Итоговое повторение · урок 9 из 12 · обобщение

Повторение: движения, симметрия, гомотетия

Геометрия · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R07 · GEOM9U-099

0,5 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R07 «Повторение, обобщение, систематизация знаний» (12 ч), урок 9/12, единица R07.1. Тип О (обобщение): теория — короткими сводками, основное время — задачи. По карте повторения (GEOM9U-091, сл. 3) урок 9 — движения, симметрия, гомотетия (строки R06 и R02.5 углублённого курса).
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Теория (12,5): сл. 1 титул 0,5 · 2 цели 0,5 · 4 четыре движения 2 · 5 правила в координатах 1,5 · 7 композиции 2 · 8 гомотетия 2,5 · 9 доказательство 2 · 11 выбор преобразования 1,5.
Практика (32,5): 3 разминка 2 · образцы → сам: 6 — 2,5, 10 — 2,5, 12 — 2,5, 13 — 2,5, 14 — 2, 15 — 2 · 16 типичные ошибки 1,5 · 17 найди ошибку 2 · 18 база 2,5 · 19 повышенный 2 · 20 ОГЭ 18/19 — 2 · 21 ОГЭ 24/25 — 2 · 22 самостоятельная 3,5 · 23 итог и ДЗ 1.
Если времени мало: образец 15 (задача из жизни) и задание 4 сл. 19 — в ДЗ; сводки 4, 8 не выбрасывать.

R07.1

Цели урока

Сегодня вы повторите и научитесь

Движения в координатах

находить образ точки при переносе, повороте, симметриях и их композициях (ПР-18)

Гомотетия

центр и коэффициент, $k < 0$ , длины $\times ∣ k ∣$ , площади $\times k^{2}$ (ПР-5)

Выбирать преобразование

поворот, перенос, симметрия или гомотетия — по условию задачи (R07.1)

Задачи ОГЭ и из жизни

доказательство (24), трапеция (25), тень и масштаб (ПР-19)

0,5 мин · теория
Ученик научится: находить образы точек и фигур при движениях и их композициях, оси и центры симметрии (ПР-18); применять гомотетию, в том числе в практических ситуациях (ПР-5); строить модели задач из жизни с подобием (ПР-19); выбирать метод решения (вид деятельности R07).
Вид деятельности R07: «Решать задачи на повторение основных понятий, иллюстрацию связей между различными частями курса. Выбирать метод для решения задачи».

R07.1

Разминка · устно

Восемь быстрых вопросов

1.

A (3; - 5)

симметрично относительно

O x

?

(3; 5)

2.

A (3; - 5)

симметрично относительно

O

?

(- 3; 5)

3. Поворот

A (3; - 5)

вокруг

O

на

9 0^{\circ}

против часовой?

(5; 3)

4. Перенос на

a (2; - 1)

: куда перейдёт

O (0; 0)

?

(2; - 1)

5. Сколько осей симметрии у правильного шестиугольника?

6

6. Есть ли центр симметрии у правильного пятиугольника? нет

7. Гомотетия,

k = - 3

. Отрезок

4

перейдёт в отрезок…?

12

8. Подобие,

k = 3

, площадь меньшей фигуры

5

. Большей?

45

R07.1 · R06

Сводка · виды движений

Четыре движения — что задаёт и что не двигается

Перенос

задаётся вектором $a$

неподвижных точек нет

Поворот

центр $O$ и угол $α$

неподвижна точка $O$

Центральная симм.

центр $O$ = поворот на $18 0^{\circ}$

неподвижна точка $O$

Осевая симметрия

ось $l$

неподвижна вся прямая $l$

Движение сохраняет расстояния ⇒ отрезок → равный отрезок, угол → равный угол, фигура → равная фигура. Первые три сохраняют обход вершин, осевая — меняет.

