Движения плоскости · урок 1 из 10

Центральная симметрия. Центрально-симметричные фигуры

Геометрия · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R06 · GEOM9U-081

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R06 «Движения плоскости» (10 ч), урок 1/10, единицы R06.1 «Центральная симметрия», R06.2 «Центрально-симметричные фигуры». Тип урока — Н.
Теория (12): титул 0,5 · цели 0,5 · определение 2 · симметрия в координатах 2 · свойство 1 — 2 · свойство 2 — 1,5 · центрально-симметричные фигуры 2 · теорема о параллелограмме 1,5.
Практика (33): разминка 2,5 · образцы → сам 2,5 + 2,5 + 3 + 3 + 2 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 3 · повышенный 2,5 · ОГЭ 2 · из жизни 1,5 · самостоятельная 4 · итог 1.
На титуле: треугольник и его образ при симметрии относительно белой точки — пунктиры через центр. Вопрос классу: что общего у трёх пунктиров? (все проходят через одну точку и делятся ею пополам).
Если не успеваете: образец 5 (уравнения образов) — в ДЗ; доказательства свойств не сокращать.

R06.1 · R06.2

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Строить симметричные точки

и фигуры относительно данного центра (ПР-18)

Находить координаты образа

точки, прямой и окружности

Доказывать свойства

центральной симметрии и находить центры симметрии фигур (ПР-18)

Применять симметрию

в задачах на доказательство и построение, ОГЭ 19, 24

0,5 мин · теория
ПР-18 (ФРП, углублённый уровень): «Иметь представление о преобразовании плоскости, о движениях. Находить оси, центры симметрии фигур, центры поворота, находить композиции простейших преобразований. Применять движения плоскости при решении геометрических задач».
Виды деятельности ФРП R06: формулировать определение центральной симметрии, доказывать её свойства, находить неподвижные точки, центры симметрии простейших фигур, применять симметрию при решении задач.

повторение: 8 класс · R04

Разминка · устно

Середина отрезка, координаты, параллелограмм

Середина отрезка $A (2; 6)$ , $B (8; - 2)$ ? $(5; 2)$
$M (1; 3)$ — середина $A B$ , $A (- 1; 0)$ . Найдите $B$ $(3; 6)$
Как делятся диагонали параллелограмма? пополам
Вертикальные углы… равны

Расстояние между $(1; 1)$ и $(4; 5)$ ? $5$
$(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 9$ — что это? окружность, $(1; - 2)$ , $R = 3$
Сколько осей симметрии у квадрата? $4$

R06.1

Определение

Точки, симметричные относительно точки

Точки

A

и

A^{'}

симметричны относительно точки $O$ , если

O

— середина отрезка

A A^{'}

.

O A = O A^{'}

,

O \in A A^{'}

Точка $O$ симметрична сама себе — неподвижная точка.

Центральная симметрия с центром

O

— преобразование плоскости: каждая точка

\to

симметричная ей.

R06.1 · метод координат

Симметрия в координатах

Формулы через середину отрезка

1

Q (a; b)

— середина

M M^{'}

определение,

M (x; y)

,

M^{'} (x^{'}; y^{'})

2

a = \frac{x + x ^{'}}{2}

,

b = \frac{y + y ^{'}}{2}

координаты середины отрезка

x^{'} = 2 a - x, y^{'} = 2 b - y

центр

O (0; 0)

:

(x; y) \to (- x; - y)

R06.1

Образец → сам · образ точки в координатах

Удваиваем центр и вычитаем точку

Образец: найдите точку, симметричную $M (- 3; 5)$ относительно $P (1; 2)$ .

$x^{'} = 2 \cdot 1 - (- 3) = 5$ $x^{'} = 2 a - x$

$y^{'} = 2 \cdot 2 - 5 = - 1$ $y^{'} = 2 b - y$

$M^{'} (5; - 1)$ проверка: середина $M M^{'}$ — $(\frac{- 3 + 5}{2}; \frac{5 - 1}{2}) = (1; 2)$ ✓

Сам

$K (4; - 7)$ относительно начала координат $(- 4; 7)$
$A (5; - 1)$ относительно $Q (2; 3)$ $(- 1; 7)$
$A (- 2; 4) \to A^{'} (6; 0)$ . Найдите центр симметрии $(2; 2)$

R06.1

Свойство 1 · доказательство

Центральная симметрия сохраняет расстояния

Дано:

Z_{O} (A) = A^{'}

,

Z_{O} (B) = B^{'}

.
Доказать:

A^{'} B^{'} = A B

.

