Длина окружности и площадь круга · урок 13 из 16 · практикум

Практикум: правильные многоугольники, вычисление их элементов

Геометрия · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R05 · GEOM9U-077

1 мин · теория (орг. момент, тема и задачи практикума)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R05 «Длина окружности и площадь круга» (16 ч), урок 13/16, единица R05.1. Тип урока — П (второй практикум по правильным многоугольникам): теория — только короткие сводки перед блоками задач.
Теория (12): титул 1 · цели 1 · сводка углов и дуг 2,5 · сводка формул через сторону 3,5 · сводка координат 1,5 · сводка пятиугольника 2,5.
Практика (33): разминка 2 · образцы → сам 2,5 + 2,5 + 2,5 + 2,5 + 3 + 2,5 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2,5 · повышенный 2 · ОГЭ 2,5 · самостоятельная 4 · итог 1.
Отличие от первого практикума (GEOM9U-071): там — элементы через R, доказательство AK = AB, восьмиугольник из квадрата. Здесь — новые типы: угол между пересекающимися диагоналями, элементы по стороне a, кольцо, координаты вершин, золотое сечение, паркеты.
Если не успеваете: образец о паркетах и повышенный уровень — в ДЗ; самостоятельную не сокращать.

R05.1

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Углы через дуги

находить угол между пересекающимися диагоналями и продолжениями сторон (ПР-16)

Элементы по стороне

$R$ , $r$ , $S$ правильного $n$ -угольника по стороне $a$ ; кольцо между окружностями

Координаты и подобие

координаты вершин; диагональ правильного пятиугольника через подобие

Применять

к паркетам: какие правильные многоугольники сходятся в вершине без щелей (ПР-17)

1 мин · теория
ПР-16: «Владеть понятиями правильного многоугольника, длины окружности, длины дуги окружности и радианной меры угла, вычислять площадь круга и его частей». ПР-17: «Применять полученные умения при решении практических задач».
Виды деятельности ФРП R05: «Формулировать определение правильных многоугольников, находить их элементы».
Опора: углы между хордами (R02, ПР-7), подобие треугольников (8 класс), координаты (R04), площадь круга (GEOM9U-069, 075).

повторение: R05

Разминка · устно

Углы, радиусы, круг

Угол правильного $9$ -угольника? $14 0^{\circ}$
Внешний угол $2 4^{\circ}$ . Сколько сторон? $15$
Сумма углов выпуклого $10$ -угольника? $144 0^{\circ}$
Сторона правильного шестиугольника $5$ . Найдите $R$ . $5$

Квадрат со стороной $6$ : $r$ и $R$ ? $3$ ; $32$
Вписанный угол опирается на дугу $10 0^{\circ}$ . Чему он равен? $5 0^{\circ}$
Длина окружности, вписанной в квадрат со стороной $4$ ? $4 π$

R05.1

Сводка · углы и дуги

Угол между хордами — через дуги

∠ = \frac{1}{2} ⌣

вписанный угол

φ = \frac{⌣ A B + ⌣ C D}{2}

хорды пересекаются
внутри круга

φ = \frac{⌣ _{1} - ⌣ _{2}}{2}

секущие вне круга:
дальняя − ближняя дуга

k

сторон

\to

дуга

k \cdot \frac{36 0 ^{\circ}}{n}

правильный

n

-угольник

2,5 мин · теория
Сводка без вывода (теоремы об углах между хордами и секущими — R02). На чертеже: ∠AKB = ½(∪AB + ∪CD); вертикальный ∠CKD — тот же.
Новое для правильных многоугольников: все вершины на описанной окружности, между соседними вершинами — дуга 360°/n, значит любая дуга — это «число сторон × 360°/n». Достаточно сосчитать стороны.
Вопрос классу: как проверить, что две диагонали пересекаются внутри? (Концы одной лежат по разные стороны от другой: между концами одной есть ровно один конец другой.)

R05.1

Образец → сам · угол между диагоналями

Считаем стороны — получаем дуги

Образец: $A_{1} A_{2} \dots A_{12}$ — правильный $12$ -угольник. Диагонали $A_{1} A_{5}$ и $A_{2} A_{8}$ пересекаются в $K$ . Найдите $∠ A_{1} K A_{2}$ .

