Движения плоскости · урок 10 из 10

Обобщение: движения плоскости

Геометрия · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R06 · GEOM9U-090

0,5 мин · теория (орг. момент, тема, план урока)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R06 «Движения плоскости» (10 ч), урок 10/10, все единицы R06.1–R06.11. Тип урока — О (обобщение и систематизация).
Теория (12): титул 0,5 · цели 0,5 · сводки: виды движений 3 · свойства и равенство фигур 2,5 · симметрия фигур 2,5 · композиции 3.
Практика (33): разминка 2,5 · пять образцов → сам по 2,5 (12,5) · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2,5 · повышенный 2,5 · ОГЭ 18/19 — 1,5 · ОГЭ 24 — 2 · задача из жизни 1,5 · самостоятельная 3,5 · итог 1.
Полное название урока по ФРП: «Обобщение и систематизация по теме „Движения плоскости“». Если не успеваете: повышенный уровень № 3–4 и задачу из жизни — в ДЗ; сводки можно вести фронтальным опросом, но не пропускать.
На титуле: флажок и два его образа при поворотах вокруг одной точки на $12 0^{\circ}$ и $24 0^{\circ}$ — фигура с поворотной симметрией.

R06.1–R06.11

Цели урока

Сегодня вы повторите и научитесь

Виды движений

чем задаётся каждое движение, как построить образ и найти его координаты

Свойства движений

сохранение расстояний, равенство фигур, неподвижные точки

Симметрия фигур

оси, центры и углы поворота простейших фигур; симметрия вокруг нас

Композиции и задачи

складывать движения, доказывать и искать кратчайший путь

повторение: R06.1, R06.3, R06.4, R06.6

Разминка · устно

Семь быстрых вопросов про точку $A (2; - 3)$ и фигуры

Образ $A$ при симметрии относительно $O$ ? $(- 2; 3)$
Образ $A$ при симметрии относительно оси $O x$ ? $(2; 3)$
Образ $A$ при переносе на $a (- 1; 4)$ ? $(1; 1)$
Образ $A$ при повороте вокруг $O$ на $9 0^{\circ}$ против часовой стрелки? $(3; 2)$
Сколько осей симметрии у квадрата? $4$
Есть ли центр симметрии у правильного треугольника? нет
Наименьший угол поворота, совмещающий правильный шестиугольник с собой? $6 0^{\circ}$

R06.1, R06.3, R06.4, R06.6

Сводка · виды движений

Четыре движения: чем задаются и что не двигают

Движение	Задаётся	Неподвижные точки	В координатах (простой случай)
Центральная симметрия $Z_{O}$	центром $O$	только $O$	$(x; y) \to (- x; - y)$ , $O$ — начало
Осевая симметрия $S_{l}$	осью $l$	все точки $l$	$S_{O x}$ : $(x; y) \to (x; - y)$
Поворот $R_{O}^{φ}$	центром $O$ и углом $φ$	только $O$ ( $φ \neq = 0^{\circ}$ )	$R_{O}^{9 0^{\circ}}$ : $(x; y) \to (- y; x)$
Параллельный перенос $T_{a}$	вектором $a (a; b)$	нет ( $a \neq = 0$ )	$(x; y) \to (x + a; y + b)$

R06.1, R06.3, R06.4, R06.6

Образец → сам · координаты образа

Одна точка — четыре движения

Образец: найдите образы точки $A (4; 1)$ при $Z_{O}$ , $S_{O y}$ , $R_{O}^{9 0^{\circ}}$ и при переносе $T_{a}$ на $a (- 2; 3)$ .

$Z_{O}$ : $A_{1} (- 4; - 1)$ обе координаты меняют знак

$S_{O y}$ : $A_{2} (- 4; 1)$ меняет знак только $x$

$R_{O}^{9 0^{\circ}}$ : $A_{3} (- 1; 4)$ $(x; y) \to (- y; x)$

$T_{a}$ : $A_{4} (4 - 2; 1 + 3) = (2; 4)$ прибавить координаты вектора

Сам

Образы $B (- 2; 5)$ при $Z_{O}$ и при $S_{O x}$ . $(2; - 5)$ ; $(- 2; - 5)$
Перенос переводит $(1; - 2)$ в $(4; 0)$ . Образ точки $(- 3; 3)$ ? $(0; 5)$
$R_{O}^{9 0^{\circ}}$ перевёл точку $P$ в $(2; - 6)$ . Найдите $P$ . $P (- 6; - 2)$