1

O A = O A^{'}

,

OB = O B^{'}

определение симметричных точек

2

∠ A OB = ∠ A^{'} O B^{'}

вертикальные углы

3

△ A OB

=

△ A^{'} O B^{'}

I признак: две стороны и угол между ними

4

A^{'} B^{'} = A B

— симметрия есть движениесоответственные стороны равных треугольников

R06.1

Свойство 2 · доказательство

Прямая переходит в параллельную прямую

1

△ A OB = △ A^{'} O B^{'}

свойство 1

2

∠ O A B = ∠ O A^{'} B^{'}

соответственные углы равных треугольников

3

a

∥

a^{'}

накрест лежащие углы при секущей

A A^{'}

равны

Следствия: отрезок

\to

равный параллельный отрезок, угол

\to

равный угол, окружность

\to

окружность того же радиуса. Прямая через

O

\to

сама в себя.

R06.1

Образец → сам · обратная задача

Центр — середина отрезка между точкой и её образом

Образец: $Z_{O}$ переводит $A (1; 4)$ в $A^{'} (5; - 2)$ . Найдите $O$ , образ $B (- 1; 0)$ и $A^{'} B^{'}$ .

$O (3; 1)$ середина $A A^{'}$

$B^{'} (6 + 1; 2 - 0) = (7; 2)$ $x^{'} = 2 a - x$ , $y^{'} = 2 b - y$

$A^{'} B^{'} = A B = 25$ $A B = 2^{2} + 4^{2}$ , свойство 1

Сам

$C (- 2; 3) \to C^{'} (4; - 1)$ . Образ $D (0; 5)$ ? $(2; - 3)$
Центр $O (0; 0)$ , $A (1; 2)$ , $B (4; 6)$ . Найдите $A^{'} B^{'}$ $5$
Центр квадрата $(2; 1)$ , $A (0; 0)$ . Найдите $C$ $(4; 2)$

R06.2

Центрально-симметричные фигуры

Фигура переходит сама в себя

Фигура центрально-симметрична, если

Z_{O}

переводит её в себя;

O

— центр симметрии.

есть центр

отрезок

окружность

параллелограмм

прав. шестиугольник

нет центра

треугольник

трапеция

прав. пятиугольник

луч

2 мин · теория
Центры открываются по щелчку (розовые точки): середина отрезка, центр окружности, точка пересечения диагоналей параллелограмма, центр правильного шестиугольника.
Правильный $n$ -угольник имеет центр симметрии тогда и только тогда, когда $n$ чётно: при нечётном $n$ против вершины лежит сторона.
Прямая — бесконечно много центров (любая её точка). Луч — ни одного: начало луча перешло бы в точку, «за которой» луч идёт в другую сторону.
Вопрос: есть ли центр симметрии у ромба, прямоугольника, квадрата? (да — это параллелограммы).

R06.2

Теорема · доказательство

Параллелограмм — центрально-симметричная фигура

Дано:

A BC D

— параллелограмм,

A C \cap B D = O

.
Доказать:

Z_{O} (A BC D) = A BC D

.

1

A \leftrightarrow C

,

B \leftrightarrow D

диагонали делятся точкой

O

пополам

2

A B \to C D

,

BC \to D A

отрезок — в отрезок с концами в образах концов

3

M \in A B \Rightarrow M^{'} \in C D

каждая сторона — в противоположную: фигура переходит в себя

R06.2

Образец → сам · задача на доказательство

Прямая через центр параллелограмма

Образец: прямая через $O = A C \cap B D$ пересекает $A B$ в $M$ , $C D$ в $N$ . Докажите: $OM = ON$ .

