Движения плоскости · урок 3 из 10

Фигуры, симметричные относительно некоторой оси

Геометрия · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R06 · GEOM9U-083

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Паспорт: R06 «Движения плоскости» (10 ч), урок 3/10, единица R06.5. Тип урока — Н.
Теория (12,5): титул 0,5 · цели 0,5 · определение 2 · оси простейших фигур 2,5 · окружность 1,5 · две оси ⇒ центр 2 · симметрия в координатах 2 · схема 1,5.
Практика (32,5): разминка 2 · образцы → сам 2,5 × 5 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 3 · повышенный 2,5 · ОГЭ 3 · самостоятельная 5 · итог 1.
Если не успеваете: задание 3 повышенного уровня и задачу ОГЭ 24 — в ДЗ; доказательства (окружность, две оси) не сокращать.

R06.5

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Узнавать ось симметрии

фигуры по определению и находить все оси простейших фигур (ПР-18)

Доказывать

что прямая — ось симметрии фигуры, или опровергать контрпримером

Работать в координатах

находить образ точки и уравнение оси симметрии двух точек

Применять симметрию

в задачах: кратчайший путь, ОГЭ 19 и 24 (ПР-18)

повторение: GEOM9U-082

Разминка · устно

Осевая симметрия точки

Образ $A$ при симметрии относительно $O x$ ? $(3; - 2)$
Относительно $O y$ ? $(- 3; 2)$
Относительно прямой $y = x$ ? $(2; 3)$
$A^{'}$ — образ $A$ относительно прямой $a$ . Чем $a$ является для $A A^{'}$ ? серединный перпендикуляр
Образ отрезка длиной $5$ при осевой симметрии? отрезок длиной $5$
Какие точки остаются на месте? точки оси $a$

R06.5

Определение

Ось симметрии фигуры

Фигура $F$ симметрична относительно прямой $a$ , если для каждой точки

M \in F

симметричная ей точка

M^{'}

тоже принадлежит

F

.

Прямая

a

— ось симметрии фигуры:

S_{a} (F) = F

$S_{a}$ : $A \leftrightarrow C$ , $B \to B$ , $D \to D$ , стороны $A B \leftrightarrow CB$ , $A D \leftrightarrow C D$

2 мин · теория
Дельтоид ABCD: AB = CB, AD = CD. Прямая BD — ось симметрии: точка M на стороне AB переходит в точку M′ на стороне CB (MM′ ⟂ a и делится осью пополам — чёрточки и прямой угол на чертеже).
Обозначение S_a — осевая симметрия относительно прямой a (из прошлого урока). S_a(F) = F означает: фигура как множество точек переходит сама в себя (отдельные точки при этом могут меняться местами).
Вопрос классу: можно ли проверить определение для всех точек фигуры? (Нет — бесконечно много.) Как быть с многоугольником — узнаем на слайде «Схема-конспект».
Ошибка: «ось делит фигуру на две равные части». Равные части — не обязательно симметричные (диагональ параллелограмма).

R06.5

Оси симметрии простейших фигур

Сколько осей? Сначала угадайте, потом щёлкните

Отрезок 2 оси

Угол 1 ось

Равнобедр. △ 1 ось

Равносторон. △ 3 оси

Прямоугольник 2 оси

Ромб 2 оси

Квадрат 4 оси

Окружность ∞ осей

2,5 мин · теория
По щелчку у каждой фигуры появляются оси и их число. Перед щелчком — вопрос классу.
Отрезок — 2 оси: серединный перпендикуляр и прямая, содержащая отрезок. Угол (неразвёрнутый) — 1: биссектриса. Равнобедренный (не равносторонний) треугольник — 1: прямая, содержащая высоту к основанию. Равносторонний — 3. Прямоугольник (не квадрат) — 2: серединные перпендикуляры к сторонам. Ромб (не квадрат) — 2: диагонали. Квадрат — 4. Окружность — бесконечно много: любая прямая через центр.
Вне таблицы: правильный n-угольник — n осей; равнобедренная трапеция — 1; параллелограмм общего вида — 0 (используется в образце 1).

