Длина окружности и площадь круга · урок 16 из 16

Обобщение: длина окружности и площадь круга

Геометрия · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R05 · GEOM9U-080

0,5 мин · теория (орг. момент, тема, план урока)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R05 «Длина окружности и площадь круга» (16 ч), урок 16/16, все единицы R05.1–R05.6. Тип урока — О (обобщение и систематизация).
Теория (12): титул 0,5 · цели 0,5 · сводки: многоугольники 3 · окружность, дуга, радиан 3 · круг и его части 3 · схема «от многоугольника к кругу» 2.
Практика (33): разминка 2 · пять образцов → сам 2,5 + 2,5 + 2,5 + 2,5 + 2,5 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2,5 · повышенный 2,5 · ОГЭ 16/18 — 2 · ОГЭ 23 — 2 · задача из жизни 1,5 · самостоятельная 3,5 · итог 1.
Полное название урока по ФРП: «Обобщение и систематизация по теме „Длина окружности и площадь круга“». Если не успеваете: задачу из жизни и повышенный уровень (№ 3–4) — в ДЗ; сводки не пропускать, их можно вести фронтальным опросом.

R05.1–R05.6

Цели урока

Сегодня вы повторите и научитесь

Правильные многоугольники

находить сторону, $R$ , $r$ , угол и площадь по одному элементу (ПР-16)

Длина окружности и дуги

считать $C$ и $l$ , переходить от градусов к радианам и обратно (ПР-16)

Площадь круга и частей

сектор, сегмент, кольцо, составные фигуры — сложить или вычесть (ПР-16)

Задачи ОГЭ и из жизни

смысл числа $π$ , ответ точно и приближённо, полное решение (ПР-17)

0,5 мин · теория
ПР-16: «Владеть понятиями правильного многоугольника, длины окружности, длины дуги окружности и радианной меры угла, вычислять площадь круга и его частей».
ПР-17: «Понимать смысл числа π. Применять полученные умения при решении практических задач. Знать исторические сведения об измерении длины окружности и площади круга».
Урок обобщающий: после каждой сводки — образец и задания «сам» на тот же тип; в конце — самостоятельная по всей строке R05.

повторение: R05.1–R05.5

Разминка · устно

Семь быстрых вопросов

Угол правильного шестиугольника? $12 0^{\circ}$
На рисунке $R = 5$ . Сторона шестиугольника? $5$
Длина окружности радиуса $4$ ? $8 π$
$9 0^{\circ}$ — сколько радиан? $\frac{π}{2}$
Длина дуги в $1$ рад при $R = 7$ ? $7$
Площадь круга с диаметром $6$ ? $9 π$
На рисунке $R = 6$ . Площадь сектора? $6 π$

R05.1

Сводка · правильные многоугольники

Всё через $R$ и угол $\frac{18 0 ^{\circ}}{n}$

α_{n} = \frac{18 0 ^{\circ} ( n - 2 )}{n}

угол многоугольника

a = 2 R sin \frac{18 0 ^{\circ}}{n}

сторона

r = R cos \frac{18 0 ^{\circ}}{n}

радиус вписанной

S = \frac{1}{2} P r

площадь

$n$	$3$	$4$	$6$
$R$	$\frac{a 3}{3}$	$\frac{a 2}{2}$	$a$
$r$	$\frac{a 3}{6}$	$\frac{a}{2}$	$\frac{a 3}{2}$

3 мин · теория
Ключевой треугольник $O H A$ (на чертеже): прямоугольный, угол при $O$ равен $\frac{18 0 ^{\circ}}{n}$ (половина центрального угла $\frac{36 0 ^{\circ}}{n}$ ), гипотенуза $R$ , катеты $r$ и $\frac{a}{2}$ . Отсюда $\frac{a}{2} = R sin \frac{18 0 ^{\circ}}{n}$ и $r = R cos \frac{18 0 ^{\circ}}{n}$ .
Площадь: многоугольник разбивается на $n$ треугольников с основанием $a$ и высотой $r$ : $S = n \cdot \frac{1}{2} a r = \frac{1}{2} P r$ .
Таблица — частные случаи: $n = 3$ : $sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}$ , $a = R 3$ , $r = \frac{R}{2}$ ; $n = 4$ : $a = R 2$ ; $n = 6$ : $a = R$ . Вопрос классу: для какого $n$ сторона равна радиусу? ( $n = 6$ , $sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ .)
Строка таблицы открывается по щелчку — сначала пусть класс сам вспомнит $R$ и $r$ для треугольника.

