Длина окружности и площадь круга · урок 12 из 16

Практикум: периметры и площади фигур с элементами круга

Геометрия · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R05 · GEOM9U-076

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R05 «Длина окружности и площадь круга» (16 ч), урок 12/16, единица R05.6. Тип урока — П (практикум). Продолжение урока GEOM9U-070: там — квадрат без четверти круга, лепесток, луночки, арбелос, окно-арка; здесь — новые типы: часть кольца, общая часть двух кругов, треугольник Рёло, круг в секторе, ремни и ленты.
Теория (12): титул 0,5 · цели 0,5 · сводка формул 2,5 · где взять радиус и угол 2,5 · три приёма 2,5 · демонстрация «ремень» 3,5.
Практика (33): разминка 2 · образцы → сам 2,5 × 6 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 3 · повышенный 2,5 · ОГЭ 2 · самостоятельная 4 · итог 1.
Если не успеваете: задание 3 образца 6 и повышенное 4 — в ДЗ; демонстрацию с ремнём не сокращать (на ней держится ОГЭ 25).

R05.6

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Считать площадь и периметр

части кольца, общей части двух кругов, фигур из дуг и многоугольников (ПР-16)

Находить радиус и угол

в треугольниках: хорда, правильный многоугольник, касание окружностей

Доказывать

равенство площадей криволинейных фигур — с планом и обоснованиями

Решать практические задачи

ремни, ленты, трубы; задания ОГЭ 16, 18 и 25 (ПР-17)

повторение: R05.1–R05.5

Разминка · устно

Дуги, секторы, сегменты

Сектор $9 0^{\circ}$ , $R = 4$ . Площадь? $4 π$
Сектор $\frac{π}{3}$ рад, $R = 6$ . Площадь? $6 π$
Кольцо: $R = 5$ , $r = 4$ . Площадь? $9 π$
Дуга $12 0^{\circ}$ , $R = 3$ . Длина? $2 π$

Сегмент с дугой $9 0^{\circ}$ , $R = 2$ . Площадь? $π - 2$
Хорда стягивает дугу $6 0^{\circ}$ , $R = 7$ . Длина хорды? $7$
Сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность $R = 5$ ? $5$
Радиус окружности, вписанной в квадрат со стороной $8$ ? $4$

R05.2–R05.5

Сводка · формулы круга и его частей

Всё, из чего складываются фигуры

Элемент	угол $α$ в градусах	угол $φ$ в радианах
Дуга	$l = \frac{π R α}{18 0 ^{\circ}}$	$l = Rφ$
Сектор	$S = \frac{π R ^{2} α}{36 0 ^{\circ}}$	$S = \frac{R ^{2} φ}{2} = \frac{lR}{2}$
Сегмент	$S_{сект} \mp \frac{1}{2} R^{2} sin α$	$S = \frac{R ^{2}}{2} (φ - sin φ)$
Часть кольца	$S = \frac{π ( R ^{2} - r ^{2} ) α}{36 0 ^{\circ}}$	$S = \frac{( R ^{2} - r ^{2} ) φ}{2}$

Периметр фигуры — сумма длин всех дуг и отрезков её границы; линии внутри фигуры не считаются.

R05.1 · R05.6

Сводка · где взять радиус и угол

Радиусы и углы ищем в треугольниках

Хорда

$A B = 2 R sin \frac{α}{2}$ $O H = R cos \frac{α}{2}$ , $O H ⊥ A B$

Правильный $n$ -угольник

$R = \frac{a}{2 sin \frac{18 0 ^{\circ}}{n}}$ , $r = \frac{a}{2 tg \frac{18 0 ^{\circ}}{n}}$ $n = 6$ : $R = a$ , $r = \frac{a 3}{2}$

Касание окружностей

$O_{1} O_{2} = R + r$ внутреннее касание: $R - r$ ; касательная $⊥$ радиусу

R05.6

Сводка · три приёма

Сложить, вычесть, перекроить

Сложить

$S = S_{△} + 3 S_{сегм}$ треугольник и три сегмента

Вычесть

$S = S_{△} - π r^{2}$ из большой фигуры — лишнее

Перекроить

$S = a^{2}$ вырезанный полукруг перенесён

Порядок: обвести границу → разбить на элементы → найти

R

и углы → сложить или вычесть → ответ точно и

\approx

.

