Итоговое повторение · урок 1 из 12 · обобщение

Повторение: треугольники и решение треугольников

Геометрия · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R07 · GEOM9U-091

0,5 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R07 «Повторение, обобщение, систематизация знаний» (12 ч), урок 1/12, единица R07.1. Тип О (обобщение): теория — короткими сводками, основное время — задачи. Сегодня — треугольник от 7 класса до решения треугольников 9 класса (R01, R02 углублённого курса).
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Теория (12,5): сл. 1 титул 0,5 · 2 цели 0,5 · 3 карта 0,5 · 5 замечательные точки 2,5 · 7 равенство и подобие 1,5 · 9 тригонометрия 2 · 10 теоремы и площади 3,5 · 13 выбор метода 1,5.
Практика (32,5): 4 разминка 2 · 6, 8, 11, 12, 14, 15 образцы по 2,5 (15) · 16 ошибки 1,5 · 17 найди ошибку 2 · 18 база 2,5 · 19 повышенный 2,5 · 20 ОГЭ 2 · 21 самостоятельная 4 · 22 итог 0,5 · 23 ДЗ 0,5.
Если времени мало: образец 15 (задача из жизни) — в ДЗ, задания 4–6 сл. 19 — в ДЗ; сводки не выбрасывать.

R07.1

Цели урока

Сегодня вы повторите и научитесь

Замечательные точки и линии

медианы, биссектрисы, серединные перпендикуляры; свойство биссектрисы, формула медианы, $r$ и $R$

Подобие

признаки равенства и подобия, высота прямоугольного треугольника, отношение площадей (ПР-5, R02)

Решение треугольников

теоремы синусов и косинусов, формула Герона, $S = \frac{1}{2} ab sin C$ (ПР-1 – ПР-4)

Выбор метода

по данным задачи; доказательство формулы; задача из жизни (R07.1, ПР-19)

0,5 мин · теория
Ученик научится: свободно оперировать понятиями «медиана, биссектриса, высота, подобие треугольников»; доказывать и применять теоремы синусов и косинусов (ПР-3); применять тригонометрические формулы площади и формулу Герона (ПР-4); пользоваться формулами приведения и основным тождеством (ПР-2); решать прямоугольные треугольники (ПР-1); строить модели задач из жизни (ПР-19).
Вид деятельности строки R07: «Решать задачи на повторение основных понятий, иллюстрацию связей между различными частями курса. Выбирать метод для решения задачи».

R07.1

Карта повторения

Двенадцать уроков — весь курс 7–9 классов

1 · сегодня

треугольники, подобие, решение треугольников

2–3

четырёхугольники, площади, теоремы Чевы и Менелая

4–5

окружность: углы, хорды, секущие, касательные

6

правильные многоугольники, длина окружности, площадь круга

7–8

векторы и метод координат

9

движения, симметрия, гомотетия

10–12

задачи ОГЭ части 2, итоговая работа

Как работаем

сводка → образец → сам → проверка

R07.1 · опоры 7–9 классов

Разминка · устно

Восемь быстрых вопросов

1. Углы треугольника относятся как

2 : 3 : 4

. Наибольший угол?

8 0^{\circ}

2.

sin 15 0^{\circ} = ?

\frac{1}{2}

cos 13 5^{\circ} = ?

- \frac{2}{2}

3. Гипотенуза

13

. Медиана к гипотенузе?

6, 5

4. Катет против угла

3 0^{\circ}

равен

4

. Гипотенуза?

8

5. Подобны,

k = \frac{2}{3}

, площадь большего

45

. Площадь меньшего?