R05.2–R05.4

Сводка · длина окружности, дуга, радиан

Длина окружности и дуги, две меры угла

C = 2 π R = π d, π = \frac{C}{d} \approx 3, 14

окружность

l = \frac{π R α}{18 0 ^{\circ}}

дуга,

α

в градусах

1 рад

: дуга

= R

;

π рад = 18 0^{\circ}

радиан

φ = \frac{π α}{18 0 ^{\circ}}, l = Rφ

дуга,

φ

в радианах

3 мин · теория
Длина окружности — предел периметров вписанных правильных многоугольников при неограниченном удвоении числа сторон (схема на сл. 7). Отношение $\frac{C}{d}$ одинаково для всех окружностей (все окружности подобны) — это число $π$ .
Дуга $α^{\circ}$ — это $\frac{α}{360}$ окружности: $l = \frac{2 π R α}{360} = \frac{π R α}{180}$ .
Радиан — центральный угол, опирающийся на дугу длиной $R$ . Полный угол $= 2 π$ рад, $1 рад = \frac{18 0 ^{\circ}}{π} \approx 57, 3^{\circ}$ . Переводы: $φ = \frac{π α}{180}$ , $α = \frac{180 φ}{π}$ .
Вопрос классу: почему в радианах формула дуги проще? (Множитель $\frac{π}{180}$ «спрятан» в мере угла.)

R05.5–R05.6

Сводка · площадь круга и его частей

Круг, сектор, сегмент, кольцо

S = π R^{2} = \frac{π d ^{2}}{4}

круг

S = \frac{π R ^{2} α}{36 0 ^{\circ}} = \frac{R ^{2} φ}{2} = \frac{lR}{2}

сектор

S = \frac{R ^{2}}{2} (φ - sin φ)

сегмент

S = π (R^{2} - r^{2})

кольцо

сложить или вычесть части составная фигура

3 мин · теория
Площадь круга — предел площадей вписанных правильных многоугольников: $S_{n} = \frac{1}{2} P_{n} r_{n} \to \frac{1}{2} \cdot 2 π R \cdot R = π R^{2}$ .
Сегмент: сектор минус треугольник $\frac{1}{2} R^{2} sin φ$ (при $φ < π$ ); при $φ > π$ треугольник прибавляется, а формула верна, потому что $sin φ < 0$ . Угол — в радианах.
Составная фигура: площадь — сумма/разность частей; периметр — только граница фигуры (дуги и отрезки), внутренние линии не входят.
Вопрос классу: почему $\frac{lR}{2}$ похоже на площадь треугольника? (Сектор — «треугольник» с основанием $l$ и высотой $R$ .)

R05.2, R05.5 · история

Схема · от многоугольника к кругу

Откуда берутся $2 π R$ и $π R^{2}$

$n$	$P_{n} = 2 n R sin \frac{18 0 ^{\circ}}{n}$	$S_{n} = \frac{n}{2} R^{2} sin \frac{36 0 ^{\circ}}{n}$
$6$	$6 R$	$\approx 2, 598 R^{2}$
$12$	$\approx 6, 212 R$	$3 R^{2}$
$96$	$\approx 6, 282 R$	$\approx 3, 139 R^{2}$
$n \to \infty$	$2 π R \approx 6, 283 R$	$π R^{2} \approx 3, 142 R^{2}$