R05.6

Образец → сам · часть кольца

Разность секторов и граница из четырёх частей

Образец: часть кольца, $R = 6$ , $r = 4$ , угол $12 0^{\circ}$ . Найдите $S$ и $P$ .

$S = \frac{π ( 36 - 16 )}{36 0 ^{\circ}} \cdot 12 0^{\circ} = \frac{20 π}{3}$ разность секторов

дуги: $\frac{1}{3} \cdot 12 π + \frac{1}{3} \cdot 8 π = \frac{20 π}{3}$ внешняя и внутренняя

$P = \frac{20 π}{3} + 2 \cdot 2 \approx 24, 9$ $+$ два отрезка $R - r$

Сам

Часть кольца $9 0^{\circ}$ , $R = 5$ , $r = 3$ . Найдите $S$ и $P$ . $S = 4 π$ , $P = 4 π + 4$
Часть кольца $6 0^{\circ}$ , $R = 9$ , $r = 3$ . Найдите $S$ и $P$ . $S = 12 π$ , $P = 4 π + 12$
Часть кольца $9 0^{\circ}$ имеет площадь $6 π$ , $r = 5$ . Найдите $R$ . $R = 7$

R05.6

Образец → сам · общая часть двух кругов

Два сегмента по разные стороны общей хорды

Образец: окружности радиуса $6$ проходят через центры друг друга. Найдите $S$ и $P$ общей части.

$△ O_{1} A O_{2}$ равносторонний ⇒ $∠ A O_{1} B = 12 0^{\circ}$ все стороны по $6$

$S = 2 (12 π - 93) = 24 π - 183 \approx 44, 2$ два сегмента

$P = 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot 12 π = 8 π$ две дуги по $12 0^{\circ}$

Сам

То же для радиуса $3$ : найдите $S$ . $6 π - \frac{9 3}{2} \approx 11, 06$
Радиус $6$ : площадь части первого круга вне второго. $12 π + 183 \approx 68, 9$
Радиусы $4$ , расстояние между центрами $43$ . Площадь общей части. $\frac{16 π}{3} - 83 \approx 2, 90$

2,5 мин · практика
Образец: сектор 120° — 36π/3 = 12π, треугольник AO₁B: ½ · 36 · sin 120° = 9√3; сегмент 12π − 9√3; общая часть — два таких сегмента (симметрия относительно AB). S ≈ 44,22.
1) Масштаб ½ — площадь в 4 раза меньше: 6π − 4,5√3 ≈ 11,06. 2) 36π − (24π − 18√3) = 12π + 18√3 ≈ 68,88. 3) Половина расстояния между центрами 2√3, cos(φ/2) = 2√3 : 4 = √3/2 ⇒ центральный угол 60°; сегмент 16π/6 − ½ · 16 · sin 60° = 8π/3 − 4√3; два: 16π/3 − 8√3 ≈ 2,90.
В 3 главное — найти угол: провести общую хорду и радиусы к её концам.

R05.1 · R05.6

Образец → сам · правильный многоугольник и дуги

Треугольник Рёло и его родственники

Образец: дуги с центрами в вершинах правильного $△ A BC$ , $a = 6$ (треугольник Рёло). Найдите $S$ и $P$ .

$S_{△} = \frac{3}{4} \cdot 36 = 93$ ; сегмент $6 0^{\circ}$ : $6 π - 93$

$S = 93 + 3 (6 π - 93) = 18 π - 183 \approx 25, 4$

$P = 3 \cdot \frac{1}{6} \cdot 12 π = 6 π$ как у круга диаметра $6$

Сам

Периметр треугольника Рёло $12 π$ . Найдите его площадь. $72 π - 723$
Правильный шестиугольник, $a = 4$ ; из каждой вершины вырезан сектор радиуса $2$ . Найдите $S$ остатка. $243 - 8 π \approx 16, 4$
Правильный треугольник, $a = 43$ , без вписанного круга. Найдите $S$ . $123 - 4 π \approx 8, 22$

