Повторение и обобщение · урок 8 из 12

Повторение: метод координат

Геометрия · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R07 · GEOM9U-098

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R07 «Повторение, обобщение, систематизация знаний» (12 ч), урок 8/12, единица R07.1. Тип урока — О (обобщение и систематизация): теория — только сводки и один короткий вывод, остальное — решение задач. Тема урока внутри строки: метод координат (материал R03–R04, уроки GEOM9U-035 и далее; продолжение урока 7/12 о векторах).
Теория (12): титул 0,5 · цели 0,5 · сводка «расстояние и середина» 2,5 · сводка «уравнение прямой» 2,5 · вывод уравнения окружности 1,5 · сводка «прямая и окружность» 2,5 · план метода координат 2.
Практика (33): разминка 2 · образцы → сам 3 + 3 + 3 + 3 + 2,5 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2,5 · повышенный 2,5 · ОГЭ 2 · из жизни 1,5 · самостоятельная 3,5 · итог 1.
На титуле — главный чертёж урока: окружность и секущая на координатной плоскости. Вопрос: как по уравнениям узнать, сколько у них общих точек?

R07.1

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Считать по координатам

расстояние, середину отрезка, площадь треугольника (ПР-9)

Составлять уравнение прямой

понимать смысл $k$ и $m$ , условия $∥$ и $⊥$ (ПР-9)

Работать с окружностью

уравнение, расстояние до прямой, точки пересечения (ПР-10)

Выбирать метод координат

для доказательств и практических задач (ПР-10, ПР-11)

0,5 мин · теория
ПР-9: координаты на плоскости, уравнение прямой, угловой коэффициент и свободный член, параллельность и перпендикулярность, точки пересечения прямых.
ПР-10: уравнение окружности, пересечения окружностей и прямых, расстояние от точки до прямой, площадь в координатах, метод координат в геометрических задачах. ПР-11: метод координат в практико-ориентированных задачах.
Виды деятельности ФРП R07: свободно оперировать понятиями «прямоугольная система координат», «вектор»; выбирать метод для решения задачи.

повторение: урок 7/12

Разминка · устно

Семь быстрых вопросов

Координаты вектора $A B$ ? $(4; 3)$
Длина отрезка $A B$ ? $5$
Середина отрезка $A B$ ? $(3; 3, 5)$
Угловой коэффициент прямой $A B$ ? $\frac{3}{4}$
Где $y = 2 x - 3$ пересекает ось $O y$ ? $(0; - 3)$
$y = 2 x + 1$ и $y = - 0, 5 x + 4$ — как расположены? перпендикулярны
Центр и радиус: $x^{2} + (y + 2)^{2} = 9$ ? $(0; - 2)$ , $R = 3$

R07.1 · сводка

Сводка · расстояние, середина, площадь

Четыре формулы для точек

A B = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}

теорема Пифагора для катетов

Δ x

и

Δ y

M (\frac{x _{1} + x _{2}}{2}; \frac{y _{1} + y _{2}}{2})

середина отрезка

C = \frac{n \cdot A + m \cdot B}{m + n}

при

A C : CB = m : n

деление отрезка в отношении (по каждой координате)

S_{△} = \frac{1}{2} (x_{2} - x_{1}) (y_{3} - y_{1}) - (x_{3} - x_{1}) (y_{2} - y_{1})

половина площади параллелограмма на векторах

A B

,

A C

2,5 мин · теория
Формула расстояния — теорема Пифагора: катеты равны $∣ x_{2} - x_{1} ∣$ и $∣ y_{2} - y_{1} ∣$ (на чертеже — пунктир). Квадраты убирают знак, поэтому порядок точек не важен.
Деление в отношении: $x_{C} = \frac{n x _{1} + m x _{2}}{m + n}$ , $y_{C} = \frac{n y _{1} + m y _{2}}{m + n}$ ; при $m = n$ получается середина. Пример: $A (1; 1)$ , $B (7; 5)$ , $A C : CB = 1 : 1$ даёт $M (4; 3)$ (на чертеже).
Площадь: выражение под модулем — ориентированная площадь параллелограмма на векторах $A B$ и $A C$ (знак показывает направление обхода). Вывод был на уроках R04; сейчас — только применение.
Вопрос классу: какая формула понадобится, чтобы проверить, что четырёхугольник — параллелограмм? (Середины диагоналей совпадают.)