2 мин · теория
Исходная фигура — фиолетовая, образ — розовый. Вопрос классу по каждой карточке: какие точки остаются на месте? (Перенос на ненулевой вектор — никакие; поворот — центр; осевая — вся ось.)
Ориентация: перенос, поворот и центральная симметрия сохраняют направление обхода $A BC$ (по часовой остаётся по часовой), осевая симметрия меняет его. Поэтому композиция двух осевых симметрий — уже не осевая симметрия (сл. 7).
Равенство фигур (R06.8): две фигуры равны, если одну можно перевести в другую движением.

R07.1 · R03 · R06

Сводка · преобразования в координатах

Правила для координат точки $(x; y)$

преобразование	образ точки $(x; y)$
перенос на $a (a; b)$	$(x + a; y + b)$
симметрия относительно $O x$ / $O y$	$(x; - y)$ / $(- x; y)$
симметрия относительно $O$	$(- x; - y)$
симметрия относительно $M (a; b)$	$(2 a - x; 2 b - y)$
поворот вокруг $O$ на $9 0^{\circ}$ против часовой	$(- y; x)$
гомотетия: центр $O$ , коэффициент $k$	$(k x; k y)$
гомотетия: центр $M (a; b)$	$(a + k (x - a); b + k (y - b))$

R07.1 · R02.5

Образец → сам · гомотетия в координатах

Образ точки при гомотетии с центром $M$

Образец: найдите образ $A (5; 3)$ при гомотетии с центром $M (1; 1)$ и $k = - \frac{1}{2}$ .

$M A = (4; 2)$ координаты конца минус начала
$M A^{'} = - \frac{1}{2} \cdot (4; 2) = (- 2; - 1)$ определение гомотетии
$A^{'} = (1 - 2; 1 - 1) = (- 1; 0)$ $k < 0$ : $A^{'}$ по другую сторону от $M$

Сам:

Центр $O$ , $k = - 2$ . Образ $B (3; - 1)$ ? $(- 6; 2)$
Центр $M (2; 0)$ , $k = 3$ . Образ $C (3; 1)$ ? $(5; 3)$
Гомотетия с $k = 3$ переводит $A (1; 1)$ в $A^{'} (7; 4)$ . Найдите центр. $(- 2; - 0, 5)$

R07.1 · R06.10 · R02.5

Сводка · композиции преобразований

Два преобразования подряд — снова известное

сначала → затем	результат
две осевые, оси $∥$ , расстояние $d$	перенос на $2 d$
две осевые, оси под углом $φ$ в точке $O$	поворот вокруг $O$ на $2 φ$
центральные с центрами $O_{1}$ , $O_{2}$	перенос на $2 O_{1} O_{2}$
гомотетии с центром $O$ : $k_{1}$ , $k_{2}$	гомотетия, $k = k_{1} k_{2}$
гомотетия, затем движение	подобие с коэффициентом $∣ k ∣$

2 мин · теория
Чертёж: $φ = 3 5^{\circ}$ ; $P$ отражаем относительно $l_{1}$ (получаем $P^{'}$ ), затем относительно $l_{2}$ (получаем $P^{''}$ ). $OP = O P^{'} = O P^{''}$ , а $∠ PO P^{''} = 2 \cdot 3 5^{\circ} = 7 0^{\circ}$ (по щелчку — розовая дуга). Почему: $∠ PO P^{''} = 2∠ (l_{1}, O P^{'}) + 2∠ (O P^{'}, l_{2}) = 2 φ$ .
Вопрос классу: композиция двух центральных симметрий с одним центром? (Тождественное преобразование: $2 OO = 0$ .) Гомотетия с $k = - 1$ ? (Центральная симметрия.)
Любое подобие = гомотетия + движение — поэтому все свойства подобных фигур (углы равны, длины $\times k$ , площади $\times k^{2}$ ) следуют из свойств гомотетии.

R07.1 · R02.5

Сводка · гомотетия

Центр $O$ , коэффициент $k$ : $O X^{'} = k \cdot OX$

$k > 0$ — образ по ту же сторону от

O

, $k < 0$ — по другую.