$Z_{O}$ : прямая $A B \to$ прямая $C D$ теорема о параллелограмме

прямая $MN \to$ сама в себя проходит через центр $O$

$M = A B \cap MN \to C D \cap MN = N$ , $OM = ON$ определение симметричных точек

Сам: докажите

$A M = CN$ $Z_{O}$ : отрезок $A M \to CN$
прямая $MN$ делит площадь $A BC D$ пополам $A MN D \to CNMB$
прямые через $O$ : $M, N$ на $A B, C D$ ; $K, L$ на $BC, A D$ . $M K N L$ — параллелограмм диагонали делятся пополам

3 мин · практика
Образец: образ точки пересечения двух прямых — точка пересечения их образов. Можно решить и через равенство треугольников $△ A OM = △ CON$ (II признак) — сравнить с классом: симметрия короче.
1) $A \to C$ , $M \to N$ ⇒ отрезок $A M \to CN$ , длины равны (свойство 1).
2) $Z_{O}$ : $A \to C$ , $M \to N$ , $N \to M$ , $D \to B$ , значит четырёхугольник $A MN D$ переходит в $CNMB$ — равные фигуры, равные площади; вместе они составляют $A BC D$ .
3) $OM = ON$ и $O K = O L$ (как в образце) ⇒ диагонали $MN$ и $K L$ четырёхугольника $M K N L$ делятся точкой $O$ пополам ⇒ параллелограмм (признак).

R06.1 · углублённый

Образец → сам · задача на построение

Отрезок с данной серединой и концами на прямых

Образец: постройте отрезок $A B$ с серединой $O$ , где $A \in a$ , $B \in b$ .

$a^{'} = Z_{O} (a)$ отразить две точки прямой $a$

$B = a^{'} \cap b$ $B$ — образ искомой точки $A$

$A = Z_{O} (B) \in a$ $O$ — середина $A B$ по определению

Сам

$O$ — внутри угла. Постройте отрезок с серединой $O$ и концами на сторонах угла отразить одну сторону
Концы на прямой $a$ и окружности $ω$ . Сколько решений? $0$ , $1$ или $2$
$a ∥ b$ . Когда есть решение? $O$ — на средней прямой

3 мин · практика
Метод: искомая точка $B$ лежит на $b$ и на образе $a^{'}$ прямой $a$ (так как её образ $A$ лежит на $a$ ). Чертёж открывается по шагам: $a^{'}$ , точка $B$ , отрезок $A B$ .
Исследование образца: если $a^{'} ∥ b$ (то есть $a ∥ b$ ) — решений нет или бесконечно много; иначе — ровно одно.
1) Сторону угла отражаем относительно $O$ , пересекаем со второй стороной — получаем $B$ , затем $A = Z_{O} (B)$ . 2) Отражаем окружность $ω$ (центр отражаем, радиус тот же) и пересекаем с прямой $a$ : точек пересечения $0$ , $1$ или $2$ .
3) При $a ∥ b$ образ $a^{'}$ параллелен $b$ : решение есть, только если $a^{'} = b$ , то есть $O$ равноудалена от $a$ и $b$ (лежит на средней параллельной прямой), — тогда решений бесконечно много.

R06.1 · R04

Образец → сам · уравнения образов

Подставляем $(- x; - y)$ вместо $(x; y)$

Образец: найдите образы прямой $y = 2 x + 3$ и окружности $(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} = 9$ при $Z_{O}$ , $O (0; 0)$ .

$- y = - 2 x + 3 \Rightarrow y = 2 x - 3$ параллельна исходной — свойство 2

центр $(2; - 1) \to (- 2; 1)$ , $R = 3$ окружность — в окружность того же радиуса

$(x + 2)^{2} + (y - 1)^{2} = 9$ уравнение окружности

Сам

$y = - x + 4$ , центр $O (0; 0)$ $y = - x - 4$
$x^{2} + (y - 3)^{2} = 4$ , центр $P (1; 1)$ $(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} = 4$
Точка оси $O x$ , относительно которой $y = 2 x + 3$ симметрична $y = 2 x - 5$ $(0, 5; 0)$

R06.1 · R06.2

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$M (3; 4)$ , центр $P (1; 2)$ : $M^{'} (- 3; - 4)$	формула для начала координат	$M^{'} (2 - 3; 4 - 4) = (- 1; 0)$
«Прямая переходит в себя»	только если проходит через центр	иначе — в параллельную прямую
«У трапеции центр — точка пересечения диагоналей»	диагонали трапеции не делятся пополам	у трапеции центра симметрии нет
«Правильный треугольник имеет центр симметрии»	против вершины — сторона	центр есть только при чётном $n$

R06.1 · R06.2

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Образ $A (- 2; 5)$ относительно $P (3; - 1)$ .