R07.1

Образец → сам · вид фигуры по координатам

Докажите, что $A BC D$ — квадрат

Образец: $A (- 2; - 1)$ , $B (1; 3)$ , $C (5; 0)$ , $D (2; - 4)$ .

середины $A C$ и $B D$ : $(1, 5; - 0, 5)$ совпали ⇒ параллелограмм

$A B = BC = 9 + 16 = 5$ соседние стороны равны ⇒ ромб

$A C = B D = 50$ диагонали равны ⇒ прямоугольник

$A BC D$ — квадрат,
$S = 25$

Сам

$A (0; 0)$ , $B (2; 4)$ , $C (6; 2)$ . Определите вид $△ A BC$ . прямоугольный равнобедренный, $∠ B = 9 0^{\circ}$
$A (1; 1)$ , $B (3; 5)$ , $C (9; 2)$ . Найдите $D$ : $A BC D$ — параллелограмм. $D (7; - 2)$
На оси $O x$ найдите точку, равноудалённую от $A (1; 3)$ и $B (5; 1)$ . $(2; 0)$

3 мин · практика
Образец: середина $A C$ : $(\frac{- 2 + 5}{2}; \frac{- 1 + 0}{2}) = (1, 5; - 0, 5)$ ; середина $B D$ : $(\frac{1 + 2}{2}; \frac{3 - 4}{2}) = (1, 5; - 0, 5)$ . $A B^{2} = 3^{2} + 4^{2} = 25$ , $B C^{2} = 4^{2} + 3^{2} = 25$ . $A C^{2} = 7^{2} + 1^{2} = 50$ , $B D^{2} = 1^{2} + 7^{2} = 50$ . Параллелограмм с равными соседними сторонами и равными диагоналями — квадрат; $S = 5^{2} = 25$ .
1) $A B^{2} = 4 + 16 = 20$ , $B C^{2} = 16 + 4 = 20$ , $A C^{2} = 36 + 4 = 40 = A B^{2} + B C^{2}$ ⇒ $∠ B = 9 0^{\circ}$ (обратная теорема Пифагора), $A B = BC$ .
2) Середины диагоналей совпадают: $D = A + C - B = (1 + 9 - 3; 1 + 2 - 5) = (7; - 2)$ .
3) $P (x; 0)$ : $(x - 1)^{2} + 9 = (x - 5)^{2} + 1 \Rightarrow 8 x = 16$ , $x = 2$ . Проверка: $P A^{2} = 1 + 9 = 10$ , $P B^{2} = 9 + 1 = 10$ .
Ошибка: «ромб, значит квадрат» — нужен ещё прямой угол или равные диагонали.

R07.1 · сводка

Сводка · уравнение прямой

Угловой коэффициент и свободный член

a x + b y + c = 0

или

y = k x + m

общий вид · с угловым коэффициентом (

b \neq = 0

)

$k = tg α = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$ $k > 0$ — возрастает, $k < 0$ — убывает

$m$ — ордината точки пересечения с $O y$ через точку $(x_{0}; y_{0})$ : $y - y_{0} = k (x - x_{0})$

$l_{1}$ $∥$ $l_{2}$ $⟺ k_{1} = k_{2}, m_{1} \neq = m_{2}$

$l_{1}$ $⊥$ $l_{2}$ $⟺ k_{1} \cdot k_{2} = - 1$ на чертеже: $\frac{1}{2} \cdot (- 2) = - 1$

R07.1

Образец → сам · уравнение прямой

Серединный перпендикуляр и высота

Образец: $A (- 1; 2)$ , $B (3; 4)$ . Уравнение серединного перпендикуляра к $A B$ .

