Движения плоскости · урок 5 из 10

Равенство фигур

Геометрия · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R06 · GEOM9U-085

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R06 «Движения плоскости» (10 ч), урок 5/10, единица R06.8 «Равенство фигур». Тип урока — Н.
Теория (12): титул 0,5 · цели 0,5 · определение 2 · свойства равенства 1,5 · отрезки, углы, окружности 2 · теорема о треугольниках 2,5 · ориентация 1,5 · сводная схема 1,5.
Практика (33): разминка 2,5 · образцы → сам 2,5 + 2,5 + 3 + 2,5 + 2,5 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 3 · повышенный 2,5 · ОГЭ 2 · из жизни 1,5 · самостоятельная 4 · итог 1.
На титуле: фиолетовый треугольник и розовый — зеркальные (осевая симметрия), зелёный — поворот розового на 180°. Все три равны. Вопрос: каким движением фиолетовый переводится в зелёный?
Если не успеваете: образец 5 (квадрат) и задачу из жизни — в ДЗ; доказательство теоремы о треугольниках не сокращать.

R06.8

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Определять равенство

фигур через движение и доказывать его свойства (ПР-18)

Доказывать

что равенство треугольников «по сторонам» и «через движение» — одно и то же

Находить движение

переводящее одну фигуру в другую: по координатам и на клетчатой бумаге

Применять движения

в задачах на доказательство, в том числе ОГЭ 19 и 24 (ПР-18)

повторение: R06.1–R06.7

Разминка · устно

Движения, которые мы знаем

Образ $M$ при симметрии относительно $O$ ? $(- 3; 2)$
Образ $M$ при симметрии относительно оси $O y$ ? $(- 3; - 2)$
Образ $M$ при переносе на $a (- 1; 4)$ ? $(2; 2)$
Поворот на $9 0^{\circ}$ против часовой вокруг $O$ : $(2; 0) \to$ ? $(0; 2)$
Что сохраняет любое движение? расстояния (и углы)
Во что движение переводит отрезок? в равный отрезок

R06.8

Определение

Какие фигуры называют равными

Фигура

F

равна фигуре

F^{'}

, если существует движение, переводящее

F

в

F^{'}

.

F = F^{'}

На рисунке: поворот вокруг $O$ на $10 0^{\circ}$ переводит $F$ в $F^{'}$ .

Значит, $A^{'} B^{'} = A B$ , $∠ A^{'} = ∠ A$ — всё сохранено.

2 мин · теория
В 7 классе равные фигуры «совмещались наложением». Наложение и есть движение: каждая точка $F$ переходит в точку $F^{'}$ , расстояния не меняются. Теперь «наложение» — строгое понятие.
Вопрос: какой угол поворота на чертеже? ( $10 0^{\circ}$ , против часовой.) Какие элементы $F^{'}$ равны элементам $F$ ? (Все: стороны, углы, медианы, площадь.)
Следствие: у равных фигур равны все величины, которые определяются расстояниями, — длины, углы, периметры, площади. Обратное неверно (разбор ошибок).

R06.8

Свойства равенства · доказательство

Равенство фигур — отношение эквивалентности

Нужно доказать:

F = F

; если

F = F^{'}

, то

F^{'} = F

; если

F = F^{'}

и

F^{'} = F^{''}

, то

F = F^{''}

.

1Рефлексивность:

F = F

тождественное движение

E

:

E (X) = X

— расстояния не меняются

2Симметричность:

f (F) = F^{'} \Rightarrow f^{- 1} (F^{'}) = F

обратное к движению — движение:

∣ f^{- 1} (X^{'}) f^{- 1} (Y^{'}) ∣ = ∣ X^{'} Y^{'} ∣

, так как

f

сохраняет расстояния

3Транзитивность:

g (f (F)) = F^{''}

композиция движений — движение:

∣ g (f (X)) g (f (Y)) ∣ = ∣ f (X) f (Y) ∣ = ∣ X Y ∣

R06.8

Теорема · простейшие фигуры

Отрезки равны, если равны их длины

Дано:

A B = C D

(длины). Доказать: есть движение

A B \to C D

.

