)$ . Найдите $∠ B$ . $9 0^{\circ}$
Прямоугольник $6 \times 4$ . Косинус острого угла между диагоналями? $\frac{5}{13}$

ПР-12 · ПР-14

Образец → сам · векторы

Медиана через векторы

Образец: $A B = 6$ , $A C = 4$ , $∠ A = 12 0^{\circ}$ , $A M$ — медиана. Найдите $A M$ .

$A M = \frac{1}{2} (a + b)$ правило параллелограмма: $A D = 2 A M$
$a \cdot b = 6 \cdot 4 \cdot (- \frac{1}{2}) = - 12$ определение скалярного произведения
$A M^{2} = \frac{1}{4} (36 - 24 + 16) = 7$ $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a \cdot b + b^{2}$
$A M = 7$ длина — корень из скалярного квадрата

Сам:

$∣ a ∣ = 3$ , $∣ b ∣ = 5$ , угол $12 0^{\circ}$ . Найдите $∣ a - b ∣$ . $7$
$∣ a ∣ = 4$ , $∣ b ∣ = 6$ , угол $6 0^{\circ}$ . Найдите $a \cdot b$ . $12$
$A B = 4$ , $A C = 6$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите медиану $A M$ . $19$

ПР-3 · ПР-4

Образец → сам · решение треугольников

Диагонали и площадь параллелограмма

Образец: стороны параллелограмма $5$ и $8$ , угол $6 0^{\circ}$ . Найдите диагонали и площадь.

$B D^{2} = 25 + 64 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} = 49$ , $B D = 7$ теорема косинусов в $△ A B D$
$A C^{2} = 25 + 64 + 40 = 129$ , $A C = 129$ в $△ A BC$ : $∠ B = 12 0^{\circ}$ , $cos 12 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$
$S = 5 \cdot 8 \cdot sin 6 0^{\circ} = 203$ $S = ab sin α$

Сам:

Стороны параллелограмма $3$ и $5$ , угол $12 0^{\circ}$ . Большая диагональ? $7$
Ромб со стороной $6$ и углом $6 0^{\circ}$ . Площадь? $183$
Диагонали параллелограмма $6$ и $8$ , угол между ними $3 0^{\circ}$ . Площадь? $12$

ПР-7 · ПР-8 · ПР-16 · сводка

Сводка · окружность, круг, правильные многоугольники

Формулы, которые понадобятся дальше

Хорды, секущие, касательная

A E \cdot EB = CE \cdot E D, P T^{2} = P A \cdot PB

Углы в окружности

вписанный угол

= \frac{1}{2}

дуги
угол касательной и хорды

= \frac{1}{2}

дуги

Круг и его части

C = 2 π R, S = π R^{2}, S_{сект} = \frac{π R ^{2} α}{36 0 ^{\circ}}

Правильный $n$ -угольник

R = \frac{a}{2 sin \frac{18 0 ^{\circ}}{n}}

, шестиугольник:

R = a

ПР-8

Образец → сам · отрезки в окружности

Касательная и секущая

Образец: $PT$ — касательная, $P A B$ — секущая, $P A = 4$ , $A B = 5$ . Найдите $PT$ .

$PB = 4 + 5 = 9$ $A$ лежит между $P$ и $B$
$P T^{2} = P A \cdot PB = 36$ теорема о квадрате касательной
$PT = 6$ длина положительна

Сам:

Хорды $A B$ и $C D$ пересекаются в $E$ : $A E = 3$ , $EB = 8$ , $CE = 4$ . Найдите $E D$ . $6$
Секущие $P A B$ и $PC D$ : $P A = 3$ , $PB = 12$ , $PC = 4$ . Найдите $P D$ . $9$
$PT = 4$ — касательная, $P A = 2$ . Найдите хорду $A B$ . $6$

ПР-16 · ПР-17

Образец → сам · правильный многоугольник и круг

Шестиугольник в круге

Образец: правильный шестиугольник со стороной $4$ вписан в окружность. Найдите площадь круга вне шестиугольника.