$k_{A B} = \frac{4 - 2}{3 + 1} = \frac{1}{2}$ угловой коэффициент $A B$

$M (1; 3)$ середина $A B$

$k = - 2$ $k \cdot k_{A B} = - 1$

$y - 3 = - 2 (x - 1)$
$y = - 2 x + 5$

Сам

Уравнение прямой через $A (2; - 1)$ и $B (4; 5)$ . $y = 3 x - 7$
Прямая через $P (3; 2)$ , параллельная $y = - 2 x + 7$ . $y = - 2 x + 8$
$A (0; 0)$ , $B (4; 2)$ , $C (1; 5)$ . Уравнение высоты $C H$ и точка $H$ . $y = - 2 x + 7$ , $H (2, 8; 1, 4)$

R07.1 · вывод

Вывод · уравнение окружности

Окружность — точки на расстоянии $R$ от центра

$M (x; y)$ на окружности $⟺ CM = R$ определение окружности

$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R$ формула расстояния

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}

возвели в квадрат: обе части неотрицательны

$x^{2} + y^{2} - 6 x + 4 y - 12 = 0$
$⟺ (x - 3)^{2} + (y + 2)^{2} = 25$ выделили полные квадраты: центр $(3; - 2)$ , $R = 5$

R07.1 · сводка

Сводка · прямая и окружность

Всё решает расстояние $d$ от центра до прямой

d = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c ∣}{a ^{2} + b ^{2}}

от точки

(x_{0}; y_{0})

до прямой

a x + b y + c = 0

ℓ_{хорды} = 2 R^{2} - d^{2}

точки пересечения — решение системы двух уравнений

$d < R$ — две общие точки

$d = R$ — касательная

$d > R$ — общих точек нет

R07.1

Образец → сам · уравнение окружности

Окружность с диаметром $A B$

Образец: $A (- 1; 3)$ , $B (5; - 5)$ . Уравнение окружности; лежит ли на ней $K (5; 3)$ ?

$M (2; - 1)$ центр — середина диаметра

$R = \frac{1}{2} 36 + 64 = 5$ половина $A B$

$(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} = 25$

$K$ : $3^{2} + 4^{2} = 25$ — дакоординаты удовлетворяют уравнению

Сам

Центр $(- 3; 4)$ , окружность проходит через $O (0; 0)$ . $(x + 3)^{2} + (y - 4)^{2} = 25$
Центр $(2; - 1)$ , окружность касается прямой $3 x - 4 y + 5 = 0$ . $(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} = 9$
Центр и радиус: $x^{2} + y^{2} + 8 x - 2 y + 8 = 0$ . $(- 4; 1)$ , $R = 3$

R07.1

Образец → сам · пересечение прямой и окружности

Решаем систему уравнений

Образец: найдите общие точки $x^{2} + y^{2} = 25$ и $x + y = 7$ .

$y = 7 - x$ выразили из уравнения прямой

$x^{2} + (7 - x)^{2} = 25$ подставили в уравнение окружности

$x^{2} - 7 x + 12 = 0$
$x = 3$ или $x = 4$ теорема Виета

$(3; 4)$ и $(4; 3)$

Сам

Общие точки $x^{2} + y^{2} = 10$ и $y = x + 2$ . $(1; 3)$ и $(- 3; - 1)$
При каких $m$ прямая $y = x + m$ касается окружности $x^{2} + y^{2} = 8$ ? $m = \pm 4$
Длина хорды: $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 25$ , прямая $3 x + 4 y - 10 = 0$ . $8$

R07.1 · сводка

Сводка · метод координат

План решения и удобная система координат

Ввести систему координатначало — в вершине, оси — по сторонам или осям симметрии
Записать координаты точеккак можно больше нулей, буквы вместо чисел
Перевести условие в формулырасстояния, середины, уравнения, $k_{1} k_{2} = - 1$
Вычислить и вернуться к геометрииответ — словами: «равны», «перпендикулярны»