R06.5

Теорема 1 · доказательство

Любая прямая через центр — ось симметрии окружности

Дано: окружность

(O; R)

, прямая

a ∋ O

, точка

M

на окружности,

M^{'} = S_{a} (M)

.
Доказать:

M^{'}

лежит на окружности.

1

a

— серединный перпендикуляр к

M M^{'}

определение осевой симметрии (

M \in / a

)

2

O M^{'} = OM

O \in a

: точка серединного перпендикуляра равноудалена от концов отрезка

3

O M^{'} = R

⇒

M^{'}

на окружностиесли

M \in a

, то

M^{'} = M

— тоже на окружности

1,5 мин · теория
Каждый шаг — вопрос «почему?». Цвет на чертеже совпадает с цветом в записи: оранжевый — отрезок MM′ и серединный перпендикуляр, бирюзовый — радиусы.
Углублённый уровень (устно): других осей у окружности нет. Если a — ось и O ∉ a, возьмём диаметр PQ, перпендикулярный a: его образ — хорда той же длины 2R на той же прямой PQ, но сдвинутая на 2·d(O, a) ≠ 0 — она не может быть хордой окружности (точки за окружностью). Значит, ось проходит через центр.
Следствие: круг тоже симметричен относительно любой прямой через центр.

R06.5

Образец → сам · сколько осей у фигуры

Ось или не ось?

Образец: прямоугольник $A BC D$ , $A B = 4$ , $A D = 6$ . Сколько осей? Ось ли диагональ $A C$ ?

$S_{m}$ : $A \leftrightarrow D$ , $B \leftrightarrow C$ вершины → вершины

$S_{n}$ : $A \leftrightarrow B$ , $D \leftrightarrow C$ вершины → вершины

$S_{A C} (B) = B^{'}$ $A B^{'} = A B = 4 \neq = A D$ ⇒ $B^{'}$ — не вершина

$A C$ — не ось; осей $2$

Сам: сколько осей симметрии?

Равнобедренная трапеция (не прямоугольник) $1$
Правильный шестиугольник $6$
Параллелограмм со сторонами $3$ и $5$ и углом $6 0^{\circ}$ $0$

2,5 мин · практика
Образец: m и n — серединные перпендикуляры к сторонам; при S_m вершины A ↔ D, B ↔ C, при S_n A ↔ B, D ↔ C. Диагональ AC: симметрия сохраняет расстояние до точки A оси, поэтому AB′ = AB = 4; вершина на расстоянии 4 от A — только B, но B′ ≠ B (B ∉ AC). Значит B′ — не вершина, AC — не ось.
1) Одна ось — прямая через середины оснований (докажем в образце 4). 2) Шесть: три через противоположные вершины и три через середины противоположных сторон. 3) Ноль: диагональ — не ось (не ромб), серединный перпендикуляр к стороне — не ось (не прямоугольник); других кандидатов нет — ось должна переводить вершины в вершины.
Типичная ошибка в 2: называют только 3 оси через вершины.

R06.5

Теорема 2 · доказательство

Две перпендикулярные оси ⇒ центр симметрии

Дано:

a

и

b

— оси симметрии фигуры

F

,

a ⊥ b

,

a \cap b = O

.
Доказать:

O

— центр симметрии

F

.

1Оси координат:

a = O x

,

b = O y

прямые перпендикулярны

2

M (x; y) \in F

⇒

M_{1} (x; - y) \in F

a

— ось симметрии

3

M_{1}

\in F

⇒

M_{2} (- x; - y) \in F

b

— ось симметрии

4

M_{2} = Z_{O} (M)

⇒

O

— центр симметрии

O

— середина

M M_{2}

2 мин · теория
Z_O — центральная симметрия (урок GEOM9U-081). Точки M(x; y) и M₂(−x; −y) симметричны относительно начала координат: середина MM₂ — точка (0; 0).
Следствия: прямоугольник, ромб, квадрат, отрезок, окружность имеют центр симметрии — точку пересечения осей.
Обратное неверно: параллелограмм общего вида имеет центр симметрии, но ни одной оси. Вопрос классу: привести пример фигуры с центром, но без осей.
Связь с композицией движений (R06.10): S_b ∘ S_a при a ⟂ b — поворот на 180°, т. е. центральная симметрия.

