Движения плоскости · урок 7 из 10

Применение движений в геометрических задачах

Геометрия · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R06 · GEOM9U-087

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Паспорт: R06 «Движения плоскости» (10 ч), урок 7/10, единица R06.11 «Применение в геометрических задачах». Тип урока — Н.
Теория (12,5): титул 0,5 · цели 0,5 · идея метода 2 · задача Герона 2 · перенос в трапеции 2 · поворот 2 · удвоение медианы 2 · схема-конспект 1,5.
Практика (32,5): разминка 2,5 · образцы → сам 3 + 3 + 3 + 3 + 2 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 3 · повышенный 2,5 · ОГЭ 2 · самостоятельная 4 · итог 1.
На титуле — задача Герона: ломаная от одной точки к прямой и к другой точке «выпрямляется» отражением. Вопрос классу: где на прямой поставить точку, чтобы путь был короче всего?
Если не успеваете: образец 5 (мост) и задачу ОГЭ 25 — в ДЗ; доказательства не сокращать.

R06.11

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Выбирать движение

по «подсказке» в условии: середина, равные отрезки, параллельность (ПР-18)

Искать наименьший путь

осевой симметрией и переносом: задача Герона, задача о мосте

Вычислять площади и длины

переносом диагонали трапеции и удвоением медианы

Доказывать поворотом

на $6 0^{\circ}$ и $9 0^{\circ}$ ; решать задачи ОГЭ 24–25

повторение: R06.1–R06.10

Разминка · устно

Образы точек и композиции

Образ $A (2; 3)$ при $Z_{O}$ $(- 2; - 3)$
Образ $A (2; 3)$ при $S_{O x}$ $(2; - 3)$
Образ $A (2; 3)$ при переносе на $a (1; - 4)$ $(3; - 1)$
Образ $A (2; 3)$ при повороте $R_{O}^{9 0^{\circ}}$ против часовой стрелки $(- 3; 2)$

$S_{b} \circ S_{a}$ , $a ∥ b$ , расстояние $3$ — это… перенос на $6$
$S_{b} \circ S_{a}$ , угол между осями $3 0^{\circ}$ — это… поворот на $6 0^{\circ}$
Сравните $A C$ и $A B + BC$ $A C \leq A B + BC$
Сумма квадратов диагоналей параллелограмма $2 (a^{2} + b^{2})$

2,5 мин · практика
Обозначения урока: $S_{l}$ — осевая симметрия, $Z_{O}$ — центральная, $R_{O}^{α}$ — поворот, $T_{a}$ — параллельный перенос.
Ответы: 1) $(- 2; - 3)$ . 2) $(2; - 3)$ — меняется знак $y$ . 3) $(2 + 1; 3 - 4) = (3; - 1)$ . 4) $(x; y) \to (- y; x)$ : $(- 3; 2)$ .
5) Композиция симметрий с параллельными осями — перенос на удвоенное расстояние между осями, $6$ . 6) С пересекающимися осями — поворот вокруг точки пересечения на удвоенный угол, $6 0^{\circ}$ (урок GEOM9U-086).
7) Неравенство треугольника; равенство — только если $B$ лежит на отрезке $A C$ . 8) $d_{1}^{2} + d_{2}^{2} = 2 (a^{2} + b^{2})$ — следствие теоремы косинусов (R01).
Задания 7 и 8 — инструменты сегодняшних доказательств: задачи Герона и формулы медианы.

R06.11

Идея метода

Переместить часть фигуры, чтобы данные оказались рядом

Движение сохраняет расстояния и углы, переводит прямую в прямую, а точку пересечения прямых — в точку пересечения их образов.

