Повторение и обобщение · урок 2 из 12

Повторение: решение треугольников

Геометрия · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R07 · GEOM9U-092

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R07 «Повторение, обобщение, систематизация знаний» (12 ч), урок 2/12, единица R07.1. Тип урока — О (обобщение и систематизация): теория — только сводки и один короткий вывод, остальное — решение задач. Тема урока внутри строки: решение треугольников (материал R01, уроки GEOM9U-001…GEOM9U-011, и прямоугольный треугольник 8 класса).
Теория (12): титул 0,5 · цели 0,5 · сводка «прямоугольный треугольник» 2 · сводка «теоремы синусов и косинусов» 2,5 · вывод теоремы косинусов векторами 1,5 · выбор метода 2 · сводка «площадь» 3.
Практика (33): разминка 2 · образцы → сам 2,5 + 3 + 3 + 3 + 3 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2,5 · повышенный 2,5 · ОГЭ 2 · из жизни 1,5 · самостоятельная 3,5 · итог 1.
На титуле: треугольник, вписанный в окружность, — главный чертёж урока: теорема синусов связывает стороны, углы и радиус $R$ .

R07.1

Цели урока

Сегодня вы повторите и научитесь

Решать прямоугольный треугольник

через $sin$ , $cos$ , $tg$ острого угла (ПР-1, ПР-2)

Выбирать теорему

синусов или косинусов по данным задачи (ПР-3)

Находить площадь и радиусы

$S$ , $R$ , $r$ — по сторонам и углам (ПР-4)

Решать задачи ОГЭ и практические

линии 15 и 23, расстояние до недоступной точки (ПР-19)

0,5 мин · теория
Единица R07.1: «Повторение основных понятий и методов курсов 7–9 классов, обобщение и систематизация знаний для представления данных и решения задач, в том числе из других учебных предметов».
Результаты ФРП (углублённый уровень): ПР-1 (решение прямоугольных треугольников, калькулятор для нетабличных значений), ПР-2 (формулы приведения, основное тождество), ПР-3 (теоремы синусов и косинусов, «решение треугольников»), ПР-4 (тригонометрические формулы площади, формула Герона), ПР-19 (математические модели реальных задач).
Виды деятельности R07: выбирать метод для решения задачи, решать задачи на связь разных частей курса (здесь — векторы и тригонометрия).

повторение · GEOM9U-001…003

Разминка · устно

Значения и соотношения — без калькулятора

$sin 3 0^{\circ}$ и $cos 3 0^{\circ}$ ? $\frac{1}{2}$ и $\frac{3}{2}$
$cos 12 0^{\circ}$ ? $- \frac{1}{2}$
$sin 15 0^{\circ}$ ? $\frac{1}{2}$
$tg 4 5^{\circ}$ ? $1$

$α$ острый, $cos α = 0, 6$ . $sin α$ ? $0, 8$
Катет против угла $3 0^{\circ}$ , гипотенуза $10$ . Катет? $5$
Треугольник со сторонами $3$ , $4$ , $5$ — какой? прямоугольный

R07.1 · ПР-1, ПР-2

Сводка · прямоугольный треугольник

Синус, косинус, тангенс острого угла

sin α = \frac{a}{c}, cos α = \frac{b}{c}, tg α = \frac{a}{b}

$α$	$3 0^{\circ}$	$4 5^{\circ}$	$6 0^{\circ}$
$sin$	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{3}{2}$
$cos$	$\frac{3}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{1}{2}$
$tg$	$\frac{3}{3}$	$1$	$3$

sin^{2} α + cos^{2} α = 1

;

sin (18 0^{\circ} - α) = sin α

,

cos (18 0^{\circ} - α) = - cos α

R07.1 · ПР-1

Образец → сам · прямоугольный треугольник

Сторона = гипотенуза × синус или косинус

Образец: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A B = 20$ , $sin A = 0, 6$ . Найдите $BC$ и $A C$ .