R06.5

Симметрия в координатах

Образ точки $(x; y)$ относительно прямой

Ось	Образ точки $(x; y)$
$O x$ / $O y$	$(x; - y)$ / $(- x; y)$
$x = c$	$(2 c - x; y)$
$y = d$	$(x; 2 d - y)$
$y = x$	$(y; x)$

Вывод: середина

M M^{'}

лежит на оси

x = c

:

\frac{x + x ^{'}}{2} = c

⇒

x^{'} = 2 c - x

R06.5

Образец → сам · ось фигуры в координатах

Найдите ось и докажите

Образец: $A (1; 1)$ , $B (7; 1)$ , $C (4; 5)$ . Найдите ось симметрии $△ A BC$ .

$A C = BC = 5$ , $A B = 6$ равнобедренный, ось одна

Кандидат: $x = 4$ серединный перпендикуляр к $A B$

$A \leftrightarrow B$ , $C (4; 5) \to C$ ⇒ ось $x = 4$ $x^{'} = 8 - x$

Сам

$A (0; 0)$ , $B (2; 4)$ , $C (6; 4)$ , $D (8; 0)$ . Ось? $x = 4$
$K (0; 3)$ , $L (4; 6)$ , $M (8; 3)$ , $N (4; 0)$ . Все оси? $x = 4$ и $y = 3$
$P (- 2; 3)$ отразили относительно $y = 1$ , затем относительно $x = 2$ . Итог? $(6; - 1)$

2,5 мин · практика
Образец: AC = √(3² + 4²) = 5, BC = √(3² + 4²) = 5, AB = 6. При S: x′ = 2·4 − x: A(1; 1) → (7; 1) = B, B → A, C(4; 5) → C. Вершины переходят в вершины ⇒ x = 4 — ось.
1) Равнобедренная трапеция: A ↔ D (0 ↔ 8), B ↔ C (2 ↔ 6) относительно x = 4. Ответ: x = 4 (одна ось: AB = √20 ≠ AD = 8).
2) KL = LM = MN = NK = 5 — ромб; оси — диагонали KM (y = 3) и LN (x = 4). Квадратом не является: KM = 8 ≠ LN = 6.
3) (−2; 3) → (−2; 2·1 − 3) = (−2; −1) → (2·2 + 2; −1) = (6; −1). Заметить: две перпендикулярные симметрии = центральная симметрия относительно (2; 1): (2·2 + 2; 2·1 − 3) = (6; −1).

R06.5

Образец → сам · обратная задача

Уравнение оси симметрии двух точек

Образец: $M (2; 7)$ и $M^{'} (6; 3)$ симметричны относительно $a$ . Найдите уравнение $a$ .

$K (4; 5) \in a$ середина $M M^{'}$

$a ⊥ M M^{'}$ : $k_{a} = 1$ $k_{M M^{'}} = \frac{3 - 7}{6 - 2} = - 1$ , $k_{1} k_{2} = - 1$

$y - 5 = x - 4$ , $y = x + 1$

Сам

$A (- 1; 2)$ и $B (3; 6)$ $y = - x + 5$
$P (0; 0)$ и $Q (4; 2)$ $y = - 2 x + 5$
$C (1; - 2)$ и $D (1; 4)$ $y = 1$

2,5 мин · практика
Образец: ось симметрии двух точек — серединный перпендикуляр к отрезку. K = ((2 + 6)/2; (7 + 3)/2) = (4; 5). k(MM′) = −4/4 = −1, k(a) = 1. y = x + 1. Проверка: K(4; 5): 5 = 4 + 1 ✓.
1) Середина (1; 4), k(AB) = 4/4 = 1, k(a) = −1: y − 4 = −(x − 1), y = −x + 5.
2) Середина (2; 1), k(PQ) = 2/4 = 1/2, k(a) = −2: y − 1 = −2(x − 2), y = −2x + 5. Проверка: P и Q равноудалены от точки (0; 5) прямой: 5 и √(16 + 9) = 5 ✓.
3) CD вертикален (x = 1), значит ось горизонтальна и проходит через середину (1; 1): y = 1. Ловушка: угловой коэффициент CD не определён — формула k₁k₂ = −1 не работает.

