Повторение · урок 5 из 12 · обобщение и систематизация

Повторение: четырёхугольники и их площади

Геометрия · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R07 · GEOM9U-095 · единица R07.1

1 мин · теория (орг. момент, тема, план урока)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R07 «Повторение, обобщение, систематизация знаний» (12 ч), урок 5/12, тип О (обобщение и систематизация), единица R07.1.
Теория (12): титул 1 · цели 1 · сводка «виды четырёхугольников» 4 · сводка «формулы площадей» 4 · схема «какую формулу выбрать» 2.
Практика (33): разминка 2 · образцы → сам 2,5 × 6 = 15 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2,5 · повышенный 2,5 · ОГЭ 2,5 · самостоятельная 4 · итог 1.
Урок связывает курс 8 класса (виды четырёхугольников, площади) с тригонометрией 9 класса (площадь через синус). Сводки не читать, а восстанавливать вопросами классу.
Если не успеваете: третье задание «сам» в образцах 4 и 6 — в ДЗ; самостоятельную не сокращать.

R07.1

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Различать четырёхугольники

по свойствам и признакам: параллелограмм, ромб, прямоугольник, трапеция

Считать площадь через синус

параллелограмма, ромба и любого выпуклого четырёхугольника (ПР-4)

Выбирать формулу

по данным задачи; высоту находить по Пифагору или через синус (ПР-1)

Решать и доказывать

задачи ОГЭ 17, 18, 24 и задачи из жизни (ПР-19)

1 мин · теория
ПР-4: «Применять тригонометрию в задачах на нахождение площади, выводить и владеть тригонометрическими формулами для площади треугольника, параллелограмма, ромба, трапеции… и формулу для площади выпуклого четырехугольника». ПР-1: решение прямоугольных треугольников. ПР-19: математические модели задач реальной жизни.
Вид деятельности ФРП R07: «Решать задачи на повторение основных понятий, иллюстрацию связей между различными частями курса. Выбирать метод для решения задачи».

повторение: 8 класс

Разминка · устно

Семь коротких вопросов

Параллелограмм: стороны $6$ и $4$ , угол $3 0^{\circ}$ . $S$ ? $12$
Ромб: диагонали $6$ и $8$ . Сторона? $5$
Трапеция: основания $3$ и $7$ , высота $4$ . $S$ ? $20$
Средняя линия трапеции с основаниями $5$ и $11$ ? $8$

Угол параллелограмма $7 0^{\circ}$ . Остальные углы? $11 0^{\circ}$ , $7 0^{\circ}$ , $11 0^{\circ}$
$sin 15 0^{\circ}$ ? $\frac{1}{2}$
Диагонали четырёхугольника $10$ и $6$ , перпендикулярны. $S$ ? $30$

R07.1 · 8 класс

Сводка · виды четырёхугольников

Свойство — следствие, признак — условие

Фигура	Свойства (верны всегда)	Признак (достаточно)
Параллелограмм	противоположные стороны и углы равны; диагонали делятся пополам	две стороны $∥$ и равны или диагонали делятся пополам
Прямоугольник	+ все углы прямые, диагонали равны	параллелограмм с равными диагоналями
Ромб	+ диагонали $⊥$ и делят углы пополам	параллелограмм с $⊥$ диагоналями
Квадрат	все свойства прямоугольника и ромба	прямоугольник с равными соседними сторонами
Трапеция	средняя линия $∥$ основаниям, равна $(a + b) : 2$	равнобедренная: углы при основании равны

Вписанный четырёхугольник:

∠ A + ∠ C = 18 0^{\circ}

. Описанный:

A B + C D = BC + A D

.

4 мин · теория (восстанавливаем с классом: учитель называет фигуру, класс — свойства, затем признак)
Ключевой вопрос: «Чем свойство отличается от признака?» Свойство: фигура дана — что из этого следует. Признак: что достаточно проверить, чтобы утверждать вид фигуры.
Ловушка: «диагонали равны ⇒ прямоугольник» неверно для произвольного четырёхугольника (равнобедренная трапеция!) — признак работает только для параллелограмма. Вернёмся на слайде ошибок.
Равнобедренная трапеция: углы при основании равны, диагонали равны; около неё можно описать окружность. В четырёхугольник можно вписать окружность ⇔ суммы противоположных сторон равны (углублённый курс 8 класса).