2,5 мин · практика
Образец (прямое применение): последним щелчком открываются все четыре образа на чертеже — проверка по клеткам. Расстояние до $O$ при $Z_{O}$ , $S_{O y}$ и повороте сохраняется: $∣ O A ∣ = ∣ O A_{1} ∣ = ∣ O A_{2} ∣ = ∣ O A_{3} ∣ = 17$ ; у переноса центра нет.
1) $Z_{O}$ : $(2; - 5)$ ; $S_{O x}$ : $(- 2; - 5)$ .
2) Вектор переноса $(4 - 1; 0 + 2) = (3; 2)$ ; $(- 3 + 3; 3 + 2) = (0; 5)$ .
3) Обратная задача: $(- y; x) = (2; - 6)$ ⇒ $y = - 2$ , $x = - 6$ ; $P (- 6; - 2)$ . Проверка: $(- (- 2); - 6) = (2; - 6)$ . Ошибка «повернуть $(2; - 6)$ ещё раз» даёт $(6; 2)$ — это поворот на $18 0^{\circ}$ от $P$ .

R06.3, R06.8

Образец → сам · поворот на клетчатой бумаге

Повернуть треугольник на $9 0^{\circ}$

Образец: $A (1; 1)$ , $B (4; 1)$ , $C (1; 3)$ . Постройте образ $△ A BC$ при $R_{O}^{9 0^{\circ}}$ и найдите его площадь.

$(x; y) \to (- y; x)$ поворот на $9 0^{\circ}$ против часовой

$A^{'} (- 1; 1)$ , $B^{'} (- 1; 4)$ , $C^{'} (- 3; 1)$

$S^{'} = S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 = 3$ движение переводит фигуру в равную

Сам

Образ того же $△ A BC$ при $Z_{O}$ . $(- 1; - 1)$ , $(- 4; - 1)$ , $(- 1; - 3)$
Поворот вокруг $O$ переводит $(5; 0)$ в $(3; 4)$ . Куда он переведёт $(0; 5)$ ? $(- 4; 3)$
$R_{P}^{9 0^{\circ}}$ , $P (1; 1)$ : образ точки $(4; 1)$ ? $(1; 4)$

2,5 мин · практика
Образец (задача на готовом чертеже): катеты $A B = 3$ , $A C = 2$ ; образ строят по клеткам — катет $A B$ (горизонтальный) становится вертикальным $A^{'} B^{'}$ , катет $A C$ — горизонтальным $A^{'} C^{'}$ . Последний щелчок — образ и дуга поворота точки $A$ .
1) Все координаты меняют знак: $A_{1} (- 1; - 1)$ , $B_{1} (- 4; - 1)$ , $C_{1} (- 1; - 3)$ .
2) Угол поворота $φ$ : $cos φ = \frac{3}{5}$ , $sin φ = \frac{4}{5}$ . Точка $(0; 5)$ отстоит от $(5; 0)$ на $9 0^{\circ}$ , значит, её образ — поворот $(3; 4)$ ещё на $9 0^{\circ}$ : $(- 4; 3)$ .
3) Перенести начало в $P$ : $(4; 1) - (1; 1) = (3; 0) \to (0; 3)$ ; $(1 + 0; 1 + 3) = (1; 4)$ . Ошибка — поворачивать вокруг $O$ : получится $(- 1; 4)$ .

R06.7, R06.8

Сводка · свойства движений и равенство фигур

Движение сохраняет расстояния

A^{'} B^{'} = A B

для любых двух точек определение движения

отрезок → отрезок, луч → луч, прямая → прямая

угол → равный угол,

△

→ равный

△

F_{1} = F_{2}

⇔ есть движение, переводящее

F_{1}

в

F_{2}

равенство фигур

поворот и перенос сохраняют обход вершин, осевая симметрия меняет

2,5 мин · теория
Движение — отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояния. Все четыре преобразования со сводки — движения (доказывали на уроках 81–84 строки).
Из сохранения расстояний: точки, лежащие на одной прямой, переходят в точки на одной прямой (равенство $A B + BC = A C$ сохраняется), отсюда отрезок → отрезок, прямая → прямая; треугольник → равный по трём сторонам, значит, и углы равны.
На чертеже: $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ — образ $△ A BC$ при $S_{l}$ ; равные стороны отмечены одинаковыми чёрточками. Обход $A \to B \to C$ — против часовой стрелки, $A^{'} \to B^{'} \to C^{'}$ — по часовой: осевая симметрия меняет ориентацию.
Дополнительно (R06.10): любое движение плоскости — композиция не более трёх осевых симметрий. Вопрос классу: какие фигуры называют равными? (Те, что совмещаются наложением, т. е. движением.)