1перенос на

A C

:

A \to C

,

B \to B_{1}

C B_{1} = A B = C D

2поворот вокруг

C

:

B_{1} \to D

B_{1}

и

D

на одной окружности с центром

C

Так же: углы равны ⇔ равны их градусные меры; окружности равны ⇔ равны радиусы.

2 мин · теория
Обратное очевидно: движение сохраняет расстояния, значит, у равных отрезков длины равны.
Окружности: перенос на вектор $O_{1} O_{2}$ переводит центр в центр, а радиус не меняется. Углы: перенос вершины в вершину, поворот луча на луч; второй луч совпадёт или станет симметричным относительно первого — тогда добавляем осевую симметрию.
Вопрос: зачем на втором шаге поворот, а не ещё один перенос? (Перенос не меняет направления отрезка.)

R06.8

Образец → сам · равны ли фигуры

Сравниваем длины и радиусы

Образец: $A (- 1; 2)$ , $B (3; 5)$ , $C (2; - 1)$ , $D (7; - 1)$ . Равны ли отрезки $A B$ и $C D$ ? Укажите движение.

$A B = 4^{2} + 3^{2} = 5$ , $C D = 5$ длины равны ⇒ отрезки равны

перенос на $A C (3; - 3)$ : $B \to B_{1} (6; 2)$ $A \to C$

поворот вокруг $C$ по часовой на угол $\approx 36, 9^{\circ}$ : $B_{1} \to D$ $C B_{1} (4; 3) \to C D (5; 0)$

Сам: равны ли?

Отрезки с концами $(0; 0)$ , $(6; 8)$ и $(1; 1)$ , $(- 9; 1)$ да, оба длины $10$
Окружности $x^{2} + y^{2} = 9$ и $(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} = 9$ да, перенос на $a (2; - 1)$
Окружность $(x - 1)^{2} + y^{2} = 16$ и окружность с диаметром $A B$ , $A (- 3; 2)$ , $B (5; 2)$ да, $r = 4$

R06.8

Теорема · доказательство

Три стороны равны ⇒ есть движение

Дано:

A B = A^{'} B^{'}

,

BC = B^{'} C^{'}

,

C A = C^{'} A^{'}

. Доказать: движение переводит

△ A BC

в

△ A^{'} B^{'} C^{'}

.

1. Перенос на $A A^{'}$ : $A \to A^{'}$ $△ A BC \to △ A^{'} B_{1} C_{1}$

2. Поворот вокруг $A^{'}$ : $B_{1} \to B^{'}$ $A^{'} B_{1} = A B = A^{'} B^{'}$

3. $C_{2} = C^{'}$ или симметрия относительно $A^{'} B^{'}$ обе точки — пересечения окружностей $(A^{'}; A C)$ и $(B^{'}; BC)$

Композиция движений — движение ⇒ $△ A BC = △ A^{'} B^{'} C^{'}$

2,5 мин · теория
Розовым пунктиром на всех трёх рисунках — цель, $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ . Каждый щелчок — одно движение.
Шаг 3 — главный: $C_{2}$ удалена от $A^{'}$ на $A C$ , от $B^{'}$ на $BC$ ; таких точек ровно две, и они симметричны относительно прямой $A^{'} B^{'}$ (две окружности с центрами на $A^{'} B^{'}$ ). Если $C_{2} = C^{'}$ — готово, иначе — осевая симметрия.
Вывод: «треугольники равны по трём сторонам» (7 класс) и «треугольники равны как фигуры» — одно и то же. Обратно: если есть движение, стороны равны, так как расстояния сохраняются.
Вопрос: какое наибольшее число движений понадобилось? (Три: перенос, поворот, симметрия.)