R06.5

Схема-конспект

Как найти и как проверить ось

Проверить, что $a$ — ось многоугольника

каждая вершина переходит в вершину тогда стороны → стороны: образ отрезка — отрезок

Доказать, что $a$ — не ось

найти одну вершину, образ которой — не вершина контрпример: диагональ прямоугольника

Ось для пары $M \to M^{'}$

серединный перпендикуляр к $M M^{'}$ через середину, $k_{a} = - \frac{1}{k _{M M^{'}}}$

Две оси $a ⊥ b$

⇒ центр симметрии $O = a \cap b$ обратное неверно: параллелограмм

1,5 мин · теория
Опорный конспект — записать в тетрадь.
Почему для многоугольника достаточно вершин: осевая симметрия — движение, она переводит отрезок в отрезок с концами в образах концов. Если вершины переходят в вершины (и соседние — в соседние), каждая сторона переходит в сторону, и вся граница — в себя.
Тонкость (углублённый): вершины должны переходить в вершины с сохранением соседства; для выпуклого многоугольника это выполняется автоматически.

R06.5

Образец → сам · задача на доказательство

План доказательства и обоснования

Образец: $A BC D$ — равнобедренная трапеция, $K$ , $L$ — середины оснований. Докажите: $K L$ — ось симметрии.

$m$ — серединный перпендикуляр к $A D$ : $A \leftrightarrow D$ $K$ — середина $A D$

луч $A B$ → луч $D C$ , $A B = D C$ ⇒ $B \leftrightarrow C$ $∠ A = ∠ D$

$m ⊥ BC$ через середину $BC$ ⇒ $m = K L$ $BC ∥ A D$

Сам: ключевая идея

Диагональ $A C$ ромба — его ось $A C$ — серед. перпендикуляр к $B D$
$A B = A D$ , $CB = C D$ ⇒ $A C$ — ось $A BC D$ $A$ и $C$ равноудалены от $B$ , $D$
Биссектриса — ось симметрии угла образ стороны — другая сторона

2,5 мин · практика
Образец (полностью): 1) Проведём через K прямую m ⟂ AD; S_m: A ↔ D (K — середина AD). 2) Симметрия сохраняет углы: луч AB переходит в луч из D, образующий с DA угол ∠A = ∠D (по одну сторону от AD) — это луч DC. Длины сохраняются: AB = DC ⇒ B ↔ C. 3) Вершины → вершины ⇒ m — ось. m ⟂ AD, BC ∥ AD ⇒ m ⟂ BC, и m — серединный перпендикуляр к BC (B ↔ C) ⇒ проходит через L. Значит, m = KL.
1) Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам ⇒ AC — серединный перпендикуляр к BD ⇒ B ↔ D, A и C на оси.
2) Дельтоид: A и C равноудалены от B и D ⇒ обе лежат на серединном перпендикуляре к BD ⇒ AC — этот перпендикуляр ⇒ B ↔ D.
3) Сторона OA образует с биссектрисой угол α/2; её образ — луч из O под тем же углом по другую сторону биссектрисы, т. е. луч OB.

R06.5

Образец → сам · задача из жизни

Где построить причал? Кратчайший путь

Образец: деревни $A (0; 3)$ и $B (8; 5)$ , река — ось $O x$ (1 ед. = 1 км). Где причал $M$ , чтобы путь $A M + MB$ был кратчайшим?

