Повторение и систематизация · урок 7 из 12

Векторы и координаты в решении задач

Геометрия · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R07 · GEOM9U-097

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R07 «Повторение, обобщение, систематизация знаний» (12 ч), урок 7/12, единица R07.1. Тип урока — О (обобщение и систематизация).
Теория (12): титул 0,5 · цели 0,5 · сводка «координаты» 2 · сводка «векторы» 2 · словарь перевода 1,5 · демонстрация «векторы» 2 · демонстрация «координаты» 2 · выбор метода 1,5.
Практика (33): разминка 2,5 · образцы → сам 2,5 + 2,5 + 2,5 + 2,5 + 3 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 3 · повышенный 2,5 · ОГЭ 2 · из жизни 1,5 · самостоятельная 4 · итог 1.
Тема урока в цикле повторения: векторный и координатный методы как инструмент для задач всего курса 7–9 классов (средняя линия, параллелограмм, прямоугольный треугольник, окружность).
Если не успеваете: задачу из жизни и пятый образец (доказательство координатами) — в ДЗ; сводки не сокращать.

R07.1

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Переводить условие

на язык векторов и координат: середина, параллельность, перпендикулярность (ПР-12)

Применять метод координат

расстояния, уравнения прямой и окружности, вид фигуры (ПР-9, ПР-10)

Находить углы и длины

через скалярное произведение, доказывать перпендикулярность (ПР-14)

Выбирать метод

для задач курса 7–9 классов, в том числе ОГЭ 18 и 25 (R07.1)

повторение: R03, R04

Разминка · устно

Восемь вопросов на одну минуту каждый

$A (1; 3)$ , $B (5; 7)$ . Середина $A B$ ? $(3; 5)$
Координаты $A B$ для тех же точек? ${4; 4}$
$∣ a ∣$ при $a {6; - 8}$ ? $10$
${2; - 3}$ и ${- 4; 6}$ коллинеарны? да, второй $= - 2 \cdot$ первый

${3; 1} \cdot {- 1; 3} = ?$ $0$ — векторы перпендикулярны
$(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} = 9$ : центр и $R$ ? $(2; - 1)$ , $R = 3$
Прямая через $O$ , параллельная $y = - 2 x + 5$ ? $y = - 2 x$
$a \cdot b < 0$ . Какой угол между векторами? тупой

R07.1 · R03

Сводка · метод координат

Расстояние, середина, прямая, окружность

Расстояние

$A B = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}$

Середина отрезка

$M (\frac{x _{1} + x _{2}}{2}; \frac{y _{1} + y _{2}}{2})$

Прямая $y = k x + l$

$∥$ : $k_{1} = k_{2}$ , $l_{1} \neq = l_{2}$ ; $⊥$ : $k_{1} k_{2} = - 1$

Окружность

$(x - x_{0})^{2} + (y - y_{0})^{2} = R^{2}$

R07.1 · R04

Сводка · векторы

Действия, координаты, скалярное произведение

Координаты

$A B = {x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A}}$ , $∣ a ∣ = x^{2} + y^{2}$

Коллинеарность

$b = k a$ $\Leftrightarrow$ $x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} = 0$

Скалярное произведение

$a \cdot b = ∣ a ∣ ∣ b ∣ cos φ = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}$

Следствия

$a ⊥ b \Leftrightarrow a \cdot b = 0$ ; $a^{2} = ∣ a ∣^{2}$

R07.1

Сводка · словарь перевода

Геометрия → векторы → координаты

Геометрический факт	Векторная запись	В координатах
$M$ — середина $A B$	$OM = \frac{1}{2} (O A + OB)$	$x_{M} = \frac{x _{A} + x _{B}}{2}$ , $y_{M} = \frac{y _{A} + y _{B}}{2}$
$A B ∥ C D$	$C D = k A B$	координаты пропорциональны
$A B ⊥ C D$	$A B \cdot C D = 0$	$x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} = 0$
длина $A B$	$A B^{2} = A B^{2}$	$(x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}$
угол $φ$	$cos φ = \frac{a \cdot b}{∣ a ∣ ∣ b ∣}$	$cos φ = \frac{x _{1} x _{2} + y _{1} y _{2}}{∣ a ∣ ∣ b ∣}$
$A BC D$ — параллелограмм	$A B = D C$	$x_{B} - x_{A} = x_{C} - x_{D}$ , $y_{B} - y_{A} = y_{C} - y_{D}$

R07.1

Демонстрация · векторный метод

Теорема о средней линии треугольника

Дано:

M

,

N

— середины

A B

и

BC

.
Доказать:

MN ∥ A C

,

MN = \frac{1}{2} A C

.