Архимед: $96$ -угольник $\Rightarrow 3 \frac{10}{71} < π < 3 \frac{1}{7}$

2 мин · теория
На чертеже: вписанный шестиугольник (белый), двенадцатиугольник (сиреневый) и круг (розовый). При удвоении числа сторон многоугольник всё плотнее прилегает к окружности.
Проверка чисел: $P_{12} = 24 R sin 1 5^{\circ} \approx 6, 2117 R$ ; $S_{12} = 6 R^{2} sin 3 0^{\circ} = 3 R^{2}$ ; $P_{96} = 192 R sin 1, 87 5^{\circ} \approx 6, 2821 R$ ; $S_{96} = 48 R^{2} sin 3, 7 5^{\circ} \approx 3, 1394 R^{2}$ .
История (ПР-17): Архимед (III в. до н. э.) удваивал число сторон вписанного и описанного многоугольников до 96 и получил $3 \frac{10}{71} < π < 3 \frac{1}{7}$ ; $\frac{22}{7} \approx 3, 143$ — «архимедово число». Обозначение $π$ ввёл У. Джонс (1706), закрепил Л. Эйлер.

R05.1

Образец → сам · правильный многоугольник

Треугольник между двумя окружностями

Образец: правильный треугольник $A BC$ , $A B = 6$ . Найдите $R$ , $r$ и площадь кольца между окружностями.

$R = \frac{a 3}{3} = 23, r = \frac{R}{2} = 3$ таблица, сл. 4

$S = π (R^{2} - r^{2}) = π (12 - 3) = 9 π \approx 28, 27$

Сам

Правильный шестиугольник: $r = 33$ . Найдите сторону и площадь. $a = 6$ , $S = 543$
Сторона правильного $n$ -угольника равна $R$ . Найдите $n$ . $n = 6$
Угол правильного многоугольника $15 0^{\circ}$ . Сколько у него сторон? $12$

R05.2–R05.3

Образец → сам · длина окружности и дуги

По длине дуги — угол и хорда

Образец: в окружности радиуса $9$ длина дуги $A B$ равна $3 π$ . Найдите $∠ A OB$ и хорду $A B$ .

$\frac{π \cdot 9 \cdot α}{18 0 ^{\circ}} = 3 π \Rightarrow α = 6 0^{\circ}$ формула дуги

$O A = OB$ , $∠ A OB = 6 0^{\circ}$ ⇒ $△ A OB$ правильный, $A B = 9$

Сам

Длина окружности $18 π$ . Найдите $R$ и длину дуги $12 0^{\circ}$ . $R = 9$ , $l = 6 π$
Дуга $4 5^{\circ}$ имеет длину $2 π$ . Найдите длину окружности. $16 π$
Колесо радиуса $0, 35$ м сделало $200$ оборотов. Какой путь пройден? $140 π \approx 440$ м

R05.4

Образец → сам · радианная мера

Угол сектора в радианах

Образец: радиус сектора $6$ , длина его дуги $8$ . Найдите угол в радианах и градусах и площадь сектора.

$φ = \frac{l}{R} = \frac{4}{3}$ рад $= \frac{24 0 ^{\circ}}{π} \approx 76, 4^{\circ}$

$S = \frac{lR}{2} = \frac{8 \cdot 6}{2} = 24$ или $\frac{R ^{2} φ}{2}$

Сам

Переведите $15 0^{\circ}$ в радианы, $\frac{3 π}{4}$ — в градусы. $\frac{5 π}{6}$ ; $13 5^{\circ}$
Длина дуги при $R = 5$ и угле $2, 4$ рад? $12$
Периметр сектора $20$ , $R = 5$ . Найдите угол (рад) и площадь. $2$ рад, $S = 25$

R05.5

Образец → сам · сектор и сегмент

Два сегмента одной хорды

Образец: $R = 6$ , хорда $A B = 62$ . Найдите площади меньшего и большего сегментов.