R07.1 · ПР-4

Сводка · формулы площадей

Четыре фигуры — четыре формулы

Параллелограмм

S = a h

S = a b sin α

Ромб

S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2}

S = a^{2} sin α

Трапеция

S = \frac{a + b}{2} h

Четырёхугольник

S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2} sin φ

sin (18 0^{\circ} - α) = sin α

: острый и тупой угол дают одну и ту же площадь.

4 мин · теория (вывод восстанавливаем вопросами)
Параллелограмм: h = b · sin α (катет против угла α в прямоугольном треугольнике со стороной b) ⇒ S = a · h = ab sin α.
Ромб: частный случай — a = b, отсюда a² sin α; диагонали перпендикулярны, поэтому sin 90° = 1 и S = ½ d₁d₂.
Трапеция: диагональ делит её на два треугольника с общей высотой h: ½ah + ½bh.
Выпуклый четырёхугольник: диагонали делят его на 4 треугольника, у каждого угол при O равен φ или 180° − φ — вывод разберём в образце 4.

R07.1 · ПР-4

Образец → сам · параллелограмм через синус

Две стороны и угол — площадь и высота

Образец: $A D = 6$ , $A B = 42$ , $∠ B = 13 5^{\circ}$ . Найдите $S_{A BC D}$ и высоту $B H$ .

$∠ A = 18 0^{\circ} - 13 5^{\circ} = 4 5^{\circ}$ соседние углы

$S = 6 \cdot 42 \cdot sin 4 5^{\circ} = 6 \cdot 42 \cdot \frac{2}{2} = 24$ $S = ab sin α$

$B H = \frac{S}{A D} = \frac{24}{6} = 4$ $S = a h_{a}$

Сам

Стороны $10$ и $6$ , угол $15 0^{\circ}$ . Найдите $S$ . $30$
$S = 36$ , стороны $8$ и $9$ . Найдите острый угол. $3 0^{\circ}$
Стороны $5$ и $8$ , угол $6 0^{\circ}$ . Найдите меньшую диагональ. $7$

R07.1 · ПР-4

Образец → сам · ромб: диагонали, площадь, высота

Обратная задача: по стороне и диагонали

Образец: сторона ромба $10$ , $B D = 12$ . Найдите $A C$ , $S$ и высоту ромба.

$BO = 6$ диагонали делятся пополам

$A O = 1 0^{2} - 6^{2} = 8$ , $A C = 16$ $A C ⊥ B D$ , Пифагор

$S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 16 = 96$ $S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2}$

$h = \frac{96}{10} = 9, 6$ $S = ah$

Сам

Сторона ромба $8$ , острый угол $3 0^{\circ}$ . Найдите $S$ и высоту. $32$ ; $4$
$S = 50$ , острый угол $3 0^{\circ}$ . Найдите сторону ромба. $10$
Диагонали относятся как $3 : 4$ , сторона $15$ . Найдите $S$ . $216$

R07.1 · ПР-1

Образец → сам · трапеция: сначала высота

Высоты нет — строим её сами

Образец: $A BC D$ — равнобедренная трапеция, $BC = 4$ , $A D = 14$ , $A B = 13$ . Найдите $S$ .

$A H = \frac{14 - 4}{2} = 5$ равнобедренная трапеция

$B H = 1 3^{2} - 5^{2} = 12$ Пифагор в $△ A B H$

$S = \frac{4 + 14}{2} \cdot 12 = 108$ $S = \frac{a + b}{2} h$

Сам

Равнобедренная трапеция: основания $6$ и $12$ , угол при основании $4 5^{\circ}$ . Найдите $S$ . $27$
Прямоугольная трапеция: основания $5$ и $11$ , большая боковая сторона $10$ . Найдите $S$ . $64$
Равнобедренная трапеция с $⊥$ диагоналями, высота $7$ . Найдите $S$ . $49$

R07.1 · ПР-4

Образец → сам · площадь через диагонали

Любой выпуклый четырёхугольник

Образец: диагонали $A C = 6$ , $B D = 10$ , угол между ними $6 0^{\circ}$ . Найдите $S_{A BC D}$ .

