Повторение и обобщение · урок 6 из 12

Четырёхугольники: параллелограмм, трапеция, вписанные и описанные

Геометрия · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R07 · GEOM9U-096

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R07 «Повторение, обобщение, систематизация знаний» (12 ч), урок 6/12, единица R07.1. Тип урока — О (обобщение): теория только сводками и одним коротким доказательством, остальное — решение задач.
Теория (12): титул 0,5 · цели 0,5 · сводка «параллелограмм» 2,5 · сводка «трапеция» 2 · доказательство о площадях 2,5 · сводка «вписанный и описанный» 2,5 · таблица площадей 1,5.
Практика (33): разминка 2,5 · образцы → сам 2,5 + 2,5 + 2,5 + 2,5 + 3 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2,5 · повышенный 2,5 · ОГЭ 2,5 · из жизни 1,5 · самостоятельная 4 · итог 1.
На титуле: параллелограмм, трапеция и четырёхугольник, вписанный в окружность, — три героя урока. Вопрос классу: что общего у параллелограмма и трапеции? (пара параллельных сторон).

R07.1

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Выбирать свойство или признак

параллелограмма и его видов — по условию задачи

Решать задачи о трапеции

высота, диагонали, площади частей (ПР-4)

Работать с окружностью

вписанный и описанный четырёхугольник (ПР-7)

Выбирать метод

классический или координатный, ОГЭ 17 и 23 (ПР-10)

0,5 мин · теория
ПР-4: «применять тригонометрию в задачах на нахождение площади… формулы для площади треугольника, параллелограмма, ромба, трапеции… площади выпуклого четырёхугольника». ПР-7: вписанные углы. ПР-10: площадь параллелограмма в координатах.
Виды деятельности ФРП R07: свободно оперировать понятиями «параллелограмм, ромб, прямоугольник, квадрат, трапеция; окружность, касательная», использовать формулы площадей, выбирать метод решения задачи.

повторение · 8 класс

Разминка · устно

Углы, стороны, площади

Сумма углов выпуклого четырёхугольника? $36 0^{\circ}$
Угол параллелограмма $7 0^{\circ}$ . Остальные? $11 0^{\circ}$ , $7 0^{\circ}$ , $11 0^{\circ}$
Диагонали ромба $6$ и $8$ . Сторона? $5$
Основания трапеции $7$ и $13$ . Средняя линия? $10$

Вписанный четырёхугольник, $∠ A = 8 0^{\circ}$ . Найдите $∠ C$ . $10 0^{\circ}$
Описанный четырёхугольник: $A B = 5$ , $BC = 4$ , $C D = 7$ . Найдите $A D$ . $8$
Стороны параллелограмма $4$ и $6$ , угол $3 0^{\circ}$ . Площадь? $12$

R07.1

Сводка · параллелограмм и его виды

Каждый следующий — «параллелограмм плюс»

Фигура	Диагонали
Параллелограмм	точкой пересечения делятся пополам
Прямоугольник	+ равны
Ромб	+ перпендикулярны, биссектрисы углов
Квадрат	все свойства сразу

S = a b s i n α

,

d_{1}^{2} + d_{2}^{2} = 2 (a^{2} + b^{2})

2,5 мин · теория
Чертёж: одна чёрточка — $A O = OC$ , две — $BO = O D$ ; противоположные стороны одного цвета равны. Вопрос: какой признак параллелограмма самый «короткий»? (диагонали делятся пополам; или две стороны параллельны и равны).
Признаки видов: параллелограмм с прямым углом или равными диагоналями — прямоугольник; с равными соседними сторонами или перпендикулярными диагоналями — ромб.
Тождество параллелограмма $d_{1}^{2} + d_{2}^{2} = 2 (a^{2} + b^{2})$ — сумма двух теорем косинусов для треугольников $A B D$ и $A BC$ ( $cos (18 0^{\circ} - α) = - cos α$ ). Понадобится в повышенном уровне.