R06.1, R06.7, R06.11

Образец → сам · задача на доказательство

Центральная симметрия параллелограмма

Образец: через центр $O$ параллелограмма $A BC D$ проведена прямая, пересекающая $A B$ в $M$ и $C D$ в $N$ . Докажите, что $OM = ON$ .

$Z_{O}$ : $A \to C$ , $B \to D$ $O$ — середина диагоналей

прямая $A B$ → прямая $C D$ движение: прямая → прямая

прямая $MN$ → сама себя проходит через центр $O$

$M \to N$ ⇒ $OM = ON$ общая точка прямых → общая точка образов

Сам · план доказательства

Четырёхугольник с центром симметрии — параллелограмм. центр — середина обеих диагоналей
В равнобедренной трапеции диагонали равны. ось — серединный перпендикуляр к основаниям
Окружности с центрами $O_{1}$ , $O_{2}$ пересекаются в $A$ и $B$ . Докажите: $A B ⊥ O_{1} O_{2}$ . $S_{O_{1} O_{2}}$ : обе окружности в себя, $A \to B$

2,5 мин · практика
Образец: $M$ — общая точка прямых $MN$ и $A B$ , поэтому её образ — общая точка их образов, то есть прямых $MN$ и $C D$ , а это $N$ . Значит, $N = Z_{O} (M)$ и $O$ — середина $MN$ . Последний щелчок — равные отрезки на чертеже. Альтернатива без движений: $△ O A M = △ OCN$ (по стороне и двум углам) — длиннее.
1) План: $Z_{O}$ переводит вершины в противоположные вершины, $A \leftrightarrow C$ , $B \leftrightarrow D$ ⇒ $O$ — середина $A C$ и $B D$ ⇒ диагонали точкой пересечения делятся пополам ⇒ параллелограмм. (Если бы $A \to B$ , то $O$ — середина и $A B$ , и $C D$ , и четырёхугольник $A BC D$ был бы самопересекающимся — для углублённых.)
2) Серединный перпендикуляр к основаниям $A D$ и $BC$ — ось симметрии равнобедренной трапеции: $A \leftrightarrow D$ , $B \leftrightarrow C$ , отрезок $A C$ → $D B$ ⇒ $A C = B D$ .
3) $S_{O_{1} O_{2}}$ переводит каждую окружность в себя (центр на оси), точка $A$ (не на оси) переходит в другую общую точку — это $B$ . Значит, $O_{1} O_{2}$ — серединный перпендикуляр к $A B$ .

R06.2, R06.5, R06.9

Сводка · симметрия фигур

Оси, центры и повороты простейших фигур

Фигура	Осей симметрии	Центр симметрии	Наименьший угол поворота в себя
Отрезок	$2$	середина	$18 0^{\circ}$
Равнобедренный (не правильный) треугольник	$1$	нет	нет
Правильный треугольник	$3$	нет	$12 0^{\circ}$
Параллелограмм общего вида	$0$	точка пересечения диагоналей	$18 0^{\circ}$
Ромб, прямоугольник (не квадрат)	$2$	есть	$18 0^{\circ}$
Квадрат	$4$	есть	$9 0^{\circ}$
Правильный $n$ -угольник	$n$	при чётном $n$	$36 0^{\circ} : n$
Окружность	бесконечно много	центр	любой

2,5 мин · теория
Фигура симметрична относительно $O$ (оси $l$ ), если $Z_{O}$ ( $S_{l}$ ) переводит её в себя. Вести фронтальным опросом: прикрыть столбец, спросить, затем показать.
Оси отрезка: прямая, содержащая отрезок, и серединный перпендикуляр. Ромб — оси по диагоналям, прямоугольник — по серединным перпендикулярам к сторонам. Правильный $n$ -угольник: центр симметрии есть, только когда $18 0^{\circ}$ кратно $\frac{36 0 ^{\circ}}{n}$ , то есть $n$ чётно.
R06.9: снежинки (6 осей, поворот на $6 0^{\circ}$ ), морская звезда (5 осей, $7 2^{\circ}$ ), бабочка и фасады зданий (одна ось), орнаменты-бордюры (перенос), розетки готических соборов, паркеты Эшера. Вопрос классу: назовите букву с центром симметрии (Н, О, Ж, Х, И).