$S = S_{A OB} + S_{BOC} + S_{CO D} + S_{D O A}$

$sin 12 0^{\circ} = sin 6 0^{\circ}$ углы при $O$ : $6 0^{\circ}$ и $12 0^{\circ}$

$S = \frac{1}{2} A C \cdot B D sin 6 0^{\circ}$ сложили, вынесли множитель

$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 10 \cdot \frac{3}{2} = 153$

Сам

Диагонали $12$ и $7$ , угол между ними $15 0^{\circ}$ . Найдите $S$ . $21$
$S = 30$ , диагонали $10$ и $12$ . Найдите острый угол между ними. $3 0^{\circ}$
Диагональ квадрата $8$ . Найдите $S$ . $32$

R07.1

Образец → сам · доказательство (теорема Вариньона)

$K$ , $L$ , $M$ , $N$ — середины сторон $A BC D$

Образец: докажите, что $K L MN$ — параллелограмм и $S_{K L MN} = \frac{1}{2} S_{A BC D}$ .

$K L ∥ A C$ , $K L = \frac{1}{2} A C$ средняя линия $△ A BC$

$NM ∥ A C$ , $NM = \frac{1}{2} A C$ средняя линия $△ A D C$

$K L MN$ — параллелограмм $K L ∥ NM$ и $K L = NM$

$S_{K L MN} = \frac{A C}{2} \cdot \frac{B D}{2} sin φ = \frac{1}{2} S_{A BC D}$ стороны $∥$ диагоналям

Сам

Диагонали $A BC D$ равны $10$ и $14$ . Найдите периметр $K L MN$ . $24$
Диагонали $A BC D$ перпендикулярны, $6$ и $8$ . Вид и площадь $K L MN$ ? прямоугольник, $12$
При каком условии $K L MN$ — ромб? $A C = B D$

2,5 мин · практика
Первый щелчок — диагональ AC пунктиром, затем строки. План доказательства записать в тетрадь: «средние линии → признак параллелограмма → площадь через угол между сторонами».
Площадь: угол между сторонами KL и LM равен углу φ между диагоналями (стороны параллельны диагоналям), S_KLMN = (AC/2)(BD/2) sin φ = ¼ · AC · BD · sin φ, а S_ABCD = ½ · AC · BD · sin φ (образец 4). Чертёж: S_ABCD = 37,24, S_KLMN = 18,62 ✓.
1) Стороны KLMN — половины диагоналей: 2 · (5 + 7) = 24.
2) Стороны ∥ перпендикулярным диагоналям ⇒ прямоугольник 3 × 4, S = 12 (= ½ · ½ · 6 · 8).
3) Соседние стороны AC/2 и BD/2 равны ⇔ AC = BD.

R07.1 · ПР-19

Образец → сам · клетчатая бумага и задача из жизни

Воздушный змей на клетках $1 \times 1$

Образец: найдите площадь четырёхугольника, изображённого на клетчатой бумаге.

$d_{1} = 7$ , $d_{2} = 6$ , $d_{1} ⊥ d_{2}$ считаем клетки

$S = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 6 = 21$ $S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2} sin 9 0^{\circ}$

$6 \cdot 7 - (3 + 3 + 7, 5 + 7, 5) = 21$ проверка: прямоугольник минус углы

Сам

Ромб на клетках: диагонали $4$ и $6$ клеток. Найдите $S$ . $12$
Трапеция: основания $2$ и $6$ клеток, высота $3$ . Найдите $S$ . $12$
Змей: перекладины $60$ см и $80$ см, перпендикулярны. Сколько ткани? $2400 см^{2}$

R07.1

Схема · какую формулу выбрать

Смотрим, что известно в условии

Что известно	Формула
две соседние стороны и угол между ними	$S = ab sin α$
сторона и высота к ней	$S = a h_{a}$
диагонали и угол между ними	$S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2} sin φ$ (ромб, квадрат: $sin 9 0^{\circ} = 1$ )
основания и высота трапеции	$S = \frac{a + b}{2} h$
фигура на клетчатой бумаге	по формуле или «достроить до прямоугольника»

Нет высоты — найдите её: по теореме Пифагора или

h = b sin α

.

