Движения плоскости · урок 9 из 10 · практикум

Практикум: поворот и осевая симметрия

Геометрия · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R06 · GEOM9U-089

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R06 «Движения плоскости» (10 ч), урок 9/10, единицы R06.3 «Поворот», R06.4 «Осевая симметрия». Тип урока — П (практикум): теория только сводкой и короткими выводами, остальное — решение задач.
Теория (12): титул 0,5 · цели 0,5 · сводка «поворот» 2 · поворот в координатах 2 · поворот — движение 2 · сводка «осевая симметрия» 2 · фигуры, переходящие в себя 1,5 · таблица движений 1,5.
Практика (33): разминка 2,5 · образцы → сам 3 + 3 + 2,5 + 2,5 + 2 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 3 · повышенный 2,5 · ОГЭ 2 · из жизни 1,5 · самостоятельная 4 · итог 1.
На титуле: треугольник и два его образа при поворотах на $12 0^{\circ}$ и $24 0^{\circ}$ вокруг белой точки. Вопрос классу: на какой угол надо повернуть розовый треугольник, чтобы он совпал с фиолетовым?

R06.3 · R06.4

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Строить образы при повороте

на клетчатой бумаге и в координатах (ПР-18)

Находить центр и угол поворота

по точке и её образу, оси симметрии (ПР-18)

Отражать относительно прямой

осей координат, прямых $y = x$ и $y = x + c$

Применять поворот

в задачах на доказательство, ОГЭ 19 и 24 (ПР-18)

0,5 мин · теория
ПР-18 (ФРП, углублённый уровень): «Иметь представление о преобразовании плоскости, о движениях. Находить оси, центры симметрии фигур, центры поворота, находить композиции простейших преобразований. Применять движения плоскости при решении геометрических задач».
Виды деятельности ФРП R06: формулировать определения поворота и осевой симметрии, доказывать их свойства, находить неподвижные точки, оси симметрии; применять движения при решении задач.

повторение · GEOM9U-088

Разминка · устно

Симметрия, углы, правильные многоугольники

Точка, симметричная $(3; - 5)$ относительно $O (0; 0)$ ? $(- 3; 5)$
Симметричная $(2; 7)$ относительно $(1; 1)$ ? $(0; - 5)$
Центральная симметрия — это поворот на… $18 0^{\circ}$
Центральный угол правильного шестиугольника? $6 0^{\circ}$

$sin 6 0^{\circ}$ и $cos 6 0^{\circ}$ ? $\frac{3}{2}$ и $\frac{1}{2}$
Серединный перпендикуляр к $A B$ — множество точек… равноудалённых от $A$ и $B$
Сколько осей симметрии у равностороннего треугольника? $3$

R06.3

Сводка · поворот

Поворот вокруг точки на угол $α$

Поворот вокруг точки

O

на угол

α

: каждая точка

M \to M^{'}

, где

O M^{'} = OM

,

∠ MO M^{'} = α

.

R_{O}^{α}

,

α > 0

— против часовой

$O$ — единственная неподвижная точка (при $0^{\circ} < α < 36 0^{\circ}$ ).

R_{O}^{18 0^{\circ}} = Z_{O}

— центральная симметрия.

R06.3 · метод координат

Поворот в координатах · вывод

Поворот на $9 0^{\circ}$ вокруг начала координат

1

△ O H A = △ O H^{'} A^{'}

гипотенузы

O A = O A^{'}

,

∠ A O H = ∠ A^{'} O H^{'}

— оба дополняют

∠ A O H^{'}

до

9 0^{\circ}

2

O H^{'} = O H = 4

,

H^{'} A^{'} = H A = 2

катеты «поменялись местами»

R_{O}^{9 0^{\circ}} : (x; y) \to (- y; x)

R_{O}^{- 9 0^{\circ}} : (x; y) \to (y; - x)

R06.3

Образец → сам · поворот вокруг точки

Поворачиваем вектор $PM$ , а не точку

Образец: поверните $M (3; 1)$ вокруг $P (1; - 1)$ на $9 0^{\circ}$ против часовой стрелки.