R07.1

Образец → сам · биссектриса в параллелограмме

Биссектриса отсекает равнобедренный треугольник

Образец: в $A BC D$ биссектриса угла $A$ пересекает $BC$ в точке $K$ , $B K = 5$ , $K C = 3$ . Найдите периметр.

$∠ B K A = ∠ B A K$ оба равны $∠ K A D$ : накрест лежащие при $BC ∥ A D$ и биссектриса

$A B = B K = 5$ $△ A B K$ — равнобедренный

$P = 2 (5 + 8) = 26$ $BC = 5 + 3 = 8$

Сам

То же, $B K = 7$ , $K C = 2$ . Периметр? $32$
$A B = 6$ , $P = 34$ . Найдите $K C$ . $5$
Ромб: диагонали $10$ и $24$ . Высота? $\frac{120}{13}$

R07.1

Сводка · трапеция

Средняя линия, площадь, равнобедренная трапеция

m = \frac{a + b}{2}

S = \frac{a + b}{2} \cdot h = m h

Равнобедренная: углы при основании равны, диагонали равны;

A H = \frac{a - b}{2}

,

HD = \frac{a + b}{2}

R07.1

Образец → сам · равнобедренная трапеция

Чертёж строим сами: высота отсекает $\frac{a - b}{2}$

Образец: равнобедренная трапеция, основания $4$ и $14$ , боковая сторона $13$ . Найдите высоту, диагональ и площадь.

$A H = \frac{14 - 4}{2} = 5$ , $h = 1 3^{2} - 5^{2} = 12$ проекция боковой стороны; теорема Пифагора в $△ A B H$

$HD = \frac{14 + 4}{2} = 9$ , $B D = 9^{2} + 1 2^{2} = 15$ проекция диагонали; $△ B HD$

$S = 9 \cdot 12 = 108$ $S = \frac{a + b}{2} \cdot h$

Сам · трапеция равнобедренная

Основания $6$ и $16$ , боковая $13$ . Площадь? $132$
Основания $5$ и $11$ , угол при основании $4 5^{\circ}$ . Площадь? $24$
Диагонали перпендикулярны, $h = 7$ . Площадь? $49$

R07.1 · ПР-4

Свойство · доказательство

Треугольники при боковых сторонах равновелики

Дано:

A BC D

— трапеция,

BC ∥ A D

,

O = A C \cap B D

.
Доказать:

S_{A OB} = S_{CO D}

,

S_{A OB}^{2} = S_{1} S_{2}

.

1

S_{A B D} = S_{A C D}

общее основание

A D

, высоты равны:

B, C

на прямой

∥ A D

2

S_{A OB} = S_{A B D} - S_{2} = S_{A C D} - S_{2} = S_{CO D}

вычли общую часть

△ A O D

3

\frac{S _{A OB}}{S _{2}} = \frac{BO}{O D} = \frac{S _{1}}{S _{CO D}}

общая высота из

A

, общая высота из

C

4

S_{A OB}^{2} = S_{1} S_{2}

в шаге 3 заменили

S_{CO D}

на

S_{A OB}

и перемножили крест-накрест

R07.1 · ПР-4

Образец → сам · площади частей трапеции

Четыре треугольника — одна формула

Образец: диагонали трапеции $A BC D$ пересекаются в $O$ , $S_{BOC} = 4$ , $S_{A O D} = 25$ . Найдите площадь трапеции.

$S_{A OB} = S_{CO D} = 4 \cdot 25 = 10$ доказанное свойство: $S_{A OB}^{2} = S_{1} S_{2}$

$S = 4 + 25 + 10 + 10$ трапеция составлена из четырёх треугольников

$S = 49 = (4 + 25)^{2}$ проверка формулой-следствием

Сам

$S_{BOC} = 9$ , $S_{A O D} = 16$ . Найдите $S_{A BC D}$ . $49$
$BC = 3$ , $A D = 6$ , $S_{BOC} = 5$ . Найдите $S_{A BC D}$ . $45$
$BC = 2$ , $A D = 8$ , $S_{A OB} = 12$ . Найдите $S_{A BC D}$ . $75$