$O A^{2} + O B^{2} = 72 = A B^{2} \Rightarrow ∠ A OB = 9 0^{\circ}$ т., обратная т. Пифагора

$S_{м} = 9 π - 18 \approx 10, 27$ сектор $- △ A OB$

$S_{б} = 36 π - (9 π - 18) = 27 π + 18$

Сам

Площадь сектора $13 5^{\circ}$ при $R = 4$ ? $6 π$
$R = 2$ , дуга $6 0^{\circ}$ . Площадь меньшего сегмента? $\frac{2 π}{3} - 3 \approx 0, 36$
Площадь сектора $3 π$ , длина его дуги $π$ . Найдите $R$ и угол. $R = 6$ , $3 0^{\circ}$

R05.1, R05.6

Образец → сам · составная фигура

Круг без вписанного шестиугольника

Образец: правильный шестиугольник со стороной $4$ вписан в окружность. Найдите площадь части круга вне шестиугольника и периметр одного сегмента.

$S = π \cdot 4^{2} - 6 \cdot \frac{3}{4} \cdot 4^{2} = 16 π - 243 \approx 8, 70$

$P = \frac{π \cdot 4 \cdot 6 0 ^{\circ}}{18 0 ^{\circ}} + 4 = \frac{4 π}{3} + 4 \approx 8, 19$

Сам

Квадрат вписан в окружность $R = 3$ . Площадь части круга вне квадрата? $9 π - 18 \approx 10, 27$
Правильный треугольник со стороной $6$ без вписанного круга. Площадь? $93 - 3 π \approx 6, 16$
Из вершин правильного треугольника со стороной $4$ — секторы радиуса $2$ внутрь. Площадь остатка? $43 - 2 π \approx 0, 65$

R05.1–R05.5

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
квадрат в круге $R = 3$ : $a = 3$	$a = R$ — только у шестиугольника	$a = 2 R sin 4 5^{\circ} = 32$
$R = 6$ , $3 0^{\circ}$ : $l = R α = 180$	$l = Rφ$ — угол в радианах	$l = 6 \cdot \frac{π}{6} = π$
$d = 10$ : $S = π \cdot 1 0^{2}$	в формуле радиус, а не диаметр	$S = π \cdot 5^{2} = 25 π$
$2$ рад $= \frac{2 π}{180}$ градуса	перевод «наоборот»	$2 \cdot \frac{18 0 ^{\circ}}{π} \approx 114, 6^{\circ}$

R05.1, R05.4, R05.5

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Правильный шестиугольник, $r = 6$ . Площадь?

$a = r = 6$

$S = 6 \cdot \frac{3}{4} \cdot 36 = 543$

$a = R$ , а $r = \frac{a 3}{2}$ ⇒ $a = 43$

$S = 6 \cdot \frac{3}{4} \cdot 48 = 723$

б) Дуга $2$ рад, $R = 3$ . Длина дуги?

$l = \frac{π \cdot 3 \cdot 2}{180} = \frac{π}{30}$

формула для градусов, а угол в радианах

$l = Rφ = 3 \cdot 2 = 6$

в) Сегмент с дугой $24 0^{\circ}$ , $R = 3$ . Площадь?

$S_{сект} = \frac{9 π \cdot 240}{360} = 6 π$

$S = 6 π - \frac{9 3}{4}$

дуга больше $18 0^{\circ}$ — треугольник прибавить

$S = 6 π + \frac{9 3}{4} \approx 22, 75$

2 мин · практика
Сначала видны «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Перепутаны $r$ и $R$ (у шестиугольника $a = R$ , не $r$ ). $a = \frac{2 r}{3} = \frac{12}{3} = 43$ , $a^{2} = 48$ , $S = 723 \approx 124, 7$ . Сверка: $S = \frac{1}{2} P r = \frac{1}{2} \cdot 243 \cdot 6 = 723$ .
б) Формула $\frac{π R α}{180}$ — для градусов. Абсурд видно сразу: дуга $\approx 0, 1$ при радиусе $3$ и угле больше $10 0^{\circ}$ .
в) Сегмент с дугой больше полуокружности содержит центр и весь треугольник $A OB$ : $S_{△} = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot sin 12 0^{\circ} = \frac{9 3}{4}$ ; $S = 6 π + \frac{9 3}{4} \approx 18, 85 + 3, 90 = 22, 75$ . По формуле $\frac{R ^{2}}{2} (φ - sin φ)$ с $φ = \frac{4 π}{3}$ — то же.