$BC = 20 \cdot 0, 6 = 12$ $BC = A B sin A$ : катет против угла $A$

$cos A = 1 - 0, 36 = 0, 8$ основное тождество

$A C = 20 \cdot 0, 8 = 16$ проверка: $1 2^{2} + 1 6^{2} = 2 0^{2}$ ✓

Сам · $∠ C = 9 0^{\circ}$

$A C = 12$ , $tg A = 0, 75$ . $BC$ , $A B$ ? $9$ ; $15$
$BC = 7$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ . $A B$ ? $14$
$A B = 26$ , $cos B = \frac{5}{13}$ . $A C$ ? $24$

R07.1 · ПР-3

Сводка · теоремы синусов и косинусов

Две теоремы решают любой треугольник

Теорема синусов

\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} = 2 R

Теорема косинусов

c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b cos C

$c$ — наибольшая сторона: $c^{2} < a^{2} + b^{2}$ — остроугольный, $c^{2} > a^{2} + b^{2}$ — тупоугольный

2,5 мин · теория
Сводка уроков GEOM9U-004…006. Цвет стороны совпадает с цветом противолежащего угла на чертеже ( $a$ — против $A$ и т. д.). $R$ — радиус описанной окружности.
Следствие теоремы косинусов: $cos C = \frac{a ^{2} + b ^{2} - c ^{2}}{2 ab}$ — знак числителя даёт вид угла $C$ . При $C = 9 0^{\circ}$ теорема косинусов превращается в теорему Пифагора.
Вопрос классу: почему $\frac{a}{sin A} = 2 R$ ? (вписанный угол, опирающийся на хорду $a$ ; если провести диаметр, получится прямоугольный треугольник — доказательство урока GEOM9U-005).

R07.1 · связь тем: векторы

Вывод · теорема косинусов через векторы

Скалярный квадрат разности векторов

1

A B

=

CB

-

C A

правило вычитания векторов

2

c^{2} = A B^{2} = CB^{2} - 2 CB \cdot C A + C A^{2}

скалярный квадрат = квадрат длины

3

CB \cdot C A = ab cos C

определение скалярного произведения

4 $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos C$ для любого угла

C

— острого, прямого, тупого

R07.1 · выбор метода

Сводка · как выбрать теорему

Что дано → что применить

Дано	Найти	Инструмент
две стороны и угол между ними	третью сторону	т. косинусов
три стороны	угол	следствие т. косинусов: $cos C = \frac{a ^{2} + b ^{2} - c ^{2}}{2 ab}$
сторона и два угла	стороны	сумма углов + т. синусов
две стороны и угол против одной	угол	т. синусов: $0$ , $1$ или $2$ ответа
сторона и противолежащий угол	$R$	$a = 2 R sin A$

R07.1 · ПР-3

Образец → сам · теорема косинусов

Две стороны и угол между ними

Образец: $BC = 5$ , $A C = 8$ , $∠ C = 6 0^{\circ}$ . Найдите $A B$ и вид треугольника.

$A B^{2} = 25 + 64 - 40$ т. косинусов: $2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot cos 6 0^{\circ} = 40$

$A B^{2} = 49$ , $A B = 7$

$8^{2} < 5^{2} + 7^{2}$ — остроугольный квадрат наибольшей стороны: $64 < 74$

Сам

$a = 3$ , $b = 5$ , $∠ C = 12 0^{\circ}$ . $c$ ? $7$
Стороны $5$ , $7$ , $8$ . Угол против стороны $7$ ? $6 0^{\circ}$
Стороны $4$ , $5$ , $7$ . Вид треугольника? тупоугольный

R07.1 · ПР-3

Образец → сам · теорема синусов

Сторона, два угла и радиус $R$

Образец: $∠ A = 3 0^{\circ}$ , $∠ B = 10 5^{\circ}$ , $BC = 8$ . Найдите $A B$ и $R$ .

