Длина окружности и площадь круга · урок 14 из 16 · практикум

Практикум: число π и длина окружности

Геометрия · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R05 · GEOM9U-078

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R05 «Длина окружности и площадь круга» (16 ч), урок 14/16, единица R05.2. Тип урока — П (второй практикум по теме; первый — GEOM9U-072). Сегодня не повторяем простые «C по R», а ищем радиус в сложных фигурах и решаем задачи на качение и обороты.
Теория (12): титул 0,5 · цели 1 · сводка «длина окружности» 2,5 · история π 2,5 · сводка «откуда взять радиус» 3 · демонстрация «монета вокруг монеты» 2,5.
Практика (33): разминка 2 · образцы → сам 2,5 × 5 · рулон 2 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 3 · повышенный 2,5 · ОГЭ 3 · самостоятельная 4 · итог 0,5.
Если не успеваете: рулон и задание 4 повышенного уровня — в ДЗ.

R05.2

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Находить радиус в сложной фигуре

вписанные и описанные окружности треугольников и четырёхугольников (ПР-16)

Решать задачи на качение

сколько оборотов сделает колесо, монета, шкив (ПР-17)

Доказывать равенства длин

через формулы радиусов, без измерений (ПР-16)

Применять π на практике

беговая дорожка, рулон, экватор; история числа π (ПР-17)

1 мин · теория
ПР-16: «Владеть понятиями правильного многоугольника, длины окружности, длины дуги окружности и радианной меры угла, вычислять площадь круга и его частей». ПР-17: «Понимать смысл числа π. Применять полученные умения при решении практических задач. Знать исторические сведения об измерении длины окружности и площади круга».
Виды деятельности ФРП R05: «Пользоваться понятием длины окружности, введенным с помощью правильных многоугольников, определять число π».

повторение: GEOM9U-072, R01

Разминка · устно

Длина окружности и радиусы

$R = 5$ . Найдите $C$ . $10 π$
$C = 14 π$ . Найдите $d$ . $14$
Гипотенуза $10$ . Радиус описанной окружности? $5$
Катеты $3$ и $4$ . Радиус вписанной окружности? $1$

$R$ увеличили в $3$ раза. А $C$ ? в $3$ раза
Квадрат, $a = 4$ . Длина вписанной окружности? $4 π$
$π \approx 3, 14$ . $6 π \approx ?$ $18, 84$

R05.2

Сводка · длина окружности

Всё, что нужно сегодня о $C$

C = 2 π R = π d

R = \frac{C}{2 π}

,

d = \frac{C}{π}

\frac{C _{1}}{C _{2}} = \frac{R _{1}}{R _{2}}

длина пропорциональна
радиусу

R + h \Rightarrow C + 2 πh

прибавка не зависит от

R

N = \frac{путь}{C}

за оборот колесо
проходит

C

R05.2 · история

Число π · история измерений

Четыре тысячи лет приближений

Кто и когда	Приближение
Вавилон, ок. 1900 г. до н. э.	$3 \frac{1}{8} = 3, 125$
Египет, папирус Ринда, ок. 1650 г. до н. э.	$(\frac{16}{9})^{2} \approx 3, 160$
Архимед, III в. до н. э. (96-угольники)	$\frac{22}{7} \approx 3, 143$
Цзу Чунчжи, Китай, V в.	$\frac{355}{113} \approx 3, 1415929$
Лудольф ван Цейлен, 1610 г.	$35$ знаков

1706 — У. Джонс вводит букву

π

, Л. Эйлер делает её общепринятой.

1761 — И. Ламберт:

π

иррационально. Поэтому пишем

π \approx 3, 14

, а не «

=

».

π = 3, 1415926535 \dots

2,5 мин · теория
Проверка чисел: 3 1/8 = 3,125; (16/9)² = 256/81 ≈ 3,1605; 22/7 ≈ 3,1429; 355/113 ≈ 3,14159292 (верны 6 знаков после запятой: π = 3,14159265…).
Египетский способ: площадь круга диаметра 9 приравнивали к площади квадрата со стороной 8 — отсюда (16/9)². Архимед удваивал число сторон вписанного и описанного многоугольников до 96 (повторили на прошлом практикуме).
Лудольф посвятил вычислению π всю жизнь; в Германии π долго называли «лудольфовым числом». Сейчас вычислены триллионы знаков, но для любых инженерных расчётов хватает 10–15.

