Повторение курса · урок 3 из 12 · обобщение

Повторение: четырёхугольники и их площади

Геометрия · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R07 · GEOM9U-093

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Паспорт: R07 «Повторение, обобщение, систематизация знаний» (12 ч), урок 3/12, единица R07.1. Тип урока — О (обобщение): теория только сводками и одним коротким выводом, остальное — решение задач.
Теория (13): титул 0,5 · цели 0,5 · сводка «параллелограмм и его виды» 2,5 · сводка «трапеция» 1,5 · сводка площадей 2 · вывод площади через диагонали 2 · сводка «вписанные и описанные» 2 · сводка правил 2.
Практика (32): разминка 2,5 · образцы → сам 2,5 × 5 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2,5 · повышенный 2,5 · ОГЭ 2 · из жизни 1,5 · самостоятельная 4 · итог 1.
На титуле: трапеция с вписанной окружностью и параллелограмм с диагоналями — две «звезды» урока. Вопрос классу: что можно сказать о сумме оснований трапеции, если в неё вписана окружность?

R07.1

Цели урока

Сегодня вы повторите и научитесь

Узнавать вид четырёхугольника

по свойствам и признакам — с обоснованием, а не «по рисунку»

Находить площади

через высоту, синус угла и диагонали (ПР-4)

Решать задачи с окружностью

вписанные и описанные четырёхугольники (ПР-7)

Выбирать метод

в задачах ОГЭ 17, 18, 23–25 и в практических задачах (ПР-19)

0,5 мин · теория
R07.1: «Повторение основных понятий и методов курсов 7–9 классов, обобщение и систематизация знаний для представления данных и решения задач, в том числе из других учебных предметов».
ПР-4: тригонометрические формулы площади треугольника, параллелограмма, ромба, трапеции, формула площади выпуклого четырёхугольника. ПР-7: вписанные углы. ПР-19: математические модели реальных задач.
Виды деятельности R07: свободно оперировать понятиями «параллелограмм, ромб, прямоугольник, квадрат, трапеция», использовать формулы площади многоугольников, выбирать метод решения.

повторение · 8 класс и GEOM9U-092

Разминка · устно

Углы, стороны, площади

Сумма углов выпуклого четырёхугольника? $36 0^{\circ}$
В параллелограмме $∠ A = 7 0^{\circ}$ . Чему равен $∠ B$ ? $11 0^{\circ}$
Диагонали ромба $6$ и $8$ . Сторона? $5$
Основания трапеции $4$ и $10$ . Средняя линия? $7$

$S$ треугольника: стороны $6$ и $5$ , угол между ними $3 0^{\circ}$ ? $7, 5$
$sin 15 0^{\circ}$ ? $\frac{1}{2}$
Сумма углов выпуклого шестиугольника? $72 0^{\circ}$

R07.1 · 8 класс

Сводка · параллелограмм и его виды

Свойства и признаки: не путать направление

Фигура	Свойства (в дополнение к предыдущей)	Признак (достаточно)
Параллелограмм	противоположные стороны и углы равны; диагонали делятся пополам	две стороны равны и параллельны; или диагонали делятся пополам
Прямоугольник	все углы прямые; диагонали равны	параллелограмм с равными диагоналями
Ромб	все стороны равны; диагонали $⊥$ и делят углы пополам	параллелограмм с $⊥$ диагоналями
Квадрат	все свойства прямоугольника и ромба	прямоугольник с равными соседними сторонами

Параллелограмм:

d_{1}^{2} + d_{2}^{2} = 2 (a^{2} + b^{2})

2,5 мин · теория
Ключевая мысль: свойство — «если фигура такая, то…», признак — «если…, то фигура такая». Признак ромба «диагонали перпендикулярны» работает только для параллелограмма: у дельтоида диагонали тоже перпендикулярны.
Формула диагоналей — следствие теоремы косинусов (9 класс): $d_{1}^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos α$ , $d_{2}^{2} = a^{2} + b^{2} + 2 ab cos α$ ; сложить.
Вопрос классу: какое свойство есть у прямоугольника, но нет у ромба? (равные диагонали) А наоборот? (перпендикулярные диагонали, биссектрисы углов).