$∠ C = 4 5^{\circ}$ сумма углов: $18 0^{\circ} - 3 0^{\circ} - 10 5^{\circ}$

$A B = \frac{BC sin C}{sin A} = 82$ т. синусов: $8 \cdot \frac{2}{2} : \frac{1}{2}$

$2 R = \frac{8}{sin 3 0 ^{\circ}} = 16$ , $R = 8$ $\frac{a}{sin A} = 2 R$

Сам

$∠ A = 6 0^{\circ}$ , $∠ B = 4 5^{\circ}$ , $BC = 6$ . $A C$ ? $26$
$A B = 12$ , $∠ C = 15 0^{\circ}$ . $R$ ? $12$
$A B = 6$ , $R = 6$ . $∠ C$ ? $3 0^{\circ}$ или $15 0^{\circ}$

R07.1 · ПР-4

Сводка · площадь треугольника

Четыре формулы площади и радиусы

S = \frac{1}{2} a b sin C

— угол между

a

и

b

S = p (p - a) (p - b) (p - c)

— формула Герона

S = p r S = \frac{ab c}{4 R}

$p = \frac{a + b + c}{2}$ — полупериметр
$r = \frac{S}{p}$ , $R = \frac{ab c}{4 S}$

R07.1 · ПР-4

Образец → сам · площадь и радиусы

Треугольник $13$ , $14$ , $15$ : $S$ , $r$ , $R$

Образец: стороны треугольника $13$ , $14$ , $15$ . Найдите $S$ , $r$ и $R$ .

$p = 21$ , $S = 84$ Герон: $21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = 7056$

$r = \frac{S}{p} = \frac{84}{21} = 4$ $S = p r$

$R = \frac{13 \cdot 14 \cdot 15}{4 \cdot 84} = \frac{65}{8}$ $S = \frac{ab c}{4 R}$

Сам

$a = 6$ , $b = 8$ , $∠ C = 15 0^{\circ}$ . $S$ ? $12$
Стороны $5$ , $5$ , $6$ . $S$ , $r$ , $R$ ? $12$ ; $1, 5$ ; $\frac{25}{8}$
$S = 153$ , $a = 6$ , $b = 10$ , $∠ C$ острый. $c$ ? $219$

R07.1 · связь тем

Образец → сам · параллелограмм и медиана

Диагонали параллелограмма — через теорему косинусов

Образец: $A B = 8$ , $A D = 5$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите диагонали $B D$ и $A C$ .

$B D^{2} = 64 + 25 - 40$ $△ A B D$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$

$A C^{2} = 64 + 25 + 40$ $△ A BC$ , $cos 12 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$

$B D = 7$ , $A C = 129$ проверка: $d_{1}^{2} + d_{2}^{2} = 2 (a^{2} + b^{2})$ ✓

Сам

Диагонали $6$ и $8$ , угол между ними $6 0^{\circ}$ . Стороны? $13$ и $37$
Площадь этого параллелограмма? $123$
$A B = 4$ , $A C = 6$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Медиана $A M$ ? $19$

R07.1

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$sin 15 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$	знак «минус» — у косинуса тупого угла, не у синуса	$sin 15 0^{\circ} = \frac{1}{2}$
$a = 3$ , $b = 5$ , $C = 12 0^{\circ}$ : $c^{2} = 34 - 15$	$cos 12 0^{\circ} < 0$ : «минус на минус»	$c^{2} = 34 + 15 = 49$
$sin B = \frac{1}{2}$ ⇒ $B = 3 0^{\circ}$	по синусу угол определён неоднозначно	$3 0^{\circ}$ или $15 0^{\circ}$ — проверить сумму углов
$S = \frac{1}{2} ab sin A$	нужен угол между сторонами $a$ и $b$	$S = \frac{1}{2} ab sin C$

R07.1

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Наибольший угол треугольника со сторонами $5$ , $16$ , $19$ .

$cos C = \frac{361 - 25 - 256}{160} = \frac{1}{2}$

$C = 6 0^{\circ}$

$cos C = \frac{25 + 256 - 361}{160} = - \frac{1}{2}$
$C = 12 0^{\circ}$

б) $BC = 6$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ . Найдите $R$ .

$2 R = BC \cdot sin A = 3$

$R = 1, 5$

$2 R = \frac{BC}{sin A} = 12$
$R = 6$

в) Стороны $5$ и $8$ , угол между ними $15 0^{\circ}$ . Найдите $S$ .