1

MN

=

MB

+

BN

правило треугольника

2

MB = \frac{1}{2} A B

,

BN = \frac{1}{2} BC

M

и

N

— середины

3

MN = \frac{1}{2} (A B + BC) = \frac{1}{2} A C

вынесли множитель, правило треугольника

4

MN ∥ A C

,

MN = \frac{1}{2} A C

векторы коллинеарны; длина

∣ k a ∣ = ∣ k ∣ ∣ a ∣

R07.1

Демонстрация · координатный метод

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма

Доказать:

A C^{2}

+

B D^{2}

= 2 (A B^{2} + A D^{2})

.

1

A (0; 0)

,

D (a; 0)

,

B (b; c)

начало — в вершине, сторона

A D

— на оси

O x

2

C (a + b; c)

BC = A D

— параллелограмм

3

(a + b)^{2} + c^{2}

+

(a - b)^{2} + c^{2}

= 2 a^{2} + 2 b^{2} + 2 c^{2}

формула расстояния, раскрыли скобки

4

= 2 ((b^{2} + c^{2}) + a^{2}) = 2 (A B^{2} + A D^{2})

A B^{2} = b^{2} + c^{2}

,

A D^{2} = a^{2}

R07.1

Схема · как выбрать метод

Что в условии — то и подсказка

Координаты

прямой угол, прямоугольник, квадрат
окружность, расстояния
даны координаты точек

$A (0; 0)$ , сторона — на оси

Векторы

середины, медианы
параллельность, отношение отрезков
параллелограмм

$MN = \frac{1}{2} A C$

Скалярное произведение

угол между прямыми
перпендикулярность
длины диагоналей, медиан

$a \cdot b = 0 \Leftrightarrow a ⊥ b$

Алгоритм: выбрать систему (векторы) удобно → перевести условие по словарю → вычислить → вернуться к геометрии и записать ответ.

R07.1 · ПР-9, ПР-14

Образец → сам · вид фигуры по координатам

Параллелограмм? Прямоугольник? Квадрат?

Образец: $A (- 2; - 1)$ , $B (1; 3)$ , $C (5; 0)$ , $D (2; - 4)$ . Определите вид $A BC D$ и найдите $S$ .

$A B {3; 4}$ $= D C {3; 4}$ параллелограмм

$A D {4; - 3}$ : $3 \cdot 4 + 4 \cdot (- 3) = 0$ прямоугольник

$∣ A B ∣ = ∣ A D ∣ = 5$ квадрат

$S = 5^{2} = 25$

Сам

$A (0; 0)$ , $B (3; 4)$ , $C (8; 4)$ , $D (5; 0)$ . Вид $A BC D$ ? ромб, не квадрат
$A (1; 1)$ , $B (3; 5)$ , $C (9; 2)$ , $D (7; - 2)$ . Вид и $S$ ? прямоугольник, $S = 30$
$K (- 1; 2)$ , $L (3; 5)$ , $M (6; 1)$ . Вид $△ K L M$ ? прямоугольный равнобедренный

R07.1 · ПР-10

Образец → сам · окружность и прямая

Окружность, построенная на отрезке как на диаметре

Образец: $A (- 2; 1)$ , $B (4; 9)$ . Составьте уравнение окружности с диаметром $A B$ . Лежит ли на ней $P (4; 1)$ ?

