Повторение и обобщение · урок 11 из 12

Задачи ОГЭ 24 и 25: доказательство и опорные конфигурации

Геометрия · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R07 · GEOM9U-101

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Паспорт: R07 «Повторение, обобщение, систематизация знаний» (12 ч), урок 11/12, единица R07.1. Тип урока — О (обобщение): по карте повторения (GEOM9U-091, сл. 3) уроки 10–12 — задачи ОГЭ части 2 и итоговая работа; сегодня — линии 24 (доказательство) и 25 (задача повышенной сложности).
Теория (12,5): титул 0,5 · цели 0,5 · оформление задачи 24 3 · «что доказать → чем пользоваться» 3 · опорные конфигурации 25 4 · план решения 25 1,5.
Практика (32,5): разминка 2 · образцы → сам 2,5 + 2,5 + 2,5 + 2,5 + 3 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2,5 · повышенный 2,5 · ОГЭ 2,5 · из жизни 1,5 · самостоятельная 4 · итог 1.
На титуле: секущая и касательная к окружности, треугольник — герои задач 24–25. Вопрос классу: сколько баллов дают задачи 24 и 25? (по 2 балла).

R07.1

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Оформлять доказательство

каждый шаг — со ссылкой на теорему или признак (ОГЭ 24)

Узнавать опорную конфигурацию

подобие, вписанные углы, касательная и секущая (ПР-7, ПР-8)

Находить отношения отрезков

теорема Менелая и подобие (ПР-6)

Решать задачу 25

выбрать метод, составить уравнение, проверить ответ (ПР-19)

0,5 мин · теория
ПР-6: «Использовать теоремы Чевы и Менелая при решении задач». ПР-7: вписанные углы, углы между хордами и секущими, угол между касательной и хордой. ПР-8: произведения отрезков хорд и секущих, квадрат касательной. ПР-19: строить математические модели и проводить вычисления.
Вид деятельности ФРП R07: «Решать задачи на повторение основных понятий, иллюстрацию связей между различными частями курса. Выбирать метод для решения задачи».

повторение · 8–9 класс

Разминка · устно

Семь быстрых вопросов

Треугольники подобны, $k = 3$ . Отношение площадей? $9$
Хорды пересекаются в $E$ : $A E = 4$ , $EB = 6$ , $CE = 3$ . $E D$ ? $8$
Касательная $6$ , внешняя часть секущей $4$ . Вся секущая? $9$
Вписанный угол опирается на дугу $14 0^{\circ}$ . Угол? $7 0^{\circ}$

Угол между касательной и хордой, стягивающей дугу $10 0^{\circ}$ ? $5 0^{\circ}$
Высота к гипотенузе делит её на $4$ и $9$ . Высота? $6$
Биссектриса делит сторону на $3$ и $5$ , меньшая из двух других сторон $6$ . Большая? $10$

R07.1 · ОГЭ 24

Сводка · как оформить задачу 24

Доказательство на 2 балла

Порядок записи

Чертёж по условию, равные элементы отмечены.
Дано и Доказать — своими словами, символами.
Каждый шаг: факт ← почему (аксиома, теорема, признак, условие).
Последняя строка — то, что требовалось доказать.

Балл	Критерий
2	доказательство верное, все шаги обоснованы
1	верный ход, есть неточности в обоснованиях
0	другие случаи

Не засчитывается: «на рисунке видно», «очевидно», ссылка на то, что доказываем.

3 мин · теория
Критерии — по образцу демоверсии ФИПИ: за задачу 24 ставят 2, 1 или 0 баллов. Чертёж без обоснований баллов не даёт.
Показать на доске двухколоночную запись «утверждение | обоснование» — так ученик сам видит, где шаг «висит» без причины.
Вопрос классу: можно ли ссылаться на свойства, доказанные на уроке, но не названные в учебнике (например, «биссектрисы соседних углов параллелограмма перпендикулярны»)? Ответ: лучше доказать в одну строку — это недолго.