$PM = (2; 2)$ из координат конца вычитаем координаты начала

$(2; 2) \to (- 2; 2)$ $R^{9 0^{\circ}} : (x; y) \to (- y; x)$

$M^{'} = (1 - 2; - 1 + 2) = (- 1; 1)$ проверка: $PM = P M^{'} = 22$ , $PM \cdot P M^{'} = - 4 + 4 = 0$ ✓

Сам

$A (5; - 2)$ вокруг $O$ на $9 0^{\circ}$ $(2; 5)$
$B (- 3; 4)$ вокруг $O$ на $- 9 0^{\circ}$ $(4; 3)$
$K (5; 2)$ вокруг $P (2; 1)$ на $9 0^{\circ}$ $(1; 4)$

R06.3

Свойство · доказательство

Поворот сохраняет расстояния — это движение

Дано:

R_{O}^{α} (A) = A^{'}

,

R_{O}^{α} (B) = B^{'}

.
Доказать:

A^{'} B^{'} = A B

.

1

O A = O A^{'}

,

OB = O B^{'}

определение поворота

2

∠ A OB = α - ∠ BO A^{'} = ∠ A^{'} O B^{'}

∠ A O A^{'} = ∠ BO B^{'} = α

3

△ A OB

=

△ A^{'} O B^{'}

I признак: две стороны и угол между ними

4

A^{'} B^{'} = A B

— поворот есть движениесоответственные стороны равных треугольников

R06.3

Образец → сам · построение образа фигуры

Поворачиваем треугольник по вершинам

Образец: постройте образ $△ A BC$ , $A (1; 1)$ , $B (4; 1)$ , $C (1; 3)$ , при $R_{O}^{9 0^{\circ}}$ .

$(x; y) \to (- y; x)$ для каждой вершины

$A^{'} (- 1; 1)$ , $B^{'} (- 1; 4)$ , $C^{'} (- 3; 1)$ поворот — движение: образ отрезка — отрезок

$A^{'} B^{'} ⊥ A B$ , $A^{'} B^{'} = A B = 3$ проверка: стороны повернулись на $9 0^{\circ}$

Сам · тот же $△ A BC$

Образ при $R_{O}^{18 0^{\circ}}$ $(- 1; - 1)$ , $(- 4; - 1)$ , $(- 1; - 3)$
Образ при $R_{O}^{- 9 0^{\circ}}$ $(1; - 1)$ , $(1; - 4)$ , $(3; - 1)$
Площадь образа $3$

R06.3

Образец → сам · центр и угол поворота

Центр — на серединных перпендикулярах

Образец: поворот переводит $A (3; 1) \to A^{'} (1; 3)$ , $B (3; 2) \to B^{'} (0; 3)$ . Найдите центр и угол.

$P A = P A^{'}$ ⇒ $y = x$ серединный перпендикуляр к $A A^{'}$

$PB = P B^{'}$ ⇒ $y = 3 x - 2$ середина $B B^{'}$ — $(1, 5; 2, 5)$ , $B B^{'} = (- 3; 1)$

$P (1; 1)$ , угол $9 0^{\circ}$ $x = 3 x - 2$ ; $P A = (2; 0) \to P A^{'} = (0; 2)$

Сам

$A (2; 0) \to A^{'} (0; 2)$ , $B (2; 1) \to B^{'} (- 1; 2)$ . Центр и угол? $O (0; 0)$ , $9 0^{\circ}$
$R_{O}$ : $A (0; 4) \to A^{'} (4; 0)$ . Угол? $- 9 0^{\circ}$
Есть ли $R_{O}$ : $(1; 0) \to (0; 3)$ ? нет: $O A \neq = O A^{'}$

R06.4

Сводка · осевая симметрия

Отражение относительно прямой

A

и

A^{'}

симметричны относительно прямой $l$ , если

l

— серединный перпендикуляр к

A A^{'}

. Точки

l

— неподвижные.

ось	образ точки $(x; y)$
$O x$	$(x; - y)$
$O y$	$(- x; y)$
$y = x$	$(y; x)$
$y = - x$	$(- y; - x)$

R06.4

Образец → сам · отражение относительно прямой

Перпендикуляр, основание, удвоение

Образец: найдите точку, симметричную $M (5; 1)$ относительно прямой $y = x + 2$ .