2 мин · теория
Удачные системы: прямоугольный треугольник — катеты по осям; параллелограмм — $A$ в начале, $A D$ по $O x$ ; равнобедренный треугольник и трапеция — ось симметрии по $O y$ ; окружность — центр в начале.
Совет для доказательств: если нужна середина — сразу берите координаты $2 a$ , $2 b$ (дроби исчезнут) — так и сделано в следующем образце.
Когда метод координат выгоден: много расстояний и перпендикулярности, нет «красивых» углов; когда невыгоден: задачи на углы и вписанные углы — там проще классическая геометрия (выбор метода — главный навык повторения).

R07.1

Образец → сам · доказательство методом координат

Медиана к гипотенузе равна её половине

Образец: $△ A BC$ , $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $M$ — середина $A B$ . Докажите: $CM = \frac{1}{2} A B$ .

$C (0; 0)$ , $A (2 a; 0)$ , $B (0; 2 b)$ катеты — по осям

$M (a; b)$ середина $A B$

$CM = a^{2} + b^{2}$
$A B = 4 a^{2} + 4 b^{2}$
$A B = 2 a^{2} + b^{2}$ формула расстояния

$CM = \frac{1}{2} A B$ ∎

Сам: план и вычисление

Докажите: сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон. $2 a^{2} + 2 (b^{2} + c^{2})$ в обеих частях
Докажите: середины сторон прямоугольника — вершины ромба. все стороны $a^{2} + b^{2}$
$A (- 1; 0)$ , $B (1; 0)$ . Найдите множество точек $M$ : $M A^{2} + M B^{2} = 4$ . окружность $x^{2} + y^{2} = 1$

R07.1

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$(x + 3)^{2} + (y - 2)^{2} = 16$ : центр $(3; - 2)$ , $R = 16$	в уравнении стоит $x - a$ ; справа — $R^{2}$	центр $(- 3; 2)$ , $R = 4$
$k = \frac{x _{2} - x _{1}}{y _{2} - y _{1}}$	угловой коэффициент — подъём на единицу сдвига	$k = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$
$l_{1} ⊥ l_{2}$ , если $k_{2} = - k_{1}$	нужно «минус» и «обратное»	$k_{1} k_{2} = - 1$ , т. е. $k_{2} = - \frac{1}{k _{1}}$
$d = ∣ a x_{0} + b y_{0} + c ∣$	забыт знаменатель — длина нормали	$d = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c ∣}{a ^{2} + b ^{2}}$

R07.1

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Прямая через $A (1; 2)$ и $B (3; 8)$ .

$k = \frac{3 - 1}{8 - 2} = \frac{1}{3}$

$y = \frac{1}{3} x + \frac{5}{3}$

$k = \frac{8 - 2}{3 - 1} = 3$ , $y = 3 x - 1$

б) Расстояние от $O (0; 0)$ до прямой $y = 2 x + 5$ .

$2 x - y + 5 = 0$

$d = \frac{5}{2 + 1} = \frac{5}{3}$

$d = \frac{5}{2 ^{2} + 1 ^{2}} = 5$

в) Радиус окружности $x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y = 3$ .

$(x - 2)^{2} + (y + 3)^{2} = 3$

$R = 3$

$= 3 + 4 + 9 = 16$ , $R = 4$

R07.1

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

база $A (- 3; 5)$ , $B (5; - 1)$ . Найдите $A B$ . $10$
базаСередина отрезка с концами $(- 4; 7)$ и $(6; - 3)$ ? $(1; 2)$
база $M (2; - 3)$ — середина $A B$ , $A (- 1; 4)$ . Найдите $B$ . $(5; - 10)$

базаУгловой коэффициент прямой $3 x + 2 y - 6 = 0$ ? $- 1, 5$
базаЦентр и радиус окружности $(x - 5)^{2} + y^{2} = 49$ ? $(5; 0)$ , $R = 7$
базаПересекаются ли прямые $y = 3 x - 1$ и $6 x - 2 y + 5 = 0$ ? нет, параллельны

