Движения плоскости · урок 8 из 10 · практикум

Практикум: центральная симметрия

Геометрия · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R06 · GEOM9U-088

1 мин · теория (орг. момент, тема, план практикума)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R06 «Движения плоскости» (10 ч), урок 8/10, единицы R06.1 «Центральная симметрия», R06.2 «Центрально-симметричные фигуры». Тип урока — П (практикум).
Теория (12): титул 1 · цели 0,5 · сводка правил 2,5 · метод построения 2,5 · удвоение медианы 3 · центр графика 2,5.
Практика (33): разминка 2,5 · образцы → сам 2,5 + 2,5 + 3 + 3 + 2,5 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2,5 · повышенный 2,5 · ОГЭ 2,5 · из жизни 1,5 · самостоятельная 3,5 · итог 1.
Отличие от урока GEOM9U-081: там — определения и свойства; здесь — приёмы решения: достраивание параллелограмма, образы прямых и окружностей при любом центре, построения, удвоение медианы, центр симметрии графика.
На титуле: прямая через центр параллелограмма делит его на две равные части — вопрос классу «почему?» (центральная симметрия переводит одну часть в другую).

R06.1 · R06.2

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Находить образы

точек, прямых и окружностей при симметрии относительно любой точки

Удваивать медиану

и достраивать параллелограмм, чтобы найти длины (ПР-18)

Строить

отрезки с данной серединой методом центральной симметрии

Находить центр симметрии

фигуры и графика функции (ПР-18)

повторение: GEOM9U-081

Разминка · устно

Вспоминаем центральную симметрию

Образ $(3; - 5)$ относительно $O (0; 0)$ $(- 3; 5)$
Образ $(1; 4)$ относительно $(2; 2)$ $(3; 0)$
$A (0; 6) \to A^{'} (4; - 2)$ . Центр? $(2; 2)$
Сколько центров симметрии у прямой? бесконечно много

Во что переходит прямая, не проходящая через центр? в параллельную
Есть ли центр у правильного 10-угольника? да
Образ окружности радиуса $3$ ? окружность радиуса $3$

R06.1 · R06.2

Сводка правил

Центральная симметрия $Z_{O}$ — коротко

Определение

$O$ — середина $A A^{'}$

Координаты, $O (a; b)$

$x^{'} = 2 a - x$
$y^{'} = 2 b - y$

Свойства

движение; прямая $\to$ параллельная, окружность $\to$ равная

Центр фигуры

$Z_{O} (F) = F$ : параллелограмм, окружность, $2 n$ -угольник

R06.1 · R06.2

Образец → сам · четвёртая вершина

Центр параллелограмма — середина диагонали

Образец: $A (1; 2)$ , $B (4; 5)$ , $C (7; 3)$ — вершины параллелограмма $A BC D$ . Найдите $D$ .

$O (4; 2, 5)$ середина диагонали $A C$

$D = Z_{O} (B)$ центр симметрии: $B \leftrightarrow D$

$D (8 - 4; 5 - 5) = (4; 0)$ $x^{'} = 2 a - x$ , $y^{'} = 2 b - y$

Сам: найдите вершины

$A (- 2; 1)$ , $B (0; 4)$ , $C (5; 3)$ . Найдите $D$ $(3; 0)$
Центр $O (2; - 1)$ , $A (- 1; 3)$ , $B (4; 2)$ . Найдите $C$ и $D$ $C (5; - 5)$ , $D (0; - 4)$
$A (0; 0)$ , $B (2; 3)$ , $D (6; 1)$ . Найдите $C$ $(8; 4)$

R06.1 · метод координат

Образец → сам · образы прямой и окружности

Центр не в начале координат

Образец: найдите образ прямой $y = 2 x - 1$ при симметрии относительно $P (1; 3)$ .