R07.1 · ПР-7

Сводка · вписанный и описанный четырёхугольник

Два признака — две окружности

Вписанный в окружность

$∠ A$ $+$ $∠ C$ $= ∠ B + ∠ D = 18 0^{\circ}$

Описанный около окружности

$A B + C D$ $=$ $BC + A D$ , $S = p r$

2,5 мин · теория
Вписанный: $∠ A$ и $∠ C$ опираются на дуги, вместе составляющие всю окружность, поэтому $∠ A + ∠ C = \frac{1}{2} \cdot 36 0^{\circ} = 18 0^{\circ}$ . Обратное тоже верно — это признак.
Описанный: отрезки касательных из одной вершины равны; каждая сторона — сумма двух таких отрезков, и в $A B + C D$ , и в $BC + A D$ входят все четыре по разу. Для выпуклого четырёхугольника обратное тоже верно.
$S = p r$ , $p$ — полупериметр: разбиваем на четыре треугольника с вершиной в центре, высоты — радиусы. Вопрос: около какого параллелограмма можно описать окружность? (прямоугольник); в какой можно вписать? (ромб).

R07.1 · ПР-7

Образец → сам · вписанный четырёхугольник

Ищем вписанные углы, опирающиеся на одну дугу

Образец: $A BC D$ вписан в окружность, $∠ A BC = 11 0^{\circ}$ , $∠ A B D = 7 0^{\circ}$ . Найдите $∠ C A D$ .

$∠ CB D = 11 0^{\circ} - 7 0^{\circ} = 4 0^{\circ}$ луч $B D$ делит угол $A BC$

$∠ C A D$ и $∠ CB D$ опираются на дугу $C D$ вписанные углы, вершины по одну сторону от $C D$

$∠ C A D = 4 0^{\circ}$ вписанные углы на одну дугу равны

Сам

$∠ A BC = 10 4^{\circ}$ , $∠ C A D = 6 6^{\circ}$ . Найдите $∠ A B D$ . $3 8^{\circ}$
Вписанный, $∠ A : ∠ C = 2 : 3$ . Найдите $∠ A$ . $7 2^{\circ}$
Описанный, $A B = 7$ , $C D = 11$ , $r = 3$ . Площадь? $54$

R07.1 · ПР-10 · ПР-12

Образец → сам · метод координат

Вид четырёхугольника — по векторам

Образец: $A (- 2; 1)$ , $B (1; 4)$ , $C (6; 3)$ , $D (3; 0)$ . Докажите, что $A BC D$ — параллелограмм. Прямоугольник ли это? Найдите $S$ .

$A B = D C = (3; 3)$ стороны параллельны и равны — параллелограмм

$A D = (5; - 1)$ , $A B \cdot A D = 12 \neq = 0$ угол $A$ не прямой — не прямоугольник

$S = ∣3 \cdot (- 1) - 3 \cdot 5∣ = 18$ $S = ∣ x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} ∣$ для $A B$ , $A D$

Сам

$A (0; 0)$ , $B (2; 3)$ , $C (7; 3)$ , $D (5; 0)$ . Площадь? $15$
$A (1; 1)$ , $B (3; 5)$ , $C (7; 3)$ , $D (5; - 1)$ . Вид? квадрат
$A BC D$ — параллелограмм, $A (0; 0)$ , $B (1; 3)$ , $C (5; 4)$ . Найдите $D$ . $(4; 1)$

R07.1 · ПР-4

Сводка правил · площади четырёхугольников

Одна таблица на всю тему

Фигура	Формула площади	Когда удобно
Параллелограмм	$a h_{a} = ab sin α$	даны стороны и угол
Ромб	$\frac{1}{2} d_{1} d_{2}$	даны диагонали
Трапеция	$\frac{a + b}{2} h$	основания и высота
Любой выпуклый	$\frac{1}{2} d_{1} d_{2} sin φ$	диагонали и угол между ними
Описанный	$p r$	периметр и радиус

