Повторение, обобщение, систематизация · урок 4 из 12

Повторение: углы и отрезки в окружности

Геометрия · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R07 · GEOM9U-094

0,5 мин · теория (орг. момент, тема, план урока)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R07 «Повторение, обобщение, систематизация знаний» (12 ч), урок 4/12, единица R07.1. Тип урока — О (обобщение и систематизация). Тема урока повторения — окружность: углы, касательные, вписанные и описанные четырёхугольники, отрезки хорд, секущих и касательных (курс 8–9 классов).
Теория (12): титул 0,5 · цели 0,5 · сводки: углы 3 · касательные и четырёхугольники 2,5 · отрезки хорд и секущих 3 · схема «как выбрать метод» 2,5.
Практика (33): разминка 2 · пять образцов → сам 2,5 × 5 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2,5 · повышенный 2,5 · ОГЭ 16 — 2 · ОГЭ 24 — 2 · задача из жизни 1,5 · самостоятельная 3,5 · итог 1.
Полное название урока по ФРП: «Обобщение и систематизация по теме „Повторение, обобщение, систематизация знаний“». Если не успеваете: задачу из жизни и повышенный уровень (№ 3–4) — в ДЗ; сводки можно вести фронтальным опросом, но не пропускать.

R07.1

Цели урока

Сегодня вы повторите и научитесь

Углы и дуги

вписанный, центральный, между хордами, секущими, касательной и хордой (ПР-7)

Касательные и четырёхугольники

касательная $⊥$ радиусу, отрезки касательных, вписанный и описанный четырёхугольник (ПР-7)

Отрезки в окружности

хорды, секущие, квадрат касательной; $a = 2 R sin α$ (ПР-8, ПР-3)

Выбор метода

по условию — нужная теорема; ОГЭ 16 и 24, задача о горизонте (ПР-19)

0,5 мин · теория
ПР-7: «Использовать теоремы о вписанных углах, углах между хордами (секущими) и угле между касательной и хордой при решении геометрических задач».
ПР-8: «Доказывать и применять теоремы о произведении отрезков хорд, о произведении отрезков секущих, о квадрате касательной». ПР-3 — теорема синусов (связь стороны, угла и $R$ ).
ПР-19: «Применять полученные знания на практике – строить математические модели для задач реальной жизни…» — задача о дальности горизонта.
R07.1: «Повторение основных понятий и методов курсов 7–9 классов… Выбирать метод для решения задачи». Урок построен так: три сводки → схема выбора метода → пять образцов → ошибки → задания.

R07.1 · повторение 8 класса

Разминка · устно

Семь быстрых вопросов

На рисунке $⌣ A B = 10 0^{\circ}$ . Найдите $∠ A CB$ . $5 0^{\circ}$
$∠ A CB = 3 5^{\circ}$ . Найдите $∠ A OB$ . $7 0^{\circ}$
Вписанный угол опирается на диаметр. Чему он равен? $9 0^{\circ}$
Угол между касательной и радиусом в точке касания? $9 0^{\circ}$
Из точки — две касательные, одна равна $7$ . Вторая? $7$
Вписанный четырёхугольник, $∠ A = 11 0^{\circ}$ . Найдите $∠ C$ . $7 0^{\circ}$
Описанный $A BC D$ : $A B = 5$ , $BC = 4$ , $C D = 7$ . Найдите $A D$ . $8$

2 мин · практика
Ответы: 1) вписанный угол равен половине дуги: $5 0^{\circ}$ . 2) Центральный угол вдвое больше вписанного на ту же дугу: $7 0^{\circ}$ . 3) Опирается на полуокружность $18 0^{\circ}$ : $9 0^{\circ}$ . 4) Касательная перпендикулярна радиусу: $9 0^{\circ}$ . 5) Отрезки касательных из одной точки равны: $7$ . 6) $18 0^{\circ} - 11 0^{\circ} = 7 0^{\circ}$ . 7) $A B + C D = BC + A D$ : $12 = 4 + A D$ , $A D = 8$ .
Вопросы 1–2 — к рисунку с разными данными: проговорить, что рисунок один, а числа в вопросах свои. Обозначение $⌣ A B$ — дуга $A B$ (в тетради — дужка над буквами).