$B^{'} (8; - 5)$ , $MB = M B^{'}$ симметрия относ. $O x$

$A M + M B^{'} \geq A B^{'}$ нер-во треугольника

$A B^{'}$ : $y = 3 - x$ ⇒ $M (3; 0)$

$A B^{'} = 82 \approx 11, 3$ км

Сам: найдите $M$ и длину пути

$A (0; 1)$ , $B (6; 3)$ , река $O x$ $M (1, 5; 0)$ , $213 \approx 7, 2$
$A (1; 4)$ , $B (7; 2)$ , река $O x$ $M (5; 0)$ , $62 \approx 8, 5$
$A (0; 4)$ , $B (6; 3)$ , река $y = 1$ $M (3, 6; 1)$ , $61 \approx 7, 8$

2,5 мин · практика
Образец: для любой точки M реки MB = MB′ (Ox — серединный перпендикуляр к BB′). AM + MB = AM + MB′ ≥ AB′, равенство — когда M лежит на отрезке AB′. Прямая AB′: через (0; 3) и (8; −5), k = −1, y = 3 − x; y = 0 при x = 3. AB′ = √(8² + 8²) = 8√2 ≈ 11,3 км.
1) B′(6; −3), k = −4/6 = −2/3, y = 1 − 2x/3 = 0 ⇒ x = 1,5. AB′ = √(36 + 16) = √52 = 2√13 ≈ 7,2 км.
2) B′(7; −2), k = −6/6 = −1, y = 4 − (x − 1) = 0 ⇒ x = 5. AB′ = √(36 + 36) = 6√2 ≈ 8,5 км.
3) Ось y = 1: B′(6; 2·1 − 3) = (6; −1). k = −5/6, y = 4 − 5x/6 = 1 ⇒ x = 3,6. AB′ = √(36 + 25) = √61 ≈ 7,8 км.
Это задача Герона; так же устроено отражение света: угол падения равен углу отражения.

R06.5

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
«Диагональ параллелограмма — ось: делит его на равные треугольники»	равные части ≠ симметричные: $S_{A C} (B) \neq = D$	осей нет; у ромба — диагонали
«У прямоугольника 4 оси»	диагональ — ось, только если $A B = A D$	2 оси; у квадрата — 4
$(x; y)$ относительно $x = c$ → $(c - x; y)$	середина $M M^{'}$ должна лежать на оси	$(2 c - x; y)$
Ось симметрии точек $M$ , $M^{'}$ параллельна $M M^{'}$	ось — серединный перпендикуляр	$a ⊥ M M^{'}$ , через середину

R06.5

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Ось симметрии точек $M (1; 5)$ и $M^{'} (5; 1)$ ?

Середина $(3; 3)$ ,
$k_{M M^{'}} = - 1$

Ось $∥ M M^{'}$ : $y = - x + 6$

$k_{a} = 1$ : ось $y = x$

б) Сколько осей у правильного шестиугольника?

Оси — прямые через противоположные вершины: их $3$ .

Ещё $3$ — через середины противоположных сторон: всего $6$

в) «Докажите», что диагональ $A C$ прямоугольника — ось.

$△ A BC = △ C D A$ ⇒ $A C$ — ось симметрии.

Равные ≠ симметричные: $S_{A C} (B) \neq = D$ ; неверно (кроме квадрата)

2 мин · практика
Сначала видны «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Середина и k(MM′) найдены верно; ошибка — ось должна быть перпендикулярна MM′: k(a) = 1, y − 3 = x − 3, y = x. Проверка: (1; 5) ↔ (5; 1) — координаты меняются местами, это симметрия относительно y = x ✓.
б) Пропущены оси через середины противоположных сторон. У правильного n-угольника n осей.
в) Равенство треугольников не означает симметрию: образ B относительно AC — не D (AB′ = AB ≠ AD). Утверждение ложно для прямоугольника, не являющегося квадратом.

R06.5

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

базаСколько осей у квадрата? $4$
базаСколько осей у равностороннего треугольника? $3$
базаОбраз $(4; - 3)$ относительно $O y$ ? $(- 4; - 3)$

базаОбраз $(2; 5)$ относительно $x = 3$ ? $(4; 5)$
базаОбраз $(1; 6)$ относительно $y = 2$ ? $(1; - 2)$
базаОбраз $(- 2; 7)$ относительно $y = x$ ? $(7; - 2)$

R06.5

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Сколько осей у фигуры из двух пересекающихся прямых, если они не перпендикулярны? А если перпендикулярны? $2$ ; $4$
повыш.Сколько осей у фигуры из двух окружностей разных радиусов с разными центрами? $1$ — линия центров
повыш.Прямую $y = 2 x + 1$ отразили относительно $O y$ . Уравнение образа? $y = - 2 x + 1$
повыш.Оси фигуры — $x = 2$ и $y = - 1$ , точка $(5; 3)$ ей принадлежит. Найдите ещё три точки. $(- 1; 3)$ , $(5; - 5)$ , $(- 1; - 5)$