R07.1

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
«Диагонали ромба равны»	перепутали с прямоугольником	диагонали ромба $⊥$
$a = 4$ , $b = 6$ , $α = 3 0^{\circ}$ : $S = 24$	сторона $b$ — не высота	$S = ab sin α = 12$
$m = \frac{a - b}{2}$	это проекция боковой стороны	$m = \frac{a + b}{2}$
«Около ромба можно описать окружность»	нужно $∠ A + ∠ C = 18 0^{\circ}$	только около квадрата

1,5 мин · практика (ученики объясняют «почему», учитель открывает строки)
1) У ромба диагонали перпендикулярны и делят углы пополам; равные диагонали — признак прямоугольника. Ромб с равными диагоналями — квадрат.
2) Высота $h = b sin α = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3$ , $S = 4 \cdot 3 = 12$ . 3) $\frac{a - b}{2}$ — отрезок $A H$ в равнобедренной трапеции.
4) У ромба противоположные углы равны; $∠ A + ∠ C = 18 0^{\circ}$ ⇒ $∠ A = 9 0^{\circ}$ — квадрат. Ещё одна частая ошибка — «на рисунке видно, что это параллелограмм»: требуем признак.

R07.1

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Равнобедренная трапеция: основания $6$ и $14$ , боковая $5$ . Высота?

Проекция $14 - 6 = 8$

$h^{2} = 25 - 64 < 0$ — «такой трапеции нет»

проекция $\frac{14 - 6}{2} = 4$ ,
$h = 25 - 16 = 3$

б) $A BC D$ вписан в окружность, $∠ A = 7 0^{\circ}$ . Найдите угол, который можно найти.

$∠ B = 18 0^{\circ} - 7 0^{\circ} = 11 0^{\circ}$

в сумме $18 0^{\circ}$ — противоположные:
$∠ C = 11 0^{\circ}$ , а $∠ B$ не определён

в) Описанный четырёхугольник: $A B = 6$ , $BC = 8$ , $C D = 9$ . Найдите $A D$ .

$A D = A B + BC - C D$ $= 5$

$A B + C D = BC + A D$ :
$A D = 6 + 9 - 8 = 7$

2 мин · практика
Сначала видны «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Разность оснований делится между двумя равными проекциями: $A H = KD = 4$ ; $h = 3$ . Полезно проверить: площадь $\frac{6 + 14}{2} \cdot 3 = 30$ .
б) Ученик сложил соседние углы, как в параллелограмме. Во вписанном четырёхугольнике $18 0^{\circ}$ дают противоположные: $∠ C = 11 0^{\circ}$ ; $∠ B$ может быть любым (зависит от положения $B$ и $D$ ).
в) Суммы противоположных сторон, а не соседних: $A D = A B + C D - BC = 7$ . Проверка: $6 + 9 = 8 + 7$ ✓.

R07.1

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

базаПараллелограмм, $∠ A = 4 8^{\circ}$ . Найдите $∠ B$ . $13 2^{\circ}$
базаРомб: сторона $10$ , диагональ $12$ . Другая диагональ? $16$
базаПрямоугольник: диагональ $10$ , сторона $6$ . Площадь? $48$

базаТрапеция: основания $3$ и $9$ , высота $4$ . Площадь? $24$
базаВписанный, $∠ B = 6 5^{\circ}$ . Найдите $∠ D$ . $11 5^{\circ}$
базаОписанный: $P = 40$ , $r = 2, 5$ . Площадь? $50$

R07.1 · ПР-4

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Стороны параллелограмма $5$ и $7$ , одна диагональ $8$ . Найдите другую. $221$
повыш.Трапеция: $A D = 12$ , $BC = 4$ . На какие части диагональ $A C$ делит среднюю линию? $2$ и $6$
повыш.Равнобедренная трапеция описана около окружности, основания $2$ и $8$ . Радиус? $2$
повыш.Диагонали выпуклого четырёхугольника $6$ и $10$ , угол между ними $3 0^{\circ}$ . Площадь? $15$

R07.1 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 17 и 23

Параллелограмм и трапеция в экзаменационных задачах

ОГЭ 17 В параллелограмме $A BC D$ диагональ $A C$ в $2$ раза больше стороны $A B$ и $∠ A C D = 10 4^{\circ}$ . Найдите угол между диагоналями.