Обозначения

$S_{l}$ — осевая симметрия
$Z_{O}$ — центральная симметрия
$R_{O}^{α}$ — поворот, $T_{a}$ — перенос

1Найти «подсказку» в условиисередина, равные отрезки, углы

6 0^{\circ}

и

9 0^{\circ}

2Выбрать движение и переместить часть фигурыотражаем точку, переносим диагональ, поворачиваем треугольник

3Данные собрались вместев одном треугольнике или на одной прямой

4Решить задачу для новой фигурыдлины и углы не изменились — ответ тот же

2 мин · теория
Ключевая мысль урока: движение не меняет длин и углов, поэтому разрозненные данные можно «собрать» в одну удобную фигуру.
Вопрос классу: почему после движения можно решать задачу для новой фигуры? (Движение обратимо и сохраняет расстояния — новая фигура равна старой.)
Дальше — четыре приёма: осевая симметрия (наименьший путь), перенос (трапеция, мост), поворот (правильный треугольник, квадрат), центральная симметрия (медиана).

R06.11

Задача Герона · доказательство

Кратчайший путь через прямую

Дано:

A

,

B

— по одну сторону от прямой

l

.
Найти:

M \in l

, при которой

A M + MB

наименьшая.

1

B^{'} = S_{l} (B)

l

— серединный перпендикуляр к

B B^{'}

2

XB = X B^{'}

для любой

X \in l

S_{l}

— движение, точка

X

неподвижна

3

A X + XB = A X + X B^{'} \geq A B^{'}

неравенство треугольника

4минимум при

M = A B^{'} \cap l

и

∠1 = ∠2

: угол падения равен углу отражения

R06.11

Образец → сам · кратчайший путь

Отражаем одну из точек

Образец: $A (1; 3)$ , $B (7; 1)$ , $M \in O x$ . Найдите $M$ , при которой $A M + MB$ наименьшая.

$B^{'} (7; - 1)$ $S_{O x}$ : знак $y$ меняется

$A B^{'}$ : $y = 3 - \frac{2}{3} (x - 1)$ угловой коэффициент $- \frac{4}{6}$

$y = 0$ : $M (5, 5; 0)$ , $min = A B^{'} = 52 = 213$

Сам

$A (0; 2)$ , $B (6; 4)$ , $M \in O x$ . Найдите $M$ и наименьшую сумму. $M (2; 0)$ , $62$
$A (1; 1)$ , $B (5; 3)$ , $M \in O y$ . Найдите $M$ . $M (0; \frac{4}{3})$
Угол $3 0^{\circ}$ , внутри точка $P$ , $OP = 6$ ; $X$ , $Y$ — на сторонах. Наименьший периметр $△ PX Y$ ? $6$

3 мин · практика
Образец: $B^{'} = (7; - 1)$ ; прямая $A B^{'}$ через $(1; 3)$ и $(7; - 1)$ : $k = - \frac{4}{6} = - \frac{2}{3}$ ; $0 = 3 - \frac{2}{3} (x - 1) \Rightarrow x = 5, 5$ . $A B^{'} = 6^{2} + 4^{2} = 52 = 213$ .
1) Удобнее отразить $A$ : $A^{'} (0; - 2)$ , прямая $A^{'} B$ : $y = x - 2$ , $M (2; 0)$ ; $A^{'} B = 36 + 36 = 62$ .
2) Ось $O y$ : $A^{'} (- 1; 1)$ , прямая $A^{'} B$ : $k = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ , при $x = 0$ : $y = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$ . Наименьшая сумма $36 + 4 = 210$ .
3) Отразить $P$ относительно обеих сторон: $P_{1}$ , $P_{2}$ ; периметр $= P_{1} X + X Y + Y P_{2} \geq P_{1} P_{2}$ . $O P_{1} = O P_{2} = 6$ , $∠ P_{1} O P_{2} = 2 \cdot 3 0^{\circ} = 6 0^{\circ}$ ⇒ $△ P_{1} O P_{2}$ правильный, $P_{1} P_{2} = 6$ .
Типичная ошибка: отразить точку не относительно той оси ( $O y$ вместо $O x$ ).

R06.11

Перенос в трапеции · доказательство

Диагонали и сумма оснований — в одном треугольнике

Дано:

A BC D

— трапеция,

A D ∥ BC

.
Доказать:

S_{A BC D} = S_{A CE}

, где

A E = a + b

.