$⌣ A_{1} A_{2} = 3 0^{\circ}$ , $⌣ A_{5} A_{8} = 3 \cdot 3 0^{\circ} = 9 0^{\circ}$ сторона — $3 0^{\circ}$

$∠ A_{1} K A_{2} = (3 0^{\circ} + 9 0^{\circ}) : 2 = 6 0^{\circ}$ угол между хордами

Сам

Правильный $10$ -угольник: диагонали $A_{1} A_{4}$ и $A_{2} A_{6}$ пересекаются в $K$ . Найдите $∠ A_{1} K A_{2}$ . $5 4^{\circ}$
Правильный восьмиугольник $A BC D EFG H$ : найдите угол $A K B$ , где $K$ — точка пересечения $A D$ и $BF$ . $67, 5^{\circ}$
Прямые $A_{1} A_{2}$ и $A_{5} A_{4}$ — продолжения сторон правильного $9$ -угольника — пересекаются в $P$ . Найдите $∠ P$ . $6 0^{\circ}$

2,5 мин · практика
Образец: A₂ лежит между A₁ и A₅, а A₈ — нет, поэтому диагонали пересекаются внутри. ∠A₁KA₂ опирается на дугу A₁A₂ (30°), вертикальный к нему ∠A₅KA₈ — на дугу A₅A₆A₇A₈ (3 стороны, 90°). ½(30 + 90) = 60°. Проверено координатами.
1) Дуги по 36°: ∪A₁A₂ = 36°, ∪A₄A₆ = 72° ⇒ ½(36 + 72) = 54°. 2) Дуги по 45°: ∪AB = 45°, ∪DF = 90° ⇒ 67,5°.
3) Дуги по 40°: ближняя дуга A₂A₃A₄ = 80°, дальняя A₅…A₉A₁ = 5 · 40° = 200° ⇒ ½(200 − 80) = 60°. Проверка через внешние углы: направления сторон A₁A₂ и A₄A₅ отличаются на 3 · 40° = 120°, угол между прямыми 60° ✓.
Типичная ошибка: взять половину только одной дуги (15° в образце) — как у вписанного угла.

R05.1

Сводка · радиусы и площадь по стороне

Дана сторона $a$ : всё из треугольника $O H A_{2}$

R = \frac{a}{2 sin \frac{18 0 ^{\circ}}{n}}

гипотенуза

r = \frac{a}{2 tg \frac{18 0 ^{\circ}}{n}}

прилежащий катет

R^{2} - r^{2} = (\frac{a}{2})^{2}

теорема Пифагора

S = \frac{1}{2} P r

,

P = na

n

треугольников
с высотой

r

3,5 мин · теория
OH — высота, медиана и биссектриса равнобедренного △OA₁A₂: ∠HOA₂ = 180°/n, HA₂ = a/2. Из прямоугольного △OHA₂: sin(180°/n) = (a/2)/R, tg(180°/n) = (a/2)/r — отсюда первые две формулы (обратные к формулам урока GEOM9U-065).
Третья формула — новая и очень полезная: разность квадратов радиусов зависит только от стороны (дальше — задача о кольце).
Если угол 180°/n нетабличный (n = 8, 12), обходимся без тригонометрии: восьмиугольник достраиваем до квадрата, у 12-угольника tg 15° = 2 − √3 (даём как справку).
Вопрос классу: у какого правильного многоугольника R = a? (У шестиугольника: sin 30° = ½.) А r = a/2? (У квадрата.)

R05.1

Образец → сам · радиус и площадь по стороне

Восьмиугольник и $12$ -угольник без калькулятора

Образец: сторона правильного восьмиугольника равна $4$ . Найдите $r$ и площадь.

