Движения плоскости · урок 4 из 10

Параллельный перенос. Понятие движения и его свойства

Геометрия · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R06 · GEOM9U-084

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Паспорт: R06 «Движения плоскости» (10 ч), урок 4/10, единицы R06.6 «Параллельный перенос», R06.7 «Понятие движения и его свойства». Тип урока — Н.
Теория (13): титул 0,5 · цели 0,5 · определение переноса 2 · перенос в координатах 1,5 · свойство 1 — 2 · свойство 2 — 1,5 · понятие движения 1,5 · теорема об отрезке 2 · следствия 1,5.
Практика (32): разминка 2 · образцы → сам 2,5 + 2,5 + 2,5 + 3 + 2,5 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2,5 · повышенный 2,5 · ОГЭ 2 · из жизни 1,5 · самостоятельная 4 · итог 1.
На титуле: треугольник «сдвинут» — все пунктирные стрелки равны и параллельны. Вопрос классу: что общего у трёх стрелок? (один и тот же вектор).
Если не успеваете: образец 5 (построение) — в ДЗ; доказательства не сокращать.

R06.6 · R06.7

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Строить образы при переносе

точек, прямых, окружностей — на чертеже и в координатах (ПР-18)

Формулировать определение движения

и проверять, является ли преобразование движением

Доказывать свойства

переноса и движений: отрезок, прямая, угол, окружность (ПР-18)

Применять перенос

в задачах на вычисление, построение и ОГЭ 25

0,5 мин · теория
ПР-18 (ФРП, углублённый уровень): «Иметь представление о преобразовании плоскости, о движениях. Находить оси, центры симметрии фигур, центры поворота, находить композиции простейших преобразований. Применять движения плоскости при решении геометрических задач».
Виды деятельности ФРП R06: формулировать определения движения плоскости и параллельного переноса, доказывать их свойства, находить неподвижные точки, применять перенос при решении задач.

повторение: R03 · R06.1–R06.5

Разминка · устно

Векторы и уже знакомые движения

$A (1; 2)$ , $B (4; 6)$ . Координаты $A B$ ? $(3; 4)$
Длина $A B$ ? $5$
$a (2; - 1) + b (- 3; 4)$ $(- 1; 3)$
$A BC D$ — параллелограмм. $A B = ?$ $D C$

Образ $A (3; - 1)$ при симметрии относительно $O x$ $(3; 1)$
Сохраняет ли поворот расстояния? да
Две противоположные стороны четырёхугольника равны и параллельны. Это… параллелограмм

R06.6

Определение

Параллельный перенос на вектор $a$

Параллельный перенос на вектор

a

— преобразование плоскости, при котором каждая точка

M

переходит в такую точку

M^{'}

, что

M M^{'} = a

.

A A^{'} = B B^{'} = C C^{'} = a

Обозначение: $T_{a}$ . При $a \neq = 0$ неподвижных точек нет.

Обратное преобразование — перенос на $- a$ .

R06.6 · метод координат

Перенос в координатах

К координатам точки прибавляем координаты вектора

1

M M^{'} = a (a; b)

определение переноса

2

x^{'} - x = a

,

y^{'} - y = b

координаты вектора = конец − начало

x^{'} = x + a, y^{'} = y + b

3Обратно:

x = x^{'} - a

,

y = y^{'} - b

прообраз — перенос на

- a

R06.6

Образец → сам · образ точки в координатах

Прибавляем вектор — получаем образ

Образец: перенос на $a (3; - 2)$ . Найдите образ точки $M (- 1; 4)$ .

$x^{'} = - 1 + 3 = 2$ $x^{'} = x + a$

$y^{'} = 4 + (- 2) = 2$ $y^{'} = y + b$

$M^{'} (2; 2)$ проверка: $M M^{'} = (2 - (- 1); 2 - 4) = (3; - 2) = a$ ✓

Сам

Образ $K (0; 5)$ при переносе на $a (- 4; 1)$ $(- 4; 6)$
Перенос переводит $P (2; - 3)$ в $P^{'} (- 1; 1)$ . Найдите $a$ $(- 3; 4)$
Какая точка при этом переносе переходит в $O (0; 0)$ ? $(3; - 4)$

R06.6

Свойство 1 · доказательство

Параллельный перенос сохраняет расстояния

Дано:

T_{a} (A) = A^{'}

,

T_{a} (B) = B^{'}

.
Доказать:

A^{'} B^{'} = A B

.