R07.1 · ОГЭ 17, 23

Образец → сам · биссектриса в параллелограмме

Биссектриса отсекает равнобедренный треугольник

Образец: в параллелограмме $A BC D$ биссектриса угла $A$ пересекает $BC$ в точке $K$ , $B K = 7$ , $K C = 3$ . Найдите периметр.

$∠ B A K = ∠ K A D$ $A K$ — биссектриса

$∠ K A D = ∠ A K B$ накрест лежащие, $A D ∥ BC$

$A B = B K = 7$ $△ A B K$ равнобедренный

$P = 2 (7 + 10) = 34$ $BC = 7 + 3 = 10$

Сам

$B K = 5$ , $K C = 4$ . Периметр? $28$
$P = 48$ , биссектриса делит $BC$ пополам. $A B$ ? $8$
Угол между биссектрисами углов $A$ и $B$ ? $9 0^{\circ}$

R07.1 · 8 класс

Сводка · трапеция

Средняя линия и высоты равнобедренной трапеции

Средняя линия

∥

основаниям,

m = \frac{a + b}{2}

.

Равнобедренная:

A H = \frac{a - b}{2}

,

HD = \frac{a + b}{2}

.

Диагонали

⊥

⇒

h = \frac{a + b}{2}

,

S = h^{2}

.

1,5 мин · теория
Высоты $B H$ и $C H_{2}$ отрезают от большего основания два равных отрезка (прямоугольные треугольники равны по гипотенузе и катету), между высотами — прямоугольник со стороной $b$ . Отсюда $A H = \frac{a - b}{2}$ , $HD = b + \frac{a - b}{2} = \frac{a + b}{2}$ .
Если диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны, то через точку их пересечения высота делится на две части, равные половинам оснований (равнобедренные прямоугольные треугольники): $h = \frac{a}{2} + \frac{b}{2}$ . Тогда $S = \frac{a + b}{2} \cdot h = h^{2}$ .
Около любой равнобедренной трапеции можно описать окружность (и только около равнобедренной); вписать окружность можно не всегда. Об этом — сводка «вписанные и описанные».

R07.1 · ОГЭ 17

Образец → сам · равнобедренная трапеция

Чертёж строим сами: высота из вершины

Образец: основания равнобедренной трапеции $6$ и $16$ , боковая сторона $13$ . Найдите площадь.

$A H = \frac{16 - 6}{2} = 5$ строим высоту $B H$ ; формула $\frac{a - b}{2}$

$h = 1 3^{2} - 5^{2} = 12$ теорема Пифагора в $△ A B H$

$S = \frac{6 + 16}{2} \cdot 12 = 132$ площадь трапеции

Сам · равнобедренная трапеция

Основания $7$ и $13$ , боковая $5$ . $S$ ? $40$
Основания $5$ и $17$ , $S = 88$ . Боковая сторона? $10$
Основания $4$ и $10$ , диагонали $⊥$ . $S$ ? $49$

R07.1 · ПР-4

Сводка · площади четырёхугольников

Четыре формулы, которые решают почти всё

Параллелограмм

S = ah

S = ab sin α

Ромб

S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2}

S = a^{2} sin α

Трапеция

S = \frac{a + b}{2} \cdot h

S = m \cdot h

Выпуклый четырёхугольник

S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2} sin φ

R07.1 · ПР-4

Вывод · площадь через диагонали

$S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2} sin φ$ для любого выпуклого четырёхугольника