R06.8

Ориентация фигур

Одинаково и противоположно ориентированные

Перенос и поворот сохраняют обход

A \to B \to C

: фигуры одинаково ориентированы.

Осевая симметрия меняет обход: фигуры противоположно ориентированы, но тоже равны.

R06.8

Образец → сам · какое это движение

Узнаём движение по координатам

Образец: $A (1; 1)$ , $B (4; 1)$ , $C (1; 3)$ и $A^{'} (- 1; - 1)$ , $B^{'} (- 4; - 1)$ , $C^{'} (- 1; - 3)$ . Равны ли треугольники?

все вершины: $(x; y) \to (- x; - y)$ проверяем каждую точку, а не одну

это центральная симметрия $Z_{O}$ движение

$△ A BC = △ A^{'} B^{'} C^{'}$ по определению равенства фигур

Сам: тот же $△ A BC$ , образ —

$(1; - 1)$ , $(4; - 1)$ , $(1; - 3)$ симметрия относительно $O x$
$(3; - 1)$ , $(6; - 1)$ , $(3; 1)$ перенос на $a (2; - 2)$
$(- 1; 1)$ , $(- 1; 4)$ , $(- 3; 1)$ поворот на $9 0^{\circ}$ вокруг $O$ против часовой

R06.8

Образец → сам · доказательство с помощью движения

Найди движение — и равенство готово

Образец: $A B = BC$ , $A M$ и $CN$ — медианы. Докажите: $A M = CN$ .

$S_{l}$ : $A \leftrightarrow C$ , $B \to B$ $l = B H$ — серединный перпендикуляр к $A C$

$N \to M$ середина $B A$ → середина $BC$

$CN \to A M$ ⇒ $A M = CN$

Сам: какое движение?

$A B = BC$ , $A K$ и $C L$ — биссектрисы. Докажите: $A K = C L$ . та же $S_{l}$ : $∠ A \to ∠ C$
$A BC D$ — параллелограмм, $E \in BC$ , $F \in A D$ , $BE = D F$ . Докажите: $A E = CF$ . $Z_{O}$ : $A \to C$ , $E \to F$
$△ A BC$ правильный, $A K = B L = CM$ на сторонах. Докажите: $△ K L M$ правильный. поворот на $12 0^{\circ}$ : $K \to L \to M$

3 мин · практика
Образец: $B$ лежит на серединном перпендикуляре к $A C$ (так как $B A = BC$ ), поэтому $S_{l} (B) = B$ . Отрезок $B A$ переходит в $BC$ , середина — в середину. Значит, отрезок $CN$ переходит в $A M$ .
1) $S_{l}$ переводит угол $B A C$ в угол $BC A$ , биссектрису — в биссектрису, $K \in BC \to L \in B A$ . 2) $O$ — точка пересечения диагоналей; $Z_{O}$ : $B \to D$ , $C \to A$ , луч $BC \to D A$ , $BE = D F \Rightarrow E \to F$ ; $A \to C$ , значит, $A E \to CF$ .
3) Поворот вокруг центра на $12 0^{\circ}$ : $A \to B \to C \to A$ ; $K \in A B$ с $A K = t$ переходит в точку на $BC$ с $B L = t$ , т. е. в $L$ ; так же $L \to M$ , $M \to K$ . Значит, $K L \to L M \to M K$ — стороны равны.

R06.8

Образец → сам · клетчатая бумага

Равны ли треугольники и каким движением

Образец: $A (2; 0)$ , $B (5; 0)$ , $C (5; 2)$ и $A^{'} (0; 2)$ , $B^{'} (0; 5)$ , $C^{'} (2; 5)$ .