R07.1

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Найдите площадь треугольника $A (1; 1)$ , $B (6; 3)$ , $C (2; 7)$ . $14$
повыш.Расстояние между прямыми $3 x - 4 y + 2 = 0$ и $3 x - 4 y - 13 = 0$ . $3$
повыш.Найдите точку, симметричную $A (5; 0)$ относительно прямой $y = 2 x$ . $(- 3; 4)$
повыш.Общие точки окружностей $x^{2} + y^{2} = 25$ и $(x - 6)^{2} + y^{2} = 13$ . $(4; 3)$ и $(4; - 3)$

R07.1 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 18 и 19

Ответ — одно число

ОГЭ 18 Найдите расстояние от точки $A$ до прямой $BC$ , клетка $1 \times 1$ .

начало в $B$ : $C (4; 3)$ , $A (0; 5)$
$BC$ : $3 x - 4 y = 0$

$d = \frac{∣0 - 20∣}{5} = 4$

Ответ: 4

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Угловой коэффициент прямой $y = - 3 x + 2$ равен $2$ .
Прямые $y = 2 x + 1$ и $y = 2 x - 5$ параллельны.
Радиус окружности $x^{2} + y^{2} = 9$ равен $9$ .
Расстояние между точками $(0; 0)$ и $(3; 4)$ равно $5$ .

Ответ: 24

R07.1 · ПР-11

Задача из жизни · зона связи

Сколько километров дороги покрывает вышка?

Вышка $T (2; 3)$ , радиус связи $5$ км. Дорога: $x + 2 y - 18 = 0$ (единица — 1 км).

$d = \frac{∣2 + 6 - 18∣}{5} = 25 \approx 4, 47 < 5$ дорога проходит через зону

$PQ = 2 25 - 20 = 25 \approx 4, 5$ кмдлина хорды

$P (2; 8)$ , $Q (6; 6)$ проверка системой

Сколько минут связь в машине при $60$ км/ч? $\approx 4, 5$ мин
При каком радиусе дорога лишь касается зоны? $25 \approx 4, 47$ км

R07.1

Самостоятельная работа · 3,5 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$A (- 2; 3)$ , $B (4; - 5)$ . Найдите $A B$ и середину $A B$ . $10$ ; $(1; - 1)$
Уравнение прямой через $(1; 2)$ и $(3; 6)$ . $y = 2 x$
Центр и радиус: $x^{2} + y^{2} - 6 x + 2 y - 6 = 0$ . $(3; - 1)$ , $R = 4$
Расстояние от $(1; 1)$ до прямой $3 x + 4 y + 3 = 0$ . $2$

Вариант 2

$A (3; - 4)$ , $B (- 3; 4)$ . Найдите $A B$ и середину $A B$ . $10$ ; $(0; 0)$
Уравнение прямой через $(- 1; 5)$ и $(2; - 1)$ . $y = - 2 x + 3$
Центр и радиус: $x^{2} + y^{2} + 4 x - 8 y + 11 = 0$ . $(- 2; 4)$ , $R = 3$
Расстояние от $(2; - 1)$ до прямой $5 x - 12 y + 4 = 0$ . $2$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как по уравнению окружности найти центр и радиус?
Когда прямые перпендикулярны?
Как узнать, касается ли прямая окружности?