$M H$ : $y = - x + 6$ перпендикуляр: угловой коэффициент $- 1$ , через $M$

$x + 2 = - x + 6$ ⇒ $H (2; 4)$ основание перпендикуляра

$M^{'} (2 \cdot 2 - 5; 2 \cdot 4 - 1) = (- 1; 7)$ $H$ — середина $M M^{'}$

Сам

$A (3; - 4)$ относительно $O y$ $(- 3; - 4)$
$B (2; 7)$ относительно $y = x$ $(7; 2)$
$A (1; 2) \to A^{'} (5; 6)$ . Уравнение оси? $y = - x + 7$

R06.3 · R06.4

Сводка · фигуры, переходящие в себя

Правильный $n$ -угольник: поворот на $\frac{36 0 ^{\circ}}{n}$ и $n$ осей

треугольник

$12 0^{\circ}$ · 3 оси

квадрат

$9 0^{\circ}$ · 4 оси

пятиугольник

$7 2^{\circ}$ · 5 осей

шестиугольник

$6 0^{\circ}$ · 6 осей

Центр правильного многоугольника — центр поворота: фигура совмещается с собой при поворотах на

k \cdot \frac{36 0 ^{\circ}}{n}

.

R06.3 · R06.11

Образец → сам · доказательство поворотом

Поворот на $6 0^{\circ}$ переводит отрезок в отрезок

Образец: $C \in A B$ , $△ A C D$ и $△ CBE$ — равносторонние, по одну сторону от $A B$ . Докажите: $A E = D B$ .

$R_{C}^{- 6 0^{\circ}} : A \to D$ $C A = C D$ , $∠ A C D = 6 0^{\circ}$

$R_{C}^{- 6 0^{\circ}} : E \to B$ $CE = CB$ , $∠ ECB = 6 0^{\circ}$

$A E$ $\to$ $D B$ ⇒ $A E = D B$ поворот — движение

Сам

Найдите угол между прямыми $A E$ и $D B$ на этом чертеже $6 0^{\circ}$
На $A B$ и $A C$ треугольника $A BC$ вне его построены квадраты $A B D E$ и $A CFG$ . Докажите: $EC = BG$ $R_{A}^{9 0^{\circ}}$ : $E \to B, C \to G$

2 мин · практика
Образец: план — найти поворот, который переводит один отрезок в другой; обосновать, куда переходит каждый конец (определение поворота: равные расстояния до центра и угол $6 0^{\circ}$ в одном направлении — по часовой).
1) Поворот на $6 0^{\circ}$ переводит прямую $A E$ в прямую $D B$ , угол между прямой и её образом равен углу поворота: $6 0^{\circ}$ (можно проверить через треугольники $A CE$ и $D CB$ , равные по I признаку).
2) $A E = A B$ , $∠ E A B = 9 0^{\circ}$ и $A C = A G$ , $∠ C A G = 9 0^{\circ}$ — поворот вокруг $A$ на $9 0^{\circ}$ (в одном направлении) переводит $E \to B$ , $C \to G$ , значит $EC \to BG$ : $EC = BG$ , и даже $EC ⊥ BG$ .

R06.3 · R06.4

Сводка правил · движения

Три движения в одной таблице

Движение	Задаётся	Формула	Неподвижные точки
Поворот $R_{O}^{α}$	центр, угол, направление	$9 0^{\circ} : (- y; x)$	только $O$
Центр. симметрия $Z_{O}$	центр	$(- x; - y)$	только $O$
Осевая симметрия $S_{l}$	ось	$y = x : (y; x)$	все точки оси

Все три — движения: сохраняют расстояния, углы и площади. Поворот сохраняет направление обхода фигуры, осевая симметрия — меняет.

R06.3 · R06.4

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$R_{O}^{9 0^{\circ}}$ : $(3; 1) \to (- 3; 1)$	сменили знак, но не переставили координаты	$(- 1; 3)$
$M (3; 2)$ вокруг $P (1; 2)$ на $9 0^{\circ}$ : $(- 2; 3)$	формулу применили к точке, а не к $PM$	$(2; 0) \to (0; 2)$ , $M^{'} (1; 4)$
$(2; 5)$ относительно $O x$ : $(- 2; 5)$	перепутали оси	$(2; - 5)$
«Поворот на $9 0^{\circ}$ — по часовой»	положительный угол — против часовой	по часовой — $- 9 0^{\circ}$

1,5 мин · практика (ученики объясняют «почему», учитель открывает строки)
Строка 1: проверка скалярным произведением: $(3; 1) \cdot (- 3; 1) = - 8 \neq = 0$ — угол не прямой. Строка 2: $PM = (2; 0) \to (0; 2)$ , $M^{'} = (1 + 0; 2 + 2) = (1; 4)$ .
Строка 3: относительно $O x$ меняется знак $y$ . Строка 4: договорённость — как у углов на единичной окружности.
Ещё одна частая ошибка в доказательствах — «на рисунке видно, что отрезки равны»: требуем назвать движение и обосновать, куда переходит каждая точка.