$A O = \frac{A C}{2} = A B$ ⇒ $△ A BO$ равнобедренный; $∠ B A C = ∠ A C D = 10 4^{\circ}$

$∠ A OB = \frac{18 0 ^{\circ} - 10 4 ^{\circ}}{2} = 3 8^{\circ}$

ОГЭ 23 Биссектрисы углов $A$ и $B$ при боковой стороне $A B$ трапеции $A BC D$ пересекаются в точке $F$ . Найдите $A B$ , если $A F = 24$ , $BF = 10$ .

$∠ A + ∠ B = 18 0^{\circ}$ ⇒ $∠ F A B + ∠ FB A = 9 0^{\circ}$ ⇒ $∠ A FB = 9 0^{\circ}$

$A B = 2 4^{2} + 1 0^{2} = 26$

2,5 мин · практика
17) $O$ — середина $A C$ , $A O = A B$ ; $∠ B A C = ∠ A C D$ — накрест лежащие при $A B ∥ C D$ . Углы при основании $BO$ равны: $\frac{18 0 ^{\circ} - 10 4 ^{\circ}}{2} = 3 8^{\circ}$ . Угол между диагоналями — острый из двух смежных, $3 8^{\circ}$ .
23) Углы, прилежащие к боковой стороне трапеции, — односторонние при $A D ∥ BC$ , их сумма $18 0^{\circ}$ ; половины дают $9 0^{\circ}$ . На чертеже прямой угол $F$ открывается по щелчку. $A B = 576 + 100 = 26$ .
Оформление 23 (2 балла): обоснование прямого угла обязательно — «на рисунке видно» не засчитывается.

R07.1 · практика

Задача из жизни · кровля

Скат крыши — равнобедренная трапеция

Найдите высоту ската $h$ . $1, 5$ м
Найдите площадь ската. $12 м^{2}$
Лист кровли — $1, 2 м^{2}$ . Сколько листов нужно с запасом $10 %$ ? $11$

R07.1

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Параллелограмм: стороны $6$ и $10$ , угол $3 0^{\circ}$ . Площадь? $30$
Равнобедренная трапеция: основания $5$ и $13$ , боковая $5$ . Площадь? $27$
Вписанный, $∠ A : ∠ C = 4 : 5$ . Найдите $∠ A$ . $8 0^{\circ}$
Трапеция: $S_{BOC} = 1$ , $S_{A O D} = 9$ . Площадь? $16$

Вариант 2

Параллелограмм: стороны $8$ и $5$ , угол $15 0^{\circ}$ . Площадь? $20$
Равнобедренная трапеция: основания $7$ и $17$ , боковая $13$ . Площадь? $144$
Вписанный, $∠ B : ∠ D = 7 : 2$ . Найдите $∠ B$ . $14 0^{\circ}$
Трапеция: $S_{BOC} = 4$ , $S_{A O D} = 9$ . Площадь? $25$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Чем признак отличается от свойства? Пример для ромба.
Как найти высоту равнобедренной трапеции по трём сторонам?
Когда четырёхугольник можно вписать в окружность, а когда — описать около неё?