$R = a = 4$ $△ O A B$ равносторонний: угол $6 0^{\circ}$
$S_{круга} = π \cdot 4^{2} = 16 π$ $S = π R^{2}$
$S_{6} = 6 \cdot \frac{3}{4} \cdot 16 = 243$ шесть правильных треугольников
$S = 16 π - 243 \approx 8, 7$ разность площадей

Сам:

Квадрат со стороной $6$ вписан в окружность. Длина окружности? $62 π$
Правильный треугольник со стороной $6$ . Найдите $r$ и $R$ . $3$ ; $23$
Сектор $6 0^{\circ}$ , $R = 6$ . Площадь и длина дуги? $6 π$ ; $2 π$

ПР-8 · ПР-12

Осторожно · типичные ошибки

Так нельзя

Длина суммы векторов

$∣ a + b ∣ = ∣ a ∣ + ∣ b ∣$

Верно: $∣ a + b ∣^{2} = a^{2} + 2 a \cdot b + b^{2}$ ; равенство — только для сонаправленных.

Координаты вектора

$A B = (x_{A} - x_{B}; y_{A} - y_{B})$

Верно: конец минус начало: $(x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A})$ .

Касательная и секущая

$P T^{2} = P A \cdot A B$

Верно: $P T^{2} = P A \cdot PB$ — оба отрезка от точки $P$ .

ПР-10 · ПР-14 · ПР-16

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Радиус окружности $x^{2} + y^{2} - 6 x + 4 y = 3$ ?

$R = 3$

Сначала выделить полные квадраты:

$(x - 3)^{2} + (y + 2)^{2} = 16$ , $R = 4$

б) $∣ a ∣ = 2$ , $∣ b ∣ = 3$ , угол $6 0^{\circ}$ . Найдите $∣ a + b ∣$ .

$∣ a + b ∣^{2} = 4 + 9 = 13$

Забыт член $2 a \cdot b = 6$

$∣ a + b ∣ = 19$

в) Сектор $9 0^{\circ}$ , $R = 4$ . Площадь?

$S = \frac{90}{360} \cdot 2 π \cdot 4 = 2 π$

Взята длина окружности, а не площадь круга

$S = \frac{1}{4} \cdot 16 π = 4 π$

R07.1

Задания с самопроверкой · база

Решите и сверьте ответ

база $A (- 1; 3)$ , $B (5; - 5)$ . Найдите $A B$ и середину $A B$ . $10$ ; $(2; - 1)$
база $a (3; 4)$ , $b (- 4; 3)$ . Угол между векторами? $9 0^{\circ}$
базаСтороны $7$ и $8$ , угол между ними $12 0^{\circ}$ . Третья сторона? $13$

базаХорды: $A E = 4$ , $EB = 6$ , $CE = 3$ . Найдите $E D$ . $8$
базаПлощадь круга радиуса $3$ ? $9 π \approx 28, 3$
базаОкружность с центром $(1; - 2)$ проходит через $(4; 2)$ . Найдите $R$ . $5$

R07.1

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Выберите метод сами

повыш.Угол между $a (1; 2)$ и $b (3; 1)$ ? $4 5^{\circ}$
повыш.При каком $m$ векторы $a (m; 3)$ и $b (2; - 4)$ перпендикулярны? $6$
повыш.Расстояние от $O (0; 0)$ до прямой $3 x + 4 y - 15 = 0$ ? $3$

повыш.Точки пересечения $x^{2} + y^{2} = 25$ и $y = x + 1$ . $(3; 4)$ , $(- 4; - 3)$
труднаяТрапеция: основания $3$ и $7$ , диагонали $6$ и $8$ . Площадь? $24$
трудная $A (0; 0)$ , $B (8; 0)$ , $C (2; 6)$ . Радиус описанной окружности? $25$

ОГЭ · R07.1

Формат ОГЭ · линия 24

Доказательство: параллелограмм — прямоугольник

24. В параллелограмме $A BC D$ точка $E$ — середина $BC$ , $E A = E D$ . Докажите, что $A BC D$ — прямоугольник.