центр $O (1; 5)$ середина $A B$

$R = \frac{1}{2} 6^{2} + 8^{2} = 5$ половина диаметра

$(x - 1)^{2} + (y - 5)^{2} = 25$

$P$ : $3^{2} + (- 4)^{2} = 25$ — лежит ⇒ $∠ A PB = 9 0^{\circ}$

Сам

Окружность: центр $(- 2; 3)$ , проходит через $(1; 7)$ . Уравнение? $(x + 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 25$
Точки пересечения $x^{2} + y^{2} = 25$ и $y = x + 1$ ? $(3; 4)$ и $(- 4; - 3)$
Уравнение прямой через $A (1; 2)$ и $B (3; 8)$ ? $y = 3 x - 1$

R07.1 · ПР-12

Образец → сам · разложение по двум векторам

Медиана и точка пересечения медиан

Образец: $A B = a$ , $A C = b$ , $M$ — середина $BC$ , $G$ — точка пересечения медиан. Выразите $A M$ , $A G$ , $BG$ .

$A M = \frac{1}{2} (a + b)$ середина отрезка

$A G = \frac{2}{3} A M = \frac{1}{3} (a + b)$ медианы делятся $2 : 1$

$BG = A G - A B = \frac{1}{3} b - \frac{2}{3} a$

Сам

$A BC D$ — параллелограмм, $A B = a$ , $A D = b$ , $K$ — середина $C D$ . $A K$ ? $\frac{1}{2} a + b$
Там же $O$ — точка пересечения диагоналей. $BO$ ? $\frac{1}{2} (b - a)$
Там же $P \in BC$ , $BP : PC = 1 : 2$ . $D P$ ? $a - \frac{2}{3} b$

R07.1 · ПР-14

Образец → сам · угол через скалярное произведение

Угол треугольника по координатам вершин

Образец: $A (1; 1)$ , $B (4; 2)$ , $C (2; 3)$ . Найдите $∠ A$ треугольника $A BC$ .

$A B {3; 1}$ , $A C {1; 2}$

$A B \cdot A C = 3 + 2 = 5$

$cos A = \frac{5}{10 \cdot 5} = \frac{2}{2}$

$∠ A = 4 5^{\circ}$

Сам

При каком $m$ векторы ${m; 4}$ и ${6; - 3}$ перпендикулярны? $m = 2$
$∣ a ∣ = 3$ , $∣ b ∣ = 4$ , угол между ними $6 0^{\circ}$ . Найдите $∣ a + b ∣$ . $37$
Для того же $△ A BC$ найдите $∠ B$ и $∠ C$ . $4 5^{\circ}$ и $9 0^{\circ}$

R07.1 · ПР-9, ПР-14

Образец → сам · доказательство методом координат

Точка внутри прямоугольника

Образец: $A BC D$ — прямоугольник, $P$ — любая точка. Докажите: $P A^{2} + P C^{2}$ $=$ $P B^{2} + P D^{2}$ .

оси — по сторонам $A D$ и $A B$ удобная система

$x^{2} + y^{2} + (x - a)^{2} + (y - b)^{2}$

$x^{2} + (y - b)^{2} + (x - a)^{2} + y^{2}$ те же слагаемые

Сам: план

Медиана прямоугольного треугольника к гипотенузе равна её половине. $C (0; 0)$ , $A (2 a; 0)$ , $B (0; 2 b)$
Диагонали ромба перпендикулярны (векторами). $(a + b) \cdot (b - a) = 0$
$A BC D$ — квадрат, $M$ , $N$ — середины $BC$ и $C D$ . Докажите: $A M ⊥ BN$ . ${2; 1} \cdot {- 1; 2} = 0$

3 мин · практика (работа в парах: один пишет план, другой — обоснования)
Образец: $P A^{2} = x^{2} + y^{2}$ , $P C^{2} = (x - a)^{2} + (y - b)^{2}$ , $P B^{2} = x^{2} + (y - b)^{2}$ , $P D^{2} = (x - a)^{2} + y^{2}$ — суммы состоят из одних и тех же четырёх слагаемых. Точка P может быть и вне прямоугольника — доказательство не меняется (сила метода координат).
1) Середина гипотенузы M(a; b); $CM = a^{2} + b^{2}$ , $A B = 4 a^{2} + 4 b^{2} = 2 a^{2} + b^{2}$ ⇒ CM = ½AB. Удобно брать координаты 2a и 2b — тогда у середины нет дробей.
2) Ромб ABCD: AB = a, AD = b, |a| = |b|; AC = a + b, BD = b − a; AC · BD = $b^{2} - a^{2} = 0$ ⇒ AC ⊥ BD.
3) A(0; 0), B(2; 0), C(2; 2), D(0; 2) (сторона 2, чтобы середины были целыми): M(2; 1), N(1; 2); AM{2; 1}, BN{−1; 2}; AM · BN = −2 + 2 = 0 ⇒ AM ⊥ BN.