Продлим стороны до квадрата: катет среза $22$

$r = \frac{1}{2} (4 + 2 \cdot 22) = 2 + 22$ половина стороны квадрата

$S = \frac{1}{2} \cdot 32 \cdot (2 + 22) = 32 (1 + 2) \approx 77, 3$

Сам

Правильный шестиугольник, $r = 3$ . Найдите сторону и площадь. $23$ ; $183$
Правильный восьмиугольник, $r = 5$ . Найдите сторону. $10 (2 - 1)$
Сторона правильного $12$ -угольника $2$ . Найдите $r$ $(tg 1 5^{\circ} = 2 - 3)$ . $2 + 3$

2,5 мин · практика
Образец: внешний угол 45° ⇒ срезанные треугольники — равнобедренные прямоугольные с гипотенузой 4, катет 2√2. Сторона квадрата 4 + 4√2, r — её половина: 2 + 2√2 ≈ 4,83. P = 8 · 4 = 32, S = ½ · 32 · (2 + 2√2) = 32 + 32√2 ≈ 77,25. Проверено: r = a/(2 tg 22,5°) ≈ 4,828.
1) a = 2r tg 30° = 2 · 3 · √3/3 = 2√3; S = ½ · 6 · 2√3 · 3 = 18√3 ≈ 31,2. 2) Сторона квадрата 2r = 10 = a(1 + √2) ⇒ a = 10/(1 + √2) = 10(√2 − 1) ≈ 4,14 (обратная задача).
3) r = a/(2 tg 15°) = 1/(2 − √3) = 2 + √3 ≈ 3,73 (домножили на сопряжённое). Для сильных: S = ½ · 24 · (2 + √3) = 24 + 12√3 ≈ 44,8 = 3R² ✓.

R05.1 · повторение R05.5

Образец → сам · кольцо между окружностями

Площадь кольца не зависит от $n$

Образец: найдите площадь кольца между описанной и вписанной окружностями правильного шестиугольника со стороной $6$ .

$S_{кольца} = π R^{2} - π r^{2} = π (R^{2} - r^{2})$ разность кругов

$R^{2} - r^{2} = (\frac{a}{2})^{2} = 9 \Rightarrow S = 9 π \approx 28, 3$ т. Пифагора

Сам

То же для квадрата со стороной $4$ . $4 π$
Правильный треугольник, $r = 2$ . Площадь кольца? $12 π$
Площадь кольца для правильного $100$ -угольника равна $25 π$ . Найдите его сторону. $10$

R05.1 · повторение R04

Сводка · вершины в координатах

Центр в начале координат

A (R cos φ; R sin φ)

точка окружности

x^{2} + y^{2} = R^{2}

φ_{k + 1} = φ_{k} + \frac{36 0 ^{\circ}}{n}

соседняя вершина —
поворот на

\frac{36 0 ^{\circ}}{n}

(\frac{R}{2}; \frac{R 3}{2})

шестиугольник:

φ = 6 0^{\circ}

d = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}

длины сторон
и диагоналей

R05.1 · повторение R04

Образец → сам · правильный многоугольник в координатах

Координаты вершин и длина диагонали

Образец: правильный шестиугольник $A BC D EF$ , центр $O (0; 0)$ , $A (4; 0)$ , обход против часовой стрелки. Найдите $B$ , $C$ , $A C$ .

$B (4 cos 6 0^{\circ}; 4 sin 6 0^{\circ}) = (2; 23)$ $φ = 6 0^{\circ}$

$C (4 cos 12 0^{\circ}; 4 sin 12 0^{\circ}) = (- 2; 23)$

$A C = 6^{2} + (23)^{2} = 48 = 43$ $= a 3$ ✓

Сам

Квадрат $A BC D$ (против часовой стрелки), центр $O (0; 0)$ , $A (3; 1)$ . Найдите $B$ , $C$ , $D$ . $(- 1; 3)$ , $(- 3; - 1)$ , $(1; - 3)$
Правильный треугольник, центр $O (0; 0)$ , вершина $(0; 4)$ . Две другие вершины? $(\mp 23; - 2)$
Уравнение окружности, вписанной в шестиугольник из образца? $x^{2} + y^{2} = 12$

R05.1

Сводка · правильный пятиугольник

Два «золотых» треугольника

1Угол

10 8^{\circ}

, сторона стягивает дугу

7 2^{\circ}

диагонали из вершины делят угол на

3 \cdot 3 6^{\circ}

2

△ A BC

: углы

10 8^{\circ}

,

3 6^{\circ}

,

3 6^{\circ}

стороны

a

,

a

и диагональ

d

3

△ A C D

: углы

3 6^{\circ}

,

7 2^{\circ}

,

7 2^{\circ}

стороны

d

,

d

и сторона

a

4Равные углы ⇒ подобие ⇒
пропорция ⇒ уравнение для

\frac{d}{a}

так находят диагональ,

cos 3 6^{\circ}

,

sin 1 8^{\circ}

R05.1

Образец → сам · задача на доказательство

Диагональ правильного пятиугольника

Образец: в правильном пятиугольнике сторона $a$ , диагональ $d$ . Докажите: $\frac{d}{a} = \frac{1 + 5}{2}$ .