R07.1 · ОГЭ 24

Сводка · что доказать → чем пользоваться

Пять целей — пять наборов инструментов

Нужно доказать	Чем пользоваться
Равенство отрезков или углов	равные треугольники, равнобедренный треугольник, вписанные углы на одну дугу
Параллельность	накрест лежащие или соответственные углы, средняя линия, обратная теорема Фалеса
Подобие, пропорция	два угла (часто — вписанные), свойство биссектрисы, $D C^{2} = D A \cdot D B$
Четыре точки на окружности	$∠ A + ∠ C = 18 0^{\circ}$ или отрезок виден под равными углами
Отношение отрезков	теорема Менелая, подобие, отношение площадей

R07.1 · ОГЭ 24

Образец → сам · доказательство с параллелограммом

Равные треугольники → прямой угол

Образец: в параллелограмме $A BC D$ точка $E$ — середина $BC$ , $E A = E D$ . Докажите, что $A BC D$ — прямоугольник.

$△ A BE = △ D CE$ $A B = C D$ (параллелограмм), $BE = EC$ , $A E = D E$ — по трём сторонам

$∠ B = ∠ C$ соответственные углы равных треугольников

$∠ B + ∠ C = 18 0^{\circ}$ ⇒ $∠ B = 9 0^{\circ}$ односторонние углы при $A B ∥ C D$

$A BC D$ — прямоугольник параллелограмм с прямым углом

Сам · докажите

Биссектрисы углов $A$ и $D$ параллелограмма $A BC D$ пересекаются в точке $K$ на $BC$ . $K$ — середина $BC$ . $B K = A B = C D = K C$
Биссектрисы соседних углов параллелограмма перпендикулярны. $(∠ A + ∠ B) : 2 = 9 0^{\circ}$
Параллелограмм с равными диагоналями — прямоугольник. $△ A B D = △ D C A$ ⇒ $∠ A = ∠ D$

2,5 мин · практика
Образец ведёт учитель: первым щелчком подсвечиваются треугольники $A BE$ и $D CE$ , после третьего шага — прямые углы на чертеже. Подчеркнуть: в шаге 1 все три равенства сторон названы со ссылкой.
1) $∠ B K A = ∠ K A D = ∠ B A K$ (накрест лежащие и биссектриса), $△ A B K$ равнобедренный, $B K = A B$ ; так же $C K = C D$ ; $A B = C D$ ⇒ $B K = K C$ .
2) $∠ A + ∠ B = 18 0^{\circ}$ (односторонние), половины в сумме $9 0^{\circ}$ , третий угол треугольника из биссектрис и $A B$ — $9 0^{\circ}$ . 3) $△ A B D = △ D C A$ по трём сторонам ( $A B = D C$ , $A D$ — общая, $B D = C A$ ) ⇒ $∠ A = ∠ D$ , а их сумма $18 0^{\circ}$ ⇒ $9 0^{\circ}$ .
Ученики записывают доказательство в две колонки; проверка — по «ключевой идее» (открывается по щелчку) и по критериям сл. 4.

R07.1 · ПР-7 · ОГЭ 24

Образец → сам · подобие через вписанный четырёхугольник

Окружность «переворачивает» подобие

Образец: окружность проходит через вершины $B$ и $C$ треугольника $A BC$ и пересекает $A B$ в точке $K$ , $A C$ — в точке $P$ . Докажите: $△ A K P \sim △ A CB$ .

$∠ A K P = 18 0^{\circ} - ∠ B K P = ∠ C$ смежные углы; в $B K PC$ , вписанном в окружность, $∠ B K P + ∠ C = 18 0^{\circ}$

$∠ A$ — общий

$△ A K P \sim △ A CB$ по двум углам; соответствие $K \leftrightarrow C$ , $P \leftrightarrow B$

Сам

Докажите: $A K \cdot A B = A P \cdot A C$ . из подобия $A K : A C = A P : A B$
$A K = 4$ , $A B = 9$ , $A C = 12$ . Найдите $A P$ . $3$
Там же $BC = 18$ . Найдите $K P$ . $6$