1Диагонали делят

A BC D

на четыре треугольника

O

— точка пересечения диагоналей

2

S_{A OB} = \frac{1}{2} A O \cdot BO \cdot sin φ

sin (18 0^{\circ} - φ) = sin φ

— у всех четырёх

3

S = \frac{1}{2} sin φ (A O + OC) (BO + O D)

сложили и сгруппировали

4 $S = \frac{1}{2} A C \cdot B D \cdot sin φ$

A O + OC = d_{1}

,

BO + O D = d_{2}

R07.1 · ПР-4

Образец → сам · площадь через диагонали и синус

Ромб: сторона, площадь, высота

Образец: диагонали ромба $12$ и $16$ . Найдите сторону, площадь и высоту.

$BC = 6^{2} + 8^{2} = 10$ прямоугольный $△ BOC$

$S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 16 = 96$ площадь ромба через диагонали

$B H = \frac{S}{a} = \frac{96}{10} = 9, 6$ ромб — параллелограмм: $S = a \cdot h$

Сам

Диагонали $6$ и $14$ , угол между ними $3 0^{\circ}$ . $S$ ? $21$
Диагонали $8$ и $10$ , $S = 203$ . Угол между ними? $6 0^{\circ}$
Стороны параллелограмма $6$ и $8$ , угол $15 0^{\circ}$ . $S$ ? $24$

R07.1 · ОГЭ 24

Образец → сам · доказательство

Середины сторон — вершины параллелограмма

Образец: $K, L, M, N$ — середины сторон $A B, BC, C D, D A$ . Докажите: $K L MN$ — параллелограмм.

$K L ∥ A C$ , $K L = \frac{1}{2} A C$ средняя линия $△ A BC$

$NM ∥ A C$ , $NM = \frac{1}{2} A C$ средняя линия $△ A D C$

$K L ∥ NM$ , $K L = NM$ признак: две стороны равны и параллельны ⇒ параллелограмм

Сам

Диагонали $A BC D$ равны $10$ и $14$ . Периметр $K L MN$ ? $24$
Когда $K L MN$ — ромб? $A C = B D$
Когда $K L MN$ — прямоугольник? $A C ⊥ B D$

2,5 мин · практика
План доказательства: провести диагональ $A C$ → две средние линии → признак параллелограмма. Ученики проговаривают обоснование каждого шага; ответ «на рисунке видно, что параллельны» не принимается.
1) $K L = NM = \frac{A C}{2} = 5$ , $K N = L M = \frac{B D}{2} = 7$ , $P = 2 (5 + 7) = 24$ — периметр равен сумме диагоналей. 2) Стороны $\frac{A C}{2}$ и $\frac{B D}{2}$ равны ⇔ $A C = B D$ . 3) Стороны параллельны диагоналям, угол между ними прямой ⇔ $A C ⊥ B D$ .
Дополнительно (повышенный уровень): $S_{K L MN} = \frac{1}{2} S_{A BC D}$ — сторона $\frac{d _{1}}{2}$ , другая $\frac{d _{2}}{2}$ , угол $φ$ : $\frac{d _{1} d _{2}}{4} sin φ$ .

R07.1 · ПР-7

Сводка · вписанные и описанные четырёхугольники

Углы — для вписанного, стороны — для описанного

Вписанный:

α

+

γ

= 18 0^{\circ}

Описанный:

a + c

=

b + d

Вписанная трапеция — равнобедренная.
Описанная трапеция:

h = 2 r

,

S = p r

2 мин · теория
Вписанный: углы $A$ и $C$ опираются на дуги, дополняющие друг друга до окружности ( $36 0^{\circ}$ ), значит $∠ A + ∠ C = \frac{1}{2} \cdot 36 0^{\circ} = 18 0^{\circ}$ . Верно и обратное (признак).
Описанный: отрезки касательных из одной вершины равны, каждая сторона — сумма двух таких отрезков; в $a + c$ и в $b + d$ входят все четыре отрезка по разу. Верно и обратное для выпуклого четырёхугольника.
Следствия: вписанный параллелограмм — прямоугольник, описанный параллелограмм — ромб. $S = p r$ ( $p$ — полупериметр) — для любого описанного многоугольника: разбить на треугольники с вершиной в центре окружности.