Домашнее задание

Окружность с центром $(1; - 2)$ касается оси $O y$ . Уравнение?
Общие точки $y = 2 x$ и $x^{2} + y^{2} = 20$ .
* Докажите методом координат: медианы треугольника пересекаются в одной точке.
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_adv_vektory-koordinaty.htm

1 мин · практика (рефлексия, запись ДЗ)
Ответы ДЗ: 1) $R$ = расстояние до $O y$ = $∣1∣ = 1$ : $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 1$ . 2) $5 x^{2} = 20$ , $x = \pm 2$ : $(2; 4)$ и $(- 2; - 4)$ . 3) $A (x_{1}; y_{1})$ , $B (x_{2}; y_{2})$ , $C (x_{3}; y_{3})$ : точка, делящая медиану из $A$ в отношении $2 : 1$ от вершины, имеет координаты $(\frac{x _{1} + x _{2} + x _{3}}{3}; \frac{y _{1} + y _{2} + y _{3}}{3})$ — выражение симметрично, значит, на всех трёх медианах одна и та же точка ∎.
Следующий урок (9/12) — движения, симметрия, гомотетия: координаты образа точки — продолжение сегодняшнего задания 3 повышенного уровня.

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9U-098 · Повторение: метод координат

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R07 «Повторение, обобщение, систематизация знаний», 12 ч · урок 8/12 · тип О
Единицы → слайды	R07.1 (повторение понятий и методов курсов 7–9 классов: прямоугольная система координат, вектор, выбор метода, практико-ориентированные задачи) → 2–21
Результаты	ПР-9 (координаты, уравнение прямой, $k$ и $m$ , параллельность и перпендикулярность) → 3–7, 14–18, 20 · ПР-10 (уравнение окружности, пересечения, расстояние до прямой, площадь в координатах, метод координат) → 4, 8–13, 15–18, 20 · ПР-11 (практико-ориентированные задачи) → 19
Вне урока	векторы и скалярное произведение — урок 7/12 (GEOM9U-097); движения и гомотетия — урок 9/12 (GEOM9U-099); вывод формулы расстояния от точки до прямой — уроки R04
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Повторение: метод координат

Сегодня вы научитесь

Считать по координатам

Составлять уравнение прямой

Работать с окружностью

Выбирать метод координат

Семь быстрых вопросов

Четыре формулы для точек

Докажите, что ABCD — квадрат

Образец: A(−2;−1), B(1;3), C(5;0), D(2;−4).

Сам

Угловой коэффициент и свободный член

Серединный перпендикуляр и высота

Образец: A(−1;2), B(3;4). Уравнение серединного перпендикуляра к AB.

Сам

Окружность — точки на расстоянии R от центра

Всё решает расстояние d от центра до прямой

Окружность с диаметром AB

Образец: A(−1;3), B(5;−5). Уравнение окружности; лежит ли на ней K(5;3)?

Сам

Решаем систему уравнений

Образец: найдите общие точки x2+y2=25 и x+y=7.

Сам

План решения и удобная система координат

Медиана к гипотенузе равна её половине

Образец: △ABC, ∠C=90∘, M — середина AB. Докажите: CM=21​AB.

Сам: план и вычисление

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Прямая через A(1;2) и B(3;8).

б) Расстояние от O(0;0) до прямой y=2x+5.

в) Радиус окружности x2+y2−4x+6y=3.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

Сколько километров дороги покрывает вышка?

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9U-098 · Повторение: метод координат

Докажите, что $A BC D$ — квадрат

Образец: $A (- 2; - 1)$ , $B (1; 3)$ , $C (5; 0)$ , $D (2; - 4)$ .

Образец: $A (- 1; 2)$ , $B (3; 4)$ . Уравнение серединного перпендикуляра к $A B$ .

Окружность — точки на расстоянии $R$ от центра

Всё решает расстояние $d$ от центра до прямой

Окружность с диаметром $A B$

Образец: $A (- 1; 3)$ , $B (5; - 5)$ . Уравнение окружности; лежит ли на ней $K (5; 3)$ ?

Образец: найдите общие точки $x^{2} + y^{2} = 25$ и $x + y = 7$ .

Образец: $△ A BC$ , $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $M$ — середина $A B$ . Докажите: $CM = \frac{1}{2} A B$ .

а) Прямая через $A (1; 2)$ и $B (3; 8)$ .

б) Расстояние от $O (0; 0)$ до прямой $y = 2 x + 5$ .

в) Радиус окружности $x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y = 3$ .