R06.3 · R06.4

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Поверните $K (4; - 1)$ вокруг $O$ на $- 9 0^{\circ}$ .

$(x; y) \to (- y; x)$

$K^{'} (1; 4)$

$- 9 0^{\circ} : (y; - x)$
$K^{'} (- 1; - 4)$

б) Точка, симметричная $A (1; 6)$ относительно $y = x + 1$ .

«Меняем координаты местами»

$A^{'} (6; 1)$

так только для $y = x$ :
$A^{'} (6 - 1; 1 + 1) = (5; 2)$

в) Наименьший угол поворота, совмещающего правильный пятиугольник с собой.

$\frac{18 0 ^{\circ} \cdot 3}{5} = 10 8^{\circ}$

это внутренний угол;
нужен центральный: $\frac{36 0 ^{\circ}}{5} = 7 2^{\circ}$

2 мин · практика
Сначала видны «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Взята формула поворота на $+ 9 0^{\circ}$ . Верно: $(y; - x) = (- 1; - 4)$ ; проверка: $(4; - 1) \cdot (- 1; - 4) = - 4 + 4 = 0$ , длины $17$ ✓.
б) Середина $A A^{'}$ при ответе ученика — $(3, 5; 3, 5)$ — не лежит на $y = x + 1$ . Верно: $(y - 1; x + 1) = (5; 2)$ ; середина $(3; 4)$ : $4 = 3 + 1$ ✓, $A A^{'} = (4; - 4) ⊥ (1; 1)$ ✓.
в) Внутренний угол — угол между сторонами; при повороте вершина переходит в соседнюю, а угол между лучами из центра к соседним вершинам — $7 2^{\circ}$ .

R06.3 · R06.4

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

база $(2; 5)$ вокруг $O$ на $9 0^{\circ}$ $(- 5; 2)$
база $(- 3; 1)$ вокруг $O$ на $18 0^{\circ}$ $(3; - 1)$
база $(4; - 6)$ относительно $O x$ $(4; 6)$

база $(- 2; 7)$ относительно $y = x$ $(7; - 2)$
базаНаименьший угол поворота правильного восьмиугольника в себя $4 5^{\circ}$
база $A B = 7$ . Длина образа $A B$ при $R_{O}^{4 0^{\circ}}$ ? $7$

R06.3 · R06.4 · R06.10

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш. $M (1; 5)$ вокруг $P (2; 3)$ на $- 9 0^{\circ}$ $(4; 4)$
повыш.Образ прямой $y = 2 x + 1$ при $R_{O}^{9 0^{\circ}}$ $y = - 0, 5 x - 0, 5$
повыш.Образ окружности $(x - 3)^{2} + (y + 1)^{2} = 4$ при $R_{O}^{9 0^{\circ}}$ $(x - 1)^{2} + (y - 3)^{2} = 4$
повыш.Симметрия относительно $O x$ , затем относительно $y = x$ . Какое это движение? $R_{O}^{9 0^{\circ}}$

2,5 мин · практика
1) $PM = (- 1; 2) \to (y; - x) = (2; 1)$ , $M^{'} = (4; 4)$ ; проверка: $PM = P M^{'} = 5$ , $(- 1) \cdot 2 + 2 \cdot 1 = 0$ ✓.
2) Точка $(x; y)$ лежит на образе ⇔ её прообраз $(y; - x)$ (поворот на $- 9 0^{\circ}$ ) лежит на исходной прямой: $- x = 2 y + 1$ , $y = - 0, 5 x - 0, 5$ . Проверка: $(0; 1) \to (- 1; 0)$ и $(1; 3) \to (- 3; 1)$ лежат на ответе ✓. Угловые коэффициенты $2 \cdot (- 0, 5) = - 1$ — прямые перпендикулярны.
3) Центр $(3; - 1) \to (1; 3)$ , радиус $2$ сохраняется.
4) $(x; y) \to (x; - y) \to (- y; x)$ — поворот на $9 0^{\circ}$ вокруг $O$ (оси пересекаются под углом $4 5^{\circ}$ , угол поворота вдвое больше). Композиции — R06.10, урок GEOM9U-086.