2,5 мин · практика
1) Биссектрисы двух пар вертикальных углов (они перпендикулярны). Если прямые перпендикулярны, осями служат ещё и сами прямые: 4.
2) Ось окружности проходит через её центр (сл. 6), значит, общая ось проходит через оба центра — это линия центров, и она ось для обеих. Других нет: при разных радиусах окружности не могут поменяться местами.
3) (x; y) → (−x; y): y = 2(−x) + 1 = −2x + 1.
4) Относительно x = 2: (2·2 − 5; 3) = (−1; 3); относительно y = −1: (5; 2·(−1) − 3) = (5; −5); обе (теорема 2, центр (2; −1)): (−1; −5).

R06.5 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 19 и 24

Утверждения и доказательство

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Диагональ параллелограмма является его осью симметрии.
Любая прямая, проходящая через центр окружности, — её ось симметрии.
Равнобедренный треугольник имеет три оси симметрии.
Квадрат имеет четыре оси симметрии.

Ответ: 24

ОГЭ 24 В выпуклом четырёхугольнике $A BC D$ : $A B = BC$ , $A D = C D$ . Докажите, что $B D ⊥ A C$ .

$B$ и $D$ равноудалены от $A$ и $C$ условие

$B, D$ — на серединном перпендикуляре к $A C$

$B D$ — ось симметрии ⇒ $B D ⊥ A C$

3 мин · практика
19) 1 — неверно (только у ромба); 2 — верно (теорема 1); 3 — неверно (одна ось, если треугольник не равносторонний); 4 — верно. В бланк: 24.
24) Полное решение на 2 балла: точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на его серединном перпендикуляре; через B и D проходит единственная прямая, значит, BD — серединный перпендикуляр к AC, т. е. BD ⟂ AC (и AC делится пополам). Формулировка через симметрию: BD — ось симметрии, A ↔ C.
Альтернатива: △ABD = △CBD по трём сторонам ⇒ ∠ABD = ∠CBD ⇒ BD — биссектриса равнобедренного △ABC ⇒ высота.

R06.5

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Сколько осей у ромба, не являющегося квадратом? $2$
Образ $(3; - 1)$ относительно $x = 1$ ? $(- 1; - 1)$
Ось симметрии точек $M (0; 4)$ и $N (4; 0)$ ? $y = x$
$A (0; 2)$ , $B (4; 6)$ , река $O x$ . Причал $M$ и длина пути? $M (1; 0)$ , $45$

Вариант 2

Сколько осей у равнобедренной трапеции? $1$
Образ $(- 2; 5)$ относительно $y = 3$ ? $(- 2; 1)$
Ось симметрии точек $P (- 3; 1)$ и $Q (1; 5)$ ? $y = - x + 2$
$A (0; 4)$ , $B (6; 2)$ , река $O x$ . Причал $M$ и длина пути? $M (4; 0)$ , $62$

5 мин · практика
Вариант 1: 1) 2 — диагонали. 2) (2·1 − 3; −1) = (−1; −1). 3) Середина (2; 2), k(MN) = −1 ⇒ k(a) = 1: y = x. 4) B′(4; −6), прямая AB′: k = −8/4 = −2, y = 2 − 2x = 0 ⇒ M(1; 0); AB′ = √(16 + 64) = √80 = 4√5 ≈ 8,9.
Вариант 2: 1) 1 — через середины оснований (трапеция не прямоугольник). 2) (−2; 2·3 − 5) = (−2; 1). 3) Середина (−1; 3), k(PQ) = 4/4 = 1 ⇒ k(a) = −1: y − 3 = −(x + 1), y = −x + 2. 4) B′(6; −2), k = −6/6 = −1, y = 4 − x = 0 ⇒ M(4; 0); AB′ = √(36 + 36) = 6√2 ≈ 8,5.
Критерий: 4 верно — «5», 3 — «4», 2 — «3». В задании 4 засчитывать только с построением B′. Взаимопроверка по ответам (по щелчку).