R07.1 · ОГЭ 25

Образец → сам · трапеция и окружность

Описанная трапеция: $h = 2 r$ и суммы сторон

Образец: равнобедренная трапеция с боковой стороной $10$ описана около окружности радиуса $4$ . Найдите площадь и основания.

$h = 2 r = 8$ , $a + b = 20$ описанный: $a + b = 10 + 10$

$S = \frac{20}{2} \cdot 8 = 80$ площадь трапеции

$A H = 1 0^{2} - 8^{2} = 6 = \frac{a - b}{2}$ Пифагор в $△ A B H$

$a = 16$ , $b = 4$ $a + b = 20$ , $a - b = 12$

Сам

Описанная трапеция, боковые $7$ и $9$ . Средняя линия? $8$
$A BC D$ вписан, $∠ A = 7 0^{\circ}$ , $∠ B = 10 5^{\circ}$ . $∠ C$ , $∠ D$ ? $11 0^{\circ}$ , $7 5^{\circ}$
Описанная равнобедренная трапеция, основания $2$ и $8$ . $r$ ? $2$

R07.1

Сводка правил · выбор метода

Что дано → что применить

В условии	Ход решения
биссектриса угла параллелограмма	отсекает равнобедренный треугольник
основания и боковая трапеции	высота из вершины, $\frac{a - b}{2}$ , теорема Пифагора
две стороны и угол	$S = ab sin α$ ; диагональ — теорема косинусов
диагонали и угол между ними	$S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2} sin φ$
середины сторон	средние линии треугольников
окружность вписана / описана	$a + c = b + d$ / $∠ A + ∠ C = 18 0^{\circ}$

R07.1

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
Стороны $5$ и $8$ , угол $3 0^{\circ}$ : $S = 40$	перемножили стороны — это не высота	$5 \cdot 8 \cdot sin 3 0^{\circ} = 20$
«Диагонали $⊥$ ⇒ ромб»	признак только для параллелограмма	параллелограмм с $⊥$ диагоналями — ромб
«Около ромба можно описать окружность»	$∠ A + ∠ C = 2∠ A \neq = 18 0^{\circ}$	только около квадрата
Описанный: $∠ A + ∠ C = 18 0^{\circ}$	перепутали с вписанным	$A B + C D = BC + A D$

R07.1

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Стороны параллелограмма $6$ и $10$ , угол $3 0^{\circ}$ . Найдите $S$ .

$S = 6 \cdot 10 \cdot cos 3 0^{\circ}$

$S = 303$

нужен синус:
$S = 60 \cdot \frac{1}{2} = 30$

б) $A B = C D$ , $BC ∥ A D$ . Ученик: « $A BC D$ — параллелограмм».

«Две стороны равны, две параллельны ⇒ параллелограмм»

это могут быть разные пары: равнобедренная трапеция. Нужно $A B = C D$ и $A B ∥ C D$

в) Равнобедренная трапеция: основания $3$ и $11$ , боковая $5$ . Найдите $S$ .

$h = 25 - 16 = 3$

$S = (3 + 11) \cdot 3 = 42$

потеряли $\frac{1}{2}$ :
$S = \frac{3 + 11}{2} \cdot 3 = 21$

2 мин · практика
Сначала видны «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) $h = 6 sin 3 0^{\circ} = 3$ (против угла $3 0^{\circ}$ катет — половина гипотенузы), $S = 10 \cdot 3 = 30$ . Косинус дал бы проекцию стороны, а не высоту.
б) Условие «одна пара сторон равна, другая параллельна» выполняется у равнобедренной трапеции. Признак требует, чтобы одна и та же пара сторон была равна и параллельна.
в) Проекция $\frac{11 - 3}{2} = 4$ и высота $3$ найдены верно; ошибка — в формуле площади.