20

6. Стороны

5

,

12

,

13

. Вид треугольника? прямоугольный

7. Стороны

4

,

5

,

7

: острый, прямой или тупой? тупоугольный

8. Есть ли треугольник со сторонами

3

,

4

,

8

? нет

R07.1 · сводка

Треугольник · замечательные точки

Три точки — три формулы

медианы → центроид $G$

$G$ делит каждую медиану $2 : 1$ от вершины

m_{c}^{2} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{4}

биссектрисы → центр $I$

биссектриса $B D$ : $\frac{A D}{D C} = \frac{A B}{BC}$

S = p r

серед. перпендикуляры → $O$

$O A = OB = OC = R$

R = \frac{ab c}{4 S}

2,5 мин · теория
Сводка 7–9 классов. Вопрос перед каждым щелчком: «Где пересекаются …? Каким свойством обладает точка?» Центр вписанной окружности равноудалён от сторон, описанной — от вершин; центроид — точка пересечения медиан.
Формулу медианы докажем на сл. 14 (теорема косинусов); $p$ — полупериметр. Свойство биссектрисы: она делит противолежащую сторону в отношении прилежащих сторон.
Чертежи построены по координатам: $A (0; 0)$ , $B (9; 0)$ , $C (3; 5, 2)$ , точки $G$ , $I$ , $O$ вычислены.

R07.1

Образец → сам · биссектриса и медиана

Свойство биссектрисы

Образец: в $△ A BC$ $A B = 6$ , $BC = 9$ , $A C = 10$ , $B D$ — биссектриса. Найдите $A D$ и $D C$ .

$A D : D C = 6 : 9 = 2 : 3$ свойство биссектрисы
$A D = 10 \cdot \frac{2}{5} = 4$ $10$ делим на $2 + 3 = 5$ частей
$D C = 10 - 4 = 6$ проверка: $4 : 6 = 6 : 9$

Сам:

$A B = 8$ , $BC = 12$ , $A C = 15$ , $B D$ — биссектриса. Найдите $A D$ . $6$
$B D$ — биссектриса, $A D = 3$ , $D C = 5$ , $A B = 6$ . Найдите $BC$ . $10$
Стороны $5$ , $7$ , $8$ . Найдите медиану к стороне $8$ . $21$

R07.1 · R02 · сводка

Равенство и подобие · признаки

Одна таблица — шесть признаков

что известно	треугольники равны, если…	треугольники подобны, если…
углы	сторона и два прилежащих угла равны	два угла равны
две стороны и угол	две стороны и угол между ними равны	две стороны пропорциональны, угол между ними равен
три стороны	три стороны равны	три стороны пропорциональны

\frac{A _{1} B _{1}}{A B} = \frac{B _{1} C _{1}}{BC} = \frac{A _{1} C _{1}}{A C} = k

\frac{P _{1}}{P} = k, \frac{S _{1}}{S} = k^{2}

1,5 мин · теория
Сначала столбец «равны» (7 класс), по щелчку — «подобны»: признаки устроены одинаково, «равны» заменяется на «пропорциональны». Угол — всегда между сторонами.
Периметры, медианы, высоты, биссектрисы, радиусы $r$ и $R$ подобных треугольников относятся как $k$ , площади — как $k^{2}$ .
Вопрос: «Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, — сколько подобных треугольников получилось?» (Три: исходный и два меньших — сл. 8.)

R02 · R07.1

Образец → сам · подобие в прямоугольном треугольнике

Высота к гипотенузе

Образец: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $C H$ — высота, $A H = 4$ , $H B = 9$ . Найдите $C H$ и $S_{A BC}$ .

$△ A C H \sim △ CB H$ $∠ A C H = ∠ B$ — оба дополняют $∠ A$ до $9 0^{\circ}$
$\frac{C H}{A H} = \frac{H B}{C H}$ , $C H^{2} = 36$ соответственные катеты
$C H = 6$ $C H = A H \cdot H B$
$S = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot 6 = 39$ $A B = 4 + 9 = 13$

Сам: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $C H$ — высота

$A H = 2$ , $H B = 8$ . Найдите $C H$ . $4$
$A C = 6$ , $A B = 9$ . Найдите $A H$ . $4$
$C H = 12$ , $A H = 9$ . Найдите $A B$ . $25$

R01 · сводка

Тригонометрия от 0° до 180°

Синус и косинус любого угла треугольника

sin^{2} α + cos^{2} α = 1

sin (18 0^{\circ} - α) = sin α

cos (18 0^{\circ} - α) = - cos α

Тупой угол:

cos α < 0

. По

sin α

угол находится не однозначно:

α

или

18 0^{\circ} - α

.