R06.3 · R06.4 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 19 и 24

Поворот квадрата вокруг центра

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Поворот сохраняет расстояния между точками.
Квадрат имеет четыре оси симметрии.
Правильный пятиугольник имеет центр симметрии.
Осевая симметрия переводит прямую в параллельную ей прямую.

Ответ: 12

ОГЭ 24 $A BC D$ — квадрат, $M \in A B$ , $N \in BC$ , $A M = BN$ . Докажите: $D M = A N$ , $D M ⊥ A N$ .

$R_{O}^{- 9 0^{\circ}}$ , $O$ — центр квадрата: $D \to A$ , $A \to B$ , отрезок $A B \to BC$ , $M \to N$ ( $A M = BN$ )

$D M \to A N$ ⇒ $D M = A N$ , угол между ними $9 0^{\circ}$

2 мин · практика
19) 1 — верно (поворот — движение); 2 — верно (две диагонали и две средние линии); 3 — неверно ( $n = 5$ нечётно); 4 — неверно (например, прямая, перпендикулярная оси, переходит в себя; пересекающая ось под острым углом — в пересекающую). Ответ: 12.
24) Решение через поворот на $9 0^{\circ}$ по часовой вокруг центра квадрата (вершины переходят в соседние). Решение «школьное», которое тоже принимается: $△ D A M = △ A BN$ по двум катетам ( $D A = A B$ , $A M = BN$ ) ⇒ $D M = A N$ , $∠ A D M = ∠ B A N$ ⇒ $∠ A D M + ∠ A M D = 9 0^{\circ}$ ⇒ $∠ B A N + ∠ A M D = 9 0^{\circ}$ ⇒ угол между $A N$ и $D M$ — $9 0^{\circ}$ .
Проверка координатами: $A (0; 0)$ , $B (0; 6)$ , $C (6; 6)$ , $D (6; 0)$ , $M (0; 2)$ , $N (2; 6)$ : $D M \cdot A N = (- 6) \cdot 2 + 2 \cdot 6 = 0$ , $D M = A N = 210$ ✓.

R06.3 · практика

Задача из жизни · часы

Стрелки часов поворачиваются

На какой угол поворачивается минутная стрелка за 20 минут? $- 12 0^{\circ}$ (по часовой)
А часовая стрелка за 20 минут? $1 0^{\circ}$
Колесо обозрения: 24 кабинки. На какой угол поворачивается колесо, когда кабинка сменяет соседнюю? $1 5^{\circ}$

R06.3 · R06.4

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$(3; - 2)$ вокруг $O$ на $9 0^{\circ}$ $(2; 3)$
$(- 4; 1)$ относительно $O y$ $(4; 1)$
$(5; 3)$ вокруг $P (1; 1)$ на $9 0^{\circ}$ $(- 1; 5)$
$(2; 6)$ относительно прямой $y = x + 1$ $(5; 3)$

Вариант 2

$(- 1; 4)$ вокруг $O$ на $- 9 0^{\circ}$ $(4; 1)$
$(3; - 5)$ относительно $O x$ $(3; 5)$
$(6; - 1)$ вокруг $P (2; 3)$ на $9 0^{\circ}$ $(6; 7)$
$(7; 1)$ относительно прямой $y = x - 2$ $(3; 5)$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как найти центр поворота по двум парам точек?
Чем поворот на $9 0^{\circ}$ отличается от поворота на $- 9 0^{\circ}$ в координатах?
Какие точки неподвижны при осевой симметрии?

Домашнее задание

Образ $△ A BC$ , $A (2; 1)$ , $B (5; 1)$ , $C (2; 5)$ , при $R_{O}^{9 0^{\circ}}$ и при симметрии относительно $y = x$ .
* Постройте равносторонний треугольник с вершиной $A$ , две другие вершины которого лежат на двух данных параллельных прямых.
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_dvizheniya.htm