R07.1

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$(x - 2)^{2} + (y + 3)^{2} = 16$ : центр $(2; 3)$ , $R = 16$	в уравнении $y - y_{0}$ ; справа $R^{2}$	центр $(2; - 3)$ , $R = 4$
$y = 2 x + 1$ и $y = - 2 x + 5$ перпендикулярны	нужно $k_{1} k_{2} = - 1$ , а здесь $- 4$	не перпендикулярны; $⊥$ при $k = - \frac{1}{2}$
$A (- 1; 3)$ , $B (5; 7)$ : середина $(3; 2)$	взяли половину $A B$ , а не полусумму	$M (2; 5)$
${2; - 3}$ и ${3; 2}$ коллинеарны: «те же числа»	координаты не пропорциональны	$6 - 6 = 0$ ⇒ перпендикулярны

R07.1

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Угол между $a {1; - 1}$ и $b {- 2; 0}$ .

$a \cdot b = - 2$

$cos φ = \frac{- 2}{2 \cdot 2} = - \frac{2}{2}$

$φ = 4 5^{\circ}$

$cos φ < 0$ ⇒ $φ = 13 5^{\circ}$

б) Окружность с диаметром $A B$ , $A (- 3; 5)$ , $B (7; - 1)$ .

центр $(\frac{7 + 3}{2}; \frac{- 1 - 5}{2}) = (5; - 3)$

$R = \frac{1}{2} 100 + 36 = 34$

$(x - 5)^{2} + (y + 3)^{2} = 34$

центр $(2; 2)$ :
$(x - 2)^{2} + (y - 2)^{2} = 34$

в) Медиана к гипотенузе: $C (0; 0)$ , $A (a; 0)$ , $B (0; b)$ .

середина $A B$ : $M (a; b)$

$CM = a^{2} + b^{2} = A B$

$M (\frac{a}{2}; \frac{b}{2})$ ,
$CM = \frac{1}{2} a^{2} + b^{2} = \frac{1}{2} A B$

2 мин · практика
Сначала видны «решения ученика» (неверные строки — красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Вычисления верны, ошибка в последнем шаге: косинус отрицателен ⇒ угол тупой, 180° − 45° = 135°. Видно и без вычислений: b направлен влево, a — вправо-вниз.
б) Середину считают полусуммой, а не полуразностью: ((−3 + 7)/2; (5 − 1)/2) = (2; 2). Радиус найден верно: AB = √(100 + 36) = √136 = 2√34.
в) Перепутали середину отрезка с его концом: у середины координаты — полусуммы. Сравнить с заданием «сам» 1 на сл. 14 — там взяли 2a и 2b, чтобы обойтись без дробей.

R07.1

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

база $A (- 1; 4)$ , $B (5; - 4)$ . Найдите $A B$ . $10$
база $M (2; 3)$ — середина $A B$ , $A (- 1; 5)$ . Найдите $B$ . $(5; 1)$
база $a {2; - 1}$ , $b {- 3; 4}$ . Найдите $2 a - b$ . ${7; - 6}$

базаДля тех же векторов найдите $a \cdot b$ . $- 10$
базаОкружность: центр $(3; - 2)$ , $R = 4$ . Уравнение? $(x - 3)^{2} + (y + 2)^{2} = 16$
базаПри каком $p$ векторы ${p; 6}$ и ${2; - 3}$ коллинеарны? $p = - 4$

R07.1

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Медиана, угол, окружность, параллелограмм