R05.2 · R01

Сводка · откуда взять радиус

Сначала радиус — потом $C = 2 π R$

Фигура	$R$ описанной	$r$ вписанной
Прямоугольный треугольник	$\frac{c}{2}$	$\frac{a + b - c}{2}$
Любой треугольник	$\frac{a}{2 sin A} = \frac{ab c}{4 S}$	$\frac{S}{p}$ , $p$ — полупериметр
Описанный четырёхугольник	—	$\frac{h}{2}$ (ромб, трапеция)
Прямоугольник, квадрат	$\frac{d}{2}$ , $d$ — диагональ	у квадрата $\frac{a}{2}$

3 мин · теория
Строка 1: центр описанной — середина гипотенузы; r = (a + b − c)/2 — из равенства отрезков касательных. Строка 2: R — из теоремы синусов a/sin A = 2R (R01) или R = abc/(4S); r — из S = pr.
Строка 3: если в ромб или трапецию вписана окружность, её диаметр равен высоте (расстояние между параллельными сторонами). У описанного четырёхугольника суммы противоположных сторон равны.
Строка 4: диагонали прямоугольника равны и делятся пополам — центр описанной окружности в их точке пересечения. В прямоугольник, не являющийся квадратом, окружность вписать нельзя.

R05.2 · R01

Образец → сам · окружности треугольника

Треугольник по трём сторонам

Образец: стороны $13$ , $14$ , $15$ . Найдите длины вписанной и описанной окружностей.

$p = 21$ , $S = 21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = 84$ формула Герона

$r = \frac{S}{p} = 4$ ⇒ $C_{1} = 8 π$ $S = p r$

$R = \frac{13 \cdot 14 \cdot 15}{4 \cdot 84} = \frac{65}{8}$ ⇒ $C_{2} = \frac{65 π}{4}$

Сам

Катеты $5$ и $12$ . Длины описанной и вписанной окружностей? $13 π$ и $4 π$
Сторона $6$ лежит против угла $3 0^{\circ}$ . Длина описанной окружности? $12 π$
Стороны $10$ , $10$ , $12$ . Длина вписанной окружности? $6 π$

R05.2

Образец → сам · окружность в четырёхугольнике

Ромб, трапеция, прямоугольник

Образец: диагонали ромба $12$ и $16$ . Найдите длину вписанной окружности.

$a = 6^{2} + 8^{2} = 10$ , $S = \frac{12 \cdot 16}{2} = 96$ диагонали ⟂

$h = \frac{S}{a} = 9, 6$ , $r = \frac{h}{2} = 4, 8$ диаметр = высота

$C = 2 π \cdot 4, 8 = 9, 6 π \approx 30, 1$

Сам

Равнобокая трапеция с основаниями $2$ и $8$ описана около окружности. Длина окружности? $4 π$
Прямоугольник $6 \times 8$ . Длина описанной окружности? $10 π$
Длина окружности, вписанной в квадрат, $6 π$ . Длина описанной? $62 π$

R05.2 · демонстрация

Демонстрация · монета вокруг монеты

Сколько оборотов сделает монета?

Монета радиуса

r

без проскальзывания обкатывает такую же неподвижную монету. Сколько оборотов она сделает?

1Центр движется по окружности радиуса

2 r

центры касающихся монет на расстоянии

r + r

2Путь центра

= 2 π \cdot 2 r = 4 π r

C = 2 π R

3

N = \frac{4 π r}{2 π r} = 2

оборота, а не один!обод «проходит» путь центра

Окружность

R

: снаружи

N = \frac{R + r}{r}

, внутри

N = \frac{R - r}{r}

R05.2 · из жизни

Образец → сам · обороты и передачи

Колёса, шкивы, велосипед

Образец: колесо радиуса $5$ один раз обкатывает снаружи обруч радиуса $15$ . Сколько оборотов оно сделает?