R07.1

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$S_{пар .} = ab$	боковая сторона — не высота	$S = ab sin α$
$S_{ромба} = d_{1} d_{2}$	ромб — половина прямоугольника со сторонами $d_{1}$ , $d_{2}$	$S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2}$
$sin 15 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$	синус тупого угла положителен	$sin 15 0^{\circ} = sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}$
диагонали равны ⇒ прямоугольник	признак верен только для параллелограмма	параллелограмм с равными диагоналями — прямоугольник

R07.1

Найди ошибку

Решение ученика: две ошибки

Задача. В трапеции $A BC D$ : $A D = 12$ , $BC = 4$ , $A B = 6$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ . Найдите площадь.

1) $B H = A B \cdot cos 3 0^{\circ} = 33$

2) $S = (A D + BC) \cdot B H = 16 \cdot 33$

Ответ: $483$ .

Шаг 1:

B H

лежит против угла

3 0^{\circ}

:

B H = A B sin 3 0^{\circ} = 3

.

Шаг 2: потерян множитель

\frac{1}{2}

.

Верно:

S = \frac{12 + 4}{2} \cdot 3 = 24

R07.1

Задания с самопроверкой · база

По одному заданию на каждую формулу

БПараллелограмм: стороны $12$ и $5$ , угол $3 0^{\circ}$ . $S$ ? $30$
БРомб: диагонали $14$ и $10$ . $S$ ? $70$
БТрапеция: основания $9$ и $15$ , высота $6$ . $S$ ? $72$

БПрямоугольник: диагональ $10$ , сторона $6$ . $S$ ? $48$
БДиагонали $8$ и $9$ , угол $3 0^{\circ}$ . $S$ ? $18$
БКвадрат: диагональ $6$ . $S$ ? $18$

R07.1

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Диагонали, вписанная окружность, доказательство

ППараллелограмм: стороны $5$ и $8$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите $S$ и большую диагональ. $203$ ; $129$
ПДиагонали трапеции $6$ и $8$ перпендикулярны. Найдите $S$ и среднюю линию. $24$ ; $5$
ПВ ромб с острым углом $3 0^{\circ}$ вписана окружность радиуса $3$ . Найдите $S$ ромба. $72$
ПДокажите: диагонали параллелограмма делят его на четыре равновеликих треугольника. $A O = OC$ , общая высота из $B$

2,5 мин · практика
1) S = 5 · 8 · sin 60° = 20√3; большая диагональ против тупого угла 120°: d² = 25 + 64 + 40 = 129 ⇒ √129 ≈ 11,4.
2) S = ½ · 6 · 8 = 24. Перенесём диагональ параллельно на вектор BC: получим прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, гипотенуза — сумма оснований 10 ⇒ средняя линия 5.
3) Высота ромба — диаметр вписанной окружности: h = 6; h = a · sin 30° ⇒ a = 12; S = a · h = 72.
4) △AOB и △BOC: основания AO = OC (диагонали делятся пополам), общая высота из B ⇒ площади равны; так же для остальных пар. Каждый треугольник — четверть площади.

R07.1 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 17 и 24

Ответ — число; в задании 24 — доказательство

17. Высота $B H$ ромба $A BC D$ делит сторону $A D$ на отрезки $A H = 6$ и $HD = 4$ . Найдите площадь ромба.

$A B = A D = 10$ — стороны ромба равны

$B H = 1 0^{2} - 6^{2} = 8$ — Пифагор в $△ A B H$

$S = A D \cdot B H = 80$

24. Докажите, что середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.

$K L ∥ A C$ , $L M ∥ B D$ — средние линии

$K L MN$ — параллелограмм (образец 5)

$A C ⊥ B D$ — диагонали ромба

$K L ⊥ L M$ ⇒ $K L MN$ — прямоугольник

2,5 мин · практика
17) AD = 6 + 4 = 10 = AB (стороны ромба равны); BH = √(100 − 36) = 8 (△ABH прямоугольный); S = AD · BH = 80.
24) K, L, M, N — середины AB, BC, CD, DA. KL — средняя линия △ABC ⇒ KL ∥ AC; LM — средняя линия △BCD ⇒ LM ∥ BD. KLMN — параллелограмм (теорема Вариньона). Диагонали ромба перпендикулярны ⇒ угол между KL и LM прямой ⇒ параллелограмм с прямым углом — прямоугольник.
Критерии (2 балла): доказательство верное, все шаги обоснованы; 1 балл — верный ход, есть неточности (например, не обосновано, что KLMN — параллелограмм).