катеты $3$ и $2$ I признак ⇒ равны

обход разный нужна осевая симметрия

ось $y = x$ серединный перпендикуляр к $A A^{'}$

Сам

$K (1; 0)$ , $L (4; 0)$ , $M (1; 2)$ и $K^{'} (1; 6)$ , $L^{'} (4; 6)$ , $M^{'} (1; 4)$ симметрия, ось $y = 3$
$(0; 0)$ , $(4; 0)$ , $(0; 3)$ и $(1; 5)$ , $(1; 1)$ , $(4; 5)$ поворот на $9 0^{\circ}$ по часовой вокруг $(3; 2)$
Сколько движений переводят отрезок $A B$ в равный ему $C D$ ? четыре

R06.8

Схема · как доказать равенство фигур

Фигура → когда равны

Фигуры	Равны, если	Движение
отрезки	равны длины	перенос + поворот
углы	равны градусные меры	перенос + поворот (+ симметрия)
окружности	равны радиусы	перенос на $O_{1} O_{2}$
треугольники	три стороны (признаки 7 кл.)	не более трёх движений
многоугольники	одних сторон мало — нужно движение	указать движение явно

R06.8

Образец → сам · комбинированная задача

Поворот квадрата на $9 0^{\circ}$

Образец: $A BC D$ — квадрат, $M \in A B$ , $N \in BC$ , $A M = BN$ . Докажите: $D M = A N$ и $D M ⊥ A N$ .

поворот вокруг $O$ на $9 0^{\circ}$ $D \to A$ , $A \to B$ , $B \to C$

$M \to N$ так как $A M = BN$

$D M \to A N$ ⇒ $D M = A N$ , $D M ⊥ A N$

Сам

Сторона квадрата $6$ , $A M = BN = 2$ . Найдите $D M$ и $A N$ . $210$ и $210$
$△ A BC$ правильный, $A K = B L$ , $K \in A B$ , $L \in BC$ . Угол между $C K$ и $A L$ ? $6 0^{\circ}$
$A K = B L = CM = D N$ на сторонах квадрата. Докажите: $K L MN$ — квадрат. поворот на $9 0^{\circ}$ : $K \to L \to M \to N$

2,5 мин · практика
Образец: поворот на $9 0^{\circ}$ (на чертеже — по часовой) вокруг центра переводит квадрат в себя: $D \to A \to B \to C \to D$ . Точка $M$ на $A B$ с $A M = t$ переходит в точку на $BC$ с $BN = t$ , т. е. в $N$ . Образ отрезка $D M$ — отрезок $A N$ , а поворот на $9 0^{\circ}$ поворачивает прямую на $9 0^{\circ}$ ⇒ $D M ⊥ A N$ .
1) $D M = 6^{2} + 2^{2} = 40 = 210$ , $A N = D M$ . 2) Поворот на $12 0^{\circ}$ вокруг центра: $A \to B$ , $B \to C$ , $C \to A$ , $K \to L$ , значит, $C K \to A L$ ; угол между прямыми $12 0^{\circ}$ , т. е. $6 0^{\circ}$ (угол между прямыми не больше $9 0^{\circ}$ ).
3) Поворот вокруг центра на $9 0^{\circ}$ переводит $K \to L \to M \to N \to K$ , значит, $K L \to L M \to MN \to N K$ : стороны равны и соседние перпендикулярны.

R06.8

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
«Площади равны ⇒ фигуры равны»	прямоугольники $2 \times 6$ и $3 \times 4$ : $S = 12$	равные ⇒ равные площади, но не наоборот
«Стороны четырёхугольников равны ⇒ равны»	квадрат и ромб со стороной $5$	для $n \geq 4$ сторон мало
«Зеркальные фигуры не равны»	осевая симметрия — тоже движение	равны, ориентация противоположная
«Углы треугольников равны ⇒ равны»	подобные треугольники разного размера	это признак подобия

R06.8

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $A (0; 0)$ , $B (3; 0)$ , $C (0; 4)$ и $K (1; 1)$ , $L (1; 4)$ , $M (5; 1)$ . Равны ли?

Катеты $3$ и $4$ у обоих.

Обход $A BC$ и $K L M$ разный ⇒ треугольники не равны.

Ориентация не мешает: осевая симметрия. Равны (I признак).