R01 · сводка

Решение треугольников · теоремы

Теоремы косинусов и синусов, площадь

теорема косинусов

c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b cos C

теорема синусов

\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} = 2 R

площадь

S = \frac{1}{2} a b sin C = p (p - a) (p - b) (p - c)

R01

Образец → сам · три стороны

Угол, площадь, $R$ и $r$ по трём сторонам

Образец: $A B = 5$ , $BC = 8$ , $A C = 7$ . Найдите $∠ B$ , $S$ , $R$ и $r$ .

$cos B = \frac{25 + 64 - 49}{2 \cdot 5 \cdot 8} = \frac{1}{2}$ , $∠ B = 6 0^{\circ}$ теорема косинусов
$S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 8 \cdot \frac{3}{2} = 103$ две стороны и угол между ними
$R = \frac{7}{2 sin 6 0 ^{\circ}} = \frac{7 3}{3}$ теорема синусов
$r = \frac{S}{p} = \frac{10 3}{10} = 3$ $p = \frac{5 + 8 + 7}{2} = 10$

Сам:

Стороны $3$ , $5$ , $7$ . Найдите наибольший угол. $12 0^{\circ}$
Стороны $13$ , $14$ , $15$ . Найдите $S$ и $r$ . $84$ ; $4$
Стороны $13$ , $14$ , $15$ . Найдите $R$ . $8, 125$

R01

Образец → сам · теорема синусов

Сторона и два угла → остальные стороны

Образец: $∠ A = 3 0^{\circ}$ , $∠ C = 10 5^{\circ}$ , $BC = 8$ . Найдите $A C$ и $R$ .

$∠ B = 4 5^{\circ}$ $18 0^{\circ} - 3 0^{\circ} - 10 5^{\circ}$ — сумма углов
$2 R = \frac{8}{sin 3 0 ^{\circ}} = 16$ , $R = 8$ $BC$ лежит против $∠ A$
$A C = 16 \cdot \frac{2}{2} = 82$ $A C = 2 R sin B$ : $A C$ лежит против $∠ B$

Сам:

$A B = 10$ , $∠ C = 15 0^{\circ}$ . Найдите $R$ . $10$
$∠ A = 6 0^{\circ}$ , $∠ B = 4 5^{\circ}$ , $BC = 6$ . Найдите $A C$ . $26$
$R = 5$ , $A B = 8$ , $∠ C$ — тупой. Найдите $cos C$ . $- 0, 6$

R07.1 · сводка

Выбор метода

Что дано → чем решать

дано	метод	сколько треугольников
прямоугольный, сторона и острый угол	$sin$ , $cos$ , $tg$ острого угла, Пифагор	один
сторона и два угла	сумма углов → теорема синусов	один
две стороны и угол между ними	теорема косинусов	один
три стороны	теорема косинусов (углы), Герон ( $S$ )	один или ни одного
две стороны и угол не между ними	теорема синусов (или косинусов → квадратное уравнение)	0, 1 или 2

R01 · R07.1

Образец → сам · доказательство

Докажем формулу медианы

Образец: $CM$ — медиана. Докажите: $m^{2} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{4}$

$b^{2} = m^{2} + \frac{c ^{2}}{4} - m c cos φ$ теорема косинусов в $△ A MC$ , $A M = \frac{c}{2}$
$a^{2} = m^{2} + \frac{c ^{2}}{4} + m c cos φ$ в $△ BMC$ : $cos (18 0^{\circ} - φ) = - cos φ$
$a^{2} + b^{2} = 2 m^{2} + \frac{c ^{2}}{2}$ сложили, косинусы сократились
$m^{2} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{4}$ ∎выразили $m^{2}$