R07.1 · ОГЭ 25

Сводка · опорные конфигурации задачи 25

Четыре картинки, которые решают задачу

Биссектрисы смежных углов

перпендикулярны:
$\frac{18 0 ^{\circ}}{2} = 9 0^{\circ}$

Высота к гипотенузе

$h^{2}$ $=$ $p$ $\cdot$ $q$

Касательная и секущая

$D C^{2}$ $= D A \cdot D B$ ,
$∠ D C A = ∠ B$

Теорема Менелая

для $△ A K C$ и прямой $BM$ :
$\frac{A P}{P K} \cdot \frac{K B}{BC} \cdot \frac{CM}{M A} = 1$

4 мин · теория
1) Внутренняя и внешняя биссектрисы при одной вершине: половины смежных углов дают $9 0^{\circ}$ . Центры вписанной и вневписанной окружностей лежат на них — образец 5.
2) $△ A C H \sim △ CB H$ ⇒ $\frac{h}{p} = \frac{q}{h}$ . 3) $△ D C A \sim △ D BC$ : угол $D$ общий, $∠ D C A = ∠ B$ (угол между касательной и хордой равен вписанному на ту же дугу) ⇒ $D C^{2} = D A \cdot D B$ — образец 4.
4) Менелай: обходим треугольник $A \to K \to C \to A$ , на каждой стороне (или её продолжении) — точка секущей: $P$ на $A K$ , $B$ на продолжении $K C$ , $M$ на $C A$ . Отношения берём «от вершины до точки, от точки до следующей вершины» — образец 3.

R07.1 · ПР-6 · ОГЭ 25

Образец → сам · теорема Менелая

Отношение отрезков без координат

Образец: на стороне $BC$ треугольника $A BC$ точка $K$ , $B K : K C = 2 : 3$ ; $BM$ — медиана, $A K \cap BM = P$ . Найдите $A P : P K$ .

Прямая $BM$ пересекает стороны $△ A K C$ фиолетовый треугольник; $B$ — на продолжении $K C$

$\frac{A P}{P K} \cdot \frac{K B}{BC} \cdot \frac{CM}{M A} = 1$ теорема Менелая

$\frac{A P}{P K} \cdot \frac{2}{5} \cdot 1 = 1$ ⇒ $A P : P K = 5 : 2$ $K B = 2$ , $BC = 5$ частей; $CM = M A$

Сам

$B K : K C = 1 : 2$ . Найдите $A P : P K$ . $3 : 1$
$B K : K C = 2 : 3$ . Найдите $BP : PM$ . $4 : 3$
$B K : K C = 1 : 2$ , $S_{A BC} = 48$ . Найдите $S_{BP K}$ . $4$

R07.1 · ПР-8 · ОГЭ 25

Образец → сам · касательная и биссектриса

Равнобедренный треугольник спрятан на чертеже

Образец: $CM$ — биссектриса $△ A BC$ , $A M = 6$ , $MB = 10$ . Касательная к описанной окружности в точке $C$ пересекает прямую $A B$ в точке $D$ . Найдите $C D$ .

$∠ D C A = ∠ B$ угол между касательной и хордой $C A$

$∠ D CM = ∠ B + ∠ MCB = ∠ D MC$ ⇒ $D C = D M = x + 6$ $∠ D MC$ — внешний угол $△ MCB$

$(x + 6)^{2} = x (x + 16)$ ⇒ $x = 9$ , $C D = 15$ $D C^{2} = D A \cdot D B$

Сам

$A M = 4$ , $MB = 12$ . Найдите $C D$ . $6$
$A M = 9$ , $MB = 12$ . Найдите $C D$ . $36$
В образце $BC = 15$ . Найдите $A C$ . $9$

R07.1 · ОГЭ 25

Образец → сам · вписанная и вневписанная окружности

Две окружности — один прямой угол

Образец: основание $A C$ равнобедренного $△ A BC$ равно $12$ . Окружность радиуса $8$ с центром вне треугольника касается продолжений боковых сторон и $A C$ . Найдите радиус $r$ вписанной окружности.