1

T_{BC}

:

B D \to CE

CE ∥ B D

,

CE = B D

— перенос есть движение

2

D E = BC = b

,

A E = a + b

E

лежит на прямой

A D

,

BCE D

— параллелограмм

3

△ A CE

: стороны

A C

,

B D

,

a + b

угол

A CE

равен углу между диагоналями

4

S_{A BC D} = S_{A C D} + S_{A BC} = S_{A C D} + S_{C D E} = S_{A CE}

△ A BC

и

△ C D E

: основания

b

, общая высота

R06.11

Образец → сам · площадь трапеции

Переносим диагональ

Образец: основания трапеции $7$ и $13$ , диагонали $12$ и $16$ . Найдите её площадь.

$A E = 7 + 13 = 20$ перенос $B D \to CE$

$1 2^{2} + 1 6^{2} = 400 = 2 0^{2}$ ⇒ $∠ A CE = 9 0^{\circ}$ обратная т. Пифагора

$S = S_{A CE} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 16 = 96$

Сам

Диагонали трапеции перпендикулярны и равны $6$ и $8$ . Найдите среднюю линию. $5$
Равнобедренная трапеция, диагонали перпендикулярны, высота $7$ . Найдите $S$ . $49$
Основания $4$ и $10$ , диагонали $13$ и $15$ . Найдите $S$ . $84$

R06.11

Поворот · доказательство

Правильные треугольники на сторонах

Дано: вне

△ A BC

построены правильные

△ A B C_{1}

и

△ A C B_{1}

.
Доказать:

C C_{1} = B B_{1}

, угол между ними

6 0^{\circ}

.

1

R_{A}^{6 0^{\circ}}

:

C_{1} \to B

A C_{1} = A B

,

∠ C_{1} A B = 6 0^{\circ}

2тот же поворот:

C \to B_{1}

A C = A B_{1}

,

∠ C A B_{1} = 6 0^{\circ}

, то же направление

3отрезок

C_{1} C

\to

B B_{1}

поворот — движение

4

C C_{1} = B B_{1}

, угол между ними

6 0^{\circ}

поворот на

6 0^{\circ}

поворачивает любую прямую на

6 0^{\circ}

R06.11

Образец → сам · поворот на 60° и 90°

Три отрезка из точки внутри фигуры

Образец: $P$ внутри правильного $△ A BC$ , $P A = 3$ , $PB = 4$ , $PC = 5$ . Найдите $∠ A PB$ .

$R_{B}^{6 0^{\circ}}$ : $A \to C$ , $P \to P^{'}$ $P^{'} C = P A = 3$

$△ BP P^{'}$ правильный $P P^{'} = 4$ , $∠ B P^{'} P = 6 0^{\circ}$

$3^{2} + 4^{2} = 5^{2}$ $∠ P P^{'} C = 9 0^{\circ}$

$∠ A PB = ∠ C P^{'} B = 15 0^{\circ}$

Сам

Квадрат $A BC D$ , $P A = 1$ , $PB = 2$ , $PC = 3$ . Найдите $∠ A PB$ . $13 5^{\circ}$
Квадраты $A BC D$ и $A K L M$ (обход одинаковый). Докажите: $B K = D M$ . $R_{A}^{9 0^{\circ}}$ : $B \to D$ , $K \to M$
Квадрат $A BC D$ , $K \in BC$ , $M \in C D$ , $∠ K A M = 4 5^{\circ}$ . Докажите: $B K + D M = K M$ . $R_{A}^{9 0^{\circ}}$ : $△ A D M \to △ A B M^{'}$