1прямая → параллельная ей прямаяили та же, если проходит через

O

2длины

\times ∣ k ∣

, углы сохраняютсятреугольники подобны, коэффициент

∣ k ∣

3площади

\times k^{2}

окружность

R

→ окружность

∣ k ∣ R

4

k = - 1

— центральная симметрия

k = 1

— тождественное преобразование

2,5 мин · теория
Чертёж (координаты кодом): $O (0; 0)$ , $A (1, 5; - 0, 5)$ , $B (3, 5; 0, 3)$ , $C (2; 1, 6)$ ; розовый — образ при $k = 2$ , бирюзовый — при $k = - 1$ (центральная симметрия, п. 4). Пунктир — прямые через центр: $X$ , $X^{'}$ и $O$ лежат на одной прямой.
Вопрос: во сколько раз площадь розового треугольника больше бирюзового? ( $\frac{2 ^{2}}{1 ^{2}} = 4$ .) Чему равен коэффициент гомотетии, переводящей бирюзовый в розовый? ( $- 2$ , центр тот же: $k = \frac{2}{- 1}$ .)
Гомотетия — не движение (при $∣ k ∣ \neq = 1$ меняет расстояния), но сохраняет форму. Пп. 1–2 докажем на следующем слайде.

R07.1 · R02.5 · R04

Сводка · доказательство

Гомотетия: $A^{'} B^{'} ∥ A B$ и $A^{'} B^{'} = ∣ k ∣ \cdot A B$

Дано: гомотетия, центр

O

, коэффициент

k

;

A \to A^{'}

,

B \to B^{'}

.
Доказать:

A^{'} B^{'} ∥ A B

,

A^{'} B^{'} = ∣ k ∣ \cdot A B

.

1

O A^{'} = k O A

,

O B^{'} = k OB

определение гомотетии

2

A^{'} B^{'}

= O B^{'} - O A^{'} = k (OB - O A)

разность векторов, распределительный закон

3

A^{'} B^{'} = k A B

OB - O A = A B

4

A^{'} B^{'} ∥ A B

,

A^{'} B^{'} = ∣ k ∣ \cdot A B

векторы коллинеарны; длина

k a

равна

∣ k ∣ \cdot ∣ a ∣

2 мин · теория
Доказательство векторное — связь тем R04 и R02.5. Цвета на чертеже совпадают со строками: розовые стрелки — шаг 1, бирюзовые $A^{'} B^{'}$ и $A B$ — шаги 2–3, стрелки параллельности — шаг 4. На чертеже $k = 2$ .
Следствие: все три стороны треугольника умножаются на $∣ k ∣$ ⇒ образ подобен исходному (III признак подобия) ⇒ углы сохраняются, площадь умножается на $k^{2}$ .
Вопрос: когда $A^{'} B^{'}$ лежит на одной прямой с $A B$ ? (Когда прямая $A B$ проходит через центр $O$ .)

R07.1 · R02.5

Образец → сам · центр гомотетии в трапеции

Диагонали трапеции и гомотетия

Образец: $A BC D$ — трапеция, $BC ∥ A D$ , $BC = 6$ , $A D = 15$ , $A C = 14$ , $S_{BOC} = 8$ . Найдите $A O$ , $OC$ и $S_{A O D}$ .

$O$ — центр гомотетии $C \to A$ , $B \to D$ , $k = - \frac{15}{6} = - \frac{5}{2}$ $BC ∥ A D$ , $△ BOC \sim △ D O A$
$A O : OC = 5 : 2$ , $OC = 14 \cdot \frac{2}{7} = 4$ , $A O = 10$ длины $\times ∣ k ∣$
$S_{A O D} = \frac{25}{4} \cdot 8 = 50$ площади $\times k^{2}$

Сам:

$BC = 3$ , $A D = 9$ , $B D = 16$ . Найдите $BO$ . $4$
$BC = 5$ , $A D = 8$ , прямые $A B$ и $C D$ пересекаются в $P$ , $PC = 10$ . Найдите $C D$ . $6$
$S_{BOC} = 4$ , $S_{A O D} = 25$ . Найдите $S_{A BC D}$ . $49$