$(x; y) \to (2 - x; 6 - y)$ формулы с центром $P (1; 3)$ : $x^{'} = 2 a - x$ , $y^{'} = 2 b - y$

$6 - y = 2 (2 - x) - 1$ прообраз точки лежит на исходной прямой

$y = 2 x + 3$ проверка: $M (0; - 1) \to M^{'} (2; 7)$ , $7 = 2 \cdot 2 + 3$ ✓

Сам

Образ $y = - x + 2$ относительно $P (1; 1)$ та же прямая
Образ $x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y = 3$ относительно $P (- 1; 2)$ $(x + 4)^{2} + (y - 7)^{2} = 16$
Центр на оси $O y$ , переводящий $y = x + 1$ в $y = x - 5$ $(0; - 2)$

2,5 мин · практика
Образец: точка $(x; y)$ лежит на образе ⇔ её прообраз $(2 - x; 6 - y)$ лежит на исходной прямой: $6 - y = 3 - 2 x$ , $y = 2 x + 3$ . Угловой коэффициент тот же — прямые параллельны (свойство). Проверка — пара $M \to M^{'}$ .
1) $2 - y = - (2 - x) + 2 = x$ , $y = - x + 2$ — прямая переходит в себя, так как $P (1; 1)$ на ней лежит: $1 = - 1 + 2$ .
2) Выделяем квадраты: $(x - 2)^{2} + (y + 3)^{2} = 16$ , центр $(2; - 3)$ , $R = 4$ . Образ центра $(- 2 - 2; 4 + 3) = (- 4; 7)$ , радиус тот же.
3) Центр — на средней прямой $y = x - 2$ (между свободными членами $1$ и $- 5$ ); при $x = 0$ : $(0; - 2)$ . Проверка: $(x; x + 1) \to (- x; - 4 - x - 1) = (- x; - x - 5)$ ✓.

R06.1 · построения

Метод · построение

Отрезок с серединой $O$ : концы на прямой $a$ и окружности $ω$

Ключ: если

Y \in a

и

X = Z_{O} (Y)

, то $X \in Z_{O} (a)$ .

1

a^{'} = Z_{O} (a)

отражаем две точки прямой

a

2

X \in a^{'} \cap ω

X

лежит и на

ω

, и на образе

a

3

Y = Z_{O} (X)

, отрезок

X Y

Y \in a

,

O

— середина

X Y

Решений столько, сколько точек в $a^{'} \cap ω$ : $0$ , $1$ или $2$ .

2,5 мин · теория (учитель строит на доске, класс повторяет в тетради)
Общий метод: ищем ту точку, у которой образ должен лежать на другой фигуре, — она лежит на пересечении «своей» фигуры и образа «чужой».
Шаги на чертеже открываются вместе с текстом: прямая $a^{'}$ , точка $X$ , отрезок $X Y$ с равными половинами. На этом чертеже $a^{'}$ пересекает $ω$ в двух точках — второе решение предложить найти классу.
Обоснование: $Y = Z_{O} (X)$ — по определению $O$ — середина $X Y$ ; $X \in a^{'} \Rightarrow Y = Z_{O} (X) \in Z_{O} (a^{'}) = a$ .

R06.1 · построения · углублённый

Образец → сам · задача на построение

Через общую точку окружностей — равные хорды

Образец: $A$ — общая точка $ω_{1}$ и $ω_{2}$ . Проведите через $A$ прямую, на которой окружности высекают равные хорды $A B$ и $A C$ .

$ω_{1}^{'} = Z_{A} (ω_{1})$ центр отражаем, радиус тот же

$C \in ω_{1}^{'} \cap ω_{2}$ , $C \neq = A$ образ $C$ лежит на $ω_{1}$

$B = Z_{A} (C)$ , прямая $BC$ $A$ — середина $BC$ : $A B = A C$

Сам: постройте

отрезок с серединой $O$ , концы на окружностях $ω_{1}$ , $ω_{2}$ . Сколько решений? точки $Z_{O} (ω_{1}) \cap ω_{2}$
хорду окружности, которая делится точкой $M$ пополам $⊥ OM$ через $M$
параллелограмм $A BC D$ с центром $O$ : $A$ дана, $B \in b$ , $D \in ω$ $D \in ω \cap Z_{O} (b)$