$A B = C D$ , $BE = EC$ , $A E = D E$ свойство параллелограмма; $E$ — середина; дано
$△ A BE = △ D CE$ ⇒ $∠ B = ∠ C$ третий признак равенства (по трём сторонам)
$∠ B + ∠ C = 18 0^{\circ}$ ⇒ $∠ B = 9 0^{\circ}$ ∎односторонние углы при $A B ∥ C D$ ; параллелограмм с прямым углом — прямоугольник

Сам: диагонали параллелограмма равны — докажите, что это прямоугольник. $△ A B D = △ D C A$ по трём сторонам ⇒ $∠ A = ∠ D = 9 0^{\circ}$

ПР-10 · ПР-11 · ПР-19

Задача из жизни · зона покрытия вышки

Где на дороге есть связь?

Вышка в точке $O (0; 0)$ покрывает круг радиуса $5$ км. Дорога — прямая $3 x + 4 y = 20$ . Какой длины участок дороги в зоне связи?

$d = \frac{∣3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 - 20∣}{3 ^{2} + 4 ^{2}} = 4 < 5$ расстояние от точки до прямой: дорога пересекает круг
$\frac{l}{2} = 5^{2} - 4^{2} = 3$ , $l = 6$ кмтеорема Пифагора; $O H$ — перпендикуляр к хорде

Сам: дорога $x + y = 6$ , радиус $5$ км. Длина участка? $27 \approx 5, 3$ км

R07.1

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$A (2; - 1)$ , $B (- 4; 7)$ . Найдите $A B$ . $10$
$∣ a ∣ = 2$ , $∣ b ∣ = 5$ , угол $12 0^{\circ}$ . Найдите $a \cdot b$ . $- 5$
$PT$ — касательная, $P A = 3$ , $PB = 12$ . Найдите $PT$ . $6$
Площадь правильного шестиугольника со стороной $2$ ? $63$

Вариант 2

$A (- 3; 5)$ , $B (3; - 3)$ . Найдите $A B$ . $10$
$∣ a ∣ = 4$ , $∣ b ∣ = 3$ , угол $13 5^{\circ}$ . Найдите $a \cdot b$ . $- 62$
Хорды: $A E = 2$ , $EB = 9$ , $CE = 3$ . Найдите $E D$ . $6$
Площадь сектора $4 5^{\circ}$ круга радиуса $4$ ? $2 π$

рефлексия

Итог урока

Главное за урок — и за курс

Метод — по условию

стороны и углы →
тригонометрия
прямые углы →
координаты

Проверка

вторым способом
(сл. 5)
и оценкой
«на глаз»

Ответ

корни —
в простейшем виде

π

— точно
и приближённо

Какой метод курса для вас самый надёжный — и почему?

ДЗ

Домашнее задание

Потренируйтесь дома

Задачи

$A B = 5$ , $A C = 8$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите $BC$ тремя способами.
Квадрат $A BC D$ , $M$ и $N$ — середины $A B$ и $BC$ . Докажите: $D M ⊥ A N$ .
Найдите точки пересечения $x^{2} + y^{2} = 10$ и $y = 2 x - 5$ .

Тренажёр

Геометрия 9 класс (углублённый): все разделы

reknow.ru/9/geometry/9_geometry_adv_index.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9U-102 · Обобщение и систематизация по теме «Повторение, обобщение, систематизация знаний»