2,5 мин · практика
Образец: S ≈ 25,37 (проверено). Треугольник Рёло — фигура постоянной ширины a (крышки люков, сверло для «квадратных» отверстий, двигатель Ванкеля). Его периметр πa — как у круга диаметра a (теорема Барбье).
1) πa = 12π ⇒ a = 12; S = ½(π − √3)a² = 72π − 72√3 ≈ 101,5. 2) S₆ = 6 · (√3/4) · 16 = 24√3; углы шестиугольника 120°, шесть секторов по трети круга радиуса 2: 6 · 4π/3 = 8π; ответ 24√3 − 8π ≈ 16,44 (секторы соседних вершин касаются в серединах сторон). 3) r = a/(2√3) = 2; S△ = (√3/4) · 48 = 12√3; 12√3 − 4π ≈ 8,22.

R05.6

Образец → сам · круг, вписанный в сектор

Сначала радиус — из прямоугольного треугольника

Образец: в сектор $6 0^{\circ}$ радиуса $9$ вписан круг. Найдите его радиус и какую долю сектора он занимает.

$∠ K OQ = 3 0^{\circ}$ ⇒ $OQ = 2 r$ катет против $3 0^{\circ}$

$OQ + r = 9$ ⇒ $r = 3$ касание на луче $OQ$

доля: $\frac{9 π}{13 , 5 π} = \frac{2}{3}$ сектор $\frac{81 π}{6} = 13, 5 π$

Сам

Круг, вписанный в сектор $6 0^{\circ}$ , имеет площадь $4 π$ . Найдите площадь сектора. $6 π$
Сектор $9 0^{\circ}$ , $R = 1 + 2$ . Найдите радиус вписанного круга. $r = 1$
Во сколько раз площадь сектора из задания 2 больше площади вписанного круга? $\frac{3 + 2 2}{4} \approx 1, 46$

R05.3 · R05.6

Демонстрация · ремённая передача

Длина ремня: два отрезка и две дуги

1

O_{2} H ∥ A B

:

O_{1} H = R - r = 2

,

O_{1} O_{2} = 4

⇒

∠ O_{1} = 6 0^{\circ}

cos ∠ O_{1} = \frac{2}{4}

;

A B O_{2} H

— прямоугольник

2

A B = O_{2} H = 16 - 4 = 23

теорема Пифагора в

△ O_{1} H O_{2}

3Дуги:

36 0^{\circ} - 2 \cdot 6 0^{\circ} = 24 0^{\circ}

и

12 0^{\circ}

l_{1} = \frac{2}{3} \cdot 6 π = 4 π

,

l_{2} = \frac{1}{3} \cdot 2 π = \frac{2 π}{3}

4

L = 2 \cdot 23 + 4 π + \frac{2 π}{3} = 43 + \frac{14 π}{3} \approx 21, 6

3,5 мин · теория (учитель решает у доски)
Условие: шкивы радиусов R = 3 и r = 1 дм, расстояние между осями 4 дм. Найдите длину ремня (открытая передача).
Ключ: радиусы O₁A и O₂B перпендикулярны ремню (касательная ⟂ радиусу) и параллельны; проводим O₂H ∥ AB — получаем прямоугольник ABO₂H и прямоугольный △O₁HO₂ с катетом R − r.
Угол между O₁A и линией центров 60°, поэтому большой шкив охвачен ремнём по дуге 240°, малый — по дуге 120° (радиусы O₂B ∥ O₁A). Проверено: 4√3 + 14π/3 ≈ 6,93 + 14,66 = 21,59 дм.
Вопрос: какой была бы длина при равных шкивах r = R = 1 и том же расстоянии? (2 · 4 + 2π ≈ 14,3 — дуги по 180°.)

R05.6 · практика

Образец → сам · задача из жизни

Сколько ленты, чтобы стянуть трубы

Образец: три трубы диаметром $20$ см стянуты лентой. Найдите длину ленты.