R06.10

Сводка · композиции движений

Две симметрии подряд — снова движение

S_{l_{1}}

, затем

S_{l_{2}}

,

l_{1} ∥ l_{2}

→ перенос на

2 d

перпендикулярно осям

оси пересекаются в

O

под углом

φ

→ поворот

R_{O}^{2 φ}

l_{1} ⊥ l_{2}

→ центральная симметрия

Z_{O}

Z_{A}

, затем

Z_{B}

→ перенос на

2 A B

T_{a}

, затем

T_{b}

→ перенос на

a + b

3 мин · теория
Композиция движений — движение (расстояния сохраняются дважды). На чертеже: флажок $F$ отражён в $l_{1}$ ( $F_{1}$ — обход сменился), затем в $l_{2}$ ( $F_{2}$ — обход вернулся). $F_{2}$ — сдвиг $F$ на $2 d$ . Доказательство в координатах: $l_{1}$ : $x = a$ , $l_{2}$ : $x = b$ ; $x \to 2 a - x \to 2 b - (2 a - x) = x + 2 (b - a)$ .
Пересекающиеся оси: угол $A O A_{1} = 2 α_{1}$ , угол $A_{1} O A_{2} = 2 α_{2}$ , в сумме $2 φ$ . При $φ = 9 0^{\circ}$ получается поворот на $18 0^{\circ}$ — центральная симметрия.
Порядок важен: при пересекающихся осях смена порядка меняет направление поворота ( $R_{O}^{2 φ}$ и $R_{O}^{- 2 φ}$ ), при параллельных — направление переноса.

R06.1, R06.10

Образец → сам · композиция движений

Две центральные симметрии — перенос

Образец: $A (2; 0)$ , $B (5; 1)$ , $M (1; 1)$ . Найдите образ $M$ при $Z_{A}$ , затем $Z_{B}$ , и докажите, что это перенос на $2 A B$ .

$M_{1} (3; - 1)$ $A$ — середина $M M_{1}$

$M_{2} (7; 3)$ $B$ — середина $M_{1} M_{2}$

$M M_{2} = (6; 2) = 2 A B$ в общем виде: $x_{2} = x + 2 (x_{B} - x_{A})$

Сам

$S_{l}$ при $l$ : $x = 1$ , затем $x = 4$ . Образ $(0; 2)$ ? $(6; 2)$ , перенос на $(6; 0)$
$S_{O x}$ , затем $S_{O y}$ . Какое это движение? Образ $(3; - 5)$ ? $Z_{O}$ ; $(- 3; 5)$
Оси пересекаются под углом $3 5^{\circ}$ . Какое движение — композиция симметрий? поворот на $7 0^{\circ}$

R06.4, R06.11

Образец → сам · применение: кратчайший путь

Задача Герона: отразить и спрямить

Образец: $A (1; 3)$ , $B (5; 1)$ . Найдите на оси $O x$ точку $M$ , для которой сумма $A M + MB$ наименьшая.

$B^{'} (5; - 1)$ , $MB = M B^{'}$ $B^{'} = S_{O x} (B)$ , расстояния сохраняются

$A M + M B^{'} \geq A B^{'}$ равенство при $M \in A B^{'}$

$M (4; 0)$ , $A B^{'} = 42$ прямая $A B^{'}$ : $y = 4 - x$ ; это минимум

Сам

То же для $A (0; 2)$ , $B (6; 4)$ . $M (2; 0)$ , минимум $62$
$A (2; 1)$ , $B (4; 5)$ ; точка $M$ на оси $O y$ . $M (0; \frac{7}{3})$ , минимум $213$
Посёлки в $3$ и $1$ км от дороги, по одну сторону; их проекции в $6$ км. Кратчайший путь с заездом на дорогу? $213 \approx 7, 2$ км