3 мин · практика
Образец: $ω_{1}^{'}$ проходит через $A$ (так как $A \in ω_{1}$ и $Z_{A} (A) = A$ ), поэтому $ω_{1}^{'}$ и $ω_{2}$ пересекаются в $A$ и ещё в одной точке $C$ (если не касаются). $B = Z_{A} (C) \in ω_{1}$ , $A B = A C$ . Чертёж — по щелчку вместе со строками.
1) Отражаем $ω_{1}$ относительно $O$ и пересекаем с $ω_{2}$ : $0$ , $1$ или $2$ решения; бесконечно много, если $Z_{O} (ω_{1}) = ω_{2}$ (равные радиусы, $O$ — середина $O_{1} O_{2}$ ).
2) $Z_{M} (ω) \cap ω$ — две точки, концы искомой хорды; та же хорда — перпендикуляр к $OM$ через $M$ (диаметр, делящий хорду пополам, ей перпендикулярен). Если $M = O$ — любой диаметр.
3) $C = Z_{O} (A)$ ; $D$ — на $ω$ и на $Z_{O} (b)$ (ведь $B = Z_{O} (D) \in b$ ); затем $B = Z_{O} (D)$ .

R06.1 · R06.11

Приём · удвоение медианы

Симметрия относительно середины стороны

Продлим медиану

A M

на

M D = A M

.

1

Z_{M}

:

A \leftrightarrow D

,

B \leftrightarrow C

A M = M D

(построение),

BM = MC

(медиана)

2

A B D C

— параллелограммдиагонали

A D

и

BC

делятся пополам

3

B D = A C = b

,

A D = 2 m_{a}

противоположные стороны равны

4 m_{a}^{2} = 2 b^{2} + 2 c^{2} - a^{2}

сумма квадратов диагоналей параллелограмма; из $△ A B D$ : $2 m_{a} < b + c$

R06.1 · R06.11 · R01

Образец → сам · удвоение медианы

Медиана через параллелограмм

Образец: в $△ A BC$ $A B = 6$ , $A C = 8$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите медиану $A M$ .

$D = Z_{M} (A)$ : $B D = 8$ , $∠ A B D = 12 0^{\circ}$ $A B D C$ — параллелограмм, углы при $A B$ : $18 0^{\circ} - 6 0^{\circ}$

$A D^{2} = 36 + 64 + 48 = 148$ теорема косинусов: $- 2 \cdot 6 \cdot 8 cos 12 0^{\circ} = 48$

$A M = \frac{1}{2} A D = 37$ $A D = 237$

Сам

$A B = 5$ , $A C = 7$ , $BC = 8$ . Найдите $A M$ $21$
$A B = 3$ , $A C = 5$ , $A M = 2$ . Найдите $BC$ $213$
Докажите: $A M < \frac{A B + A C}{2}$ $△ A B D$ : $A D < A B + B D$

R06.2 · функции

Центр симметрии графика

График тоже бывает центрально-симметричным

P (a; b)

— центр графика, если вместе с

(x; y)

на нём лежит $(2 a - x; 2 b - y)$ .

1

y = \frac{k}{x}

— центр

(0; 0)

функция нечётная:

(x; y) \to (- x; - y)

2

y = \frac{k}{x - a} + b

— центр

(a; b)

сдвиг графика вместе с центром

3

\frac{3}{( 2 - x ) - 1} + 2 = 2 - \frac{3}{x - 1} = 4 - y

проверка для

y = \frac{3}{x - 1} + 2

, центр

(1; 2)

R06.2 · функции

Образец → сам · центр графика

Выделяем целую часть

Образец: найдите центр симметрии графика $y = \frac{2 x + 5}{x + 1}$ .