R05.1–R05.5

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

базаСторона квадрата, вписанного в окружность $R = 52$ . $10$
база $r$ для правильного шестиугольника со стороной $23$ . $3$
базаДлина окружности, описанной около квадрата со стороной $4$ . $42 π$

база $21 0^{\circ}$ в радианах. $\frac{7 π}{6}$
базаДлина дуги $4 0^{\circ}$ при $R = 9$ . $2 π$
базаПлощадь сектора $1, 5$ рад при $R = 4$ . $12$

R05.1–R05.6

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Найдите площадь правильного $12$ -угольника, вписанного в окружность радиуса $R$ . $3 R^{2}$
повыш.Хорда длиной $63$ стягивает дугу $12 0^{\circ}$ . Найдите длину окружности. $12 π$
повыш.Площадь сегмента с дугой $6 0^{\circ}$ равна $6 π - 93$ . Найдите радиус. $6$
из жизниМаятник длиной $0, 8$ м отклоняется на $0, 3$ рад в каждую сторону. Длина дуги между крайними положениями? $0, 48$ м

R05.1–R05.5 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 16, 17 и 18

Ответ — одно число

ОГЭ 16Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен $8$ . Найдите высоту треугольника. $12$
ОГЭ 17Найдите площадь круга, вписанного в квадрат со стороной $10$ . В ответе укажите $S : π$ . $25$
ОГЭ 18На клетчатой бумаге с клетками $1 \times 1$ изображён круг. Найдите его площадь, делённую на $π$ . $25$

R05.1, R05.6 · ОГЭ, ч. 2

Формат ОГЭ · линия 23

Вторая часть: полное решение

ОГЭ 23 Радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник, равен $3$ . Найдите площадь части шестиугольника, лежащей вне круга.

1

O H = r = 3

,

∠ H OB = 3 0^{\circ}

O H ⊥ A B

,

O H

— высота правильного

△ A OB

2

A B = \frac{2 r}{3} = 23

r = \frac{a 3}{2}

3

S_{6} = 6 \cdot \frac{3}{4} \cdot 12 = 183

,

S_{\circ} = 9 π

4

S = 183 - 9 π \approx 2, 90

R05.2–R05.4 · задача из жизни

Задача из жизни · колесо обозрения

Диаметр $60$ м, $30$ кабинок, оборот за $15$ минут

Расстояние по дуге между соседними кабинками? $2 π \approx 6, 28$ м
На какой угол (в радианах и градусах) колесо поворачивается за $1$ минуту? $\frac{2 π}{15}$ рад $= 2 4^{\circ}$
Какой путь проходит кабинка за $5$ минут? $20 π \approx 62, 8$ м

R05.1–R05.5

Самостоятельная работа · 3,5 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Сторона правильного треугольника $63$ . Найдите $R$ . $6$
Длина дуги $12 0^{\circ}$ при $R = 6$ . $4 π$
$\frac{3 π}{5}$ рад — в градусы. $10 8^{\circ}$
Сегмент с дугой $9 0^{\circ}$ , $R = 2$ : площадь. $π - 2 \approx 1, 14$

Вариант 2

Сторона квадрата $82$ . Найдите $R$ . $8$
Длина дуги $15 0^{\circ}$ при $R = 6$ . $5 π$
$\frac{5 π}{9}$ рад — в градусы. $10 0^{\circ}$
Сегмент с дугой $9 0^{\circ}$ , $R = 4$ : площадь. $4 π - 8 \approx 4, 57$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как выразить $a$ и $r$ правильного $n$ -угольника через $R$ ?
Что такое $1$ радиан?
Когда сегмент — сектор плюс треугольник?