$I$ , $J$ на высоте $B H$ : $I H = r$ , $J H = 8$ , $A H = 6$ центры — на биссектрисе угла $B$ , касание — в середине $A C$

$∠ I A J = 9 0^{\circ}$ $A I$ , $A J$ — биссектрисы смежных углов при вершине $A$

$A H^{2} = I H \cdot H J$ : $36 = 8 r$ ⇒ $r = 4, 5$ высота прямоугольного $△ I A J$ к гипотенузе

Сам · та же картинка

$A C = 10$ , радиус внешней окружности $10$ . Найдите $r$ . $2, 5$
$A C = 16$ , $r = 4$ . Радиус внешней? $16$
$A C = 24$ , $r = 9$ . Радиус внешней? $16$

R07.1 · ОГЭ 25

Сводка правил · план решения задачи 25

Четыре шага к ответу

1

Чертёж

крупно, по условию; отметить данные и искомое

2

Конфигурация

найти «опорную картинку»: подобие, вписанные углы, касательная, Менелай

3

Уравнение

неизвестное — одной буквой, связь — по теореме с обоснованием

4

Проверка

ответ не противоречит условию: длины положительны, неравенство треугольника

R07.1

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
«На рисунке видно, что $∠ A FB = 9 0^{\circ}$ »	чертёж — не доказательство	вывести из суммы углов $18 0^{\circ}$
$△ A K P \sim △ A BC$ , $\frac{A K}{A B} = \frac{A P}{A C}$	не то соответствие вершин	$△ A K P \sim △ A CB$ : $\frac{A K}{A C} = \frac{A P}{A B}$
$D C^{2} = D A \cdot A B$	взята внутренняя часть секущей	$D C^{2} = D A \cdot D B$
Вписанный угол равен дуге	забыта половина	угол $= \frac{1}{2}$ дуги

R07.1

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Окружность через $B$ и $C$ пересекает $A B$ в $K$ , $A C$ в $P$ . Докажите подобие.

« $K P ∥ BC$ , $∠ A$ общий ⇒ $△ A K P \sim △ A BC$ »

$K P$ не параллельна $BC$ ;
$∠ A K P = ∠ C$ ⇒
$△ A K P \sim △ A CB$

б) $B K : K C = 1 : 3$ , $BM$ — медиана. Найдите $A P : P K$ .

$\frac{A P}{P K} \cdot \frac{1}{3} \cdot 1 = 1$ ⇒ $3 : 1$

$\frac{K B}{BC} = \frac{1}{4}$ ⇒
$A P : P K = 4 : 1$

в) $D A = 4$ , $A B = 5$ , $D C$ — касательная. Найдите $D C$ .

$D C^{2} = 4 \cdot 5 = 20$ ,
$D C = 25$

$D B = 9$ :
$D C^{2} = 4 \cdot 9 = 36$ , $D C = 6$

R07.1

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

базаХорды: $A E = 5$ , $EB = 4$ , $CE = 2$ . $E D$ ? $10$
базаКасательная $12$ , внешняя часть секущей $8$ . Вся секущая? $18$
база $D E ∥ A C$ , $B D = 4$ , $D A = 2$ , $A C = 9$ . $D E$ ? $6$

базаВысота к гипотенузе $12$ , один отрезок гипотенузы $9$ . Другой? $16$
базаУгол между биссектрисами соседних углов параллелограмма? $9 0^{\circ}$
базаМедиана $BM = 12$ , $G$ — точка пересечения медиан. $BG$ ? $8$