Путь центра: $2 π (15 + 5) = 40 π$ центр на расстоянии $R + r$

$N = \frac{40 π}{2 π \cdot 5} = 4$ оборота а не $15 : 5 = 3$

Сам

То же колесо катится внутри обруча радиуса $15$ . Оборотов? $2$
Шкивы с диаметрами $30$ и $12$ см связаны ремнём. Большой делает $60$ об/мин. А малый? $150$ об/мин
Колесо $d = 70$ см, скорость $18$ км/ч. Оборотов в минуту ( $π \approx 3, 14$ )? $\approx 136$

R05.2 · из жизни

Образец → сам · беговая дорожка

Почему бегуны стартуют «лесенкой»

Образец: прямые по $85$ м, повороты — полуокружности радиуса $36$ м, ширина дорожки $1, 2$ м. Насколько круг по 2-й дорожке длиннее?

$L_{1} = 170 + 2 π \cdot 36 \approx 396, 2$ м два полукруга = окружность

$L_{2} - L_{1} = 2 π \cdot 1, 2 = 2, 4 π \approx 7, 5$ м прямые те же

Сам

Насколько круг по 4-й дорожке длиннее, чем по 1-й? $7, 2 π \approx 22, 6$ м
Длина экватора $\approx 40000$ км. Найдите радиус Земли. $\approx 6366$ км
Самолёт облетел Землю по экватору на высоте $10$ км. На сколько его путь длиннее экватора? $20 π \approx 63$ км

R05.2 · из жизни

Задача из жизни · рулон ленты

Сколько метров в рулоне?

Ленту толщиной

0, 1

мм намотали на втулку диаметром

4

см; диаметр рулона

12

см. Найдите длину ленты.

1Витков:

\frac{6 - 2}{0 , 01} = 400

слой растёт на толщину ленты, в см

2Средний виток:

π \cdot 8 = 8 π

смсредний диаметр

\frac{4 + 12}{2} = 8

3

L \approx 400 \cdot 8 π = 3200 π

см

\approx 100

м

Сам: диаметр рулона

10

см →

300

витков,

2100 π

см

\approx 66

м

2 мин · практика (пары решают, учитель открывает шаги)
Толщина 0,1 мм = 0,01 см. Радиус растёт от 2 до 6 см: (6 − 2) : 0,01 = 400 витков. Длины витков растут равномерно (арифметическая прогрессия), поэтому сумма = число витков × средняя длина: 400 · 8π = 3200π ≈ 10 053 см ≈ 100,5 м.
Сам: радиус от 2 до 5 см: 300 витков; средний диаметр 7: 300 · 7π = 2100π ≈ 6597 см ≈ 66 м.
Хороший вопрос: почему не делить «площадь торца» на толщину? Получится то же: π(6² − 2²) : 0,01 = 3200π. Это связь с площадью круга (следующие уроки).

R05.2

Образец → сам · задача на доказательство

Две окружности прямоугольного треугольника

Образец: $∠ C = 9 0^{\circ}$ . Докажите: $C_{впис} + C_{опис} = π (a + b)$ .

$r = \frac{a + b - c}{2}$ отрезки касательных из вершины равны

$R = \frac{c}{2}$ прямой вписанный угол опирается на диаметр

$2 π r + 2 π R = π (a + b - c) + π c = π (a + b)$

Сам

Катеты $9$ и $12$ . Найдите $C_{впис} + C_{опис}$ . $21 π$
Докажите: у правильного треугольника $C_{опис} = 2 C_{впис}$ . $R = 2 r$ : центр делит медиану $2 : 1$
$C_{впис} + C_{опис} = 17 π$ , гипотенуза $13$ . Периметр? $30$

2,5 мин · практика
Образец, план: выразить оба радиуса через стороны (обосновать каждую формулу), подставить, раскрыть скобки — c сокращается. Обоснования: отрезки касательных из вершины равны, поэтому a − r + b − r = c; вписанный прямой угол опирается на диаметр, поэтому гипотенуза — диаметр описанной окружности.
1) по доказанному π(9 + 12) = 21π; проверка: c = 15, r = 3, R = 7,5: 6π + 15π = 21π. 2) в правильном треугольнике центры совпадают в точке пересечения медиан, R = 2/3 m, r = 1/3 m ⇒ R = 2r ⇒ C опис = 2C впис. 3) a + b = 17, P = 17 + 13 = 30 (это катеты 5 и 12).