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Что такое ось симметрии фигуры?
Как проверить, что прямая — ось многоугольника?
Что даёт фигуре пара перпендикулярных осей?

Домашнее задание

Сколько осей у правильного восьмиугольника?
Ось симметрии точек $A (- 2; 1)$ и $B (4; - 1)$ ?
* $A (0; 2)$ , $B (6; 6)$ , река $O x$ : найдите причал и длину пути.
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_dvizheniya.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9U-083 · Фигуры, симметричные относительно некоторой оси

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R06 «Движения плоскости», 10 ч · урок 3/10 · тип Н
Единицы → слайды	R06.5 «Фигуры, симметричные относительно некоторой оси» → 2, 4–21 · повторение R06.4 (GEOM9U-082) → 3
Результаты	ПР-18 (находить оси, центры симметрии фигур; применять движения в задачах) → 4–21
Вне урока	параллельный перенос, понятие движения — GEOM9U-084; равенство фигур — GEOM9U-085; композиции движений R06.10 — упомянуты в заметках сл. 8
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Фигуры, симметричные относительно некоторой оси

Сегодня вы научитесь

Узнавать ось симметрии

Доказывать

Работать в координатах

Применять симметрию

Осевая симметрия точки

Ось симметрии фигуры

Сколько осей? Сначала угадайте, потом щёлкните

Любая прямая через центр — ось симметрии окружности

Ось или не ось?

Образец: прямоугольник ABCD, AB=4, AD=6. Сколько осей? Ось ли диагональ AC?

Сам: сколько осей симметрии?

Две перпендикулярные оси ⇒ центр симметрии

Образ точки (x;y) относительно прямой

Найдите ось и докажите

Образец: A(1;1), B(7;1), C(4;5). Найдите ось симметрии △ABC.

Сам

Уравнение оси симметрии двух точек

Образец: M(2;7) и M′(6;3) симметричны относительно a. Найдите уравнение a.

Сам

Как найти и как проверить ось

Проверить, что a — ось многоугольника

Доказать, что a — не ось

Ось для пары M→M′

Две оси a⊥b

План доказательства и обоснования

Образец: ABCD — равнобедренная трапеция, K, L — середины оснований. Докажите: KL — ось симметрии.

Сам: ключевая идея

Где построить причал? Кратчайший путь

Образец: деревни A(0;3) и B(8;5), река — ось Ox (1 ед. = 1 км). Где причал M, чтобы путь AM+MB был кратчайшим?

Сам: найдите M и длину пути

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Ось симметрии точек M(1;5) и M′(5;1)?

б) Сколько осей у правильного шестиугольника?

в) «Докажите», что диагональ AC прямоугольника — ось.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Утверждения и доказательство

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9U-083 · Фигуры, симметричные относительно некоторой оси

Образец: прямоугольник $A BC D$ , $A B = 4$ , $A D = 6$ . Сколько осей? Ось ли диагональ $A C$ ?

Образ точки $(x; y)$ относительно прямой

Образец: $A (1; 1)$ , $B (7; 1)$ , $C (4; 5)$ . Найдите ось симметрии $△ A BC$ .

Образец: $M (2; 7)$ и $M^{'} (6; 3)$ симметричны относительно $a$ . Найдите уравнение $a$ .

Проверить, что $a$ — ось многоугольника

Доказать, что $a$ — не ось

Ось для пары $M \to M^{'}$

Две оси $a ⊥ b$

Образец: $A BC D$ — равнобедренная трапеция, $K$ , $L$ — середины оснований. Докажите: $K L$ — ось симметрии.

Образец: деревни $A (0; 3)$ и $B (8; 5)$ , река — ось $O x$ (1 ед. = 1 км). Где причал $M$ , чтобы путь $A M + MB$ был кратчайшим?

Сам: найдите $M$ и длину пути

а) Ось симметрии точек $M (1; 5)$ и $M^{'} (5; 1)$ ?

в) «Докажите», что диагональ $A C$ прямоугольника — ось.