б) $A (1; 2) \to A^{'} (3; 0)$ , $B (2; 5) \to B^{'} (4; 3)$ . Какое движение?

Середина $A A^{'}$ — $(2; 1)$ ⇒ симметрия относительно $(2; 1)$ .

Проверим $B$ : $(2; - 3) \neq = B^{'}$ . Это перенос на $a (2; - 2)$ .

в) $A B = BC$ , $M$ , $N$ — середины $BC$ , $A B$ . Докажите: $A M = CN$ .

$Z_{H}$ , $H$ — середина $A C$ : $A \to C$ , $B \to B$ , значит, $A M \to CN$ .

$Z_{H} (B) \neq = B$ . Нужна $S_{B H}$ : $A \leftrightarrow C$ , $B \to B$ , $M \leftrightarrow N$ .

2 мин · практика
Сначала видны «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) $K L = 3$ , $K M = 4$ , $∠ K = 9 0^{\circ}$ — треугольники равны по двум катетам. Противоположная ориентация означает лишь, что нужна осевая симметрия: например, $(x; y) \to (y + 1; x + 1)$ — симметрия относительно $y = x$ и перенос на $a (1; 1)$ .
б) По одной точке движение не определить. $B$ при $Z_{(2; 1)}$ : $(4 - 2; 2 - 5) = (2; - 3) \neq = (4; 3)$ . Обе точки сдвинуты на $(2; - 2)$ — перенос.
в) Центральная симметрия относительно $H$ переводит $B$ в точку $B^{'}$ по другую сторону $A C$ , а не в $B$ . Верно — осевая симметрия относительно $B H$ .

R06.8

Задания с самопроверкой · база

Равны ли фигуры?

базаКвадраты с $P = 20$ и с $S = 25$ да, сторона $5$
базаОкружности длиной $10 π$ и площадью $25 π$ да, $r = 5$
базаПоворот: $△ A BC \to △ A^{'} B^{'} C^{'}$ , $A B = 7$ , $∠ C = 4 8^{\circ}$ . Найдите $A^{'} B^{'}$ и $∠ C^{'}$ . $7$ и $4 8^{\circ}$

базаТреугольники со сторонами $5, 6, 7$ и $7, 5, 6$ да
базаОтрезки: $A (0; 0)$ , $B (5; 12)$ и $C (1; 1)$ , $D (14; 1)$ да, по $13$
базаПрямоугольник $4 \times 9$ и квадрат той же площади нет

R06.8

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Сколько движений переводят правильный треугольник в себя? $6$
повыш.Равны ли $A (0; 0)$ , $B (4; 0)$ , $C (1; 3)$ и $K (5; 1)$ , $L (5; 5)$ , $M (2; 2)$ ? Какое движение? да; поворот на $9 0^{\circ}$ против часовой вокруг $(2; 3)$
повыш.Сколько центральных и сколько осевых симметрий переводят окружность $(O_{1}; r)$ в $(O_{2}; r)$ , $O_{1} \neq = O_{2}$ ? одна и одна
повыш.Сколько движений переводят квадрат в себя? $8$

2,5 мин · практика
1) Тождественное, повороты на $12 0^{\circ}$ и $24 0^{\circ}$ , три осевые симметрии — $6$ (вершина $A$ — в любую из трёх, затем ещё два способа).
2) $A B = K L = 4$ , $BC = L M = 18$ , $A C = K M = 10$ — равны. Ориентация одинаковая ⇒ поворот; $(x; y) \to (2 - (y - 3); 3 + (x - 2))$ , угол $9 0^{\circ}$ против часовой: $A \to K$ , $B \to L$ , $C \to M$ ✓.
3) Движение переводит центр в центр: $O_{1} \to O_{2}$ . Центральная симметрия — только относительно середины $O_{1} O_{2}$ ; осевая — только относительно серединного перпендикуляра к $O_{1} O_{2}$ .
4) Вершину $A$ — в любую из 4, обход — в одну из 2 сторон: $4 \cdot 2 = 8$ (тождественное, 3 поворота, 4 оси).