R07.1

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

базаОдин угол параллелограмма на $4 0^{\circ}$ больше другого. Больший угол? $11 0^{\circ}$
базаРомб: сторона $10$ , угол $3 0^{\circ}$ . $S$ ? $50$
базаТрапеция: основания $5$ и $11$ , высота $6$ . $S$ ? $48$

базаПрямоугольник: диагональ $13$ , сторона $5$ . $S$ ? $60$
база $A BC D$ вписан в окружность, $∠ A = 6 4^{\circ}$ . $∠ C$ ? $11 6^{\circ}$
базаОписанный $A BC D$ : $A B = 5$ , $BC = 7$ , $C D = 9$ . $A D$ ? $7$

R07.1 · ПР-3 · ПР-10

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Стороны параллелограмма $5$ и $8$ , угол $6 0^{\circ}$ . Меньшая диагональ? $7$
повыш.Диагонали параллелограмма $10$ и $14$ , одна сторона $6$ . Другая сторона? $47$
повыш.Трапеция $A BC D$ , $BC = 4$ , $A D = 12$ , диагонали пересекаются в $O$ , $S_{BOC} = 3$ . Площадь трапеции? $48$
повыш.Площадь четырёхугольника $A (0; 0)$ , $B (6; 2)$ , $C (4; 7)$ , $D (- 1; 4)$ ? $28, 5$

R07.1 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 17 и 18

Трапеция в двух форматах

ОГЭ 17 Основания трапеции $7$ и $49$ , боковая сторона $18$ , а косинус угла между ней и одним из оснований равен $\frac{2 10}{7}$ . Найдите площадь трапеции.

$sin α = 1 - \frac{40}{49} = \frac{3}{7}$ , $h = 18 \cdot \frac{3}{7} = \frac{54}{7}$

$S = \frac{7 + 49}{2} \cdot \frac{54}{7} = 216$

ОГЭ 18 На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображена трапеция. Найдите её площадь.

$S = \frac{8 + 3}{2} \cdot 4 = 22$

R07.1 · ПР-19 · практика

Задача из жизни · скат крыши

Сколько листов металлочерепицы купить?

Скат крыши — равнобедренная трапеция. Найдите высоту ската $h$ . $4$ м
Площадь ската? $28$ м²
Лист покрывает $1, 8$ м², запас на обрезки $10 %$ . Сколько листов купить? $18$

R07.1

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Параллелограмм: стороны $4$ и $9$ , угол $3 0^{\circ}$ . $S$ ? $18$
Равнобедренная трапеция: основания $4$ и $10$ , боковая $5$ . $S$ ? $28$
Диагонали четырёхугольника $6$ и $10$ , угол между ними $4 5^{\circ}$ . $S$ ? $152$
В трапецию вписана окружность, боковые стороны $6$ и $8$ . Средняя линия? $7$

Вариант 2

Параллелограмм: стороны $6$ и $7$ , угол $15 0^{\circ}$ . $S$ ? $21$
Равнобедренная трапеция: основания $3$ и $13$ , боковая $13$ . $S$ ? $96$
Диагонали четырёхугольника $8$ и $12$ , угол между ними $6 0^{\circ}$ . $S$ ? $243$
Описанный $A BC D$ : $A B = 4$ , $BC = 6$ , $C D = 9$ . $A D$ ? $7$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Чем признак ромба отличается от свойства ромба?
Какая формула площади работает для любого выпуклого четырёхугольника?
Как связаны стороны описанного четырёхугольника?