$x^{'} = 3 - (- 2) = 5$

$y^{'} = - 1 - 5 = - 6$

$A^{'} (5; - 6)$

$x^{'} = 6 + 2 = 8$
$y^{'} = - 2 - 5 = - 7$
$A^{'} (8; - 7)$

б) Образ прямой $y = 3 x - 2$ при $Z_{O}$ , $O (0; 0)$ .

$- y = 3 x - 2$

$y = - 3 x + 2$

$- y = - 3 x - 2$
$y = 3 x + 2$

в) Сколько центров симметрии у пары параллельных прямых?

«Один — середина общего перпендикуляра»

бесконечно много: любая точка средней параллельной прямой

2 мин · практика
Сначала видны «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Забыто удвоение координат центра: $x^{'} = 2 \cdot 3 - (- 2) = 8$ , $y^{'} = 2 \cdot (- 1) - 5 = - 7$ . Проверка: середина $(\frac{- 2 + 8}{2}; \frac{5 - 7}{2}) = (3; - 1)$ ✓.
б) Заменили только $y$ , а $x$ оставили: нужно $- y = 3 (- x) - 2$ , откуда $y = 3 x + 2$ — параллельна исходной (свойство 2), а у ответа ученика другой угловой коэффициент — сразу видно, что неверно.
в) Если $O$ равноудалена от прямых $a$ и $b$ , то $Z_{O} (a)$ — прямая, параллельная $a$ , на том же расстоянии от $O$ с другой стороны, то есть $b$ . Таких точек — вся средняя прямая.

R06.1 · R06.2

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

базаТочка, симметричная $(4; - 3)$ относительно $O (0; 0)$ $(- 4; 3)$
базаТочка, симметричная $(2; 7)$ относительно $(1; 1)$ $(0; - 5)$
база $A (- 1; 6) \to A^{'} (5; 2)$ . Центр? $(2; 4)$

базаСколько центров симметрии у окружности? один
база $A B = 10$ . Длина образа $A B$ при $Z_{O}$ ? $10$
базаЕсть ли центр симметрии у ромба? у равнобедренного треугольника? да; нет

R06.1 · R06.2

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Образ окружности $(x + 1)^{2} + (y - 4)^{2} = 25$ относительно точки $(2; 1)$ $(x - 5)^{2} + (y + 2)^{2} = 25$
повыш.Сколько центров симметрии у двух пересекающихся прямых? один — точка пересечения
повыш.Докажите: четырёхугольник, имеющий центр симметрии, — параллелограмм $A \leftrightarrow C$ , $B \leftrightarrow D$ ⇒ диагонали делятся пополам
повыш.При каком $b$ прямая $y = 2 x + b$ переходит в себя при симметрии относительно $(1; 5)$ ? $b = 3$

2,5 мин · практика
1) Центр $(- 1; 4) \to (2 \cdot 2 + 1; 2 \cdot 1 - 4) = (5; - 2)$ , радиус $5$ .
2) Центр — точка пересечения $P$ : каждая прямая проходит через $P$ и переходит в себя. Если центр $Q \neq = P$ , то хотя бы одна прямая не проходит через $Q$ и переходит в параллельную ей другую прямую — фигура не сохраняется.
3) Движение переводит вершины в вершины; вершина не переходит в себя (неподвижна только точка $O$ , а она внутри). Если бы $A \leftrightarrow B$ , то $O$ — середина стороны $A B$ и одновременно $C D$ — стороны пересекались бы. Значит $A \leftrightarrow C$ , $B \leftrightarrow D$ : $O$ — середина обеих диагоналей ⇒ параллелограмм (признак).
4) Прямая переходит в себя ⇔ проходит через центр: $5 = 2 \cdot 1 + b$ , $b = 3$ .