2,5 мин · практика
Образец: гомотетия с центром $O$ и $k = - \frac{A D}{BC}$ переводит основание $BC$ в $D A$ (диагонали — прямые через центр). Чертёж в масштабе: $A (0; 0)$ , $D (15; 0)$ , высота $8$ , $C (132; 8) \approx (11, 49; 8)$ — тогда $A C = 14$ , $BC = 6$ .
Сам: 1) $BO : O D = 3 : 9 = 1 : 3$ , $BO = \frac{16}{4} = 4$ .
2) Второй центр гомотетии — точка $P$ пересечения боковых сторон, $k = \frac{A D}{BC} = \frac{8}{5}$ : $P D = \frac{8}{5} \cdot 10 = 16$ , $C D = 16 - 10 = 6$ .
3) $k^{2} = \frac{25}{4}$ ⇒ $BC : A D = 2 : 5$ ; $S_{A OB} = S_{CO D} = 4 \cdot 25 = 10$ (у $△ A OB$ и $△ BOC$ общая высота из $B$ , $A O : OC = 5 : 2$ ⇒ $S_{A OB} = \frac{5}{2} \cdot 4 = 10$ ); $S = 4 + 25 + 10 + 10 = 49$ .
Ошибка: $S_{A O D} = 8 \cdot \frac{5}{2} = 20$ — площади умножаются на $k^{2}$ .

R07.1

Выбор метода

Что видно в условии → какое преобразование

в условии	преобразование	что даёт
середина отрезка, параллелограмм	центральная симметрия	равные отрезки, параллельность
ось, биссектриса, кратчайший путь	осевая симметрия	ломаная → отрезок
равносторонние треугольники, квадраты на сторонах	поворот на $6 0^{\circ}$ / $9 0^{\circ}$	равные отрезки и угол между ними
трапеция и её диагонали	параллельный перенос диагонали	треугольник со стороной $a + b$
параллельные отрезки, вписанный квадрат, тень	гомотетия	отношения длин и площадей

R07.1 · R06.3

Образец → сам · доказательство поворотом

Два равносторонних треугольника с общей вершиной

Образец: $B \in A C$ , $△ A B K$ и $△ BCM$ — равносторонние, по одну сторону от $A C$ . Докажите: $K C = A M$ .

$B K = B A$ , $∠ K B A = 6 0^{\circ}$ поворот $R$ вокруг $B$ на $6 0^{\circ}$ : $K \to A$
$BC = BM$ , $∠ CBM = 6 0^{\circ}$ тот же поворот: $C \to M$
$R$ : $K C$ → $A M$ ⇒ $K C = A M$ движение сохраняет расстояния
угол между $K C$ и $A M$ — $6 0^{\circ}$ прямая и её образ при повороте на $6 0^{\circ}$

Сам:

В образце $A B = 4$ , $BC = 6$ . Найдите $A M$ . $219$
На $A B$ и $A C$ вне $△ A BC$ — квадраты $A B D E$ и $A CFG$ . Какой поворот переводит $E \to B$ , $C \to G$ ? вокруг $A$ на $9 0^{\circ}$
Найдите угол между $BG$ и $CE$ и сравните их длины. $9 0^{\circ}$ ; $BG = CE$

2,5 мин · практика
Образец: направление поворота одно и то же (против часовой) для обоих треугольников — поэтому важно «по одну сторону». Чертёж в масштабе: $A (0; 0)$ , $B (4; 0)$ , $C (10; 0)$ , $K (2; 23)$ , $M (7; 33)$ ; отмечен угол $6 0^{\circ}$ между $K C$ и $A M$ .
Сам: 1) в $△ A BM$ : $A B = 4$ , $BM = 6$ , $∠ A BM = 18 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 12 0^{\circ}$ ; $A M^{2} = 16 + 36 + 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2} = 76$ , $A M = 219$ (проверка по координатам: $7^{2} + 27 = 76$ ✓).
2) $A E = A B$ , $A E ⊥ A B$ ; $A C = A G$ , $A C ⊥ A G$ ⇒ поворот вокруг $A$ на $9 0^{\circ}$ переводит $E \to B$ и $C \to G$ (проверено на координатах $A (0; 0)$ , $B (4; 0)$ , $C (1; 3)$ : $E (0; - 4) \to (4; 0)$ , $C \to G (- 3; 1)$ ).
3) Отрезок $EC$ переходит в $BG$ ⇒ $BG = CE$ , угол между ними $9 0^{\circ}$ . Классическая задача ОГЭ 24/25.