1

A A^{'} = B B^{'} = a

определение:

A A^{'} ∥ B B^{'}

и

A A^{'} = B B^{'}

2

A B B^{'} A^{'}

— параллелограммпризнак 1: две стороны равны и параллельны

3

A^{'} B^{'} = A B

— перенос есть движениепротивоположные стороны параллелограмма

4

A^{'} B^{'} = - a + A B + a = A B

векторно — и для

A

,

B

на прямой, параллельной

a

R06.6

Свойство 2 · образы прямой и окружности

Прямая — в параллельную, окружность — в равную

1

l

\to

l^{'}

,

l^{'} ∥ l

или

l^{'} = l

A^{'} B^{'} = A B

— то же направление;

l^{'} = l

, если

l ∥ a

2

ω (Q; r)

\to

ω^{'} (Q^{'}; r)

Q^{'} = T_{a} (Q)

, расстояния сохраняются

Уравнение образа: вместо

x

и

y

подставить

x - a

и

y - b

.

y = k x + m \to y - b = k (x - a) + m

R06.6 · метод координат

Образец → сам · уравнения образов

Подставляем $x - a$ и $y - b$

Образец: найдите образ прямой $y = 2 x - 3$ при переносе на $a (1; 4)$ .

$y - 4 = 2 (x - 1) - 3$ $(x; y)$ на образе ⇔ $(x - 1; y - 4)$ на прямой

$y = 2 x - 1$ раскрыли скобки: $y = 2 x - 2 - 3 + 4$

Проверка: $(0; - 3) \to (1; 1)$ , $2 \cdot 1 - 1 = 1$ ✓ угловой коэффициент тот же — прямые параллельны

Сам

Образ прямой $y = - x + 2$ при переносе на $(3; 0)$ $y = - x + 5$
Образ окружности $(x - 2)^{2} + y^{2} = 9$ при переносе на $(- 2; 5)$ $x^{2} + (y - 5)^{2} = 9$
Какой перенос переводит параболу $y = x^{2}$ в $y = (x - 3)^{2} + 1$ ? на $a (3; 1)$

R06.7

Понятие движения

Движение — преобразование, сохраняющее расстояния

Преобразование

f

плоскости — движение, если для любых точек

A

,

B

:

f (A) = A^{'}

,

f (B) = B^{'}

⇒

A^{'} B^{'} = A B

.

центральная симметрия

движение

осевая симметрия

движение

поворот

движение

параллельный перенос

движение

гомотетия,
$k = 2, 5$

не движение

R06.7

Теорема · доказательство

При движении отрезок переходит в отрезок

Дано:

f

— движение,

f (A) = A^{'}

,

f (B) = B^{'}

,

C \in A B

.
Доказать:

C^{'} = f (C) \in A^{'} B^{'}

.

1

A C

+

CB

= A B

C

лежит на отрезке

A B

2

A^{'} C^{'} = A C

,

C^{'} B^{'} = CB

,

A^{'} B^{'} = A B

определение движения

3

A^{'} C^{'} + C^{'} B^{'} = A^{'} B^{'}

⇒

C^{'} \in A^{'} B^{'}

иначе в

△ A^{'} C^{'} B^{'}

:

A^{'} C^{'} + C^{'} B^{'} > A^{'} B^{'}

4Образ отрезка

A B

— отрезок

A^{'} B^{'}

каждая точка

A^{'} B^{'}

— образ точки

A B

(тем же рассуждением)

R06.7

Свойства движений · сводка

Что сохраняет любое движение

Фигура	Образ при движении	Почему
отрезок $A B$	равный отрезок $A^{'} B^{'}$	теорема
прямая, луч	прямая, луч	продолжаем отрезок в обе (одну) стороны
треугольник	равный треугольник	три стороны равны — III признак
угол	равный угол	угол треугольника из равных треугольников
окружность $(Q; r)$	окружность $(Q^{'}; r)$	$QM = r$ ⇒ $Q^{'} M^{'} = r$
параллельные прямые	параллельные прямые	общая точка образов дала бы общую точку прообразов

R06.7 · метод координат

Образец → сам · движение или нет

Проверяем расстояние между любыми двумя точками

Образец: является ли движением $f (x; y) = (- y; x + 1)$ ?