R07.1 · ПР-7

Сводка · углы, связанные с окружностью

Всё измеряется дугами

∠ A OB =⌣ A B

центральный

∠ A CB = \frac{1}{2} ⌣ A B

вписанный

\frac{1}{2}

дуги внутри угла касательная и хорда

∠ A EB = \frac{1}{2} (⌣ A B + ⌣ C D)

хорды, внутри

∠ P = \frac{1}{2} (дальняя - ближняя)

секущие, вне

3 мин · теория
Все формулы — следствия одной: вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается. Угол касательная–хорда — предельный случай вписанного (вторая сторона «повернулась» до касательной).
Левый чертёж: хорды $A C$ и $B D$ пересекаются в $E$ . $∠ A EB$ — внешний угол $△ BEC$ : $∠ A EB = ∠ A CB + ∠ D BC = \frac{1}{2} ⌣ A B + \frac{1}{2} ⌣ C D$ — сумма розовой и бирюзовой дуг.
Правый чертёж: вершина $P$ вне круга. Внешний угол треугольника равен сумме двух других, поэтому теперь вычитаем: $∠ P = \frac{1}{2} (розовая - бирюзовая)$ . Та же формула для касательной и секущей и для двух касательных.
Вопрос классу: что будет, если $E$ совпадёт с центром? (Ближняя и дальняя дуги равны, $∠ =⌣ A B$ — центральный угол.)

R07.1 · ПР-7, ПР-3

Сводка · касательные и четырёхугольники

Касательная, вписанный и описанный

O A ⊥ P A

касательная

⊥

радиусу

P A = PB, ∠ A PO = ∠ BPO

отрезки касательных

противоположные углы: сумма

18 0^{\circ}

вписанный

противоположные стороны: суммы равны описанный

a = 2 R sin α

теорема синусов

2,5 мин · теория
$△ P A O = △ PBO$ (прямоугольные, общая гипотенуза $PO$ , катеты $O A = OB = R$ ) ⇒ $P A = PB$ и $PO$ — биссектриса угла $P$ . Отсюда: центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис.
Вписанный четырёхугольник: $∠ A + ∠ C = \frac{1}{2} (⌣ BC D + ⌣ D A B) = \frac{1}{2} \cdot 36 0^{\circ} = 18 0^{\circ}$ . Это и признак: если сумма противоположных углов $18 0^{\circ}$ , около четырёхугольника можно описать окружность.
Описанный: из каждой вершины два равных отрезка касательных, поэтому $A B + C D = BC + A D$ ; верно и обратное (для выпуклого четырёхугольника).
Теорема синусов в форме $\frac{a}{s i n α} = 2 R$ — связь хорды, вписанного угла и радиуса: хорда $a = 2 R sin α$ , где $α$ — вписанный угол, опирающийся на неё.

R07.1 · ПР-8

Сводка · отрезки хорд, секущих, касательных

Произведения отрезков равны

A E \cdot EB = CE \cdot E D

хорды

PM \cdot PN = P K \cdot P L

секущие

P T^{2} = PM \cdot PN

касательная

PM \cdot PN = P O^{2} - R^{2}

одна величина

3 мин · теория
Все три теоремы доказываются подобием. Хорды: $△ A EC \sim △ D EB$ (вписанные углы на одну дугу и вертикальные) ⇒ $\frac{A E}{D E} = \frac{CE}{BE}$ . Касательная и секущая: $△ PTM \sim △ PNT$ (общий $∠ P$ , $∠ PTM = ∠ PNT$ — угол касательная–хорда и вписанный на одну дугу) ⇒ $P T^{2} = PM \cdot PN$ .
Секущая берётся целиком: $PN$ — от точки $P$ до дальней точки, а не хорда $MN$ .
Последняя строка: если провести секущую через центр, её отрезки $PO - R$ и $PO + R$ , произведение $P O^{2} - R^{2}$ (для точки внутри круга — $R^{2} - E O^{2}$ ). Это число зависит только от точки — поэтому все произведения равны.