отрезки: $3 \cdot 2 r = 60$ см $∥$ сторонам $△$ центров

дуги: $3 \cdot 12 0^{\circ} = 36 0^{\circ}$ ⇒ $20 π$ одна окружность

$L = 60 + 20 π \approx 122, 8$ см

Сам

Две такие трубы. Длина ленты? $40 + 20 π \approx 102, 8$ см
Четыре трубы, уложенные квадратом. Длина ленты? $80 + 20 π \approx 142, 8$ см
Площадь сечения внутри ленты для трёх труб (вместе с трубами). $(6 + 3 + π) \cdot 100 \approx 1087 см^{2}$

2,5 мин · практика
Образец: прямой участок ленты равен расстоянию между центрами соседних труб (2r = 20 см), их три. У каждой трубы лента идёт по дуге 360° − 90° − 90° − 60° = 120°; три дуги дают 360°. L ≈ 122,83 см.
1) 2 · 20 + 2π · 10 = 40 + 20π ≈ 102,8. 2) 4 · 20 + 20π ≈ 142,8 (четыре дуги по 90°). Общее правило: L = (сумма расстояний между центрами по контуру) + 2πr.
3) Внутри ленты: △ центров (√3/4) · 400 = 100√3, три прямоугольника 20 × 10 = 600, три сектора 120° = круг 100π. Итого 100(6 + √3 + π) ≈ 1087,4 см².

R05.1 · R05.6

Образец → сам · задача на доказательство

Кольцо правильного многоугольника

Образец: докажите, что кольцо между описанной и вписанной окружностями правильного $n$ -угольника со стороной $a$ имеет площадь $\frac{π a ^{2}}{4}$ .

$OM ⊥ A B$ , $A M = \frac{a}{2}$ $M$ — точка касания

$R^{2} - r^{2} = \frac{a ^{2}}{4}$ т. Пифагора в $△ OM A$

$S = π (R^{2} - r^{2}) = \frac{π a ^{2}}{4}$ — от $n$ не зависит

Сам: план и обоснования

Шестиугольник, $a = 6$ : площадь кольца? $9 π$
Докажите: если хорда большой окружности длины $m$ касается меньшей (центр общий), то $S_{кольца} = \frac{π m ^{2}}{4}$ . $R^{2} - r^{2} = (\frac{m}{2})^{2}$ — как в образце
Площадь кольца $16 π$ . Найдите длину такой хорды. $8$

2,5 мин · практика
Образец: центр O правильного многоугольника — общий центр окружностей; M — середина стороны AB и точка касания вписанной окружности (OM = r, OA = R). △OMA прямоугольный по свойству касательной. Важно проговорить обоснование каждого шага — это критерий ОГЭ 24.
1) π · 36/4 = 9π. Проверка: R = 6, r = 3√3, π(36 − 27) = 9π ✓. 2) Радиус в точку касания ⟂ хорде и делит её пополам (△ с боковыми сторонами R равнобедренный); т. Пифагора. 3) m²/4 = 16, m = 8.
Неожиданный вывод: у квадрата, шестиугольника, 100-угольника со стороной a кольца равновелики.

R05.6

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
Часть кольца $9 0^{\circ}$ , $R = 5$ , $r = 3$ : $P = \frac{5 π}{2} + \frac{3 π}{2} = 4 π$	граница — ещё два отрезка $R - r$	$P = 4 π + 4$
Общая часть кругов радиуса $6$ (через центры): $S = 12 π - 93$	это один сегмент, а общая часть — два	$24 π - 183$
Лента вокруг трёх труб: $L = 60 + 3 \cdot 2 π r$	лента касается каждой трубы только по дуге $12 0^{\circ}$	$L = 60 + 2 π r$
Угол сегмента «на глаз»: $9 0^{\circ}$	угол находят из треугольника по хорде и радиусу	$cos \frac{φ}{2} = \frac{d}{R}$

R05.6

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Треугольник Рёло, $a = 6$ . Площадь.