$A (x_{1}; y_{1}) \to A^{'} (- y_{1}; x_{1} + 1)$
$B (x_{2}; y_{2}) \to B^{'} (- y_{2}; x_{2} + 1)$ берём произвольные точки

$A^{'} B^{'2} = (y_{1} - y_{2})^{2} + (x_{2} - x_{1})^{2}$ формула расстояния

$A^{'} B^{'2} = A B^{2}$ ⇒ движение поворот на $9 0^{\circ}$ и перенос на $(0; 1)$

Сам: движение?

$(x; y) \to (x; - y)$ да, симметрия относительно $O x$
$(x; y) \to (2 x; y)$ нет: $(0; 0), (1; 0)$ — расстояние $1 \to 2$
$(x; y) \to (y; x)$ да, симметрия относительно $y = x$

R06.6 · применение

Образец → сам · перенос диагонали трапеции

Площадь трапеции через треугольник

Образец: диагонали трапеции $15$ и $20$ , сумма оснований $25$ . Найдите площадь.

$T_{BC}$ : $B D \to C D^{'}$ $C D^{'} = 20$ , $A D^{'} = A D + BC = 25$

$1 5^{2} + 2 0^{2} = 2 5^{2}$ $△ A C D^{'}$ прямоугольный

$S = S_{A C D^{'}} = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 20 = 150$ $S_{A BC} = S_{C D D^{'}}$

Сам

Диагонали $6$ и $8$ , $⊥$ . Средняя линия? $5$
Диагонали $13$ и $15$ , $a + b = 14$ . Площадь? $84$
Равнобокая, диагонали $⊥$ , $h = 7$ . Площадь? $49$

R06.6 · построение

Образец → сам · задача на построение

Концы отрезка на окружности и на прямой

Образец: постройте $M \in ω$ , $N \in a$ так, что $MN = p$ .

$ω^{'} = T_{p} (ω)$ переносим окружность

$N \in ω^{'} \cap a$ $N$ — образ точки $ω$ и лежит на $a$

$M = T_{- p} (N)$ решений: $2$ , $1$ или $0$

Сам: $ω$ : $x^{2} + y^{2} = 4$ , $a$ : $y = 3$

$p (0; 1)$ . Найдите $M$ и $N$ $M (0; 2)$ , $N (0; 3)$
$p (0; 2)$ $M (\pm 3; 1)$ , $N (\pm 3; 3)$
$p (0; - 2)$ решений нет

R06.6 · R06.7

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$a (2; - 3)$ : $(x; y) \to (x - 2; y + 3)$	сдвиг в обратную сторону	$(x + 2; y - 3)$
$y = 2 x$ при $a (1; 0)$ $\to$ $y = 2 x + 1$	в уравнение подставляют $x - a$	$y = 2 (x - 1) = 2 x - 2$
«Сохраняет форму — значит, движение»	гомотетия сохраняет форму, но не расстояния	движение сохраняет расстояния
«У переноса неподвижна начальная точка вектора»	$M M^{'} = a \neq = 0$ для любой $M$	при $a \neq = 0$ неподвижных точек нет

R06.6 · R06.7

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Образ окружности $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 9$ при переносе на $(- 3; 4)$ .

Центр $(1 + 3; - 2 - 4)$

$(x - 4)^{2} + (y + 6)^{2} = 9$

центр $(1 - 3; - 2 + 4) = (- 2; 2)$ :
$(x + 2)^{2} + (y - 2)^{2} = 9$

б) Движение ли $(x; y) \to (x + y; y)$ ?

$A (0; 0) \to (0; 0)$ ,
$B (1; 0) \to (1; 0)$

$A^{'} B^{'} = A B = 1$ ⇒ движение

одной пары мало: $C (0; 1) \to (1; 1)$ , $A C = 1$ , $A^{'} C^{'} = 2$ — не движение

в) Найдите перенос, переводящий $y = 2 x + 1$ в $y = 2 x + 5$ .