Сам:

Докажите: $d_{1}^{2} + d_{2}^{2} = 2 (a^{2} + b^{2})$ для параллелограмма. т. косинусов в двух треугольниках, $cos$ смежных углов противоположны
Стороны $7$ , $8$ , $9$ . Медиана к стороне $8$ ? $7$
Диагонали параллелограмма $10$ и $14$ , сторона $6$ . Другая сторона? $47$

R07.1 · ПР-19

Образец → сам · задача из жизни

Расстояние до недоступной точки

Образец: дерево $C$ за рекой. $A B = 50$ м, $∠ A = 7 0^{\circ}$ , $∠ B = 6 0^{\circ}$ . Найдите $A C$ .

$∠ C = 5 0^{\circ}$ $18 0^{\circ} - 7 0^{\circ} - 6 0^{\circ}$ — сумма углов
$A C = \frac{50 sin 6 0 ^{\circ}}{sin 5 0 ^{\circ}} \approx 56, 5$ мтеорема синусов; $sin 5 0^{\circ} \approx 0, 766$ по калькулятору

Сам:

Вершина башни видна с $30$ м от основания под углом $4 0^{\circ}$ . Высота? $\approx 25, 2$ м
Дороги $3$ км и $5$ км под углом $12 0^{\circ}$ . Расстояние между концами? $7$ км
$A B = 2$ км, углы при $A$ и $B$ — $8 0^{\circ}$ и $5 5^{\circ}$ . Найдите $BC$ . $\approx 2, 79$ км

R01 · R02

Осторожно · типичные ошибки

Так нельзя

«По синусу — один угол»

$sin C = \frac{1}{2}$ ⇒ $∠ C = 3 0^{\circ}$

Верно: $3 0^{\circ}$ или $15 0^{\circ}$ ; проверяем сумму углов и «против большей стороны — больший угол».

Не тот угол в теореме синусов

$\frac{BC}{sin B} = 2 R$

Верно: сторона делится на синус противолежащего угла: $\frac{BC}{sin A} = 2 R$ .

Отношение площадей

$k = 3$ ⇒ $S_{1} = 3 S$

Верно: площади относятся как $k^{2}$ : $S_{1} = 9 S$ .

R01 · R07.1

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Стороны $4$ , $6$ , $8$ . Вид треугольника?

$cos α = \frac{36 + 64 - 16}{2 \cdot 6 \cdot 8} > 0$

⇒ остроугольный

Проверять надо угол против наибольшей стороны

$cos γ = \frac{16 + 36 - 64}{48} = - \frac{1}{4}$ — тупоугольный

б) $A B = 6$ , $∠ C = 3 0^{\circ}$ , $∠ A = 4 5^{\circ}$ . Найдите $BC$ .

$BC = \frac{6 sin 3 0 ^{\circ}}{sin 4 5 ^{\circ}} = 32$

Дробь перевёрнута: $\frac{BC}{sin A} = \frac{A B}{sin C}$

$BC = \frac{6 sin 4 5 ^{\circ}}{sin 3 0 ^{\circ}} = 62$

в) $A B = 5$ , $A C = 8$ , $∠ B = 6 0^{\circ}$ .

$S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 8 \cdot sin 6 0^{\circ} = 103$

$∠ B$ — не между $A B$ и $A C$

Нужен $∠ A$ : сначала найти $BC$ по теореме косинусов

R01 · R02

Задания с самопроверкой · база

Решите и сверьте ответ

база $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A B = 20$ , $cos A = 0, 6$ . Найдите $A C$ . $12$
база $sin α = 0, 8$ , $α$ — тупой. Найдите $cos α$ . $- 0, 6$
база $a = 6$ , $b = 10$ , $∠ C = 12 0^{\circ}$ . Найдите $c$ . $14$

база $BC = 12$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите $R$ . $43$
базаСтороны $8$ и $9$ , угол между ними $15 0^{\circ}$ . Найдите $S$ . $18$
базаПлощади подобных треугольников $18$ и $50$ , сторона меньшего $6$ . Сходственная сторона большего? $10$