$S = 5 \cdot 8 \cdot sin 15 0^{\circ} = 20$

потерян множитель $\frac{1}{2}$ :
$S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} = 10$

2 мин · практика
Сначала видны «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Перепутан порядок в числителе: $cos C = \frac{a ^{2} + b ^{2} - c ^{2}}{2 ab}$ . Контроль: против наибольшей стороны $19$ угол должен быть наибольшим, а у ученика $6 0^{\circ}$ — тогда все углы $\leq 6 0^{\circ}$ , и треугольник равносторонний — противоречие.
б) $\frac{a}{s i n A} = 2 R$ — делим, а не умножаем. Контроль: $R \geq \frac{a}{2}$ всегда (хорда не длиннее диаметра), а $1, 5 < 3$ — сразу видно, что неверно. в) $S = \frac{1}{2} ab sin C = 10$ .

R07.1

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

база $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A B = 10$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ . $BC$ ? $5$
база $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A C = 8$ , $cos A = 0, 8$ . $A B$ ? $10$
база $a = 8$ , $b = 3$ , $∠ C = 6 0^{\circ}$ . $c$ ? $7$

базаСтороны $5$ , $6$ , $7$ . Вид треугольника? остроугольный
база $a = 10$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ . $R$ ? $10$
база $a = 6$ , $b = 10$ , $∠ C = 3 0^{\circ}$ . $S$ ? $15$

R07.1

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Стороны $7$ , $8$ , $13$ . Наибольший угол? $12 0^{\circ}$
повыш.Площадь треугольника со сторонами $7$ , $8$ , $13$ — двумя способами $143$
повыш. $A C = 6$ , $∠ B = 4 5^{\circ}$ , $∠ C = 6 0^{\circ}$ . $A B$ ? $36$
повыш. $A C = 4$ , $A B = 43$ , $∠ B = 3 0^{\circ}$ . $∠ C$ ? $6 0^{\circ}$ или $12 0^{\circ}$

R07.1 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 15 и 23

От короткого ответа к полному решению

ОГЭ 15 В $△ A BC$ $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A B = 15$ , $cos B = 0, 6$ . Найдите $A C$ .

Ответ: 12

ОГЭ 15 Сторона $A B$ треугольника $A BC$ равна $12$ , $∠ C = 3 0^{\circ}$ . Найдите радиус описанной окружности.

Ответ: 12

ОГЭ 23 В $△ A BC$ $A B = 8$ , $A C = 15$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите $BC$ и радиус описанной окружности.

$B C^{2} = 64 + 225 - 2 \cdot 8 \cdot 15 \cdot \frac{1}{2} = 169$ , $BC = 13$

$R = \frac{BC}{2 sin A} = \frac{13}{3} = \frac{13 3}{3}$

R07.1 · ПР-19 · практика

Задача из жизни · недоступная точка

Как измерить расстояние до башни за рекой

На берегу отмерили $A B = 100$ м и измерили углы: $∠ A = 6 0^{\circ}$ , $∠ B = 7 5^{\circ}$ .

Найдите $∠ C$ . $4 5^{\circ}$
Расстояние $A C$ (калькулятор). $\approx 137$ м
Ширина реки (расстояние от $C$ до $A B$ ). $\approx 118$ м

R07.1

Самостоятельная работа · 3,5 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A B = 12$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ . $BC$ ? $6$
$a = 7$ , $b = 8$ , $∠ C = 12 0^{\circ}$ . $c$ ? $13$
$a = 8$ , $∠ A = 4 5^{\circ}$ . $R$ ? $42$
$a = 6$ , $b = 8$ , $∠ C = 3 0^{\circ}$ . $S$ ? $12$

Вариант 2

$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A B = 16$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ . $BC$ ? $8$
$a = 5$ , $b = 21$ , $∠ C = 6 0^{\circ}$ . $c$ ? $19$
$a = 10$ , $∠ A = 13 5^{\circ}$ . $R$ ? $52$
$a = 10$ , $b = 7$ , $∠ C = 15 0^{\circ}$ . $S$ ? $17, 5$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Когда применяют теорему косинусов, а когда — синусов?
Как по сторонам узнать, тупоугольный ли треугольник?
Почему угол по синусу может иметь два значения?