2,5 мин · практика
Образец (практическая задача): для любой $M$ на $O x$ $A M + MB = A M + M B^{'} \geq A B^{'}$ (неравенство треугольника); минимум достигается в точке пересечения $A B^{'}$ с осью. Прямая через $(1; 3)$ и $(5; - 1)$ : угловой коэффициент $- 1$ , $y = 4 - x$ . $A B^{'} = 4^{2} + 4^{2} = 42 \approx 5, 66$ . Проверка: $A M = 32$ , $MB = 2$ , сумма $42$ .
1) $B^{'} (6; - 4)$ , прямая $y = 2 - x$ ⇒ $M (2; 0)$ ; $A B^{'} = 36 + 36 = 62$ (сверка: $22 + 42$ ).
2) Отражаем $A$ в $O y$ : $A^{'} (- 2; 1)$ ; прямая $A^{'} B$ : $y = 1 + \frac{2}{3} (x + 2)$ , при $x = 0$ : $y = \frac{7}{3}$ . $A^{'} B = 36 + 16 = 52 = 213 \approx 7, 21$ .
3) Отражаем один посёлок: разность по вертикали $3 + 1 = 4$ , по горизонтали $6$ : $52 = 213 \approx 7, 21$ км. Физика: так же отражается луч света (угол падения равен углу отражения).

R06.1–R06.10

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$S_{O x}$ : $(2; 5) \to (- 2; 5)$	относительно $O x$ меняется $y$ , а не $x$	$(2; - 5)$
$R_{O}^{9 0^{\circ}}$ : $(3; 1) \to (1; 3)$	это симметрия относительно $y = x$	$(- 1; 3)$
диагональ параллелограмма — ось симметрии	верно только для ромба; у параллелограмма — центр	осей нет, центр есть
$Z_{A}$ , затем $Z_{B}$ — центральная симметрия	вектор $M M_{2}$ один для всех точек	перенос на $2 A B$

1,5 мин · практика (ученики объясняют «почему», учитель открывает строку)
1) Ось $O x$ неподвижна: точки на ней не меняются, значит, $x$ сохраняется, а $y$ меняет знак.
2) Проверка: при повороте на $9 0^{\circ}$ векторы $O A$ и $O A^{'}$ перпендикулярны: $(3; 1) \cdot (1; 3) = 6 \neq = 0$ , а $(3; 1) \cdot (- 1; 3) = 0$ .
3) При $S_{A C}$ вершина $B$ переходит в точку, симметричную относительно $A C$ ; она совпадает с $D$ , только если $B D ⊥ A C$ — то есть у ромба.
4) У центральной симметрии одна неподвижная точка, у композиции $Z_{B}$ после $Z_{A}$ ( $A \neq = B$ ) — ни одной, это перенос (образец сл. 11).

R06.2, R06.6, R06.10

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $T_{a}$ , $a (2; - 3)$ , переводит $A$ в $A^{'} (5; 1)$ . Найдите $A$ .

$A (5 + 2; 1 - 3) = (7; - 2)$

$A$ — прообраз: вектор вычитают

$A (5 - 2; 1 + 3) = (3; 4)$

б) Есть ли центр симметрии у правильного пятиугольника?

«Да, его центр: фигура правильная, значит, симметрична».

$18 0^{\circ}$ не кратно $7 2^{\circ}$ : поворот на $18 0^{\circ}$ не совмещает

Нет (только при чётном $n$ )

в) Оси $l_{1}$ и $l_{2}$ пересекаются под углом $4 0^{\circ}$ . Что даёт $S_{l_{1}}$ , затем $S_{l_{2}}$ ?

Поворот на $4 0^{\circ}$ .

угол поворота вдвое больше угла между осями

Поворот на $8 0^{\circ}$

2 мин · практика
Сначала видны «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) $A^{'} = A + a$ ⇒ $A = A^{'} - a = (3; 4)$ . Проверка: $(3 + 2; 4 - 3) = (5; 1)$ .
б) Правильный пятиугольник совмещается с собой поворотами на $7 2^{\circ}$ , $14 4^{\circ}$ , $21 6^{\circ}$ , $28 8^{\circ}$ ; $18 0^{\circ}$ среди них нет. При $Z_{O}$ вершина переходит в точку на продолжении апофемы противоположной стороны — не вершину. «Правильный — значит центрально-симметричный» — ложный вывод: «на рисунке видно» вместо проверки.
в) Точка $A$ на $l_{1}$ : $S_{l_{1}} (A) = A$ , $S_{l_{2}} (A) = A^{'}$ , угол $A O A^{'} = 2 \cdot 4 0^{\circ} = 8 0^{\circ}$ .