повыш. $A (1; 2)$ , $B (3; 8)$ , $C (7; 4)$ . Найдите длину медианы $A M$ . $42$
повыш. $∣ a ∣ = 2$ , $∣ b ∣ = 5$ , $∣ a - b ∣ = 19$ . Найдите угол между $a$ и $b$ . $6 0^{\circ}$
повыш.Найдите центр и радиус окружности $x^{2} + y^{2} - 6 x + 8 y = 0$ . Проходит ли она через $O (0; 0)$ ? $(3; - 4)$ , $R = 5$ ; да
повыш. $A (- 2; 1)$ , $B (1; 4)$ , $C (6; 2)$ . Найдите вершину $D$ параллелограмма $A BC D$ и диагональ $B D$ . $D (3; - 1)$ , $B D = 29$

R07.1 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 18 и 25

Клетки и вторая часть: выбираем метод

ОГЭ 18 Клетка $1 \times 1$ .

а) Средняя линия, параллельная $A C$ ? $4$

б) Площадь $△ A BC$ ? $20$

ОГЭ 25 Катеты прямоугольного треугольника $6$ и $8$ . Найдите расстояние между точкой пересечения медиан и центром описанной окружности.

$C (0; 0)$ , $A (6; 0)$ , $B (0; 8)$ — оси по катетам

$O (3; 4)$ — середина гипотенузы

$G (\frac{0 + 6 + 0}{3}; \frac{0 + 0 + 8}{3}) = (2; \frac{8}{3})$

$OG = 1 + \frac{16}{9} = \frac{5}{3}$

2 мин · практика
18а) A(1; 1), C(9; 1) ⇒ AC = 8; средняя линия = ½ · 8 = 4. 18б) Основание AC = 8, высота из B — 5 клеток: S = ½ · 8 · 5 = 20. В бланк: 4 и 20.
25) Центр описанной окружности прямоугольного треугольника — середина гипотенузы O(3; 4). Точка пересечения медиан — среднее арифметическое координат вершин: $CG = \frac{1}{3} (C A + CB)$ . $OG = (3 - 2)^{2} + (4 - \frac{8}{3})^{2} = \frac{25}{9} = \frac{5}{3}$ . Ответ: 5/3.
Без координат задача требует теоремы о медианах и подобия — координатный способ короче. Для полного балла: обосновать выбор точек O и G.

R07.1 · ПР-11

Задача из жизни · маршрут дрона

Координаты на карте: клетка — 100 м

Дрон летит $O \to A \to B$ : $A (6; 8)$ , $B (12; 0)$ . Какова длина маршрута? $2$ км
На сколько короче прямой путь $O \to B$ ? на $800$ м
Вышка $T (10; 5)$ держит связь в радиусе $600$ м. Есть ли связь в точке $A$ ? да: $T A = 500$ м

R07.1

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$A (2; - 1)$ , $B (- 4; 7)$ . Найдите $A B$ и середину $A B$ . $10$ ; $(- 1; 3)$
$a {3; - 4}$ , $b {4; 3}$ . Найдите $a \cdot b$ и угол. $0$ ; $9 0^{\circ}$
Окружность с центром $A$ проходит через $B$ (точки из п. 1). Уравнение? $(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} = 100$
$∣ a ∣ = ∣ b ∣ = 2$ , угол $12 0^{\circ}$ . Найдите $∣ a + b ∣$ . $2$

Вариант 2

$A (- 3; 2)$ , $B (5; - 4)$ . Найдите $A B$ и середину $A B$ . $10$ ; $(1; - 1)$
$a {1; 1}$ , $b {0; 3}$ . Найдите $a \cdot b$ и угол. $3$ ; $4 5^{\circ}$
Окружность с диаметром $A B$ (точки из п. 1). Уравнение? $(x - 1)^{2} + (y + 1)^{2} = 25$
$∣ a ∣ = 3$ , $∣ b ∣ = 5$ , угол $6 0^{\circ}$ . Найдите $∣ a - b ∣$ . $19$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как на языке векторов записать, что $M$ — середина $A B$ ?
Как проверить перпендикулярность прямых: двумя способами?
Когда метод координат удобнее векторного?