Сектор $6 0^{\circ}$ : $\frac{1}{6} \cdot 36 π = 6 π$

$S = 3 \cdot 6 π = 18 π$

секторы перекрываются, $△$ посчитан трижды:
$S = 18 π - 2 \cdot 93$
$S = 18 π - 183$

б) В сектор $6 0^{\circ}$ , $R = 12$ , вписан круг. Радиус.

Центр круга — середина биссектрисы, $r = \frac{12}{2} = 6$

$OQ = 2 r$ (катет против $3 0^{\circ}$ )
$OQ + r = 12$ ⇒ $r = 4$

в) Ремень на двух равных шкивах, $r = 5$ , между осями $20$ .

Отрезки: $2 \cdot 20 = 40$

Шкивы: $2 \cdot 2 π \cdot 5 = 20 π$
$L = 40 + 20 π$

каждый шкив охвачен на $18 0^{\circ}$ :
$L = 40 + 10 π$

2 мин · практика
Сначала видны «решения ученика»; 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Три сектора покрывают треугольник трижды: S = 3S_сект − 2S△ = 18π − 18√3 ≈ 25,37 (как в образце 3). Самопроверка: фигура помещается в круг, описанный около △ABC (R = 2√3, площадь 12π ≈ 37,7), а 18π ≈ 56,5 — больше: абсурд.
б) Если r = 6, то OQ = 6, а нужно OQ = 2r = 12 — круг вылезет за сторону. Верно: r = 4 (OQ = 8, 8 + 4 = 12).
в) Две половины окружностей = одна окружность: L = 2 · 20 + 2π · 5 = 40 + 10π ≈ 71,4.

R05.6

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

базаКольцо: $R = 6$ , $r = 2$ . Площадь? $32 π$
базаЧасть кольца $9 0^{\circ}$ , $R = 4$ , $r = 2$ . Площадь? $3 π$
базаПериметр фигуры из задания 2? $3 π + 4$

базаТреугольник Рёло, $a = 3$ . Периметр? $3 π$
базаКруг вписан в правильный шестиугольник, $a = 2$ . Площадь части шестиугольника вне круга? $63 - 3 π$
базаРемень на равных шкивах $r = 4$ , между осями $15$ . Длина? $30 + 8 π$

R05.6

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Окружности радиусов $2$ и $23$ , расстояние между центрами $4$ . Найдите площадь общей части кругов. $\frac{10 π}{3} - 43 \approx 3, 54$
повыш.Ремень на шкивах радиусов $4$ и $2$ , расстояние между осями $4$ . Найдите длину ремня. $43 + \frac{20 π}{3} \approx 27, 9$
повыш.Кольцо между описанной и вписанной окружностями правильного треугольника имеет площадь $3 π$ . Найдите сторону. $23$
повыш.Что больше: площадь треугольника Рёло ширины $a$ или круга диаметра $a$ ? Периметры у них равны. круга: $\frac{π}{4} a^{2} > \frac{π - 3}{2} a^{2}$

2,5 мин · практика
1) 4 + 12 = 16 ⇒ △O₁AO₂ прямоугольный (радиусы в точку пересечения перпендикулярны). Угол при O₁ (радиус 2): cos = 2/4 ⇒ 60°, центральный 120°; при O₂: 30°, центральный 60°. Сегменты: ½ · 4 · (2π/3 − √3/2) = 4π/3 − √3 и ½ · 12 · (π/3 − √3/2) = 2π − 3√3. Сумма 10π/3 − 4√3 ≈ 3,54 (проверено методом Монте-Карло: 3,54).
2) cos∠O₁ = (4 − 2)/4 ⇒ 60°; касательный отрезок √(16 − 4) = 2√3; дуги 240° радиуса 4 (16π/3) и 120° радиуса 2 (4π/3): L = 4√3 + 20π/3 ≈ 27,87.
3) πa²/4 = 3π ⇒ a² = 12, a = 2√3 (проверка: R = 2, r = 1, π(4 − 1) = 3π ✓).
4) 0,785a² против 0,705a²: из фигур постоянной ширины круг имеет наибольшую площадь, Рёло — наименьшую (теорема Бляшке — Лебега, для любознательных).