$A K = A B = a$ , $K C = d - a$ доказано на уроке 7

$△ K BC \sim △ B A C$ : углы $3 6^{\circ}, 3 6^{\circ}$ по двум углам

$\frac{d - a}{a} = \frac{a}{d} \Rightarrow d^{2} - a d - a^{2} = 0 \Rightarrow \frac{d}{a} = \frac{1 + 5}{2}$

Сам

Сторона правильного пятиугольника $2$ . Найдите диагональ. $1 + 5$
Диагональ равна $4$ . Найдите сторону. $25 - 2$
Докажите: $cos 3 6^{\circ} = \frac{1 + 5}{4}$ . в $△ A BC$ : $d = 2 a cos 3 6^{\circ}$

3 мин · практика
Образец ведёт учитель по щелчкам, ученики называют обоснование. Соответствие вершин: в △KBC углы при B и C — по 36° (∠KBC = ∠DBC, ∠KCB = ∠ACB), при K — 108°; в △BAC углы при A и C — 36°, при B — 108°. Значит K ↔ B, B ↔ A, C ↔ C: KC/BC = BC/AC, то есть (d − a)/a = a/d.
Уравнение: пусть t = d/a, тогда t − 1 = 1/t, t² − t − 1 = 0, t = (1 + √5)/2 ≈ 1,618 (отрицательный корень отбрасываем). Это золотое сечение.
1) d = 2 · 1,618… = 1 + √5 ≈ 3,24. 2) a = 2d/(1 + √5) = d(√5 − 1)/2 = 2√5 − 2 ≈ 2,47.
3) Опустим высоту BH в равнобедренном △ABC: AH = a cos 36°, AC = 2AH ⇒ d = 2a cos 36° ⇒ cos 36° = d/(2a) = (1 + √5)/4 ≈ 0,809 ✓ (калькулятор: cos 36° ≈ 0,8090).

R05.1 · из жизни

Образец → сам · задача из жизни

Паркет из правильных многоугольников

Образец: можно ли выложить пол без щелей одинаковыми правильными пятиугольниками? А восьмиугольниками и квадратами?

$3 \cdot 10 8^{\circ} < 36 0^{\circ} < 4 \cdot 10 8^{\circ}$ — нет в вершине нужно $36 0^{\circ}$

$13 5^{\circ} + 13 5^{\circ} + 9 0^{\circ} = 36 0^{\circ}$ — да восьмиугольники и квадрат

Сам

Какими одинаковыми правильными многоугольниками можно замостить пол? $n = 3, 4, 6$
В вершине сошлись правильный треугольник и два одинаковых правильных $n$ -угольника. Найдите $n$ . $12$
Квадрат, правильный шестиугольник и правильный $n$ -угольник. Найдите $n$ . $12$

2,5 мин · практика
Образец: 3 · 108° = 324° — остаётся щель 36°, 4 · 108° = 432° — плитки налезают. Восьмиугольник + квадрат — известная плитка «восьмигранник со вставкой».
1) 360° : αₙ — целое: α = 60° (6 треугольников), 90° (4 квадрата), 120° (3 шестиугольника). Для n ≥ 7: 120° < α < 180° ⇒ в вершине помещается больше 2, но меньше 3 плиток — нельзя.
2) (360° − 60°) : 2 = 150° ⇒ 180(n − 2)/n = 150 ⇒ n = 12. 3) 360° − 90° − 120° = 150° ⇒ n = 12.
Связь с жизнью: тротуарная плитка, соты (шестиугольники дают наибольшую площадь при том же периметре среди паркетных).