R07.1 · выбор метода

Схема · как выбрать метод

Что дано → чем пользоваться

В условии	Ключевой факт
угол с вершиной на окружности, дуги	вписанный $= \frac{1}{2}$ дуги, на диаметр — $9 0^{\circ}$
хорды пересекаются внутри	$\frac{1}{2} (⌣_{1} + ⌣_{2})$ ; $A E \cdot EB = CE \cdot E D$
секущие из точки вне круга	$\frac{1}{2} (⌣_{1} - ⌣_{2})$ ; $PM \cdot PN = P K \cdot P L$
касательная	$⊥$ радиусу; отрезки равны; $P T^{2} = PM \cdot PN$
четырёхугольник и окружность	вписанный: углы, $18 0^{\circ}$ ; описанный: стороны
сторона и противолежащий угол	$a = 2 R sin α$

2,5 мин · теория
Ведите таблицу фронтально: учитель называет левую колонку, класс — правую; затем открывайте.
Ключ к выбору — где вершина угла (на окружности, внутри, вне) и какие отрезки даны (хорды, секущие, касательная). Если в условии есть радиус и угол треугольника — почти всегда теорема синусов.
Связь с курсом: подобие треугольников (8 класс) — основа всех метрических соотношений; теорема синусов (9 класс) — переход от углов к длинам.

R07.1 · ПР-7

Образец → сам · вписанные углы и дуги

Дуги в отношении — углы четырёхугольника

Образец: вершины $A BC D$ делят окружность на дуги $A B : BC : C D : D A = 2 : 3 : 4 : 6$ . Найдите углы $A BC D$ .

$15$ частей $= 36 0^{\circ}$ ⇒ дуги $4 8^{\circ}, 7 2^{\circ}, 9 6^{\circ}, 14 4^{\circ}$

$∠ A = \frac{1}{2} (7 2^{\circ} + 9 6^{\circ}) = 8 4^{\circ}$ опирается на $⌣ BC D$

$∠ B = 12 0^{\circ}, ∠ C = 9 6^{\circ}, ∠ D = 6 0^{\circ}$ $∠ A + ∠ C = 18 0^{\circ}$

Сам

Хорда видна из центра под углом $13 0^{\circ}$ . Под каким углом она видна из точек большей и меньшей дуг? $6 5^{\circ}$ и $11 5^{\circ}$
$A B$ — диаметр, $C$ на окружности, $∠ A = 2 8^{\circ}$ . Найдите дугу $BC$ , не содержащую $A$ . $5 6^{\circ}$
Вершины треугольника делят окружность в отношении $3 : 4 : 5$ . Найдите углы. $4 5^{\circ}, 6 0^{\circ}, 7 5^{\circ}$

2,5 мин · практика
Образец: одна часть $36 0^{\circ} : 15 = 2 4^{\circ}$ . Угол $A$ опирается на дугу $BC D$ , не содержащую $A$ : $7 2^{\circ} + 9 6^{\circ} = 16 8^{\circ}$ , $∠ A = 8 4^{\circ}$ . Аналогично $∠ B = \frac{1}{2} (96 + 144) = 12 0^{\circ}$ , $∠ C = \frac{1}{2} (144 + 48) = 9 6^{\circ}$ , $∠ D = \frac{1}{2} (48 + 72) = 6 0^{\circ}$ . Проверка: сумма $36 0^{\circ}$ , $∠ A + ∠ C = ∠ B + ∠ D = 18 0^{\circ}$ .
1) Из точек большей дуги — половина меньшей дуги: $6 5^{\circ}$ ; из точек меньшей — $\frac{1}{2} (36 0^{\circ} - 13 0^{\circ}) = 11 5^{\circ}$ (в сумме $18 0^{\circ}$ — вписанный четырёхугольник).
2) $∠ A$ — вписанный, опирается на дугу $BC$ : $⌣ BC = 2 \cdot 2 8^{\circ} = 5 6^{\circ}$ ( $∠ C = 9 0^{\circ}$ — на диаметр).
3) $12$ частей по $3 0^{\circ}$ : дуги $9 0^{\circ}, 12 0^{\circ}, 15 0^{\circ}$ , углы — половины: $4 5^{\circ}, 6 0^{\circ}, 7 5^{\circ}$ (сумма $18 0^{\circ}$ ).