Домашнее задание

Основания равнобедренной трапеции $10$ и $24$ , боковая $25$ . Найдите площадь и диагональ.
* Докажите: площадь параллелограмма $K L MN$ из середин сторон равна половине площади $A BC D$ .
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_adv_ploshchadi.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9U-093 · Повторение: четырёхугольники и их площади

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R07 «Повторение, обобщение, систематизация знаний», 12 ч · урок 3/12 · тип О (обобщение)
Единицы → слайды	R07.1 «Повторение основных понятий и методов курсов 7–9 классов…» → 2–22 (четырёхугольники: виды, свойства и признаки, площади, вписанные и описанные, выбор метода, практическая задача)
Результаты	ПР-4 (тригонометрические формулы площади, площадь выпуклого четырёхугольника) → 8–10, 17–21 · ПР-3 (теорема косинусов) → 4, 18 · ПР-7 (вписанные углы) → 12, 13, 15, 17 · ПР-10 (метод координат) → 18 · ПР-19 (практические задачи) → 20
Вне урока	формула площади невыпуклого четырёхугольника — только в заметках; следующий урок повторения — GEOM9U-094
Время	теория 13 мин · практика 32 мин (71 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Повторение: четырёхугольники и их площади

Сегодня вы повторите и научитесь

Узнавать вид четырёхугольника

Находить площади

Решать задачи с окружностью

Выбирать метод

Углы, стороны, площади

Свойства и признаки: не путать направление

Биссектриса отсекает равнобедренный треугольник

Образец: в параллелограмме ABCD биссектриса угла A пересекает BC в точке K, BK=7, KC=3. Найдите периметр.

Сам

Средняя линия и высоты равнобедренной трапеции

Чертёж строим сами: высота из вершины

Образец: основания равнобедренной трапеции 6 и 16, боковая сторона 13. Найдите площадь.

Сам · равнобедренная трапеция

Четыре формулы, которые решают почти всё

S=21​d1​d2​sinφ для любого выпуклого четырёхугольника

Ромб: сторона, площадь, высота

Образец: диагонали ромба 12 и 16. Найдите сторону, площадь и высоту.

Сам

Середины сторон — вершины параллелограмма

Образец: K,L,M,N — середины сторон AB,BC,CD,DA. Докажите: KLMN — параллелограмм.

Сам

Углы — для вписанного, стороны — для описанного

Описанная трапеция: h=2r и суммы сторон

Образец: равнобедренная трапеция с боковой стороной 10 описана около окружности радиуса 4. Найдите площадь и основания.

Сам

Что дано → что применить

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Стороны параллелограмма 6 и 10, угол 30∘. Найдите S.

б) AB=CD, BC∥AD. Ученик: «ABCD — параллелограмм».

в) Равнобедренная трапеция: основания 3 и 11, боковая 5. Найдите S.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Трапеция в двух форматах

Сколько листов металлочерепицы купить?

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9U-093 · Повторение: четырёхугольники и их площади

Образец: в параллелограмме $A BC D$ биссектриса угла $A$ пересекает $BC$ в точке $K$ , $B K = 7$ , $K C = 3$ . Найдите периметр.

Образец: основания равнобедренной трапеции $6$ и $16$ , боковая сторона $13$ . Найдите площадь.

$S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2} sin φ$ для любого выпуклого четырёхугольника

Образец: диагонали ромба $12$ и $16$ . Найдите сторону, площадь и высоту.

Образец: $K, L, M, N$ — середины сторон $A B, BC, C D, D A$ . Докажите: $K L MN$ — параллелограмм.

Описанная трапеция: $h = 2 r$ и суммы сторон

Образец: равнобедренная трапеция с боковой стороной $10$ описана около окружности радиуса $4$ . Найдите площадь и основания.

а) Стороны параллелограмма $6$ и $10$ , угол $3 0^{\circ}$ . Найдите $S$ .

б) $A B = C D$ , $BC ∥ A D$ . Ученик: « $A BC D$ — параллелограмм».

в) Равнобедренная трапеция: основания $3$ и $11$ , боковая $5$ . Найдите $S$ .