R07.1 · ПР-6 · ПР-8

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш. $B K : K C = 3 : 1$ , $BM$ — медиана $△ A BC$ , $A K \cap BM = P$ . Найдите $A P : P K$ . $4 : 3$
повыш.Касательная в точке $C$ к описанной окружности $△ A BC$ пересекает прямую $A B$ в $D$ , $D A = 4$ , $D B = 9$ . Найдите $D C$ и $A C : BC$ . $6$ ; $2 : 3$
повыш.Равнобедренный $△ A BC$ , основание $A C = 8$ , $r = 2$ . Радиус окружности, касающейся $A C$ и продолжений боковых сторон? $8$
повыш.Прямая, параллельная $A C$ , отсекает от $△ A BC$ треугольник вдвое меньшей площади. Найдите $B D : B A$ . $1 : 2$

R07.1 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 24 и 25

Доказательство и вычисление — по 2 балла

ОГЭ 24 В выпуклом четырёхугольнике $A BC D$ углы $A B D$ и $A C D$ равны. Докажите, что углы $D A C$ и $D BC$ тоже равны.

$B$ и $C$ по одну сторону от $A D$ и видят $A D$ под равными углами ⇒ $A$ , $B$ , $C$ , $D$ лежат на одной окружности

$∠ D A C = ∠ D BC$ — вписанные, опираются на дугу $D C$

ОГЭ 25 Углы при одном из оснований трапеции равны $6 6^{\circ}$ и $2 4^{\circ}$ , отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, равны $18$ и $8$ . Найдите основания.

$∠ E = 9 0^{\circ}$ , медианы $EN = \frac{A D}{2}$ , $EM = \frac{BC}{2}$ ⇒ $MN = \frac{A D - BC}{2} = 8$

$\frac{A D + BC}{2} = 18$ ⇒ $A D = 26$ , $BC = 10$

2,5 мин · практика
24) Точки $B$ и $C$ лежат по одну сторону от прямой $A D$ (четырёхугольник выпуклый), из них отрезок $A D$ виден под равными углами ⇒ четыре точки на одной окружности (признак, сл. 5). Тогда $∠ D A C$ и $∠ D BC$ опираются на дугу $D C$ .
25) Продолжим боковые стороны до пересечения в $E$ (открывается по щелчку): $18 0^{\circ} - 6 6^{\circ} - 2 4^{\circ} = 9 0^{\circ}$ . Медиана прямоугольного треугольника равна половине гипотенузы; $E$ , $M$ , $N$ на одной прямой (гомотетия с центром $E$ переводит $BC$ в $A D$ ). $MN = EN - EM = 8$ , средняя линия $= 18$ ⇒ $A D = 26$ , $BC = 10$ . Средняя линия больше $MN$ — поэтому $18$ и $8$ распределены однозначно.

R07.1 · ПР-19

Задача из жизни · арка

Радиус арки по пролёту и подъёму

Пролёт $8$ м, подъём $h = 2$ м. Радиус арки? $5$ м
Пролёт $12$ м, подъём $3$ м. Радиус? $7, 5$ м
Радиус $5$ м, пролёт $6$ м. Подъём арки? $1$ м

R07.1

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Хорды: $A E = 6$ , $EB = 4$ , $CE = 3$ . $E D$ ? $8$
$B K : K C = 3 : 2$ , $BM$ — медиана, $A K \cap BM = P$ . $A P : P K$ ? $5 : 3$
Равнобедренный, $A C = 12$ , радиус окружности, касающейся $A C$ и продолжений боковых сторон, $9$ . Найдите $r$ . $4$

Вариант 2

Касательная $10$ , внешняя часть секущей $5$ . Вся секущая? $20$
$B K : K C = 3 : 4$ , $BM$ — медиана, $A K \cap BM = P$ . $A P : P K$ ? $7 : 3$
Равнобедренный, $A C = 10$ , радиус окружности, касающейся $A C$ и продолжений боковых сторон, $12, 5$ . Найдите $r$ . $2$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Что пишут в каждой строке доказательства задачи 24?
Какие четыре опорные картинки задачи 25 вы знаете?
Как проверить ответ задачи 25?