$\frac{2 x + 5}{x + 1} = \frac{2 ( x + 1 ) + 3}{x + 1} = 2 + \frac{3}{x + 1}$ выделили целую часть

вид $\frac{k}{x - a} + b$ : $a = - 1$ , $b = 2$ сдвиг графика $y = \frac{3}{x}$

центр $(- 1; 2)$ проверка: $(0; 5) \to (- 2; - 1)$ , $\frac{- 4 + 5}{- 2 + 1} = - 1$ ✓

Сам: центр графика

$y = \frac{1}{x + 2} - 3$ $(- 2; - 3)$
$y = (x - 1)^{3} + 2$ $(1; 2)$
$y = \frac{x - 4}{x - 3}$ $(3; 1)$

R06.1 · R06.2

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$y = 2 x - 1$ , центр $P (1; 3)$ : образ $y = 2 x + 1$	правило «сменить знак» — только для центра $(0; 0)$	$y = 2 x + 3$
«Центр симметрии двух окружностей — середина $O_{1} O_{2}$ »	при $r_{1} \neq = r_{2}$ образ одной — не другая	только при $r_{1} = r_{2}$
$y = \frac{3}{x - 1} + 2$ : центр $(- 1; 2)$	сдвиг на $+ 1$ по оси $x$	центр $(1; 2)$
$A M = \frac{A B + A C}{2}$	это строгая оценка, а не формула	$4 m_{a}^{2} = 2 b^{2} + 2 c^{2} - a^{2}$

R06.1 · R06.2

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $A (1; 1)$ , $B (3; 4)$ , $C (6; 2)$ — параллелограмм $A BC D$ . Найдите $D$ .

$O$ — середина $A B$ : $(2; 2, 5)$

$D = Z_{O} (C) = (- 2; 3)$

$O$ — середина $A C$ : $(3, 5; 1, 5)$
$D = Z_{O} (B) = (4; - 1)$

б) Образ $x^{2} + (y - 2)^{2} = 9$ относительно $P (1; 0)$ .

центр $(0; 2) \to (2; - 2)$

$(x - 2)^{2} + (y + 2)^{2} = 81$

радиус тот же:
$(x - 2)^{2} + (y + 2)^{2} = 9$

в) $A M$ — медиана, $M D = A M$ . Докажите: $A B D C$ — параллелограмм.

« $A M = M D$ , значит, $A B D C$ — параллелограмм»

нужно ещё $BM = MC$ : делятся пополам обе диагонали

2 мин · практика
Сначала видны «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Центр — середина диагонали, а не стороны: $O = (\frac{1 + 6}{2}; \frac{1 + 2}{2}) = (3, 5; 1, 5)$ , $D = (7 - 3; 3 - 4) = (4; - 1)$ . Проверка: $A B = (2; 3) = D C = (6 - 4; 2 + 1)$ ✓.
б) Центр отражён верно: $(2 \cdot 1 - 0; 0 - 2) = (2; - 2)$ ; ошибка — в правой части: $R = 3$ , $R^{2} = 9$ , симметрия радиус не меняет.
в) Признак параллелограмма требует, чтобы точкой пересечения делились обе диагонали; $BM = MC$ — потому что $A M$ — медиана.

R06.1 · R06.2

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

базаОбраз $A (- 3; 4)$ относительно $P (2; - 1)$ $(7; - 6)$
база $A (2; 5)$ , $B (6; 1)$ , $C (4; - 3)$ — параллелограмм $A BC D$ . $D$ ? $(0; 1)$
базаОбраз прямой $y = 3 x$ относительно $(1; 0)$ $y = 3 x - 6$

базаЦентр симметрии графика $y = \frac{5}{x + 4}$ $(- 4; 0)$
база $A B = A C = 5$ , $BC = 6$ . Медиана $A M$ ? $4$
базаСколько центров симметрии у двух равных непересекающихся окружностей? один

R06.1 · R06.2

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Центр симметрии графика $y = x^{3} - 3 x^{2}$ $(1; - 2)$
повыш.Прямые $y = 2 x + 1$ и $y = 2 x - 7$ симметричны относительно точки прямой $y = x$ . Найдите её $(3; 3)$
повыш. $A B = 7$ , $A C = 9$ . Какие значения может принимать медиана $A M$ ? $1 < A M < 8$
повыш.Докажите: у выпуклого многоугольника с центром симметрии число вершин чётно вершины разбиваются на пары $X \leftrightarrow Z_{O} (X)$

R06.2 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 17, 19 и 24

Центральная симметрия на экзамене

ОГЭ 17 Через точку пересечения диагоналей параллелограмма $A BC D$ площади $56$ проведена прямая; она пересекает $BC$ в $M$ , $A D$ в $N$ . Найдите площадь $A BMN$ .