3 мин · практика
Образец: поворот вокруг $B$ на $6 0^{\circ}$ переводит $A$ в $C$ , $P$ в $P^{'}$ ; $△ BP A = △ B P^{'} C$ ⇒ $P^{'} C = 3$ , $∠ A PB = ∠ C P^{'} B$ . $BP = B P^{'} = 4$ , $∠ PB P^{'} = 6 0^{\circ}$ ⇒ $△ BP P^{'}$ правильный, $P P^{'} = 4$ . В $△ P P^{'} C$ : $3^{2} + 4^{2} = 25 = 5^{2}$ ⇒ $∠ P P^{'} C = 9 0^{\circ}$ . $∠ C P^{'} B = 6 0^{\circ} + 9 0^{\circ} = 15 0^{\circ}$ . (Сторона треугольника $25 + 123 \approx 6, 77$ — на уроке не нужна.)
1) $R_{B}^{9 0^{\circ}}$ : $A \to C$ , $P \to P^{'}$ ; $△ BP P^{'}$ — равнобедренный прямоугольный, $P P^{'} = 22$ , $∠ B P^{'} P = 4 5^{\circ}$ ; $P^{'} C = P A = 1$ , $(22)^{2} + 1^{2} = 9 = 3^{2}$ ⇒ $∠ P P^{'} C = 9 0^{\circ}$ ; $∠ A PB = ∠ C P^{'} B = 4 5^{\circ} + 9 0^{\circ} = 13 5^{\circ}$ .
2) Поворот вокруг $A$ на $9 0^{\circ}$ (в направлении обхода) переводит $B \to D$ и $K \to M$ ⇒ $B K = D M$ и $B K ⊥ D M$ .
3) $R_{A}^{9 0^{\circ}}$ : $D \to B$ , $M \to M^{'}$ на продолжении $CB$ , $B M^{'} = D M$ . $∠ K A M^{'} = 9 0^{\circ} - 4 5^{\circ} = 4 5^{\circ} = ∠ K A M$ , $A M^{'} = A M$ , $A K$ — общая ⇒ $△ A K M^{'} = △ A K M$ (I признак) ⇒ $K M = K M^{'} = B K + D M$ .

R06.11

Удвоение медианы · доказательство

Центральная симметрия и формула медианы

Дано:

△ A BC

,

M

— середина

A B

,

CM = m_{c}

.
Доказать:

4 m_{c}^{2} = 2 a^{2} + 2 b^{2} - c^{2}

.

1

Z_{M}

:

C \to C^{'}

,

A \to B

M

— середина

A B

и

C C^{'}

2

A CB C^{'}

— параллелограмм,

C C^{'} = 2 m_{c}

диагонали делятся точкой

M

пополам

3

C C^{'2} + A B^{2} = 2 (A C^{2} + B C^{2})

сумма квадратов диагоналей параллелограмма

4

m_{c}^{2} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{4}

из

4 m_{c}^{2} + c^{2} = 2 a^{2} + 2 b^{2}

R06.11

Образец → сам · удвоение медианы

Медиана через параллелограмм

Образец: $BC = 7$ , $A C = 11$ , $A B = 12$ . Найдите медиану $CM$ .

$Z_{M}$ : $C \to C^{'}$ , $A CB C^{'}$ — параллелограмм $C C^{'} = 2 CM$

$C C^{'2} + 1 2^{2} = 2 (1 1^{2} + 7^{2})$ сумма квадратов диагоналей

$C C^{'2} = 340 - 144 = 196$ $C C^{'} = 14$

$CM = 7$

Сам

Стороны $7$ , $9$ , $8$ . Найдите медиану к стороне $8$ . $7$
$a = 6$ , $b = 8$ , $m_{c} = 5$ . Найдите $c$ . $10$
Постройте треугольник по сторонам $a$ , $b$ и медиане $m_{c}$ . $△ A C C^{'}$ по $b$ , $a$ , $2 m_{c}$ ; $B = Z_{M} (A)$

R06.11

Образец → сам · задача из жизни: мост

Где строить мост через реку

Образец: берега $y = 2$ и $y = 0$ , $A (0; 5)$ , $B (8; - 3)$ . Мост $NM$ перпендикулярен берегам. Где он, если путь $A NMB$ кратчайший?