R07.1 · ПР-7

Образец → сам · углы между хордами и секущими

Вершина внутри — сумма, вне — разность

Образец: хорды $A C$ и $B D$ пересекаются в точке $E$ , $⌣ A B = 11 0^{\circ}$ , $⌣ C D = 5 0^{\circ}$ . Найдите $∠ A EB$ и $∠ BEC$ .

$∠ A EB = \frac{1}{2} (11 0^{\circ} + 5 0^{\circ}) = 8 0^{\circ}$ вершина внутри круга

$∠ BEC = 18 0^{\circ} - 8 0^{\circ} = 10 0^{\circ}$ смежные углы

Сам

Две секущие из точки $P$ высекают дуги $14 0^{\circ}$ и $4 0^{\circ}$ . Найдите $∠ P$ . $5 0^{\circ}$
Хорды пересекаются под углом $7 0^{\circ}$ , одна из дуг между его сторонами $10 0^{\circ}$ . Найдите дугу между сторонами вертикального угла. $4 0^{\circ}$
Касательная и секущая из $P$ : дуги между ними $20 0^{\circ}$ и $6 0^{\circ}$ . Найдите $∠ P$ . $7 0^{\circ}$

R07.1 · ПР-7

Образец → сам · касательные

Две касательные из одной точки

Образец: $P A$ и $PB$ — касательные, $∠ A PB = 6 0^{\circ}$ , радиус $6$ . Найдите $PO$ , $P A$ и хорду $A B$ .

$O A ⊥ P A$ , $∠ A PO = 3 0^{\circ}$ $PO$ — биссектриса

$PO = 2 \cdot O A = 12$ , $P A = 144 - 36 = 63$

$P A = PB$ , $∠ P = 6 0^{\circ}$ ⇒ $A B = 63$ $△ A PB$ правильный

Сам

Угол между касательной и хордой из точки касания $4 0^{\circ}$ . Найдите дугу внутри угла. $8 0^{\circ}$
$P A$ , $PB$ — касательные, $∠ A OB = 13 0^{\circ}$ . Найдите $∠ A PB$ . $5 0^{\circ}$
Окружность вписана в треугольник со сторонами $7$ , $8$ , $9$ . На какие отрезки точка касания делит сторону $8$ ? $3$ и $5$

2,5 мин · практика
Образец: $△ P A O$ прямоугольный с углом $3 0^{\circ}$ при $P$ , катет $O A = 6$ лежит против $3 0^{\circ}$ ⇒ $PO = 12$ ; $P A = 1 2^{2} - 6^{2} = 108 = 63 \approx 10, 39$ . Равнобедренный $△ A PB$ с углом $6 0^{\circ}$ — равносторонний: $A B = 63$ .
1) Угол между касательной и хордой — половина дуги внутри угла: $8 0^{\circ}$ .
2) В четырёхугольнике $O A PB$ углы $A$ и $B$ прямые: $∠ P = 36 0^{\circ} - 18 0^{\circ} - 13 0^{\circ} = 5 0^{\circ}$ .
3) $p = 12$ . Отрезок касательной из вершины равен $p$ минус противолежащая сторона: концы стороны $8$ — вершины, противолежащие сторонам $7$ и $9$ : $12 - 9 = 3$ и $12 - 7 = 5$ (сумма $8$ ✓).