R05.2

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
Монета вокруг такой же — $1$ оборот	центр идёт по окружности радиуса $2 r$ , а не $r$	$\frac{4 π r}{2 π r} = 2$ оборота
$r = \frac{S}{P}$ , $P$ — периметр	в формуле $S = p r$ стоит полупериметр	$r = \frac{S}{p} = \frac{2 S}{P}$
$R$ больше на $10 %$ ⇒ $C$ больше на $20 %$	$C$ пропорциональна $R$ — это не площадь	тоже на $10 %$
Дорожка шире на $1, 2$ ⇒ круг длиннее на $1, 2 π$	два полукруга — это целая окружность	на $2 π \cdot 1, 2 = 2, 4 π$

R05.2

Найди ошибку

Решение ученика: две ошибки

Задача. Стороны треугольника $5$ , $5$ и $6$ . Найдите длину вписанной в него окружности.

1)Высота к основанию: $h = 5^{2} - 3^{2} = 4$

2) $S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12$

3) $r = \frac{S}{P} = \frac{12}{16} = 0, 75$

4) $C = π r = 0, 75 π$

Шаг 3: нужен полупериметр

p = 8

:

r = \frac{12}{8} = 1, 5

.

Шаг 4:

C = 2 π r

, а

π r

— половина окружности.

Верно:

C = 2 π \cdot 1, 5 = 3 π \approx 9, 4

.

R05.2

Задания с самопроверкой · база

Найдите радиус — потом длину

БКатеты $6$ и $8$ . Длина описанной окружности? $10 π$
БКатеты $6$ и $8$ . Длина вписанной окружности? $4 π$
БДиагонали ромба $6$ и $8$ . Длина вписанной окружности? $4, 8 π$

БКолесо $d = 60$ см проехало $1884$ м ( $π \approx 3, 14$ ). Оборотов? $1000$
Б $C = 30 π$ . Сторона вписанного правильного треугольника? $153$
ББыло $C = 12 π$ , радиус увеличили в $1, 5$ раза. Стало? $18 π$

R05.2

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Качение, теорема синусов, описанная трапеция

повыш.Монета радиуса $1$ обкатывает снаружи монету радиуса $2$ . Сколько оборотов она сделает? $3$
повыш.В $△ A BC$ : $A B = 7$ , $∠ C = 15 0^{\circ}$ . Найдите длину описанной окружности. $14 π$
повыш.Равнобокая трапеция описана около окружности длины $8 π$ , её острый угол $3 0^{\circ}$ . Найдите периметр трапеции. $64$
повыш.Обод колеса удлинили на $0, 5$ м. На сколько сантиметров увеличился радиус? $\approx 8$ см

R05.2 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 16, 18 и 19

Ответ — одно число

ОГЭ 16В прямоугольный треугольник с катетами $20$ и $21$ вписана окружность. Найдите её длину, делённую на $π$ . $12$
ОГЭ 18Клетка $1 \times 1$ . Найдите длину окружности, описанной около треугольника, делённую на $π$ . $5$

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Длина окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равна $π c$ , где $c$ — гипотенуза.
Если радиус увеличить на $1$ , длина окружности увеличится на $π$ .
За один оборот колесо проходит путь, равный длине обода.
Длина окружности, вписанной в квадрат со стороной $a$ , равна $2 πa$ .