Домашнее задание

Вид $A BC D$ : $A (- 1; - 2)$ , $B (1; 2)$ , $C (5; 0)$ , $D (3; - 4)$ ; найдите $S$ .
Точки пересечения $(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 25$ и прямой $y = x$ .
* Векторами: отрезок между серединами диагоналей трапеции равен полуразности оснований.
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_adv_vektory-koordinaty.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9U-097 · Векторы и координаты в решении задач

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R07 «Повторение, обобщение, систематизация знаний», 12 ч · урок 7/12 · тип О
Единицы → слайды	R07.1 «Повторение основных понятий и методов курсов 7–9 классов…» → 2–22 · повторение R03, R04 → 3
Результаты	ПР-9, ПР-10 (метод координат, уравнения прямой и окружности) → 4, 10, 11, 14 · ПР-11 (практические задачи) → 20 · ПР-12 (векторы) → 5, 7, 12 · ПР-14 (скалярное произведение) → 5, 13, 14
Вне урока	подробная теория векторов — GEOM9U-045–064; метода координат — GEOM9U-035–044; другие темы повторения — GEOM9U-091–102
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Векторы и координаты в решении задач

Сегодня вы научитесь

Переводить условие

Применять метод координат

Находить углы и длины

Выбирать метод

Восемь вопросов на одну минуту каждый

Расстояние, середина, прямая, окружность

Расстояние

Середина отрезка

Прямая y=kx+l

Окружность

Действия, координаты, скалярное произведение

Координаты

Коллинеарность

Скалярное произведение

Следствия

Геометрия → векторы → координаты

Теорема о средней линии треугольника

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма

Что в условии — то и подсказка

Координаты

Векторы

Скалярное произведение

Параллелограмм? Прямоугольник? Квадрат?

Образец: A(−2;−1), B(1;3), C(5;0), D(2;−4). Определите вид ABCD и найдите S.

Окружность, построенная на отрезке как на диаметре

Образец: A(−2;1), B(4;9). Составьте уравнение окружности с диаметром AB. Лежит ли на ней P(4;1)?

Медиана и точка пересечения медиан

Образец: AB=a, AC=b, M — середина BC, G — точка пересечения медиан. Выразите AM, AG, BG.

Угол треугольника по координатам вершин

Образец: A(1;1), B(4;2), C(2;3). Найдите ∠A треугольника ABC.

Точка внутри прямоугольника

Образец: ABCD — прямоугольник, P — любая точка. Докажите: PA2+PC2 = PB2+PD2.

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Угол между a{1;−1} и b{−2;0}.

б) Окружность с диаметром AB, A(−3;5), B(7;−1).

в) Медиана к гипотенузе: C(0;0), A(a;0), B(0;b).

Решите и проверьте

Медиана, угол, окружность, параллелограмм

Клетки и вторая часть: выбираем метод

Координаты на карте: клетка — 100 м

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9U-097 · Векторы и координаты в решении задач

Прямая $y = k x + l$

Образец: $A (- 2; - 1)$ , $B (1; 3)$ , $C (5; 0)$ , $D (2; - 4)$ . Определите вид $A BC D$ и найдите $S$ .

Образец: $A (- 2; 1)$ , $B (4; 9)$ . Составьте уравнение окружности с диаметром $A B$ . Лежит ли на ней $P (4; 1)$ ?

Образец: $A B = a$ , $A C = b$ , $M$ — середина $BC$ , $G$ — точка пересечения медиан. Выразите $A M$ , $A G$ , $BG$ .

Образец: $A (1; 1)$ , $B (4; 2)$ , $C (2; 3)$ . Найдите $∠ A$ треугольника $A BC$ .

Образец: $A BC D$ — прямоугольник, $P$ — любая точка. Докажите: $P A^{2} + P C^{2}$ $=$ $P B^{2} + P D^{2}$ .

а) Угол между $a {1; - 1}$ и $b {- 2; 0}$ .

б) Окружность с диаметром $A B$ , $A (- 3; 5)$ , $B (7; - 1)$ .

в) Медиана к гипотенузе: $C (0; 0)$ , $A (a; 0)$ , $B (0; b)$ .