R07.1 · ПР-8

Образец → сам · хорды, секущие, касательная

Касательная и две секущие

Образец: $PT$ — касательная, $P A = 4$ , $A B = 5$ , $PC = 3$ . Найдите $PT$ и хорду $C D$ .

$PB = P A + A B = 9$ секущая — целиком

$P T^{2} = P A \cdot PB = 36$ ⇒ $PT = 6$ квадрат касательной

$PC \cdot P D = 36$ ⇒ $P D = 12$ , $C D = 9$

Сам

Хорды $A B$ и $C D$ пересекаются в $E$ : $A E = 6$ , $EB = 4$ , $CE = 3$ . Найдите $E D$ . $8$
$PT = 8$ — касательная, секущая $P A B$ , $P A = 4$ . Найдите $PB$ и $A B$ . $16$ и $12$
Одна хорда делится точкой пересечения на $2$ и $18$ , другая — пополам. Найдите вторую хорду. $12$

R07.1 · ПР-3, ПР-7

Образец → сам · теорема синусов и четырёхугольники

Сторона, угол и радиус

Образец: в $△ A BC$ $BC = 10$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ . Найдите радиус описанной окружности и расстояние от центра до $BC$ .

$R = \frac{BC}{2 sin A} = \frac{10}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 10$ теорема синусов

$O H = R^{2} - 5^{2} = 75 = 53$ $O H ⊥ BC$ , $B H = H C$

Сам

$A BC D$ вписан в окружность, $∠ A = 3∠ C$ . Найдите $∠ A$ . $13 5^{\circ}$
$R = 13$ , $sin ∠ A = \frac{5}{13}$ . Найдите сторону $BC$ треугольника $A BC$ . $10$
Описанный четырёхугольник, периметр $36$ , $A B = 7$ . Найдите $C D$ . $11$

R07.1

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$⌣ A B = 8 0^{\circ}$ ⇒ $∠ A CB = 8 0^{\circ}$	вписанный — половина дуги	$∠ A CB = 4 0^{\circ}$
$∠ P = \frac{1}{2} (13 0^{\circ} + 5 0^{\circ})$	две секущие: вершина вне круга — разность	$∠ P = 4 0^{\circ}$
$P T^{2} = P A \cdot A B$	берут всю секущую $PB$	$P T^{2} = P A \cdot PB$
описанный: $∠ A + ∠ C = 18 0^{\circ}$	это свойство вписанного	$A B + C D = BC + A D$

1,5 мин · практика (ученики объясняют «почему», учитель открывает строку)
1) Центральный угол равен дуге, вписанный — половине. Проверка: на диаметр (дуга $18 0^{\circ}$ ) вписанный угол $9 0^{\circ}$ , а не $18 0^{\circ}$ .
2) $\frac{1}{2} (130 - 50) = 4 0^{\circ}$ . Прикидка: вершина вне круга «видит» хорду под меньшим углом, чем точки окружности.
3) Отрезки считаются от точки $P$ : $P A$ и $PB = P A + A B$ . Так же для двух секущих.
4) Свойства перепутаны: у вписанного — углы, у описанного — стороны. Пример: ромб (не квадрат) описанный, но его противоположные углы равны, а не дают $18 0^{\circ}$ .

R07.1

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Хорды: $A E = 3$ , $EB = 8$ , $CE = 4$ . Найдите $E D$ .

$A E \cdot CE = EB \cdot E D$

$12 = 8 \cdot E D$ , $E D = 1, 5$

умножают отрезки одной хорды

$3 \cdot 8 = 4 \cdot E D$ , $E D = 6$

б) Касательные $P A$ , $PB$ , $∠ A PB = 7 0^{\circ}$ . Найдите $∠ A OB$ .

$∠ A OB = 2 \cdot 7 0^{\circ} = 14 0^{\circ}$ — центральный вдвое больше

$∠ A PB$ не вписанный

$∠ A OB = 36 0^{\circ} - 18 0^{\circ} - 7 0^{\circ}$ $= 11 0^{\circ}$

в) $A BC D$ вписан, $∠ A BC = 10 4^{\circ}$ , $∠ C A D = 6 6^{\circ}$ . Найдите $∠ A B D$ .