Ответ: 13

R05.2

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Катеты $9$ и $40$ . Длина описанной окружности? $41 π$
Стороны $15$ , $15$ , $24$ . Длина вписанной окружности? $8 π$
Диагонали ромба $30$ и $40$ . Длина вписанной окружности? $24 π$
Колесо радиуса $4$ обкатывает снаружи круг радиуса $12$ . Оборотов? $4$

Вариант 2

Катеты $8$ и $15$ . Длина вписанной окружности? $6 π$
Сторона $10$ лежит против угла $3 0^{\circ}$ . Длина описанной окружности? $20 π$
Равнобокая трапеция с основаниями $4$ и $16$ описана около окружности. Её длина? $8 π$
Колесо радиуса $3$ катится внутри обруча радиуса $12$ . Оборотов за круг? $3$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как найти $r$ треугольника по трём сторонам?
Почему монета вокруг такой же делает $2$ оборота?
Радиус вырос на $h$ . На сколько выросла длина?

Домашнее задание

Катеты $7$ и $24$ : найдите $C_{впис} + C_{опис}$ .
Ромб со стороной $8$ и углом $3 0^{\circ}$ : длина вписанной окружности.
* Рулон: втулка $6$ см, рулон $20$ см, лента $0, 2$ мм. Длина?
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_adv_mnogougolniki.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9U-078 · Практикум: Число π и длина окружности

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R05 «Длина окружности и площадь круга», 16 ч · урок 14/16 · тип П (практикум, второй по единице R05.2)
Единицы → слайды	R05.2 «Число π и длина окружности» → 2–20 · повторение R01 (теорема синусов, формула Герона, S = pr) → 6, 7, 17
Результаты	ПР-16 (длина окружности, вписанные и описанные окружности) → 2–4, 6–8, 13–19 · ПР-17 (смысл π, практические задачи, история) → 5, 9–12, 18
Вне урока	длина дуги — GEOM9U-079; площадь круга, сектора, сегмента — R05.5; обобщение — GEOM9U-080
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: число π и длина окружности

Сегодня вы научитесь

Находить радиус в сложной фигуре

Решать задачи на качение

Доказывать равенства длин

Применять π на практике

Длина окружности и радиусы

Всё, что нужно сегодня о C

Четыре тысячи лет приближений

Сначала радиус — потом C=2πR

Треугольник по трём сторонам

Образец: стороны 13, 14, 15. Найдите длины вписанной и описанной окружностей.

Сам

Ромб, трапеция, прямоугольник

Образец: диагонали ромба 12 и 16. Найдите длину вписанной окружности.

Сам

Сколько оборотов сделает монета?

Колёса, шкивы, велосипед

Образец: колесо радиуса 5 один раз обкатывает снаружи обруч радиуса 15. Сколько оборотов оно сделает?

Сам

Почему бегуны стартуют «лесенкой»

Образец: прямые по 85 м, повороты — полуокружности радиуса 36 м, ширина дорожки 1,2 м. Насколько круг по 2-й дорожке длиннее?

Сам

Сколько метров в рулоне?

Две окружности прямоугольного треугольника

Образец: ∠C=90∘. Докажите: Cвпис​+Cопис​=π(a+b).

Сам

Неверно → почему → верно

Решение ученика: две ошибки

Найдите радиус — потом длину

Качение, теорема синусов, описанная трапеция

Ответ — одно число

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9U-078 · Практикум: Число π и длина окружности

Всё, что нужно сегодня о $C$

Сначала радиус — потом $C = 2 π R$

Образец: стороны $13$ , $14$ , $15$ . Найдите длины вписанной и описанной окружностей.

Образец: диагонали ромба $12$ и $16$ . Найдите длину вписанной окружности.

Образец: колесо радиуса $5$ один раз обкатывает снаружи обруч радиуса $15$ . Сколько оборотов оно сделает?

Образец: прямые по $85$ м, повороты — полуокружности радиуса $36$ м, ширина дорожки $1, 2$ м. Насколько круг по 2-й дорожке длиннее?

Образец: $∠ C = 9 0^{\circ}$ . Докажите: $C_{впис} + C_{опис} = π (a + b)$ .