Ответ: 28

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Правильный пятиугольник имеет центр симметрии.
Четырёхугольник с центром симметрии — параллелограмм.
Центр симметрии прямоугольника — точка пересечения диагоналей.

Ответ: 23

ОГЭ 24 Отрезки $A B$ и $C D$ пересекаются в их общей середине $O$ . Докажите, что $A C ∥ B D$ .

$A O = OB$ , $CO = O D$ , $∠ A OC = ∠ BO D$ (вертикальные) ⇒ $△ A OC = △ BO D$

$∠ O A C = ∠ OB D$ — накрест лежащие ⇒ $A C ∥ B D$

R06.2 · практика

Задача из жизни · игра с монетами

Как выиграть, если ходишь первым?

Двое по очереди кладут одинаковые монеты на прямоугольный стол, не накладывая. Кто не может положить — проиграл. Кто выигрывает? первый: монета в центр, затем симметрично
Почему симметричный ход всегда возможен? позиция после хода первого симметрична

1,5 мин · практика
1) Первым ходом кладём монету точно в центр стола (центр симметрии прямоугольника), дальше отвечаем на каждый ход соперника монетой, симметричной относительно центра. Номера на чертеже — порядок ходов, ответы — по щелчку.
2) После каждого ответа первого расположение монет центрально-симметрично; если соперник нашёл свободное место, то симметричное место тоже свободно, а с монетой соперника оно не пересекается — иначе монета соперника накрывала бы центр, где уже лежит монета 1.
Связь с ОГЭ 17: прямоугольник и параллелограмм — фигуры с центром симметрии.

R06.1 · R06.2

Самостоятельная работа · 3,5 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Образ $(5; - 2)$ относительно $(1; 3)$ $(- 3; 8)$
$A (1; 0)$ , $B (3; 4)$ , $C (7; 2)$ — параллелограмм $A BC D$ . Найдите $D$ $(5; - 2)$
Образ прямой $y = x + 3$ относительно $(2; 0)$ $y = x - 7$
Центр симметрии графика $y = \frac{2}{x - 3} + 1$ $(3; 1)$

Вариант 2

Образ $(- 4; 1)$ относительно $(2; - 2)$ $(8; - 5)$
$A (- 1; 2)$ , $B (2; 5)$ , $C (6; 3)$ — параллелограмм $A BC D$ . Найдите $D$ $(3; 0)$
Образ прямой $y = - x + 1$ относительно $(0; 2)$ $y = - x + 3$
Центр симметрии графика $y = \frac{- 1}{x + 5} - 2$ $(- 5; - 2)$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как найти четвёртую вершину параллелограмма?
Зачем удваивают медиану?
Как найти центр графика $y = \frac{k}{x - a} + b$ ?

Домашнее задание

Образ $x^{2} + y^{2} - 6 x + 2 y = 6$ относительно $(- 1; 1)$ .
Стороны треугольника $6$ , $7$ , $9$ . Найдите медиану к большей стороне.
* Через точку внутри угла проведите прямую, отсекающую треугольник наименьшей площади.
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_dvizheniya.htm