$A^{'} = T_{NM} (A) = (0; 3)$ $A N = A^{'} M$ , $A NM A^{'}$ — параллелограмм

$A^{'} B$ : $y = 3 - \frac{3}{4} x$ , $y = 0$ $M (4; 0)$ , $N (4; 2)$

путь $= A^{'} B + 2 = 12$ $A^{'} B = 8^{2} + 6^{2} = 10$

Сам

Берега $y = 3$ и $y = 0$ , $A (0; 6)$ , $B (12; - 6)$ . Где мост и какова длина пути? $x = 4$ ; $18$
Докажите, что при другом положении моста $N_{1} M_{1}$ путь длиннее. $A^{'} M_{1} + M_{1} B + h$ $\geq A^{'} B + h$

R06.11

Схема-конспект

Подсказка в условии → движение → приём

В условии	Движение	Что получаем
точка на прямой, наименьшая сумма $A M + MB$	осевая симметрия $S_{l}$	$B^{'} = S_{l} (B)$ : ломаная $\to$ отрезок $A B^{'}$
трапеция: диагонали и основания	перенос $T_{BC}$	$△ A CE$ : $d_{1}$ , $d_{2}$ , $a + b$ ; $S_{A BC D} = S_{A CE}$
равные отрезки с общим концом, угол $6 0^{\circ}$ или $9 0^{\circ}$	поворот $R_{A}^{6 0^{\circ}}$ , $R_{A}^{9 0^{\circ}}$	правильный или прямоугольный треугольник
середина отрезка, медиана	центральная симметрия $Z_{M}$	параллелограмм, $C C^{'} = 2 m_{c}$
отрезок заданной длины и направления (мост)	перенос на этот вектор	путь $= A^{'} B + h$

R06.11

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$M$ — середина между проекциями $A$ и $B$ на $l$	так только при равных расстояниях от $A$ и $B$ до $l$	$M = A B^{'} \cap l$ , $B^{'} = S_{l} (B)$
Перенос диагонали: $A E = A D - BC$	$E$ лежит на продолжении $A D$ за точку $D$	$A E = A D + D E = a + b$
$R_{A}$ : $C_{1} \to B$ , $C \to B_{1}$ ⇒ $B C_{1} = C B_{1}$	соединили прообраз с образом — поворот этого не даёт	$C_{1} C \to B B_{1}$ ⇒ $C C_{1} = B B_{1}$
$Z_{M}$ : $C C^{'} = m_{c}$	$M$ — середина $C C^{'}$	$C C^{'} = 2 m_{c}$ , в формуле $4 m_{c}^{2}$

1,5 мин · практика (ученики объясняют «почему», учитель открывает строки)
Строка 1: «на рисунке видно» вместо обоснования — при $A (1; 3)$ , $B (7; 1)$ середина проекций $(4; 0)$ , а верный ответ $(5, 5; 0)$ (сл. 6).
Строка 3: из $C_{1} \to B$ и $C \to B_{1}$ следует только, что образ отрезка $C_{1} C$ — отрезок $B B_{1}$ . Про $B C_{1}$ и $C B_{1}$ поворот ничего не говорит.
Строка 4: без удвоения получается неверная формула — проверка на прямоугольном треугольнике $6$ , $8$ , $10$ : медиана к гипотенузе должна быть $5$ .

R06.11

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $A (2; 1)$ , $B (6; 5)$ , $M \in O x$ , $A M + MB \to min$ .

$B^{'} (- 6; 5)$ — симметрична $B$ относительно $O x$

относительно $O x$ меняется знак $y$ : $B^{'} (6; - 5)$ , $M (\frac{8}{3}; 0)$

б) Основания трапеции $3$ и $7$ , диагонали $6$ и $8$ . Найдите $S$ .