Домашнее задание

Правильный восьмиугольник вписан в окружность $R = 2$ : площадь.
Дуга $2, 5$ рад, $R = 4$ : длина дуги и площадь сектора.
* «Цветок»: на сторонах квадрата $4 \times 4$ внутрь — полукруги. Площадь лепестков.
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_adv_mnogougolniki.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9U-080 · Обобщение и систематизация по теме «Длина окружности и площадь круга»

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R05 «Длина окружности и площадь круга», 16 ч · урок 16/16 · тип О
Единицы → слайды	R05.1 → 3, 4, 8, 12, 14, 15–18, 20 · R05.2 → 3, 5, 7, 9, 15, 19 · R05.3 → 5, 9, 15, 20 · R05.4 → 3, 5, 10, 13, 14, 15, 19, 20 · R05.5 → 3, 6, 7, 11, 14, 15, 20 · R05.6 → 6, 12, 16, 18
Результаты	ПР-16 (правильные многоугольники, длина окружности и дуги, радиан, площадь круга и частей) → 3–6, 8–18, 20 · ПР-17 (смысл π, история, практические задачи) → 5, 7, 16, 19
Вне урока	движения плоскости (центральная симметрия) — GEOM9U-081
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Обобщение: длина окружности и площадь круга

Сегодня вы повторите и научитесь

Правильные многоугольники

Длина окружности и дуги

Площадь круга и частей

Задачи ОГЭ и из жизни

Семь быстрых вопросов

Всё через R и угол n180∘​

Длина окружности и дуги, две меры угла

Круг, сектор, сегмент, кольцо

Откуда берутся 2πR и πR2

Треугольник между двумя окружностями

Образец: правильный треугольник ABC, AB=6. Найдите R, r и площадь кольца между окружностями.

Сам

По длине дуги — угол и хорда

Образец: в окружности радиуса 9 длина дуги AB равна 3π. Найдите ∠AOB и хорду AB.

Сам

Угол сектора в радианах

Образец: радиус сектора 6, длина его дуги 8. Найдите угол в радианах и градусах и площадь сектора.

Сам

Два сегмента одной хорды

Образец: R=6, хорда AB=62​. Найдите площади меньшего и большего сегментов.

Сам

Круг без вписанного шестиугольника

Образец: правильный шестиугольник со стороной 4 вписан в окружность. Найдите площадь части круга вне шестиугольника и периметр одного сегмента.

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Правильный шестиугольник, r=6. Площадь?

б) Дуга 2 рад, R=3. Длина дуги?

в) Сегмент с дугой 240∘, R=3. Площадь?

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

Вторая часть: полное решение

Диаметр 60 м, 30 кабинок, оборот за 15 минут

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9U-080 · Обобщение и систематизация по теме «Длина окружности и площадь круга»

Всё через $R$ и угол $\frac{18 0 ^{\circ}}{n}$

Откуда берутся $2 π R$ и $π R^{2}$

Образец: правильный треугольник $A BC$ , $A B = 6$ . Найдите $R$ , $r$ и площадь кольца между окружностями.

Образец: в окружности радиуса $9$ длина дуги $A B$ равна $3 π$ . Найдите $∠ A OB$ и хорду $A B$ .

Образец: радиус сектора $6$ , длина его дуги $8$ . Найдите угол в радианах и градусах и площадь сектора.

Образец: $R = 6$ , хорда $A B = 62$ . Найдите площади меньшего и большего сегментов.

Образец: правильный шестиугольник со стороной $4$ вписан в окружность. Найдите площадь части круга вне шестиугольника и периметр одного сегмента.

а) Правильный шестиугольник, $r = 6$ . Площадь?

б) Дуга $2$ рад, $R = 3$ . Длина дуги?

в) Сегмент с дугой $24 0^{\circ}$ , $R = 3$ . Площадь?

Диаметр $60$ м, $30$ кабинок, оборот за $15$ минут