Домашнее задание

Стороны $4$ , $5$ , $6$ : косинус наибольшего угла, $S$ , $r$ , $R$ .
* Докажите: $a = b cos C + c cos B$ .
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_adv_reshenie-treugolnikov.htm

1 мин · практика (рефлексия, запись ДЗ)
Ответы ДЗ: 1) $cos φ = \frac{16 + 25 - 36}{40} = \frac{1}{8}$ ; $p = 7, 5$ , $S = 7, 5 \cdot 3, 5 \cdot 2, 5 \cdot 1, 5 = \frac{15 7}{4} \approx 9, 92$ ; $r = \frac{S}{p} = \frac{7}{2}$ ; $R = \frac{4 \cdot 5 \cdot 6}{4 S} = \frac{8 7}{7} \approx 3, 02$ .
2*) Теорема о проекциях: высота из $A$ делит $BC$ на проекции сторон $b$ и $c$ , равные $b cos C$ и $c cos B$ (при тупом угле одна проекция входит со знаком «минус» — это и даёт косинус тупого угла). Другой путь — сложить выражения $cos B$ и $cos C$ из следствия теоремы косинусов.
Следующий урок — GEOM9U-093, продолжение повторения курса (строка R07).

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9U-092 · Повторение: решение треугольников

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R07 «Повторение, обобщение, систематизация знаний», 12 ч · урок 2/12 · тип О (обобщение и систематизация)
Единицы → слайды	R07.1 «Повторение основных понятий и методов курсов 7–9 классов…» → 2–21 (тема урока — решение треугольников, материал R01)
Результаты	ПР-1, ПР-2 → 3–5, 14, 16, 18 · ПР-3 → 6–10, 14–20 · ПР-4 → 11–13, 15–17, 20 · ПР-19 → 19
Вне урока	формула медианы — только в заметках как проверка; теорема о проекциях — задание ДЗ со звёздочкой; следующий урок — GEOM9U-093
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Повторение: решение треугольников

Сегодня вы повторите и научитесь

Решать прямоугольный треугольник

Выбирать теорему

Находить площадь и радиусы

Решать задачи ОГЭ и практические

Значения и соотношения — без калькулятора

Синус, косинус, тангенс острого угла

Сторона = гипотенуза × синус или косинус

Образец: ∠C=90∘, AB=20, sinA=0,6. Найдите BC и AC.

Сам · ∠C=90∘

Две теоремы решают любой треугольник

Скалярный квадрат разности векторов

Что дано → что применить

Две стороны и угол между ними

Образец: BC=5, AC=8, ∠C=60∘. Найдите AB и вид треугольника.

Сам

Сторона, два угла и радиус R

Образец: ∠A=30∘, ∠B=105∘, BC=8. Найдите AB и R.

Сам

Четыре формулы площади и радиусы

Треугольник 13, 14, 15: S, r, R

Образец: стороны треугольника 13, 14, 15. Найдите S, r и R.

Сам

Диагонали параллелограмма — через теорему косинусов

Образец: AB=8, AD=5, ∠A=60∘. Найдите диагонали BD и AC.

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Наибольший угол треугольника со сторонами 5, 16, 19.

б) BC=6, ∠A=30∘. Найдите R.

в) Стороны 5 и 8, угол между ними 150∘. Найдите S.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

От короткого ответа к полному решению

Как измерить расстояние до башни за рекой

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9U-092 · Повторение: решение треугольников

Образец: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A B = 20$ , $sin A = 0, 6$ . Найдите $BC$ и $A C$ .

Сам · $∠ C = 9 0^{\circ}$

Образец: $BC = 5$ , $A C = 8$ , $∠ C = 6 0^{\circ}$ . Найдите $A B$ и вид треугольника.

Сторона, два угла и радиус $R$

Образец: $∠ A = 3 0^{\circ}$ , $∠ B = 10 5^{\circ}$ , $BC = 8$ . Найдите $A B$ и $R$ .

Треугольник $13$ , $14$ , $15$ : $S$ , $r$ , $R$

Образец: стороны треугольника $13$ , $14$ , $15$ . Найдите $S$ , $r$ и $R$ .

Образец: $A B = 8$ , $A D = 5$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите диагонали $B D$ и $A C$ .

а) Наибольший угол треугольника со сторонами $5$ , $16$ , $19$ .

б) $BC = 6$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ . Найдите $R$ .

в) Стороны $5$ и $8$ , угол между ними $15 0^{\circ}$ . Найдите $S$ .