$A E = 7 - 3 = 4$ , $6^{2} + 8^{2} \neq = 4^{2}$ — такой трапеции нет

$A E = 3 + 7 = 10$ , $∠ A CE = 9 0^{\circ}$ , $S = 24$

в) Стороны $5$ , $7$ , $8$ . Найдите медиану к стороне $8$ .

$C C^{'} = m_{c}$ : $m_{c}^{2} + 8^{2} = 2 (5^{2} + 7^{2})$ , $m_{c} = 84$

$4 m_{c}^{2} + 64 = 148$ , $m_{c} = 21$

R06.11

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

база $A (1; 2)$ , $B (7; 4)$ , $M \in O x$ , $A M + MB \to min$ . Найдите $M$ . $M (3; 0)$
базаНаименьшее значение $A M + MB$ в задаче 1. $62$
базаОснования трапеции $4$ и $11$ , диагонали перпендикулярны, одна равна $9$ . Найдите другую. $12$

базаДиагонали трапеции перпендикулярны и равны $10$ и $7$ . Найдите $S$ . $35$
базаСтороны треугольника $9$ , $13$ и $10$ . Найдите медиану к стороне $10$ . $10$
база $P$ внутри правильного $△ A BC$ , $P A = 3$ , $PB = 4$ , $∠ A PB = 15 0^{\circ}$ . Найдите $PC$ . $5$

R06.11

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Внутри угла $4 5^{\circ}$ с вершиной $O$ точка $P$ , $OP = 5$ ; $X$ , $Y$ — на сторонах угла. Найдите наименьший периметр $△ PX Y$ . $52$
повыш.Диагональ равнобедренной трапеции $10$ , угол между диагоналями $6 0^{\circ}$ . Найдите площадь. $253$
повыш.Квадрат $A BC D$ , $K \in BC$ , $M \in C D$ , $∠ K A M = 4 5^{\circ}$ , $B K = 2$ , $D M = 3$ . Найдите $K M$ и сторону квадрата. $5$ и $6$
из жизниПосёлки $A$ и $B$ — по одну сторону от шоссе, в $3$ км и $5$ км от него; их проекции на шоссе — в $6$ км друг от друга. Наименьшая сумма $A M + MB$ до остановки $M$ ? $10$ км

R06.11 · ОГЭ, ч. 2

Формат ОГЭ · линии 24 и 25

Перенос диагонали на экзамене

ОГЭ 24 Диагонали трапеции $A BC D$ ( $A D ∥ BC$ ) равны. Докажите, что трапеция равнобедренная.

$T_{BC}$ : $B D \to CE$ , $CE = B D = A C$ ⇒ $∠ C A D = ∠ CE D = ∠ B D A$

$△ A C D = △ D B A$ (I признак) ⇒ $A B = C D$

ОГЭ 25 Диагонали трапеции равны $15$ и $20$ , средняя линия $12, 5$ . Найдите площадь трапеции.

$A E = a + b = 2 \cdot 12, 5 = 25$

$1 5^{2} + 2 0^{2} = 625 = 2 5^{2}$ ⇒ $∠ A CE = 9 0^{\circ}$

$S = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 20 = 150$

R06.11

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$A (1; 3)$ , $B (5; 1)$ , $M \in O x$ . Найдите $M$ и наименьшую сумму $A M + MB$ . $M (4; 0)$ , $42$
Основания трапеции $5$ и $12$ , диагонали перпендикулярны, одна равна $8$ . Найдите другую и $S$ . $15$ ; $60$
Стороны $7$ , $11$ , $14$ . Медиана к стороне $14$ ? $6$
$P$ внутри квадрата $A BC D$ , $P A = 1$ , $PB = 2$ , $∠ A PB = 13 5^{\circ}$ . Найдите $PC$ . $3$

Вариант 2

$A (2; 1)$ , $B (8; 3)$ , $M \in O x$ . Найдите $M$ и наименьшую сумму $A M + MB$ . $M (3, 5; 0)$ , $213$
Основания трапеции $11$ и $15$ , диагонали перпендикулярны, одна равна $10$ . Найдите другую и $S$ . $24$ ; $120$
Стороны $11$ , $13$ , $16$ . Медиана к стороне $16$ ? $9$
$P$ внутри квадрата $A BC D$ , $P A = 2$ , $PB = 4$ , $∠ A PB = 13 5^{\circ}$ . Найдите $PC$ . $6$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Какое движение «выпрямляет» ломаную через прямую?
Куда переносим диагональ трапеции?
Какая подсказка в условии зовёт поворот?