R06.1–R06.6

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте: точка $C (- 3; 2)$

базаОбраз $C$ при $Z_{O}$ . $(3; - 2)$
базаОбраз $C$ при $S_{O y}$ . $(3; 2)$
базаОбраз $C$ при $T_{a}$ , $a (4; - 1)$ . $(1; 1)$
базаОбраз $C$ при повороте вокруг $O$ на $9 0^{\circ}$ по часовой стрелке. $(2; 3)$
базаСколько осей симметрии у правильного восьмиугольника? $8$
базаНаименьший угол поворота, совмещающий правильный пятиугольник с собой. $7 2^{\circ}$

R06.1–R06.10

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Найдите движение по точке и образу

повыш.При какой осевой симметрии $A (1; 5)$ переходит в $B (5; 1)$ ? Запишите уравнение оси. $y = x$
повыш. $Z_{P}$ переводит $A (- 1; 4)$ в $A^{'} (5; 2)$ . Найдите $P$ и образ точки $B (3; 3)$ . $P (2; 3)$ , $B^{'} (1; 3)$
повыш.Поворот на $9 0^{\circ}$ переводит $A (0; 0)$ в $(4; 0)$ и $B (2; 0)$ в $(4; 2)$ . Найдите центр поворота. $(2; 2)$
повыш.Сначала $S_{O x}$ , затем $S_{l}$ , $l$ : $y = x$ . Какое это движение? Образ точки $(2; 0)$ ? $R_{O}^{9 0^{\circ}}$ ; $(0; 2)$

2,5 мин · практика
1) Ось — серединный перпендикуляр к $A B$ : середина $(3; 3)$ , $A B = (4; - 4)$ ⇒ $4 (x - 3) - 4 (y - 3) = 0$ , $y = x$ .
2) $P$ — середина $A A^{'}$ : $(2; 3)$ . $B^{'} = 2 P - B = (4 - 3; 6 - 3) = (1; 3)$ .
3) Центр поворота лежит на серединных перпендикулярах к $A A^{'}$ ( $x = 2$ ) и $B B^{'}$ (через $(3; 1)$ перпендикулярно $(2; 2)$ : $x + y = 4$ ) ⇒ $(2; 2)$ . Проверка: $(0; 0) - (2; 2) = (- 2; - 2) \to (2; - 2)$ , $(2; 2) + (2; - 2) = (4; 0)$ .
4) Угол между $O x$ и $y = x$ равен $4 5^{\circ}$ ⇒ поворот вокруг $O$ на $9 0^{\circ}$ против часовой стрелки (от первой оси ко второй). $(2; 0) \to (2; 0) \to (0; 2)$ ; проверка на $(1; 2)$ : $(1; - 2) \to (- 2; 1) = R_{O}^{9 0^{\circ}} (1; 2)$ .

R06.1–R06.8 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 18 и 19

Ответ — число или номера утверждений

ОГЭ 18На клетчатой бумаге с клетками $1 \times 1$ отмечены точки $A$ и $O$ . Найдите расстояние от $A$ до её образа при симметрии относительно $O$ . $10$
ОГЭ 19Какие утверждения верны? 1) Любой параллелограмм имеет ось симметрии.
2) Квадрат имеет четыре оси симметрии.
3) При движении угол переходит в равный ему угол. $23$
ОГЭ 19Какое утверждение неверно? 1) Центр симметрии ромба — точка пересечения диагоналей.
2) Правильный треугольник имеет центр симметрии.
3) Осевая симметрия — движение. $2$

R06.1, R06.7, R06.11 · ОГЭ, ч. 2

Формат ОГЭ · линия 24

Доказательство с помощью движения

ОГЭ 24 Отрезки $A C$ и $B D$ не лежат на одной прямой и пересекаются в их общей середине $O$ . Докажите, что $A B = C D$ и $A B ∥ C D$ .