Только $a (0; 4)$ — других нет

$y - b = 2 (x - a) + 1$ ⇒ $b - 2 a = 4$ : подходят $(0; 4)$ , $(- 2; 0)$ , $(1; 6)$ , …

2 мин · практика
Сначала видны «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Вектор вычли, а надо прибавить к центру: $(1; - 2) + (- 3; 4) = (- 2; 2)$ . Радиус не меняется.
б) Проверена одна пара точек — для «да» нужно доказательство для любых точек. Контрпример: $A (0; 0)$ , $C (0; 1)$ : $A C = 1$ , а $A^{'} (0; 0)$ , $C^{'} (1; 1)$ , $A^{'} C^{'} = 2$ . Это сдвиг (скос), не движение.
в) Подставляем: $y = 2 x - 2 a + b + 1 = 2 x + 5$ ⇔ $b - 2 a = 4$ — бесконечно много векторов (концы на прямой). Вопрос классу: почему так? (Прямая «скользит» сама по себе на любой вектор, параллельный ей.)

R06.6 · R06.7

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

базаОбраз $A (3; - 5)$ при переносе на $(- 4; 2)$ $(- 1; - 3)$
база $A (2; 1) \to A^{'} (- 1; 5)$ . Вектор и его длина? $(- 3; 4)$ , $5$
базаТот же перенос: образ $B (0; - 3)$ $(- 3; 1)$

базаОбраз прямой $y = 3 x - 1$ при переносе на $(2; 0)$ $y = 3 x - 7$
базаОбраз $x^{2} + y^{2} = 16$ при переносе на $(- 1; 3)$ $(x + 1)^{2} + (y - 3)^{2} = 16$
базаНеподвижные точки переноса на $a \neq = 0$ ? нет ни одной

R06.6 · R06.7

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Перенос переводит прямую $y = - x + 2$ в себя. Каким может быть $a$ ? $a (t; - t)$ , $t$ — любое
повыш.Является ли движением $(x; y) \to (- y + 1; x - 2)$ ? да
повыш.Какие точки при переносе на $(2; - 1)$ попадают на окружность $x^{2} + y^{2} = 5$ ? окружность $(x + 2)^{2} + (y - 1)^{2} = 5$
повыш.Диагонали трапеции $5$ и $12$ , средняя линия $6, 5$ . Найдите площадь. $30$

R06.6 · R06.7 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 19 и 25

Верные утверждения и перенос диагонали

ОГЭ 19 Какие из утверждений верны?

Параллельный перенос переводит прямую в параллельную ей прямую или в себя.
При движении окружность переходит в окружность того же радиуса.
Параллельный перенос на ненулевой вектор имеет неподвижную точку.

Ответ: 12

ОГЭ 25 Диагонали трапеции равны $7$ и $24$ , а средняя линия равна $12, 5$ . Найдите площадь трапеции.

Перенос $B D$ на $BC$ : $△ A C D^{'}$ со сторонами $7$ , $24$ , $25$

$7^{2} + 2 4^{2} = 625 = 2 5^{2}$ ⇒ прямоугольный

$S_{A BC D} = S_{A C D^{'}}$ (площади $△ A BC$ и $△ C D D^{'}$ равны)

$S = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 24 = 84$

R06.6 · практика

Задача из жизни · мост через реку

Где построить мост, чтобы путь был кратчайшим?

Река шириной $2$ км, мост $MN$ — перпендикулярно берегам. В координатах (км): $A (0; - 3)$ , $B (8; 5)$ , берега $y = 0$ и $y = 2$ .

Куда переходит $B$ при переносе на $NM$ ? $B^{'} (8; 3)$
Где начало моста $M$ ? $M (4; 0)$ — на отрезке $A B^{'}$
Длина кратчайшего пути $A \to M \to N \to B$ ? $10 + 2 = 12$ км

R06.6 · R06.7

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Образ $A (- 2; 7)$ при переносе на $(5; - 3)$ $(3; 4)$
$M (1; - 4) \to M^{'} (4; 0)$ . Найдите $∣ a ∣$ $5$
Образ $y = - 2 x + 3$ при переносе на $(1; 2)$ $y = - 2 x + 7$
Диагонали трапеции $8$ и $15$ , перпендикулярны. Сумма оснований? $17$

Вариант 2

Образ $B (4; - 1)$ при переносе на $(- 6; 2)$ $(- 2; 1)$
$N (- 3; 2) \to N^{'} (2; - 10)$ . Найдите $∣ a ∣$ $13$
Образ $y = 4 x - 1$ при переносе на $(- 1; 3)$ $y = 4 x + 6$
Диагонали трапеции $20$ и $21$ , перпендикулярны. Сумма оснований? $29$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Что такое параллельный перенос на $a$ ?
Какое преобразование называют движением?
Во что движение переводит отрезок, угол, окружность?