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R07 «Повторение, обобщение, систематизация знаний», 12 ч · урок 12/12 · тип О (обобщение)
Единицы → слайды	R07.1 «Повторение основных понятий и методов курсов 7–9 классов…» → 2–21 (сегодня — выбор метода: подобие, тригонометрия, векторы, координаты, окружность и круг)
Результаты	ПР-3, ПР-4 → 4, 5, 9, 15 · ПР-8 → 10, 11, 13, 19 · ПР-9, ПР-10 → 5, 7, 14, 16, 18 · ПР-12, ПР-14 → 5, 7, 8, 13, 16, 19 · ПР-16, ПР-17 → 10, 12, 14, 15, 19 · ПР-11, ПР-19 → 18
ОГЭ	линия 24 → 17; линии 16, 17, 18, 23, 25 — в заданиях сл. 9, 11, 12, 16
Вне урока	последний урок курса; в 10 классе — стереометрия: координаты и векторы в пространстве
Время	теория 13 мин · практика 32 мин (71 %); «Образец → сам» — 5 (сл. 7, 8, 9, 11, 12)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Итоговый урок: выбор метода решения задачи

Сегодня вы научитесь

Видеть несколько путей

Выбирать метод

Окружность и круг

Строить модель

Восемь быстрых вопросов

Чем решают геометрические задачи

Подобие и свойства фигур

Тригонометрия

Векторы

Координаты

AB=4, AC=6, ∠A=60∘. Найдите BC.

Способ 1 · теорема косинусов

Способ 2 · координаты

Способ 3 · векторы

Признак в условии → метод

Перпендикулярность в квадрате

Образец: квадрат ABCD со стороной 4, M — середина BC, точка N на CD, CN=1. Докажите: AM⊥MN.

Сам:

Медиана через векторы

Образец: AB=6, AC=4, ∠A=120∘, AM — медиана. Найдите AM.

Сам:

Диагонали и площадь параллелограмма

Образец: стороны параллелограмма 5 и 8, угол 60∘. Найдите диагонали и площадь.

Сам:

Формулы, которые понадобятся дальше

Хорды, секущие, касательная

Углы в окружности

Круг и его части

Правильный n-угольник

Касательная и секущая

Образец: PT — касательная, PAB — секущая, PA=4, AB=5. Найдите PT.

Сам:

Шестиугольник в круге

Образец: правильный шестиугольник со стороной 4 вписан в окружность. Найдите площадь круга вне шестиугольника.

Сам:

Так нельзя

Длина суммы векторов

Координаты вектора

Касательная и секущая

Где ошибся ученик?

а) Радиус окружности x2+y2−6x+4y=3?

б) ∣a∣=2, ∣b∣=3, угол 60∘. Найдите ∣a+b∣.

в) Сектор 90∘, R=4. Площадь?

Решите и сверьте ответ

Выберите метод сами

Доказательство: параллелограмм — прямоугольник

Где на дороге есть связь?

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Главное за урок — и за курс

Метод — по условию

Проверка

Ответ

Потренируйтесь дома

Задачи

Тренажёр

GEOM9U-102 · Обобщение и систематизация по теме «Повторение, обобщение, систематизация знаний»

$A B = 4$ , $A C = 6$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите $BC$ .

Образец: квадрат $A BC D$ со стороной $4$ , $M$ — середина $BC$ , точка $N$ на $C D$ , $CN = 1$ . Докажите: $A M ⊥ MN$ .

Образец: $A B = 6$ , $A C = 4$ , $∠ A = 12 0^{\circ}$ , $A M$ — медиана. Найдите $A M$ .

Образец: стороны параллелограмма $5$ и $8$ , угол $6 0^{\circ}$ . Найдите диагонали и площадь.

Правильный $n$ -угольник

Образец: $PT$ — касательная, $P A B$ — секущая, $P A = 4$ , $A B = 5$ . Найдите $PT$ .

Образец: правильный шестиугольник со стороной $4$ вписан в окружность. Найдите площадь круга вне шестиугольника.

а) Радиус окружности $x^{2} + y^{2} - 6 x + 4 y = 3$ ?

б) $∣ a ∣ = 2$ , $∣ b ∣ = 3$ , угол $6 0^{\circ}$ . Найдите $∣ a + b ∣$ .

в) Сектор $9 0^{\circ}$ , $R = 4$ . Площадь?