R06.8 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 19 и 24

Равенство на экзамене

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Если площади двух треугольников равны, то треугольники равны.
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого, то треугольники равны.
Любые два ромба с равными сторонами равны.
Два квадрата с равными диагоналями равны.

Ответ: 24

ОГЭ 24 $A BC D$ — параллелограмм, $E$ и $F$ — середины $BC$ и $A D$ . Докажите: $△ A BE = △ C D F$ .

$Z_{O}$ : $A \to C$ , $B \to D$ , $BC \to D A$ , середина $E \to F$

$△ A BE \to △ C D F$ ⇒ треугольники равны

R06.8

Задача из жизни · левое и правое

Подошвы, перчатки, выкройки

Равны ли контуры левой и правой подошв одной пары? да, осевая симметрия
Можно ли совместить их, не переворачивая (только сдвигом и поворотом)? нет, ориентация разная
Как по одному лекалу раскроить левый и правый рукав? перевернуть лекало

1,5 мин · практика
1) Контуры симметричны относительно оси (жёлтый пунктир) — это движение, значит, контуры равны. 2) Перенос и поворот сохраняют ориентацию, а у левой и правой подошв она противоположна — нужна осевая симметрия («перевернуть»). 3) Перевернуть лекало на ткани — осевая симметрия; поэтому и закройщики говорят «зеркально».
Вопрос: почему левую перчатку нельзя надеть на правую руку, хотя «плоские контуры» равны? (В пространстве нельзя перевернуть руку — это разговор о симметрии в пространстве, 10–11 класс.)

R06.8

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Равны ли отрезки: $A (1; 2)$ , $B (4; 6)$ и $C (- 2; 0)$ , $D (3; 0)$ ? да, по $5$
$A (2; 3) \to (- 2; - 3)$ , $B (1; 5) \to (- 1; - 5)$ . Какое движение? $Z_{O}$
Равны ли прямоугольник $3 \times 8$ и прямоугольник с $P = 22$ , $S = 24$ ? да
Сколько движений переводят прямоугольник (не квадрат) в себя? $4$

Вариант 2

Равны ли отрезки: $A (- 1; 1)$ , $B (2; 5)$ и $C (0; - 3)$ , $D (0; 2)$ ? да, по $5$
$A (2; 3) \to (3; 2)$ , $B (1; 5) \to (5; 1)$ . Какое движение? симметрия, ось $y = x$
Равны ли прямоугольник $4 \times 6$ и прямоугольник с $P = 20$ , $S = 24$ ? да
Сколько движений переводят равнобедренную трапецию в себя? $2$

4 мин · практика
Вариант 1: 1) $9 + 16 = 5$ , $3 - (- 2) = 5$ . 2) $(x; y) \to (- x; - y)$ — центральная симметрия относительно начала координат. 3) $a + b = 11$ , $ab = 24$ ⇒ $3$ и $8$ — равны. 4) Тождественное, $Z_{O}$ , две оси симметрии — $4$ .
Вариант 2: 1) $9 + 16 = 5$ , $2 - (- 3) = 5$ . 2) $(x; y) \to (y; x)$ — осевая симметрия относительно $y = x$ . 3) $a + b = 10$ , $ab = 24$ ⇒ $4$ и $6$ — равны. 4) Тождественное и симметрия относительно оси трапеции — $2$ .
Критерий: 4 верно — «5», 3 — «4», 2 — «3». В задании 2 засчитывать, только если проверены обе точки. Взаимопроверка по ответам (по щелчку).

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Какие фигуры называют равными?
Почему зеркальные фигуры равны?
Хватит ли равных сторон для равенства четырёхугольников?