R07.1

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Параллелограмм: стороны $7$ и $4$ , угол $15 0^{\circ}$ . Найдите $S$ . $14$
Ромб: диагонали $12$ и $16$ . Найдите $S$ и сторону. $96$ ; $10$
Равнобедренная трапеция: основания $5$ и $13$ , боковая сторона $5$ . Найдите $S$ . $27$
Диагонали четырёхугольника $10$ и $12$ , угол $3 0^{\circ}$ . Найдите $S$ . $30$

Вариант 2

Параллелограмм: стороны $9$ и $6$ , угол $3 0^{\circ}$ . Найдите $S$ . $27$
Ромб: диагонали $10$ и $24$ . Найдите $S$ и сторону. $120$ ; $13$
Равнобедренная трапеция: основания $7$ и $17$ , боковая сторона $13$ . Найдите $S$ . $144$
Диагонали четырёхугольника $14$ и $8$ , угол $15 0^{\circ}$ . Найдите $S$ . $28$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Чем признак отличается от свойства?
Какая формула площади годится для любого выпуклого четырёхугольника?
Как найти высоту, если её нет в условии?

Домашнее задание

Параллелограмм: $S = 40$ , стороны $10$ и $8$ — найдите острый угол.
Равнобедренная трапеция: основания $10$ и $24$ , боковая $25$ — найдите $S$ .
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_adv_ploshchadi.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9U-095 · Повторение: четырёхугольники и их площади

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R07 «Повторение, обобщение, систематизация знаний», 12 ч · урок 5/12 · тип О (обобщение и систематизация)
Единицы → слайды	R07.1 «Повторение основных понятий и методов курсов 7–9 классов, обобщение и систематизация знаний для представления данных и решения задач, в том числе из других учебных предметов» → 3–19
Результаты	ПР-4 → 5–7, 9, 12, 15–18 · ПР-1 → 6, 8, 14, 17 · ПР-3 → 6, 16 · ПР-19 → 11
Вне урока	следующий урок повторения — GEOM9U-096
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Повторение: четырёхугольники и их площади

Сегодня вы научитесь

Различать четырёхугольники

Считать площадь через синус

Выбирать формулу

Решать и доказывать

Семь коротких вопросов

Свойство — следствие, признак — условие

Четыре фигуры — четыре формулы

Параллелограмм

Ромб

Трапеция

Четырёхугольник

Две стороны и угол — площадь и высота

Образец: AD=6, AB=42​, ∠B=135∘. Найдите SABCD​ и высоту BH.

Сам

Обратная задача: по стороне и диагонали

Образец: сторона ромба 10, BD=12. Найдите AC, S и высоту ромба.

Сам

Высоты нет — строим её сами

Образец: ABCD — равнобедренная трапеция, BC=4, AD=14, AB=13. Найдите S.

Сам

Любой выпуклый четырёхугольник

Образец: диагонали AC=6, BD=10, угол между ними 60∘. Найдите SABCD​.

Сам

K, L, M, N — середины сторон ABCD

Образец: докажите, что KLMN — параллелограмм и SKLMN​=21​SABCD​.

Сам

Воздушный змей на клетках 1×1

Образец: найдите площадь четырёхугольника, изображённого на клетчатой бумаге.

Сам

Смотрим, что известно в условии

Неверно → почему → верно

Решение ученика: две ошибки

По одному заданию на каждую формулу

Диагонали, вписанная окружность, доказательство

Ответ — число; в задании 24 — доказательство

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9U-095 · Повторение: четырёхугольники и их площади

Образец: $A D = 6$ , $A B = 42$ , $∠ B = 13 5^{\circ}$ . Найдите $S_{A BC D}$ и высоту $B H$ .

Образец: сторона ромба $10$ , $B D = 12$ . Найдите $A C$ , $S$ и высоту ромба.

Образец: $A BC D$ — равнобедренная трапеция, $BC = 4$ , $A D = 14$ , $A B = 13$ . Найдите $S$ .

Образец: диагонали $A C = 6$ , $B D = 10$ , угол между ними $6 0^{\circ}$ . Найдите $S_{A BC D}$ .

$K$ , $L$ , $M$ , $N$ — середины сторон $A BC D$

Образец: докажите, что $K L MN$ — параллелограмм и $S_{K L MN} = \frac{1}{2} S_{A BC D}$ .

Воздушный змей на клетках $1 \times 1$