R07.1 · R06.6

Образец → сам · параллельный перенос

Перенесём диагональ трапеции

Образец: диагонали трапеции $A BC D$ перпендикулярны, $A C = 12$ , $B D = 16$ . Найдите среднюю линию и площадь.

перенос на $BC$ : $B D \to CE$ $CE ∥ B D$ , $CE = 16$ , $D E = BC$
$∠ A CE = 9 0^{\circ}$ , $A E = 144 + 256 = 20$ $A C ⊥ B D$ , теорема Пифагора
$m = \frac{A E}{2} = 10$ , $S = S_{A CE} = 96$ $A E = A D + BC$ ; высота та же

Сам:

Диагонали $5$ и $12$ , перпендикулярны. Средняя линия? $6, 5$
Диагонали $9$ и $10$ , угол между ними $3 0^{\circ}$ . Площадь? $22, 5$
Равнобедренная трапеция, диагонали перпендикулярны, высота $7$ . Площадь? $49$

R07.1 · R02.5

Образец → сам · гомотетия и подобие

Квадрат, вписанный в треугольник

Образец: в $△ A BC$ $A C = 12$ , высота $B H = 8$ . Квадрат: две вершины на $A C$ , две — на $A B$ и $BC$ . Найдите его сторону $x$ .

$PQ ∥ A C$ ⇒ $△ PBQ$ — образ $△ A BC$ при гомотетии с центром $B$ $k = \frac{PQ}{A C} = \frac{x}{12}$
$\frac{8 - x}{8} = \frac{x}{12}$ высоты тоже умножаются на $k$
$96 - 12 x = 8 x$ , $x = 4, 8$

Сам:

$A C = 10$ , $B H = 15$ . Сторона квадрата? $6$
$A C = 6$ , $B H = 3$ . Сторона квадрата? $2$
Вписан прямоугольник, его сторона на $A C$ вдвое длиннее другой; $A C = 12$ , $B H = 6$ . Стороны? $3$ и $6$

R07.1 · ПР-19

Образец → сам · задача из жизни

Тень от лампы — гомотетия

Образец: квадратная табличка $20 \times 20$ см параллельна стене, от лампы до таблички $0, 5$ м, до стены $3$ м. Найдите сторону и площадь тени.

лампа — центр гомотетии, $k = \frac{3}{0 , 5} = 6$ лучи из одной точки
сторона тени $20 \cdot 6 = 120 см$ длины $\times k$
$S = 400 \cdot 36 = 14400 см^{2} = 1, 44 м^{2}$ площади $\times k^{2}$

Сам:

Фонарь на высоте $6$ м, человек ростом $1, 5$ м — в $6$ м от столба. Длина тени? $2$ м
Кадр $24 \times 36$ мм, ширина изображения на экране $1, 8$ м. Высота изображения? $1, 2$ м
Карта $1 : 50000$ , участок на карте $4 см^{2}$ . Площадь на местности? $1 км^{2}$

R07.1

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$k = - 2$ ⇒ длины «умножаются на $- 2$ »	длина не бывает отрицательной; знак $k$ — сторона от центра	длины $\times 2$ , площади $\times 4$
поворот на $9 0^{\circ}$ против часовой: $(x; y) \to (y; x)$	это симметрия относительно прямой $y = x$	$(x; y) \to (- y; x)$
две осевые симметрии подряд — осевая симметрия	две осевые сохраняют обход вершин, осевая — меняет	перенос или поворот на $2 φ$
подобие с $k = 3$ ⇒ площадь $\times 3$	площадь — произведение двух длин	площадь $\times 9$

R07.1

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Гомотетия: центр $M (2; 1)$ , $k = 3$ . Образ $A (4; 2)$ ?