R01 · R07.1

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Связываем темы курса

повыш.Стороны $4$ , $13$ , $15$ . Найдите высоту к наименьшей стороне. $12$
повыш.Стороны $6$ , $8$ , $10$ . Найдите $R + r$ . $7$
повыш. $A B = 3$ , $A C = 6$ , $∠ A = 12 0^{\circ}$ . Найдите биссектрису $A D$ . $2$

повыш.Стороны параллелограмма $5$ и $7$ , одна диагональ $8$ . Другая? $221$
трудная $BC = 6$ , $A C = 8$ , медианы к ним перпендикулярны. Найдите $A B$ . $25$
трудная $A B = 6$ , $BC = 4$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ . Сколько таких треугольников? $2$

R01 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 15 и 23

Высота треугольника по трём сторонам

23. Стороны треугольника $A BC$ : $A B = 13$ , $BC = 14$ , $A C = 15$ . Найдите высоту $B H$ .

Ответ: $11, 2$

$p = 21$ , $S = 21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = 84$ формула Герона
$B H = \frac{2 S}{A C} = \frac{168}{15} = 11, 2$ $S = \frac{1}{2} \cdot A C \cdot B H$

Сам (15): стороны $10$ , $10$ , $12$ ; высота к боковой стороне $9, 6$

R01 · R02

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A B = 25$ , $sin A = 0, 28$ . Найдите $BC$ . $7$
$a = 3$ , $b = 8$ , $∠ C = 6 0^{\circ}$ . Найдите $c$ . $7$
$A B = 12$ , $∠ C = 4 5^{\circ}$ . Найдите $R$ . $62$
Стороны $5$ , $5$ , $6$ . Найдите $r$ . $1, 5$

Вариант 2

$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A B = 17$ , $cos A = \frac{15}{17}$ . Найдите $A C$ . $15$
$a = 5$ , $b = 3$ , $∠ C = 12 0^{\circ}$ . Найдите $c$ . $7$
$BC = 10$ , $∠ A = 13 5^{\circ}$ . Найдите $R$ . $52$
Стороны $10$ , $10$ , $12$ . Найдите $r$ . $3$

рефлексия

Итог урока

Главное за урок

Точки и линии

\frac{A D}{D C} = \frac{A B}{BC}

S = p r

R = \frac{ab c}{4 S}

Решение треугольников

угол между →
т. косинусов
сторона и углы →
т. синусов
угол не между →
0, 1 или 2

Площадь

\frac{1}{2} ab sin C

Герон
подобные:

k^{2}

Какой факт 7 класса понадобился сегодня в задачах 9 класса?

ДЗ

Домашнее задание

Потренируйтесь дома

Задачи

Стороны $5$ , $6$ , $9$ . Найдите косинус наибольшего угла и $S$ .
$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $C H$ — высота, $A C = 15$ , $A B = 25$ . Найдите $C H$ .
Докажите: $a^{2} + b^{2} = 5 c^{2}$ , если медианы к $a$ и $b$ перпендикулярны.

Тренажёр

Решение треугольников, 9 класс (углублённый)

reknow.ru/9/geometry/9_geometry_adv_reshenie-treugolnikov.htm

reknow.ru/9/geometry/9_geometry_adv_index.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9U-091 · Обобщение и систематизация по теме «Повторение, обобщение, систематизация знаний»

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R07 «Повторение, обобщение, систематизация знаний», 12 ч · урок 1/12 · тип О (обобщение)
Единицы → слайды	R07.1 «Повторение основных понятий и методов курсов 7–9 классов…» → 2–23 (сегодня — треугольник: замечательные точки, подобие, решение треугольников)
Результаты	ПР-1 → 4, 8, 13, 18, 21 · ПР-2 → 4, 9, 12, 18 · ПР-3 → 10–17, 19–21 · ПР-4 → 10–11, 18–20 · ПР-19 → 15
ОГЭ	линии 15 и 23 → 20; линии 15, 23, 24 — в заданиях сл. 6, 8, 11, 14, 19
Вне урока	четырёхугольники, теоремы Чевы и Менелая — GEOM9U-092 и далее по плану сл. 3 (может уточняться учителем)
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %); «Образец → сам» — 6 (сл. 6, 8, 11, 12, 14, 15)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Повторение: треугольники и решение треугольников