R05.1

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
Угол между диагоналями $= \frac{1}{2}$ одной дуги	вершина угла внутри круга, а не на окружности — угол не вписанный	полусумма двух дуг
$r = \frac{a}{2 sin \frac{18 0 ^{\circ}}{n}}$	$r$ — катет, прилежащий к углу $\frac{18 0 ^{\circ}}{n}$ ; через синус — гипотенуза $R$	$r = \frac{a}{2 tg \frac{18 0 ^{\circ}}{n}}$
Пятиугольники замостят пол: $360 : 108 \approx 3$ плитки	сумма углов в вершине должна быть ровно $36 0^{\circ}$	нельзя: щель $3 6^{\circ}$
$△ K BC \sim △ A BC$ , значит $\frac{K B}{A B} = \frac{K C}{BC}$	соответствие — по равным углам: $K \leftrightarrow B$ , $B \leftrightarrow A$	$\frac{K C}{BC} = \frac{BC}{A C}$

R05.1

Найди ошибку

Решение ученика: две ошибки

Задача. Сторона правильного восьмиугольника равна $2$ . Найдите $r$ и площадь.

1)Продлим стороны до квадрата; срезы — треугольники с гипотенузой $2$ и катетом $2$ .

2)Сторона квадрата $2 + 2$ , $r = 1 + \frac{2}{2}$ .

3) $S = P r = 16 (1 + \frac{2}{2}) = 16 + 82$ .

Шаг 2: срезов на стороне квадрата два:

2 + 22

,

r = 1 + 2

.

Шаг 3: потерян множитель

\frac{1}{2}

:

S = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot (1 + 2) = 8 + 82

.

Проверка:

π r^{2} < S < π R^{2}

:

18, 3 < 19, 3 < 21, 5

, а

27, 3

— больше описанного круга.

R05.1

Задания с самопроверкой · база

Углы, радиусы, кольцо, координаты

БПравильный $15$ -угольник: угол между соседними диагоналями из одной вершины $1 2^{\circ}$
БСумма углов правильного многоугольника $180 0^{\circ}$ . Сколько сторон? $12$
БПравильный шестиугольник со стороной $4$ . Найдите $r$ . $23$

БПравильный треугольник со стороной $6$ . Площадь кольца? $9 π$
БДиагональ правильного пятиугольника $1 + 5$ . Сторона? $2$
БКвадрат с центром $O (0; 0)$ и вершиной $(2; 2)$ . Уравнение описанной окружности? $x^{2} + y^{2} = 8$

R05.1

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Комбинированные задачи

повыш. $A_{1} \dots A_{12}$ — правильный $12$ -угольник. Докажите, что $A_{1} A_{6} ⊥ A_{3} A_{10}$ . $\frac{1}{2} (6 0^{\circ} + 12 0^{\circ}) = 9 0^{\circ}$
повыш.Докажите, что $sin 1 8^{\circ} = \frac{5 - 1}{4}$ (рассмотрите $△ A C D$ правильного пятиугольника). $sin 1 8^{\circ} = \frac{a}{2 d}$
повыш.В вершине паркета сошлись правильные пятиугольник, десятиугольник и ещё один правильный многоугольник. Какой? пятиугольник
повыш.Правильный шестиугольник $A BC D EF$ (против часовой стрелки), $O (0; 0)$ , $A (2; 0)$ . Уравнение прямой $C D$ ? $y = 3 x + 23$

R05.1 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 16, 19 и 23

Короткий ответ и развёрнутое решение

ОГЭ 16Радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник, равен $63$ . Найдите сторону шестиугольника. $12$
ОГЭ 16Радиус окружности, описанной около квадрата, равен $42$ . Найдите сторону квадрата. $8$
ОГЭ 23Сторона правильного восьмиугольника равна $6$ . Найдите расстояние между его параллельными сторонами. $6 + 62$

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Угол правильного пятиугольника равен $10 8^{\circ}$ .
Одинаковыми правильными пятиугольниками можно замостить плоскость без щелей.
Сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной окружности.