$A^{'} = (3 \cdot 4; 3 \cdot 2) = (12; 6)$

$M A = (2; 1)$ , $M A^{'} = (6; 3)$ , $A^{'} = (8; 4)$

б) Трапеция: $BC = 4$ , $A D = 12$ , $S_{BOC} = 3$ . Найдите $S_{A O D}$ .

$k = 3$ , $S_{A O D} = 3 \cdot 3 = 9$

$S_{A O D} = 3 \cdot 3^{2} = 27$

в) Поворот $P (3; - 2)$ вокруг $O$ на $9 0^{\circ}$ по часовой.

$(x; y) \to (- y; x)$ : $P^{'} = (2; 3)$

по часовой: $(x; y) \to (y; - x)$ , $P^{'} = (- 2; - 3)$

R07.1

Задания с самопроверкой · база

Решите и сверьте ответ

база $(- 4; 7)$ симметрично относительно $O y$ ? $(4; 7)$
база $(2; - 3)$ симметрично относительно $M (1; 1)$ ? $(0; 5)$
базаПеренос: $(1; 2) \to (4; 0)$ . Куда перейдёт $(- 2; 5)$ ? $(1; 3)$

базаГомотетия: центр $O$ , $k = - 3$ . Образ $(2; - 1)$ ? $(- 6; 3)$
базаПодобие, $k = 2, 5$ , периметр меньшего $12$ . Периметр большего? $30$
базаСколько осей симметрии у ромба, не являющегося квадратом? $2$

R07.1

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Гомотетия: $A (1; 2) \to A^{'} (5; 6)$ , $B (3; 2) \to B^{'} (1; 6)$ . Найдите $k$ и центр. $k = - 2$ , $(\frac{7}{3}; \frac{10}{3})$
повыш.Окружности радиусов $2$ и $6$ касаются внешним образом. Общая внешняя касательная пересекает линию центров в $P$ . Найдите $P O_{1}$ ( $O_{1}$ — центр меньшей). $4$
повыш.Оси двух симметрий пересекаются под углом $3 5^{\circ}$ . Чем является их композиция? поворот на $7 0^{\circ}$
повыш.Прямая $MN ∥ A C$ ( $M \in A B$ ) делит площадь $△ A BC$ пополам. Найдите $BM : M A$ . $(2 + 1) : 1$

R07.1 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 18 и 19

Ответ — число или номера утверждений

ОГЭ 18 На клетчатой бумаге с клетками $1 \times 1$ изображён $△ A BC$ . Найдите площадь его образа при гомотетии с $k = 1, 5$ .

Ответ: $27$

ОГЭ 19 Какие из утверждений верны?

Любые два равносторонних треугольника подобны.
При гомотетии прямая переходит в перпендикулярную ей прямую.
Центральная симметрия — поворот на $18 0^{\circ}$ .
У квадрата ровно две оси симметрии.

Ответ: $13$

R07.1 · ОГЭ, ч. 2

Формат ОГЭ · линии 24 и 25

Вторая часть: доказательство и вычисление

ОГЭ 24 $M$ и $N$ — середины сторон $A B$ и $C D$ параллелограмма $A BC D$ . Докажите: $BN = D M$ .

$Z_{O}$ : $B \to D$ , $C \to A$ , $D \to B$ ⇒ середина $N$ отрезка $C D$ → середина $M$ отрезка $A B$

$BN \to D M$ ⇒ $BN = D M$

ОГЭ 25 Основания трапеции $6$ и $12$ . Через точку $O$ пересечения диагоналей проведена прямая $K L$ , параллельная основаниям. Найдите $K L$ .