$∠ A B D = 18 0^{\circ} - 10 4^{\circ}$ $= 7 6^{\circ}$

$∠ D BC = ∠ D A C = 6 6^{\circ}$ — на одну дугу

$∠ A B D = 10 4^{\circ} - 6 6^{\circ} = 3 8^{\circ}$

2 мин · практика
Сначала видны «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой: $A E \cdot EB = CE \cdot E D$ , $24 = 4 \cdot E D$ , $E D = 6$ .
б) Вершина $P$ вне окружности, вписанным угол $A PB$ не является. В четырёхугольнике $O A PB$ : $∠ A = ∠ B = 9 0^{\circ}$ ⇒ $∠ A OB = 11 0^{\circ}$ . Сверка по формуле «вне»: дальняя дуга $25 0^{\circ}$ , ближняя $11 0^{\circ}$ : $\frac{1}{2} (250 - 110) = 7 0^{\circ}$ ✓.
в) Ученик применил свойство вписанного четырёхугольника к углам, которые не противоположны. $∠ D BC$ и $∠ D A C$ опираются на дугу $D C$ ⇒ равны; $∠ A B D = ∠ A BC - ∠ D BC = 3 8^{\circ}$ . Это задача линии 16 банка ФИПИ.

R07.1

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

базаЦентральный угол $8 4^{\circ}$ . Вписанный угол на ту же дугу? $4 2^{\circ}$
база $A B$ — диаметр, $∠ A = 3 7^{\circ}$ в $△ A BC$ . Найдите $∠ B$ . $5 3^{\circ}$
базаХорды: $A E = 5$ , $EB = 6$ , $CE = 10$ . Найдите $E D$ . $3$

базаСекущая: $P A = 2$ , $PB = 18$ . Касательная $PT$ ? $6$
базаВписанный $A BC D$ , $∠ B = 7 4^{\circ}$ . Найдите $∠ D$ . $10 6^{\circ}$
базаОписанный: $A B = 6$ , $BC = 9$ , $C D = 11$ . Найдите $A D$ . $8$

R07.1

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Касательная в точке $A$ и хорда $A B$ образуют угол $7 2^{\circ}$ . Найдите $∠ A CB$ , если $C$ лежит на большей дуге $A B$ . $7 2^{\circ}$
повыш.Хорды $A B$ и $C D$ пересекаются в $E$ , $A E = 4$ , $EB = 9$ , $C D = 13$ . Найдите $CE$ и $E D$ . $4$ и $9$
повыш. $PO = 13$ , $R = 5$ . Найдите касательную $PT$ и отрезки секущей, проходящей через центр. $12$ ; $8$ и $18$
повыш.Сторона треугольника $12$ , противолежащий угол $12 0^{\circ}$ . Найдите радиус описанной окружности. $43$

R07.1 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 16

Ответ — одно число

ОГЭ 16Отрезок $A B = 40$ касается окружности радиуса $75$ с центром $O$ в точке $B$ . Окружность пересекает $A O$ в точке $D$ . Найдите $A D$ . $10$
ОГЭ 16Касательные в точках $A$ и $B$ к окружности с центром $O$ пересекаются под углом $7 2^{\circ}$ . Найдите $∠ A BO$ . $36$
ОГЭ 16Угол $A CB$ равен $2 4^{\circ}$ , где $C$ — точка окружности. Найдите центральный угол $A OB$ , опирающийся на ту же дугу. $48$

R07.1 · ОГЭ, ч. 2

Формат ОГЭ · линия 24

Докажите: $A E \cdot EC = BE \cdot E D$

ОГЭ 24 Хорды $A C$ и $B D$ окружности пересекаются в точке $E$ .