Домашнее задание

Трапеция: $S_{BOC} = 2$ , $S_{A O D} = 18$ . Найдите $S_{A BC D}$ и отношение оснований.
* Докажите: если в трапецию можно вписать окружность, то $r^{2}$ равен произведению отрезков, на которые точка касания делит боковую сторону.
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_chetyrehugolniki.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9U-096 · Повторение: четырёхугольники

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R07 «Повторение, обобщение, систематизация знаний», 12 ч · урок 6/12 · тип О (обобщение)
Единицы → слайды	R07.1 «Повторение основных понятий и методов курсов 7–9 классов…» → 2–21 (параллелограмм и его виды, трапеция, вписанные и описанные четырёхугольники, метод координат, практико-ориентированная задача)
Результаты	ПР-4 (площади параллелограмма, ромба, трапеции, выпуклого четырёхугольника) → 4, 6–9, 13, 16–20 · ПР-7 (вписанные углы) → 10, 11, 15 · ПР-10, ПР-12 (координаты, векторы) → 12 · ПР-19 (практические задачи) → 19
Вне урока	теорема Птолемея и формула Брахмагупты — не входят; другие темы повторения — уроки GEOM9U-091…102
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Четырёхугольники: параллелограмм, трапеция, вписанные и описанные

Сегодня вы научитесь

Выбирать свойство или признак

Решать задачи о трапеции

Работать с окружностью

Выбирать метод

Углы, стороны, площади

Каждый следующий — «параллелограмм плюс»

Биссектриса отсекает равнобедренный треугольник

Образец: в ABCD биссектриса угла A пересекает BC в точке K, BK=5, KC=3. Найдите периметр.

Сам

Средняя линия, площадь, равнобедренная трапеция

Чертёж строим сами: высота отсекает 2a−b​

Образец: равнобедренная трапеция, основания 4 и 14, боковая сторона 13. Найдите высоту, диагональ и площадь.

Сам · трапеция равнобедренная

Треугольники при боковых сторонах равновелики

Четыре треугольника — одна формула

Образец: диагонали трапеции ABCD пересекаются в O, SBOC​=4, SAOD​=25. Найдите площадь трапеции.

Сам

Два признака — две окружности

Вписанный в окружность

Описанный около окружности

Ищем вписанные углы, опирающиеся на одну дугу

Образец: ABCD вписан в окружность, ∠ABC=110∘, ∠ABD=70∘. Найдите ∠CAD.

Сам

Вид четырёхугольника — по векторам

Образец: A(−2;1), B(1;4), C(6;3), D(3;0). Докажите, что ABCD — параллелограмм. Прямоугольник ли это? Найдите S.

Сам

Одна таблица на всю тему

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Равнобедренная трапеция: основания 6 и 14, боковая 5. Высота?

б) ABCD вписан в окружность, ∠A=70∘. Найдите угол, который можно найти.

в) Описанный четырёхугольник: AB=6, BC=8, CD=9. Найдите AD.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Параллелограмм и трапеция в экзаменационных задачах

Скат крыши — равнобедренная трапеция

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9U-096 · Повторение: четырёхугольники

Образец: в $A BC D$ биссектриса угла $A$ пересекает $BC$ в точке $K$ , $B K = 5$ , $K C = 3$ . Найдите периметр.

Чертёж строим сами: высота отсекает $\frac{a - b}{2}$

Образец: равнобедренная трапеция, основания $4$ и $14$ , боковая сторона $13$ . Найдите высоту, диагональ и площадь.

Образец: диагонали трапеции $A BC D$ пересекаются в $O$ , $S_{BOC} = 4$ , $S_{A O D} = 25$ . Найдите площадь трапеции.

Образец: $A BC D$ вписан в окружность, $∠ A BC = 11 0^{\circ}$ , $∠ A B D = 7 0^{\circ}$ . Найдите $∠ C A D$ .

Образец: $A (- 2; 1)$ , $B (1; 4)$ , $C (6; 3)$ , $D (3; 0)$ . Докажите, что $A BC D$ — параллелограмм. Прямоугольник ли это? Найдите $S$ .

а) Равнобедренная трапеция: основания $6$ и $14$ , боковая $5$ . Высота?

б) $A BC D$ вписан в окружность, $∠ A = 7 0^{\circ}$ . Найдите угол, который можно найти.

в) Описанный четырёхугольник: $A B = 6$ , $BC = 8$ , $C D = 9$ . Найдите $A D$ .