Домашнее задание

$A (0; 3)$ , $B (8; 5)$ , $M \in O x$ , $A M + MB \to min$ .
Основания трапеции $9$ и $16$ , диагонали $7$ и $24$ . Найдите $S$ .
* Постройте треугольник по двум сторонам и медиане к третьей.
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_dvizheniya.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9U-087 · Применение движений в геометрических задачах

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R06 «Движения плоскости», 10 ч · урок 7/10 · тип Н
Единицы → слайды	R06.11 «Применение в геометрических задачах» → 2, 4–21 · повторение R06.1–R06.10 → 3
Результаты	ПР-18 (движения плоскости, применение при решении задач) → 4–21; ПР-3 (сумма квадратов диагоналей) → 11–12
Вне урока	практикум «Центральная симметрия» — GEOM9U-088; «Поворот» — GEOM9U-089; обобщение — GEOM9U-090
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Применение движений в геометрических задачах

Сегодня вы научитесь

Выбирать движение

Искать наименьший путь

Вычислять площади и длины

Доказывать поворотом

Образы точек и композиции

Переместить часть фигуры, чтобы данные оказались рядом

Обозначения

Кратчайший путь через прямую

Отражаем одну из точек

Образец: A(1;3), B(7;1), M∈Ox. Найдите M, при которой AM+MB наименьшая.

Сам

Диагонали и сумма оснований — в одном треугольнике

Переносим диагональ

Образец: основания трапеции 7 и 13, диагонали 12 и 16. Найдите её площадь.

Сам

Правильные треугольники на сторонах

Три отрезка из точки внутри фигуры

Образец: P внутри правильного △ABC, PA=3, PB=4, PC=5. Найдите ∠APB.

Сам

Центральная симметрия и формула медианы

Медиана через параллелограмм

Образец: BC=7, AC=11, AB=12. Найдите медиану CM.

Сам

Где строить мост через реку

Образец: берега y=2 и y=0, A(0;5), B(8;−3). Мост NM перпендикулярен берегам. Где он, если путь ANMB кратчайший?

Сам

Подсказка в условии → движение → приём

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) A(2;1), B(6;5), M∈Ox, AM+MB→min.

б) Основания трапеции 3 и 7, диагонали 6 и 8. Найдите S.

в) Стороны 5, 7, 8. Найдите медиану к стороне 8.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Перенос диагонали на экзамене

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9U-087 · Применение движений в геометрических задачах

Образец: $A (1; 3)$ , $B (7; 1)$ , $M \in O x$ . Найдите $M$ , при которой $A M + MB$ наименьшая.

Образец: основания трапеции $7$ и $13$ , диагонали $12$ и $16$ . Найдите её площадь.

Образец: $P$ внутри правильного $△ A BC$ , $P A = 3$ , $PB = 4$ , $PC = 5$ . Найдите $∠ A PB$ .

Образец: $BC = 7$ , $A C = 11$ , $A B = 12$ . Найдите медиану $CM$ .

Образец: берега $y = 2$ и $y = 0$ , $A (0; 5)$ , $B (8; - 3)$ . Мост $NM$ перпендикулярен берегам. Где он, если путь $A NMB$ кратчайший?

а) $A (2; 1)$ , $B (6; 5)$ , $M \in O x$ , $A M + MB \to min$ .

б) Основания трапеции $3$ и $7$ , диагонали $6$ и $8$ . Найдите $S$ .

в) Стороны $5$ , $7$ , $8$ . Найдите медиану к стороне $8$ .