R06.2 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 17, 19 и 24

Центр параллелограмма на экзамене

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Любой параллелограмм имеет центр симметрии.
Центр симметрии ромба — точка пересечения его диагоналей.
Равносторонний треугольник имеет центр симметрии.

Ответ: 12

ОГЭ 17 Прямая через $O = A C \cap B D$ пересекает $BC$ в $K$ , $A D$ в $L$ ; $B K = 3$ , $A D = 10$ . Найдите $A L$ .

Ответ: 7

ОГЭ 24 Та же прямая $K L$ . Докажите, что $B K = D L$ .

$BO = O D$ , $∠ BO K = ∠ D O L$ (вертикальные), $∠ K BO = ∠ L D O$ (накрест лежащие, $BC ∥ A D$ )

$△ BO K = △ D O L$ (II признак) ⇒ $B K = D L$

2 мин · практика
19) 1 — верно (теорема урока); 2 — верно (ромб — параллелограмм); 3 — неверно (центр правильного треугольника — не центр симметрии). Ответ: 12.
17) По задаче 24 (или по симметрии с центром $O$ ): $D L = B K = 3$ , $A L = A D - D L = 10 - 3 = 7$ .
24) На экзамене оформляем через равенство треугольников (II признак), как на слайде; ссылку «центральная симметрия» тоже можно, но с доказанной теоремой о параллелограмме. Короткая запись: $Z_{O}$ переводит $B \to D$ , прямую $BC \to A D$ , прямую $K L$ в себя ⇒ $K \to L$ ⇒ $B K = D L$ .

R06.2 · практика

Задача из жизни · один разрез

Разделить торт с вырезом пополам

Прямоугольный торт, из него вырезан прямоугольный кусок. Как одним прямым разрезом разделить остаток на две равные по площади части? через центры $O_{1}$ и $O_{2}$
Какие буквы не меняются при повороте листа на $18 0^{\circ}$ : А, Н, О, Т, И, С, Х? Н, О, И, Х

1,5 мин · практика
1) Любая прямая через центр симметрии прямоугольника делит его площадь пополам (как в образце 3). Прямая через оба центра делит пополам и торт, и вырезанный кусок; разность половин — тоже половина остатка. Чертёж открывается по щелчку.
2) Поворот на $18 0^{\circ}$ — это и есть центральная симметрия. В обычном печатном шрифте центр симметрии есть у Н, О, И, Х (у А, Т — ось, у С — горизонтальная ось).
Связь с R06.9 (симметрия в искусстве и архитектуре) — следующие уроки строки.

R06.1 · R06.2

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Точка, симметричная $(- 5; 2)$ относительно $O (0; 0)$ $(5; - 2)$
Точка, симметричная $(6; 1)$ относительно $P (2; - 3)$ $(- 2; - 7)$
Образ прямой $y = - 2 x + 7$ при $Z_{O}$ , $O (0; 0)$ $y = - 2 x - 7$
Есть ли центр симметрии: квадрат, равнобедренная трапеция, правильный восьмиугольник? да, нет, да

Вариант 2

Точка, симметричная $(3; - 8)$ относительно $O (0; 0)$ $(- 3; 8)$
Точка, симметричная $(2; 5)$ относительно $P (- 1; 4)$ $(- 4; 3)$
Образ прямой $y = 3 x - 4$ при $Z_{O}$ , $O (0; 0)$ $y = 3 x + 4$
Есть ли центр симметрии: прямоугольник, правильный треугольник, правильный шестиугольник? да, нет, да

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как построить точку, симметричную данной?
Во что переходит прямая при $Z_{O}$ ?
Какие правильные многоугольники имеют центр симметрии?