$\frac{BO}{B D} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$ ⇒ $K O = \frac{1}{3} A D = 4$ , так же $O L = 4$

$K L = 8$

2 мин · практика
24) Полное решение: $O$ — точка пересечения диагоналей — центр симметрии параллелограмма; при симметрии $Z_{O}$ вершины переходят в противоположные ( $B \leftrightarrow D$ , $A \leftrightarrow C$ ), отрезок $C D$ — в $A B$ , его середина $N$ — в середину $M$ (движение сохраняет расстояния ⇒ середину в середину). Значит, отрезок $BN$ переходит в $D M$ и $BN = D M$ . Альтернатива: $△ BCN = △ D A M$ по двум сторонам и углу.
25) $O$ — центр гомотетии с $k = - \frac{A D}{BC} = - 2$ ⇒ $BO : O D = 1 : 2$ , $BO : B D = 1 : 3$ . Гомотетия с центром $B$ , $k = \frac{1}{3}$ переводит $△ B A D$ в $△ B K O$ ⇒ $K O = \frac{12}{3} = 4$ . Аналогично в $△ C D A$ : $O L = 4$ . $K L = 8$ ; общая формула $\frac{2 ab}{a + b} = \frac{144}{18} = 8$ ✓. Чертёж в масштабе: $A (0; 0)$ , $D (12; 0)$ , $B (3; 6)$ , $C (9; 6)$ , $O (6; 4)$ .
На уроке — план решения устно, полная запись 24 — в ДЗ по желанию.

R07.1

Самостоятельная работа · 3,5 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$(3; - 4)$ симметрично относительно $O$ ? $(- 3; 4)$
Гомотетия: центр $O$ , $k = - 2$ . Образ $(- 1; 5)$ ? $(2; - 10)$
Трапеция: $BC = 4$ , $A D = 10$ , $A C = 21$ . Найдите $A O$ . $15$
Квадрат в треугольнике: $A C = 15$ , $B H = 10$ . Сторона? $6$

Вариант 2

$(- 2; 7)$ симметрично относительно $O x$ ? $(- 2; - 7)$
Гомотетия: центр $O$ , $k = 3$ . Образ $(2; - 1)$ ? $(6; - 3)$
Трапеция: $BC = 6$ , $A D = 9$ , $B D = 20$ . Найдите $BO$ . $8$
Квадрат в треугольнике: $A C = 20$ , $B H = 5$ . Сторона? $4$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Чем гомотетия отличается от движения?
Что получится из двух осевых симметрий?
Когда в задаче пригодится поворот на $6 0^{\circ}$ ?

«Светофор»: зелёный — решу сам, жёлтый — с подсказкой, красный — нужна помощь.

Домашнее задание

Гомотетия: центр $M (- 1; 2)$ , $k = - 2$ . Образ $A (3; 0)$ ?
Диагонали трапеции $9$ и $12$ перпендикулярны. Средняя линия?
* Вне $△ A BC$ — равносторонние $△ A B C_{1}$ и $△ A C B_{1}$ . Докажите: $B B_{1} = C C_{1}$ .

Тренажёр «Движения»:

reknow.ru/9/geometry/9_geometry_dvizheniya.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9U-099 · Обобщение и систематизация по теме «Повторение, обобщение, систематизация знаний»

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R07 «Повторение, обобщение, систематизация знаний», 12 ч · урок 9/12 · тип О (обобщение)
Единицы → слайды	R07.1 «Повторение основных понятий и методов курсов 7–9 классов…» → 2–23 (сегодня — движения, симметрия, гомотетия: R06, R02.5)
Результаты	ПР-18 → 3–7, 11–13, 16–18, 21–22 · ПР-5 → 6, 8–10, 14–15, 19–22 · ПР-12 → 9 · ПР-19 → 15
ОГЭ	линии 18, 19 → 20; 24, 25 → 21; линии 24/25 — в заданиях сл. 12, 13, 19
Вне урока	задача Герона (кратчайший путь) — GEOM9U-090; задачи ОГЭ части 2 — GEOM9U-100
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %); «Образец → сам» — 6 (сл. 6, 10, 12, 13, 14, 15)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Повторение: движения, симметрия, гомотетия

Сегодня вы повторите и научитесь

Движения в координатах

Гомотетия

Выбирать преобразование

Задачи ОГЭ и из жизни

Восемь быстрых вопросов

Четыре движения — что задаёт и что не двигается

Перенос

Поворот

Центральная симм.