∠ B A C = ∠ B D C

вписанные, опираются на

⌣ BC

∠ A EB = ∠ D EC

вертикальные

△ A BE

\sim

△ D CE

по двум углам;

A \leftrightarrow D

B \leftrightarrow C

\frac{A E}{D E} = \frac{BE}{CE}

⇒

A E \cdot CE = BE \cdot D E

пропорциональность сторон

2 мин · практика
Сначала класс сам предлагает план (1 мин): «произведение отрезков ⇒ пропорция ⇒ подобные треугольники ⇒ равные углы». Затем открывайте шаги.
Критерии ОГЭ 24 (2 балла): доказательство верное, все шаги обоснованы. Типичная потеря балла — соответствие вершин в подобии: $A \leftrightarrow D$ (равные вписанные углы), $E \leftrightarrow E$ , $B \leftrightarrow C$ . Неверное соответствие даёт неверную пропорцию $\frac{A E}{CE}$ .
На чертеже: равные вписанные углы — одной оранжевой дугой, дуга $BC$ выделена; вертикальные углы — двойной сиреневой дугой.

R07.1 · задача из жизни

Задача из жизни · как далеко видно горизонт

$d^{2} = h (2 R + h)$ , радиус Земли $R \approx 6400$ км

Почему $d^{2} = h (2 R + h)$ ? $P T^{2} = P A \cdot PB$
Смотритель на маяке: $h = 50$ м. Найдите $d$ . $\approx 25$ км
Самолёт на высоте $10$ км. Найдите $d$ . $\approx 358$ км
С какой высоты горизонт виден на $80$ км? $\approx 500$ м

R07.1

Самостоятельная работа · 3,5 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вписанный угол $6 4^{\circ}$ . Центральный угол на ту же дугу? $12 8^{\circ}$
Хорды: $A E = 4$ , $EB = 9$ , $CE = 6$ . Найдите $E D$ . $6$
Касательная $PT = 10$ , секущая $P A = 5$ . Найдите $PB$ . $20$
Секущие из $P$ высекают дуги $16 0^{\circ}$ и $6 0^{\circ}$ . Найдите $∠ P$ . $5 0^{\circ}$

Вариант 2

Центральный угол $15 2^{\circ}$ . Вписанный угол на ту же дугу? $7 6^{\circ}$
Хорды: $A E = 3$ , $EB = 12$ , $CE = 4$ . Найдите $E D$ . $9$
Касательная $PT = 12$ , секущая $P A = 8$ . Найдите $PB$ . $18$
Хорды пересекаются, дуги $10 0^{\circ}$ и $4 0^{\circ}$ . Найдите угол между хордами. $7 0^{\circ}$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Где вершина угла — и какая формула для него?
Почему секущую берут целиком?
Чем вписанный четырёхугольник отличается от описанного?

Домашнее задание

Хорды $A B$ , $C D$ : $A E : EB = 1 : 4$ , $CE = 4$ , $E D = 9$ . Найдите $A B$ .
Секущая $P A = 3$ , $A B = 9$ . Найдите касательную $PT$ .
* Докажите: угол между касательной и хордой равен половине дуги.
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_adv_metricheskie.htm

1 мин · практика (рефлексия, запись ДЗ)
Ответы на вопросы: на окружности — половина дуги, внутри — полусумма, вне — полуразность; отрезки отсчитываются от точки $P$ (из подобия $△ PT A \sim △ PBT$ ); вписанный — углы ( $18 0^{\circ}$ ), описанный — стороны (суммы равны).
Ответы ДЗ: 1) $A E = x$ , $EB = 4 x$ : $4 x^{2} = 36$ , $x = 3$ , $A B = 15$ . 2) $PB = 12$ , $P T^{2} = 36$ , $PT = 6$ . 3) Провести диаметр $A A_{1}$ из точки касания: угол касательная–хорда $= 9 0^{\circ} - ∠ B A A_{1}$ , а $∠ B A A_{1} = \frac{1}{2} ⌣ B A_{1}$ .
Предыдущий урок повторения — GEOM9U-093, следующий — GEOM9U-095 (R07, урок 5/12). Тренажёр — «Метрические соотношения в окружности» (углублённый уровень).