1 мин · практика (рефлексия, запись ДЗ)
Ответы ДЗ: 1) $R_{O}^{9 0^{\circ}}$ : $(- 1; 2)$ , $(- 1; 5)$ , $(- 5; 2)$ ; относительно $y = x$ : $(1; 2)$ , $(1; 5)$ , $(5; 2)$ . Сравнить: треугольники-образы симметричны относительно оси $O y$ (обход у одного сохранён, у другого изменён).
2*) Повернуть первую прямую $a$ вокруг $A$ на $6 0^{\circ}$ ; точка пересечения образа $a^{'}$ со второй прямой $b$ — вершина $C$ ; вершина $B$ — прообраз $C$ на прямой $a$ ( $A B = A C$ , $∠ B A C = 6 0^{\circ}$ ). Поворот на $- 6 0^{\circ}$ даёт второе решение.
Следующий урок — обобщение по теме «Движения плоскости» (GEOM9U-090).

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9U-089 · Практикум: поворот

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R06 «Движения плоскости», 10 ч · урок 9/10 · тип П (практикум)
Единицы → слайды	R06.3 «Поворот» → 2, 4–9, 12–22 · R06.4 «Осевая симметрия» → 2, 10, 11, 12, 14–19, 21, 22 · повторение R06.1–R06.2 (GEOM9U-088) → 3 · R06.10, R06.11 (композиции, применение) → 13, 18, 19
Результаты	ПР-18 (движения, оси и центры симметрии, центры поворота, композиции, применение движений в задачах) → 2, 4–22
Вне урока	общая формула поворота на произвольный угол — только в заметках (формулы сложения — 10 класс); обобщение темы — GEOM9U-090
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: поворот и осевая симметрия

Сегодня вы научитесь

Строить образы при повороте

Находить центр и угол поворота

Отражать относительно прямой

Применять поворот

Симметрия, углы, правильные многоугольники

Поворот вокруг точки на угол α

Поворот на 90∘ вокруг начала координат

Поворачиваем вектор PM, а не точку

Образец: поверните M(3;1) вокруг P(1;−1) на 90∘ против часовой стрелки.

Сам

Поворот сохраняет расстояния — это движение

Поворачиваем треугольник по вершинам

Образец: постройте образ △ABC, A(1;1), B(4;1), C(1;3), при RO90∘​.

Сам · тот же △ABC

Центр — на серединных перпендикулярах

Образец: поворот переводит A(3;1)→A′(1;3), B(3;2)→B′(0;3). Найдите центр и угол.

Сам

Отражение относительно прямой

Перпендикуляр, основание, удвоение

Образец: найдите точку, симметричную M(5;1) относительно прямой y=x+2.

Сам

Правильный n-угольник: поворот на n360∘​ и n осей

Поворот на 60∘ переводит отрезок в отрезок

Образец: C∈AB, △ACD и △CBE — равносторонние, по одну сторону от AB. Докажите: AE=DB.

Сам

Три движения в одной таблице

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Поверните K(4;−1) вокруг O на −90∘.

б) Точка, симметричная A(1;6) относительно y=x+1.

в) Наименьший угол поворота, совмещающего правильный пятиугольник с собой.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Поворот квадрата вокруг центра

Стрелки часов поворачиваются

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9U-089 · Практикум: поворот

Поворот вокруг точки на угол $α$

Поворот на $9 0^{\circ}$ вокруг начала координат

Поворачиваем вектор $PM$ , а не точку

Образец: поверните $M (3; 1)$ вокруг $P (1; - 1)$ на $9 0^{\circ}$ против часовой стрелки.

Образец: постройте образ $△ A BC$ , $A (1; 1)$ , $B (4; 1)$ , $C (1; 3)$ , при $R_{O}^{9 0^{\circ}}$ .

Сам · тот же $△ A BC$

Образец: поворот переводит $A (3; 1) \to A^{'} (1; 3)$ , $B (3; 2) \to B^{'} (0; 3)$ . Найдите центр и угол.

Образец: найдите точку, симметричную $M (5; 1)$ относительно прямой $y = x + 2$ .

Правильный $n$ -угольник: поворот на $\frac{36 0 ^{\circ}}{n}$ и $n$ осей

Поворот на $6 0^{\circ}$ переводит отрезок в отрезок

Образец: $C \in A B$ , $△ A C D$ и $△ CBE$ — равносторонние, по одну сторону от $A B$ . Докажите: $A E = D B$ .

а) Поверните $K (4; - 1)$ вокруг $O$ на $- 9 0^{\circ}$ .

б) Точка, симметричная $A (1; 6)$ относительно $y = x + 1$ .