1 мин · практика (рефлексия, запись ДЗ)
Ответы ДЗ: 1) $(x - 3)^{2} + (y + 1)^{2} = 16$ , центр $(3; - 1) \to (- 2 - 3; 2 + 1) = (- 5; 3)$ : $(x + 5)^{2} + (y - 3)^{2} = 16$ .
2) $a = 9$ : $4 m^{2} = 2 \cdot 36 + 2 \cdot 49 - 81 = 89$ , $m = \frac{89}{2} \approx 4, 72$ .
3*) Искомая прямая — та, отрезок которой между сторонами угла делится данной точкой $P$ пополам (строится как в методе урока: отразить одну сторону относительно $P$ ). Любая другая прямая через $P$ отсекает треугольник, больший на площадь «лишнего» куска: сравнение через центральную симметрию с центром $P$ .
Следующий урок — практикум «Поворот» (GEOM9U-089): центральная симметрия — поворот на $18 0^{\circ}$ .

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9U-088 · Практикум: центральная симметрия

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R06 «Движения плоскости», 10 ч · урок 8/10 · тип П (практикум)
Единицы → слайды	R06.1 «Центральная симметрия» → 3–10, 13–19 · R06.2 «Центрально-симметричные фигуры» → 4, 5, 11–19 · опора: R01 (теорема косинусов), R04 (координаты, окружность), R06.11 (применение в задачах)
Результаты	ПР-18 (центры симметрии фигур, применение движений в задачах) → 2–19
Вне урока	поворот (R06.3) — практикум GEOM9U-089; композиции движений (R06.10) — не используются
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: центральная симметрия

Сегодня вы научитесь

Находить образы

Удваивать медиану

Строить

Находить центр симметрии

Вспоминаем центральную симметрию

Центральная симметрия ZO​ — коротко

Определение

Координаты, O(a;b)

Свойства

Центр фигуры

Центр параллелограмма — середина диагонали

Образец: A(1;2), B(4;5), C(7;3) — вершины параллелограмма ABCD. Найдите D.

Сам: найдите вершины

Центр не в начале координат

Образец: найдите образ прямой y=2x−1 при симметрии относительно P(1;3).

Сам

Отрезок с серединой O: концы на прямой a и окружности ω

Через общую точку окружностей — равные хорды

Образец: A — общая точка ω1​ и ω2​. Проведите через A прямую, на которой окружности высекают равные хорды AB и AC.

Сам: постройте

Симметрия относительно середины стороны

Медиана через параллелограмм

Образец: в △ABC AB=6, AC=8, ∠A=60∘. Найдите медиану AM.

Сам

График тоже бывает центрально-симметричным

Выделяем целую часть

Образец: найдите центр симметрии графика y=x+12x+5​.

Сам: центр графика

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) A(1;1), B(3;4), C(6;2) — параллелограмм ABCD. Найдите D.

б) Образ x2+(y−2)2=9 относительно P(1;0).

в) AM — медиана, MD=AM. Докажите: ABDC — параллелограмм.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Центральная симметрия на экзамене

Как выиграть, если ходишь первым?

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9U-088 · Практикум: центральная симметрия

Центральная симметрия $Z_{O}$ — коротко

Координаты, $O (a; b)$

Образец: $A (1; 2)$ , $B (4; 5)$ , $C (7; 3)$ — вершины параллелограмма $A BC D$ . Найдите $D$ .

Образец: найдите образ прямой $y = 2 x - 1$ при симметрии относительно $P (1; 3)$ .

Отрезок с серединой $O$ : концы на прямой $a$ и окружности $ω$

Образец: $A$ — общая точка $ω_{1}$ и $ω_{2}$ . Проведите через $A$ прямую, на которой окружности высекают равные хорды $A B$ и $A C$ .

Образец: в $△ A BC$ $A B = 6$ , $A C = 8$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите медиану $A M$ .

Образец: найдите центр симметрии графика $y = \frac{2 x + 5}{x + 1}$ .

а) $A (1; 1)$ , $B (3; 4)$ , $C (6; 2)$ — параллелограмм $A BC D$ . Найдите $D$ .

б) Образ $x^{2} + (y - 2)^{2} = 9$ относительно $P (1; 0)$ .

в) $A M$ — медиана, $M D = A M$ . Докажите: $A B D C$ — параллелограмм.