Домашнее задание

Докажите: если диагональ $A C$ трапеции $A BC D$ — биссектриса угла $A$ , то $A B = BC$ .
$B K : K C = 2 : 5$ , $BM$ — медиана. Найдите $A P : P K$ .
* Равнобедренный, $A C = 16$ , внешний радиус $12$ . Найдите $r$ .
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_adv_index.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9U-101 · Повторение: задачи ОГЭ 24 и 25

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R07 «Повторение, обобщение, систематизация знаний», 12 ч · урок 11/12 · тип О (обобщение)
Единицы → слайды	R07.1 «Повторение основных понятий и методов курсов 7–9 классов…» → 2–20 (доказательство в задаче 24, опорные конфигурации задачи 25, выбор метода, практико-ориентированная задача)
Результаты	ПР-6 (Менелай) → 8, 9, 14, 16, 19 · ПР-7 (вписанные углы, касательная и хорда) → 5, 7, 10, 17 · ПР-8 (хорды, секущие, касательная) → 3, 8, 10, 15, 18 · ПР-19 (практические задачи) → 18
Вне урока	теорема Чевы, гомотетия, векторы и координаты — другие уроки повторения GEOM9U-091…102
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Задачи ОГЭ 24 и 25: доказательство и опорные конфигурации

Сегодня вы научитесь

Оформлять доказательство

Узнавать опорную конфигурацию

Находить отношения отрезков

Решать задачу 25

Семь быстрых вопросов

Доказательство на 2 балла

Порядок записи

Пять целей — пять наборов инструментов

Равные треугольники → прямой угол

Образец: в параллелограмме ABCD точка E — середина BC, EA=ED. Докажите, что ABCD — прямоугольник.

Сам · докажите

Окружность «переворачивает» подобие

Образец: окружность проходит через вершины B и C треугольника ABC и пересекает AB в точке K, AC — в точке P. Докажите: △AKP∼△ACB.

Сам

Четыре картинки, которые решают задачу

Биссектрисы смежных углов

Высота к гипотенузе

Касательная и секущая

Теорема Менелая

Отношение отрезков без координат

Образец: на стороне BC треугольника ABC точка K, BK:KC=2:3; BM — медиана, AK∩BM=P. Найдите AP:PK.

Сам

Равнобедренный треугольник спрятан на чертеже

Образец: CM — биссектриса △ABC, AM=6, MB=10. Касательная к описанной окружности в точке C пересекает прямую AB в точке D. Найдите CD.

Сам

Две окружности — один прямой угол

Сам · та же картинка

Четыре шага к ответу

Чертёж

Конфигурация

Уравнение

Проверка

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Окружность через B и C пересекает AB в K, AC в P. Докажите подобие.

б) BK:KC=1:3, BM — медиана. Найдите AP:PK.

в) DA=4, AB=5, DC — касательная. Найдите DC.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Доказательство и вычисление — по 2 балла

Радиус арки по пролёту и подъёму

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9U-101 · Повторение: задачи ОГЭ 24 и 25

Образец: в параллелограмме $A BC D$ точка $E$ — середина $BC$ , $E A = E D$ . Докажите, что $A BC D$ — прямоугольник.

Образец: окружность проходит через вершины $B$ и $C$ треугольника $A BC$ и пересекает $A B$ в точке $K$ , $A C$ — в точке $P$ . Докажите: $△ A K P \sim △ A CB$ .

Образец: на стороне $BC$ треугольника $A BC$ точка $K$ , $B K : K C = 2 : 3$ ; $BM$ — медиана, $A K \cap BM = P$ . Найдите $A P : P K$ .

Образец: $CM$ — биссектриса $△ A BC$ , $A M = 6$ , $MB = 10$ . Касательная к описанной окружности в точке $C$ пересекает прямую $A B$ в точке $D$ . Найдите $C D$ .

а) Окружность через $B$ и $C$ пересекает $A B$ в $K$ , $A C$ в $P$ . Докажите подобие.

б) $B K : K C = 1 : 3$ , $BM$ — медиана. Найдите $A P : P K$ .

в) $D A = 4$ , $A B = 5$ , $D C$ — касательная. Найдите $D C$ .