Сегодня вы повторите и научитесь

Замечательные точки и линии

Подобие

Решение треугольников

Выбор метода

Двенадцать уроков — весь курс 7–9 классов

1 · сегодня

2–3

4–5

6

7–8

9

10–12

Как работаем

Восемь быстрых вопросов

Три точки — три формулы

медианы → центроид G

биссектрисы → центр I

серед. перпендикуляры → O

Свойство биссектрисы

Образец: в △ABC AB=6, BC=9, AC=10, BD — биссектриса. Найдите AD и DC.

Сам:

Одна таблица — шесть признаков

Высота к гипотенузе

Образец: ∠C=90∘, CH — высота, AH=4, HB=9. Найдите CH и SABC​.

Сам: ∠C=90∘, CH — высота

Синус и косинус любого угла треугольника

Теоремы косинусов и синусов, площадь

Угол, площадь, R и r по трём сторонам

Образец: AB=5, BC=8, AC=7. Найдите ∠B, S, R и r.

Сам:

Сторона и два угла → остальные стороны

Образец: ∠A=30∘, ∠C=105∘, BC=8. Найдите AC и R.

Сам:

Что дано → чем решать

Докажем формулу медианы

Образец: CM — медиана. Докажите: m2=42a2+2b2−c2​

Сам:

Расстояние до недоступной точки

Образец: дерево C за рекой. AB=50 м, ∠A=70∘, ∠B=60∘. Найдите AC.

Сам:

Так нельзя

«По синусу — один угол»

Не тот угол в теореме синусов

Отношение площадей

Где ошибся ученик?

а) Стороны 4, 6, 8. Вид треугольника?

б) AB=6, ∠C=30∘, ∠A=45∘. Найдите BC.

в) AB=5, AC=8, ∠B=60∘.

Решите и сверьте ответ

Связываем темы курса

Высота треугольника по трём сторонам

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Главное за урок

Точки и линии

Решение треугольников

Площадь

Потренируйтесь дома

Задачи

Тренажёр

GEOM9U-091 · Обобщение и систематизация по теме «Повторение, обобщение, систематизация знаний»

медианы → центроид $G$

биссектрисы → центр $I$

серед. перпендикуляры → $O$

Образец: в $△ A BC$ $A B = 6$ , $BC = 9$ , $A C = 10$ , $B D$ — биссектриса. Найдите $A D$ и $D C$ .

Образец: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $C H$ — высота, $A H = 4$ , $H B = 9$ . Найдите $C H$ и $S_{A BC}$ .

Сам: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $C H$ — высота

Угол, площадь, $R$ и $r$ по трём сторонам

Образец: $A B = 5$ , $BC = 8$ , $A C = 7$ . Найдите $∠ B$ , $S$ , $R$ и $r$ .

Образец: $∠ A = 3 0^{\circ}$ , $∠ C = 10 5^{\circ}$ , $BC = 8$ . Найдите $A C$ и $R$ .

Образец: $CM$ — медиана. Докажите: $m^{2} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{4}$

Образец: дерево $C$ за рекой. $A B = 50$ м, $∠ A = 7 0^{\circ}$ , $∠ B = 6 0^{\circ}$ . Найдите $A C$ .

а) Стороны $4$ , $6$ , $8$ . Вид треугольника?

б) $A B = 6$ , $∠ C = 3 0^{\circ}$ , $∠ A = 4 5^{\circ}$ . Найдите $BC$ .

в) $A B = 5$ , $A C = 8$ , $∠ B = 6 0^{\circ}$ .