Домашнее задание

Равны ли $(0; 0)$ , $(3; 0)$ , $(0; 4)$ и $(2; 1)$ , $(2; - 2)$ , $(6; 1)$ ? Какое движение?
Докажите с помощью симметрии: в равнобедренной трапеции диагонали равны.
* Сколько движений переводят правильный шестиугольник в себя?
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_dvizheniya.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9U-085 · Равенство фигур

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R06 «Движения плоскости», 10 ч · урок 5/10 · тип Н
Единицы → слайды	R06.8 «Равенство фигур» → 2, 4–22 · повторение R06.1–R06.7 → 3
Результаты	ПР-18 (представление о движениях, центры и оси симметрии, применение движений в задачах) → 4–22
Вне урока	композиции движений, симметрия в природе — GEOM9U-086; применение движений в задачах — GEOM9U-087
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Равенство фигур

Сегодня вы научитесь

Определять равенство

Доказывать

Находить движение

Применять движения

Движения, которые мы знаем

Какие фигуры называют равными

Равенство фигур — отношение эквивалентности

Отрезки равны, если равны их длины

Сравниваем длины и радиусы

Образец: A(−1;2), B(3;5), C(2;−1), D(7;−1). Равны ли отрезки AB и CD? Укажите движение.

Сам: равны ли?

Три стороны равны ⇒ есть движение

Одинаково и противоположно ориентированные

Узнаём движение по координатам

Образец: A(1;1), B(4;1), C(1;3) и A′(−1;−1), B′(−4;−1), C′(−1;−3). Равны ли треугольники?

Сам: тот же △ABC, образ —

Найди движение — и равенство готово

Образец: AB=BC, AM и CN — медианы. Докажите: AM=CN.

Сам: какое движение?

Равны ли треугольники и каким движением

Образец: A(2;0), B(5;0), C(5;2) и A′(0;2), B′(0;5), C′(2;5).

Сам

Фигура → когда равны

Поворот квадрата на 90∘

Образец: ABCD — квадрат, M∈AB, N∈BC, AM=BN. Докажите: DM=AN и DM⊥AN.

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) A(0;0), B(3;0), C(0;4) и K(1;1), L(1;4), M(5;1). Равны ли?

б) A(1;2)→A′(3;0), B(2;5)→B′(4;3). Какое движение?

в) AB=BC, M, N — середины BC, AB. Докажите: AM=CN.

Равны ли фигуры?

Подумайте и решите

Равенство на экзамене

Подошвы, перчатки, выкройки

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9U-085 · Равенство фигур

Образец: $A (- 1; 2)$ , $B (3; 5)$ , $C (2; - 1)$ , $D (7; - 1)$ . Равны ли отрезки $A B$ и $C D$ ? Укажите движение.

Образец: $A (1; 1)$ , $B (4; 1)$ , $C (1; 3)$ и $A^{'} (- 1; - 1)$ , $B^{'} (- 4; - 1)$ , $C^{'} (- 1; - 3)$ . Равны ли треугольники?

Сам: тот же $△ A BC$ , образ —

Образец: $A B = BC$ , $A M$ и $CN$ — медианы. Докажите: $A M = CN$ .

Образец: $A (2; 0)$ , $B (5; 0)$ , $C (5; 2)$ и $A^{'} (0; 2)$ , $B^{'} (0; 5)$ , $C^{'} (2; 5)$ .

Поворот квадрата на $9 0^{\circ}$

Образец: $A BC D$ — квадрат, $M \in A B$ , $N \in BC$ , $A M = BN$ . Докажите: $D M = A N$ и $D M ⊥ A N$ .

а) $A (0; 0)$ , $B (3; 0)$ , $C (0; 4)$ и $K (1; 1)$ , $L (1; 4)$ , $M (5; 1)$ . Равны ли?

б) $A (1; 2) \to A^{'} (3; 0)$ , $B (2; 5) \to B^{'} (4; 3)$ . Какое движение?

в) $A B = BC$ , $M$ , $N$ — середины $BC$ , $A B$ . Докажите: $A M = CN$ .