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9U-094 · Обобщение и систематизация по теме «Повторение, обобщение, систематизация знаний»

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R07 «Повторение, обобщение, систематизация знаний», 12 ч · урок 4/12 · тип О · тема повторения: окружность (углы, касательные, отрезки хорд и секущих)
Единицы → слайды	R07.1 → 2–21 (повторение понятий и методов 8–9 классов, выбор метода — 7, практико-ориентированная задача — 19)
Результаты	ПР-7 (вписанные углы, углы между хордами и секущими, касательная и хорда) → 3, 4, 5, 8–10, 13–18, 20 · ПР-8 (хорды, секущие, касательная) → 6, 11, 13–16, 18–20 · ПР-3 (теорема синусов) → 5, 12, 16 · ПР-19 (модели реальных задач) → 19
Вне урока	следующие уроки повторения R07 — GEOM9U-095 и далее
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Повторение: углы и отрезки в окружности

Сегодня вы повторите и научитесь

Углы и дуги

Касательные и четырёхугольники

Отрезки в окружности

Выбор метода

Семь быстрых вопросов

Всё измеряется дугами

Касательная, вписанный и описанный

Произведения отрезков равны

Что дано → чем пользоваться

Дуги в отношении — углы четырёхугольника

Образец: вершины ABCD делят окружность на дуги AB:BC:CD:DA=2:3:4:6. Найдите углы ABCD.

Сам

Вершина внутри — сумма, вне — разность

Образец: хорды AC и BD пересекаются в точке E, ⌣AB=110∘, ⌣CD=50∘. Найдите ∠AEB и ∠BEC.

Сам

Две касательные из одной точки

Образец: PA и PB — касательные, ∠APB=60∘, радиус 6. Найдите PO, PA и хорду AB.

Сам

Касательная и две секущие

Образец: PT — касательная, PA=4, AB=5, PC=3. Найдите PT и хорду CD.

Сам

Сторона, угол и радиус

Образец: в △ABC BC=10, ∠A=30∘. Найдите радиус описанной окружности и расстояние от центра до BC.

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Хорды: AE=3, EB=8, CE=4. Найдите ED.

б) Касательные PA, PB, ∠APB=70∘. Найдите ∠AOB.

в) ABCD вписан, ∠ABC=104∘, ∠CAD=66∘. Найдите ∠ABD.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

Докажите: AE⋅EC=BE⋅ED

d2=h(2R+h), радиус Земли R≈6400 км

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9U-094 · Обобщение и систематизация по теме «Повторение, обобщение, систематизация знаний»

Образец: вершины $A BC D$ делят окружность на дуги $A B : BC : C D : D A = 2 : 3 : 4 : 6$ . Найдите углы $A BC D$ .

Образец: хорды $A C$ и $B D$ пересекаются в точке $E$ , $⌣ A B = 11 0^{\circ}$ , $⌣ C D = 5 0^{\circ}$ . Найдите $∠ A EB$ и $∠ BEC$ .

Образец: $P A$ и $PB$ — касательные, $∠ A PB = 6 0^{\circ}$ , радиус $6$ . Найдите $PO$ , $P A$ и хорду $A B$ .

Образец: $PT$ — касательная, $P A = 4$ , $A B = 5$ , $PC = 3$ . Найдите $PT$ и хорду $C D$ .

Образец: в $△ A BC$ $BC = 10$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ . Найдите радиус описанной окружности и расстояние от центра до $BC$ .

а) Хорды: $A E = 3$ , $EB = 8$ , $CE = 4$ . Найдите $E D$ .

б) Касательные $P A$ , $PB$ , $∠ A PB = 7 0^{\circ}$ . Найдите $∠ A OB$ .

в) $A BC D$ вписан, $∠ A BC = 10 4^{\circ}$ , $∠ C A D = 6 6^{\circ}$ . Найдите $∠ A B D$ .

Докажите: $A E \cdot EC = BE \cdot E D$

$d^{2} = h (2 R + h)$ , радиус Земли $R \approx 6400$ км