1

Z_{O}

:

A \to C

,

B \to D

O

— середина

A C

и

B D

2отрезок

A B

→ отрезок

C D

⇒

A B = C D

движение сохраняет расстояния

3прямая

A B

не проходит через

O

иначе

A, B, C, D

на одной прямой

4

Z_{O}

переводит её в параллельную прямую ⇒

A B ∥ C D

свойство центральной симметрии

2 мин · практика
Полное обоснование на 2 балла. Свойство из п. 4: при $Z_{O}$ прямая $a$ , не проходящая через $O$ , переходит в прямую $a^{'}$ ; если бы они пересекались в точке $X$ , то $Z_{O} (X)$ тоже лежала бы на обеих прямых, т. е. у прямых две общие точки $X \neq = Z_{O} (X)$ ⇒ $a = a^{'}$ и $O \in a$ — противоречие.
Решение без движений (тоже засчитывается): $△ A OB = △ CO D$ по двум сторонам и углу между ними (вертикальные углы) ⇒ $A B = C D$ , $∠ O A B = ∠ OC D$ — накрест лежащие при прямых $A B$ , $C D$ и секущей $A C$ ⇒ $A B ∥ C D$ .
Следствие: $A BC D$ — параллелограмм (признак по диагоналям).

R06.2, R06.5, R06.6, R06.9

Задача из жизни · симметрия в природе и архитектуре

Снежинка и бордюр

Сколько осей симметрии у снежинки? $6$
Наименьший угол поворота, совмещающий её с собой? $6 0^{\circ}$
Есть ли у снежинки центр симметрии? да: $18 0^{\circ} = 3 \cdot 6 0^{\circ}$
Узор бордюра на фасаде повторяется через $12$ см. Какое движение переводит бордюр в себя? перенос на $12 k$ см вдоль бордюра

R06.1, R06.3, R06.4, R06.6

Самостоятельная работа · 3,5 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Образ $(5; - 2)$ при $Z_{O}$ . $(- 5; 2)$
Образ $(5; - 2)$ при $S_{O x}$ . $(5; 2)$
Перенос переводит $(1; 2)$ в $(4; - 1)$ . Образ $(0; 5)$ ? $(3; 2)$
Образ $(2; 5)$ при $R_{O}^{9 0^{\circ}}$ . $(- 5; 2)$

Вариант 2

Образ $(- 4; 3)$ при $Z_{O}$ . $(4; - 3)$
Образ $(- 4; 3)$ при $S_{O y}$ . $(4; 3)$
Перенос переводит $(2; 1)$ в $(- 1; 5)$ . Образ $(3; 0)$ ? $(0; 4)$
Образ $(3; - 1)$ при $R_{O}^{9 0^{\circ}}$ . $(1; 3)$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Чем задаётся каждое из четырёх движений?
Что сохраняет любое движение?
Что даёт композиция двух симметрий с параллельными осями?

Домашнее задание

$△ A BC$ : $A (1; 0)$ , $B (3; 0)$ , $C (1; 2)$ . Образы при $R_{O}^{9 0^{\circ}}$ и $Z_{O}$ .
Докажите: у фигуры с двумя перпендикулярными осями симметрии есть центр симметрии.
* $A (1; 4)$ , $B (7; 2)$ : точка $M$ на $O x$ с наименьшей $A M + MB$ .
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_dvizheniya.htm

1 мин · практика (рефлексия, запись ДЗ)
Ответы на вопросы: $Z_{O}$ — центром, $S_{l}$ — осью, $R_{O}^{φ}$ — центром и углом, $T_{a}$ — вектором; расстояния (и потому углы, формы, площади); перенос на удвоенное расстояние между осями.
Ответы ДЗ: 1) $R_{O}^{9 0^{\circ}}$ : $(0; 1)$ , $(0; 3)$ , $(- 2; 1)$ ; $Z_{O}$ : $(- 1; 0)$ , $(- 3; 0)$ , $(- 1; - 2)$ . 2) Композиция симметрий относительно перпендикулярных осей — $Z_{O}$ ( $O$ — точка пересечения осей); каждая симметрия переводит фигуру в себя, значит, и $Z_{O}$ тоже. 3) $B^{'} (7; - 2)$ , прямая $A B^{'}$ : $y = 5 - x$ ⇒ $M (5; 0)$ , минимум $36 + 36 = 62$ .
Конец строки R06 «Движения плоскости». Следующий урок — итоговое повторение (GEOM9U-091, строка R07).