Ответ: 13

R05.1

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Правильный $10$ -угольник: $A_{1} A_{4}$ и $A_{2} A_{7}$ пересекаются в $K$ . Найдите $∠ A_{1} K A_{2}$ . $7 2^{\circ}$
Правильный шестиугольник, $r = 23$ . Площадь? $243$
Сторона правильного пятиугольника $4$ . Диагональ? $2 + 25$
Площадь кольца для правильного многоугольника со стороной $10$ ? $25 π$

Вариант 2

Правильный $12$ -угольник: $A_{1} A_{5}$ и $A_{2} A_{9}$ пересекаются в $K$ . Найдите $∠ A_{1} K A_{2}$ . $7 5^{\circ}$
Правильный восьмиугольник, $r = 1 + 2$ . Площадь? $8 + 82$
Сторона правильного пятиугольника $6$ . Диагональ? $3 + 35$
Площадь кольца для правильного многоугольника со стороной $8$ ? $16 π$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как найти угол между пересекающимися диагоналями?
Почему площадь кольца зависит только от стороны?
Какие правильные многоугольники дают паркет в одиночку?

Домашнее задание

Правильный $18$ -угольник: найдите $∠ A_{1} K A_{2}$ , где $K = A_{1} A_{5} \cap A_{2} A_{10}$ .
Сколько правильных треугольников и квадратов сходится в вершине паркета?
* Докажите: $cos 7 2^{\circ} = \frac{5 - 1}{4}$ .
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_adv_mnogougolniki.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9U-077 · Практикум: правильные многоугольники, вычисление их элементов

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R05 «Длина окружности и площадь круга», 16 ч · урок 13/16 · тип П
Единицы → слайды	R05.1 «Правильные многоугольники, вычисление их элементов» → 2, 4–20 · повторение (углы между хордами R02, координаты R04, площадь круга R05.5) → 3, 4, 8, 9, 10
Результаты	ПР-16 (правильный многоугольник, вычисление элементов) → 2, 4–20 · ПР-17 (практические задачи) → 13
Вне урока	число π и длина окружности — GEOM9U-078; длина дуги — GEOM9U-079; обобщение — GEOM9U-080
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: правильные многоугольники, вычисление их элементов

Сегодня вы научитесь

Углы через дуги

Элементы по стороне

Координаты и подобие

Применять

Углы, радиусы, круг

Угол между хордами — через дуги

Считаем стороны — получаем дуги

Образец: A1​A2​…A12​ — правильный 12-угольник. Диагонали A1​A5​ и A2​A8​ пересекаются в K. Найдите ∠A1​KA2​.

Сам

Дана сторона a: всё из треугольника OHA2​

Восьмиугольник и 12-угольник без калькулятора

Образец: сторона правильного восьмиугольника равна 4. Найдите r и площадь.

Сам

Площадь кольца не зависит от n

Образец: найдите площадь кольца между описанной и вписанной окружностями правильного шестиугольника со стороной 6.

Сам

Центр в начале координат

Координаты вершин и длина диагонали

Образец: правильный шестиугольник ABCDEF, центр O(0;0), A(4;0), обход против часовой стрелки. Найдите B, C, AC.

Сам

Два «золотых» треугольника

Диагональ правильного пятиугольника

Образец: в правильном пятиугольнике сторона a, диагональ d. Докажите: ad​=21+5​​.

Сам

Паркет из правильных многоугольников

Образец: можно ли выложить пол без щелей одинаковыми правильными пятиугольниками? А восьмиугольниками и квадратами?

Сам

Неверно → почему → верно

Решение ученика: две ошибки

Углы, радиусы, кольцо, координаты

Комбинированные задачи

Короткий ответ и развёрнутое решение

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9U-077 · Практикум: правильные многоугольники, вычисление их элементов

Образец: $A_{1} A_{2} \dots A_{12}$ — правильный $12$ -угольник. Диагонали $A_{1} A_{5}$ и $A_{2} A_{8}$ пересекаются в $K$ . Найдите $∠ A_{1} K A_{2}$ .

Дана сторона $a$ : всё из треугольника $O H A_{2}$

Восьмиугольник и $12$ -угольник без калькулятора

Образец: сторона правильного восьмиугольника равна $4$ . Найдите $r$ и площадь.

Площадь кольца не зависит от $n$

Образец: найдите площадь кольца между описанной и вписанной окружностями правильного шестиугольника со стороной $6$ .

Образец: правильный шестиугольник $A BC D EF$ , центр $O (0; 0)$ , $A (4; 0)$ , обход против часовой стрелки. Найдите $B$ , $C$ , $A C$ .

Образец: в правильном пятиугольнике сторона $a$ , диагональ $d$ . Докажите: $\frac{d}{a} = \frac{1 + 5}{2}$ .