Домашнее задание

Образ $(x - 3)^{2} + (y + 1)^{2} = 4$ при переносе на $(- 3; 1)$ .
Диагонали трапеции $9$ и $40$ , средняя линия $20, 5$ . Найдите площадь.
* Движение ли $(x; y) \to (x + 2; - y)$ ?
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_dvizheniya.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9U-084 · Параллельный перенос. Понятие движения и его свойства

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R06 «Движения плоскости», 10 ч · урок 4/10 · тип Н
Единицы → слайды	R06.6 «Параллельный перенос» → 2, 4–9, 14–22 · R06.7 «Понятие движения и его свойства» → 2, 7, 10–13, 16–20, 22 · повторение R03 (векторы), R06.1–R06.5 → 3
Результаты	ПР-18 (движения, преобразования плоскости, применение движений в задачах) → 2, 4–23
Вне урока	равенство фигур (R06.8) — GEOM9U-085, упомянуто на слайде 12; композиции движений (R06.10) — GEOM9U-086, только вопрос на слайде 10 и ДЗ*; гомотетия — для сравнения (R02)
Время	теория 13 мин · практика 32 мин (71 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Параллельный перенос. Понятие движения и его свойства

Сегодня вы научитесь

Строить образы при переносе

Формулировать определение движения

Доказывать свойства

Применять перенос

Векторы и уже знакомые движения

Параллельный перенос на вектор a

К координатам точки прибавляем координаты вектора

Прибавляем вектор — получаем образ

Образец: перенос на a(3;−2). Найдите образ точки M(−1;4).

Сам

Параллельный перенос сохраняет расстояния

Прямая — в параллельную, окружность — в равную

Подставляем x−a и y−b

Образец: найдите образ прямой y=2x−3 при переносе на a(1;4).

Сам

Движение — преобразование, сохраняющее расстояния

При движении отрезок переходит в отрезок

Что сохраняет любое движение

Проверяем расстояние между любыми двумя точками

Образец: является ли движением f(x;y)=(−y; x+1)?

Сам: движение?

Площадь трапеции через треугольник

Образец: диагонали трапеции 15 и 20, сумма оснований 25. Найдите площадь.

Сам

Концы отрезка на окружности и на прямой

Образец: постройте M∈ω, N∈a так, что MN=p​.

Сам: ω: x2+y2=4, a: y=3

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Образ окружности (x−1)2+(y+2)2=9 при переносе на (−3;4).

б) Движение ли (x;y)→(x+y;y)?

в) Найдите перенос, переводящий y=2x+1 в y=2x+5.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Верные утверждения и перенос диагонали

Где построить мост, чтобы путь был кратчайшим?

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9U-084 · Параллельный перенос. Понятие движения и его свойства

Параллельный перенос на вектор $a$

Образец: перенос на $a (3; - 2)$ . Найдите образ точки $M (- 1; 4)$ .

Подставляем $x - a$ и $y - b$

Образец: найдите образ прямой $y = 2 x - 3$ при переносе на $a (1; 4)$ .

Образец: является ли движением $f (x; y) = (- y; x + 1)$ ?

Образец: диагонали трапеции $15$ и $20$ , сумма оснований $25$ . Найдите площадь.

Образец: постройте $M \in ω$ , $N \in a$ так, что $MN = p$ .

Сам: $ω$ : $x^{2} + y^{2} = 4$ , $a$ : $y = 3$

а) Образ окружности $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 9$ при переносе на $(- 3; 4)$ .

б) Движение ли $(x; y) \to (x + y; y)$ ?

в) Найдите перенос, переводящий $y = 2 x + 1$ в $y = 2 x + 5$ .