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9U-090 · Обобщение и систематизация по теме «Движения плоскости»

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R06 «Движения плоскости», 10 ч · урок 10/10 · тип О
Единицы → слайды	R06.1 → 3, 4, 5, 8, 11, 15, 18, 20 · R06.2 → 9, 14, 19 · R06.3 → 3, 4, 5, 6, 15, 16, 20 · R06.4 → 3, 4, 5, 12, 15, 16, 20 · R06.5 → 9, 17, 19 · R06.6 → 3, 4, 5, 14, 15, 19, 20 · R06.7 → 7, 8, 17, 18 · R06.8 → 6, 7 · R06.9 → 9, 19 · R06.10 → 10, 11, 13, 14, 16 · R06.11 → 8, 12, 18
Результаты	ПР-18 (движения, оси и центры симметрии, центры поворота, композиции, применение в задачах) → 2–21
Вне урока	итоговое повторение курса — GEOM9U-091 (R07)
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Обобщение: движения плоскости

Сегодня вы повторите и научитесь

Виды движений

Свойства движений

Симметрия фигур

Композиции и задачи

Семь быстрых вопросов про точку A(2;−3) и фигуры

Четыре движения: чем задаются и что не двигают

Одна точка — четыре движения

Образец: найдите образы точки A(4;1) при ZO​, SOy​, RO90∘​ и при переносе Ta​ на a(−2;3).

Сам

Повернуть треугольник на 90∘

Образец: A(1;1), B(4;1), C(1;3). Постройте образ △ABC при RO90∘​ и найдите его площадь.

Сам

Движение сохраняет расстояния

Центральная симметрия параллелограмма

Образец: через центр O параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая AB в M и CD в N. Докажите, что OM=ON.

Сам · план доказательства

Оси, центры и повороты простейших фигур

Две симметрии подряд — снова движение

Две центральные симметрии — перенос

Образец: A(2;0), B(5;1), M(1;1). Найдите образ M при ZA​, затем ZB​, и докажите, что это перенос на 2AB.

Сам

Задача Герона: отразить и спрямить

Образец: A(1;3), B(5;1). Найдите на оси Ox точку M, для которой сумма AM+MB наименьшая.

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Ta​, a(2;−3), переводит A в A′(5;1). Найдите A.

б) Есть ли центр симметрии у правильного пятиугольника?

в) Оси l1​ и l2​ пересекаются под углом 40∘. Что даёт Sl1​​, затем Sl2​​?

Решите и проверьте: точка C(−3;2)

Найдите движение по точке и образу

Ответ — число или номера утверждений

Доказательство с помощью движения

Снежинка и бордюр

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9U-090 · Обобщение и систематизация по теме «Движения плоскости»

Семь быстрых вопросов про точку $A (2; - 3)$ и фигуры

Образец: найдите образы точки $A (4; 1)$ при $Z_{O}$ , $S_{O y}$ , $R_{O}^{9 0^{\circ}}$ и при переносе $T_{a}$ на $a (- 2; 3)$ .

Повернуть треугольник на $9 0^{\circ}$

Образец: $A (1; 1)$ , $B (4; 1)$ , $C (1; 3)$ . Постройте образ $△ A BC$ при $R_{O}^{9 0^{\circ}}$ и найдите его площадь.

Образец: через центр $O$ параллелограмма $A BC D$ проведена прямая, пересекающая $A B$ в $M$ и $C D$ в $N$ . Докажите, что $OM = ON$ .

Образец: $A (2; 0)$ , $B (5; 1)$ , $M (1; 1)$ . Найдите образ $M$ при $Z_{A}$ , затем $Z_{B}$ , и докажите, что это перенос на $2 A B$ .

Образец: $A (1; 3)$ , $B (5; 1)$ . Найдите на оси $O x$ точку $M$ , для которой сумма $A M + MB$ наименьшая.

а) $T_{a}$ , $a (2; - 3)$ , переводит $A$ в $A^{'} (5; 1)$ . Найдите $A$ .

в) Оси $l_{1}$ и $l_{2}$ пересекаются под углом $4 0^{\circ}$ . Что даёт $S_{l_{1}}$ , затем $S_{l_{2}}$ ?

Решите и проверьте: точка $C (- 3; 2)$