Осевая симметрия

Правила для координат точки (x;y)

Образ точки при гомотетии с центром M

Образец: найдите образ A(5;3) при гомотетии с центром M(1;1) и k=−21​.

Сам:

Два преобразования подряд — снова известное

Центр O, коэффициент k: OX′=k⋅OX

Гомотетия: A′B′∥AB и A′B′=∣k∣⋅AB

Диагонали трапеции и гомотетия

Образец: ABCD — трапеция, BC∥AD, BC=6, AD=15, AC=14, SBOC​=8. Найдите AO, OC и SAOD​.

Сам:

Что видно в условии → какое преобразование

Два равносторонних треугольника с общей вершиной

Образец: B∈AC, △ABK и △BCM — равносторонние, по одну сторону от AC. Докажите: KC=AM.

Сам:

Перенесём диагональ трапеции

Образец: диагонали трапеции ABCD перпендикулярны, AC=12, BD=16. Найдите среднюю линию и площадь.

Сам:

Квадрат, вписанный в треугольник

Образец: в △ABC AC=12, высота BH=8. Квадрат: две вершины на AC, две — на AB и BC. Найдите его сторону x.

Сам:

Тень от лампы — гомотетия

Образец: квадратная табличка 20×20 см параллельна стене, от лампы до таблички 0,5 м, до стены 3 м. Найдите сторону и площадь тени.

Сам:

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Гомотетия: центр M(2;1), k=3. Образ A(4;2)?

б) Трапеция: BC=4, AD=12, SBOC​=3. Найдите SAOD​.

в) Поворот P(3;−2) вокруг O на 90∘ по часовой.

Решите и сверьте ответ

Подумайте и решите

Ответ — число или номера утверждений

Вторая часть: доказательство и вычисление

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9U-099 · Обобщение и систематизация по теме «Повторение, обобщение, систематизация знаний»

Правила для координат точки $(x; y)$

Образ точки при гомотетии с центром $M$

Образец: найдите образ $A (5; 3)$ при гомотетии с центром $M (1; 1)$ и $k = - \frac{1}{2}$ .

Центр $O$ , коэффициент $k$ : $O X^{'} = k \cdot OX$

Гомотетия: $A^{'} B^{'} ∥ A B$ и $A^{'} B^{'} = ∣ k ∣ \cdot A B$

Образец: $A BC D$ — трапеция, $BC ∥ A D$ , $BC = 6$ , $A D = 15$ , $A C = 14$ , $S_{BOC} = 8$ . Найдите $A O$ , $OC$ и $S_{A O D}$ .

Образец: $B \in A C$ , $△ A B K$ и $△ BCM$ — равносторонние, по одну сторону от $A C$ . Докажите: $K C = A M$ .

Образец: диагонали трапеции $A BC D$ перпендикулярны, $A C = 12$ , $B D = 16$ . Найдите среднюю линию и площадь.

Образец: в $△ A BC$ $A C = 12$ , высота $B H = 8$ . Квадрат: две вершины на $A C$ , две — на $A B$ и $BC$ . Найдите его сторону $x$ .

Образец: квадратная табличка $20 \times 20$ см параллельна стене, от лампы до таблички $0, 5$ м, до стены $3$ м. Найдите сторону и площадь тени.

а) Гомотетия: центр $M (2; 1)$ , $k = 3$ . Образ $A (4; 2)$ ?

б) Трапеция: $BC = 4$ , $A D = 12$ , $S_{BOC} = 3$ . Найдите $S_{A O D}$ .

в) Поворот $P (3; - 2)$ вокруг $O$ на $9 0^{\circ}$ по часовой.