Домашнее задание

Образ окружности $(x - 3)^{2} + y^{2} = 16$ относительно $(1; 2)$ .
Постройте отрезок с серединой $O$ , концы которого лежат на данных прямой и окружности.
* Докажите: у фигуры не бывает ровно двух центров симметрии.
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_dvizheniya.htm

1 мин · практика (рефлексия, запись ДЗ)
Ответы ДЗ: 1) центр $(3; 0) \to (2 - 3; 4 - 0) = (- 1; 4)$ : $(x + 1)^{2} + (y - 4)^{2} = 16$ .
2) Отразить окружность относительно $O$ (центр отражаем, радиус тот же) и пересечь с прямой: $0$ , $1$ или $2$ решения; второй конец — образ найденной точки.
3*) Если $O_{1}$ и $O_{2}$ — центры, то $Z_{O_{2}} (Z_{O_{1}} (O_{2}))$ — тоже центр (композиция двух симметрий — параллельный перенос на $2 O_{1} O_{2}$ ), и так без конца: центров бесконечно много (урок R06.10).
Следующий урок — поворот и осевая симметрия (GEOM9U-082): центральная симметрия — поворот на $18 0^{\circ}$ .

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9U-081 · Центральная симметрия. Центрально-симметричные фигуры

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R06 «Движения плоскости», 10 ч · урок 1/10 · тип Н
Единицы → слайды	R06.1 «Центральная симметрия» → 2, 4–9, 13–19, 21 · R06.2 «Центрально-симметричные фигуры» → 2, 10–12, 15–22 · повторение 8 класса и R04 (координаты, окружность) → 3, 5, 14
Результаты	ПР-18 (движения, центры симметрии фигур, применение движений в задачах) → 2, 4–22
Вне урока	поворот и осевая симметрия (R06.3–R06.4) — GEOM9U-082; понятие движения (R06.7) — дано только как «сохраняет расстояния»; композиции (R06.10) — задача ДЗ*
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Центральная симметрия. Центрально-симметричные фигуры

Сегодня вы научитесь

Строить симметричные точки

Находить координаты образа

Доказывать свойства

Применять симметрию

Середина отрезка, координаты, параллелограмм

Точки, симметричные относительно точки

Формулы через середину отрезка

Удваиваем центр и вычитаем точку

Образец: найдите точку, симметричную M(−3;5) относительно P(1;2).

Сам

Центральная симметрия сохраняет расстояния

Прямая переходит в параллельную прямую

Центр — середина отрезка между точкой и её образом

Образец: ZO​ переводит A(1;4) в A′(5;−2). Найдите O, образ B(−1;0) и A′B′.

Сам

Фигура переходит сама в себя

Параллелограмм — центрально-симметричная фигура

Прямая через центр параллелограмма

Образец: прямая через O=AC∩BD пересекает AB в M, CD в N. Докажите: OM=ON.

Сам: докажите

Отрезок с данной серединой и концами на прямых

Образец: постройте отрезок AB с серединой O, где A∈a, B∈b.

Сам

Подставляем (−x;−y) вместо (x;y)

Образец: найдите образы прямой y=2x+3 и окружности (x−2)2+(y+1)2=9 при ZO​, O(0;0).

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Образ A(−2;5) относительно P(3;−1).

б) Образ прямой y=3x−2 при ZO​, O(0;0).

в) Сколько центров симметрии у пары параллельных прямых?

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Центр параллелограмма на экзамене

Разделить торт с вырезом пополам

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9U-081 · Центральная симметрия. Центрально-симметричные фигуры

Образец: найдите точку, симметричную $M (- 3; 5)$ относительно $P (1; 2)$ .

Образец: $Z_{O}$ переводит $A (1; 4)$ в $A^{'} (5; - 2)$ . Найдите $O$ , образ $B (- 1; 0)$ и $A^{'} B^{'}$ .

Образец: прямая через $O = A C \cap B D$ пересекает $A B$ в $M$ , $C D$ в $N$ . Докажите: $OM = ON$ .

Образец: постройте отрезок $A B$ с серединой $O$ , где $A \in a$ , $B \in b$ .

Подставляем $(- x; - y)$ вместо $(x; y)$

Образец: найдите образы прямой $y = 2 x + 3$ и окружности $(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} = 9$ при $Z_{O}$ , $O (0; 0)$ .

а) Образ $A (- 2; 5)$ относительно $P (3; - 1)$ .

б) Образ прямой $y = 3 x - 2$ при $Z_{O}$ , $O (0; 0)$ .