R05.6 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 16, 18 и 25

Ответ — одно число

ОГЭ 16Найдите площадь кольца между описанной и вписанной окружностями квадрата со стороной $6$ . В ответ запишите $S : π$ . $9$
ОГЭ 18Клетка $1 \times 1$ . Найдите площадь закрашенной фигуры, делённую на $π$ . $3$
ОГЭ 25Окружности радиусов $2$ и $6$ касаются внешним образом. Найдите длину отрезка их общей внешней касательной между точками касания. $43$

R05.6

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Кольцо: $R = 5$ , $r = 1$ . Площадь? $24 π$
Часть кольца $12 0^{\circ}$ , $R = 6$ , $r = 3$ : $S$ и $P$ . $9 π$ ; $6 π + 6$
Треугольник Рёло, $a = 4$ . Площадь? $8 π - 83$
Ремень на равных шкивах $r = 3$ , между осями $10$ . $20 + 6 π$

Вариант 2

Кольцо: $R = 6$ , $r = 4$ . Площадь? $20 π$
Часть кольца $6 0^{\circ}$ , $R = 6$ , $r = 2$ : $S$ и $P$ . $\frac{16 π}{3}$ ; $\frac{8 π}{3} + 8$
Общая часть кругов радиуса $2$ , проходящих через центры друг друга. $\frac{8 π}{3} - 23$
Лента вокруг трёх труб $r = 5$ (уложены треугольником). $30 + 10 π$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Из чего состоит граница части кольца?
Как найти угол сегмента в общей части двух кругов?
Почему дуги ленты вокруг труб дают одну окружность?

Домашнее задание

Часть кольца $4 5^{\circ}$ , $R = 8$ , $r = 4$ : $S$ и $P$ .
Треугольник Рёло, $a = 10$ : $S$ и $P$ .
* Ремень на шкивах $R = 5$ , $r = 2$ , между осями $6$ .
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_adv_mnogougolniki.htm

1 мин · практика (рефлексия, запись ДЗ)
Ответы ДЗ: 1) S = π(64 − 16)/8 = 6π; дуги 2π + π = 3π, отрезки 2 · 4 = 8: P = 3π + 8. 2) S = 50π − 50√3 ≈ 43,0; P = 10π. 3) cos∠O₁ = 3/6 ⇒ 60°; отрезки по √(36 − 9) = 3√3; дуги 240° радиуса 5 (20π/3) и 120° радиуса 2 (4π/3): L = 6√3 + 8π ≈ 35,5.
Тренажёр «Многоугольники и круг» (углублённый) — задания на площади круга, сектора, сегмента и правильных многоугольников.
Следующий урок — практикум «Правильные многоугольники, вычисление их элементов» (GEOM9U-077).

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9U-076 · Практикум: Вычисление периметров и площадей фигур, включающих элементы круга

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R05 «Длина окружности и площадь круга», 16 ч · урок 12/16 · тип П
Единицы → слайды	R05.6 «Вычисление периметров и площадей фигур, включающих элементы круга» → 2, 4–20 · повторение R05.1–R05.5 → 3, 4, 5
Результаты	ПР-16 (длина дуги, площадь круга и его частей, правильные многоугольники) → 3–10, 13–19 · ПР-17 (практические задачи) → 11, 12, 15, 20
Вне урока	луночки, арбелос, лепесток, окно-арка — урок GEOM9U-070; правильные многоугольники — практикум GEOM9U-077
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: периметры и площади фигур с элементами круга

Сегодня вы научитесь

Считать площадь и периметр

Находить радиус и угол

Доказывать

Решать практические задачи

Дуги, секторы, сегменты

Всё, из чего складываются фигуры

Радиусы и углы ищем в треугольниках

Хорда

Правильный n-угольник

Касание окружностей

Сложить, вычесть, перекроить

Сложить

Вычесть

Перекроить

Разность секторов и граница из четырёх частей

Образец: часть кольца, R=6, r=4, угол 120∘. Найдите S и P.

Сам

Два сегмента по разные стороны общей хорды

Образец: окружности радиуса 6 проходят через центры друг друга. Найдите S и P общей части.

Сам

Треугольник Рёло и его родственники

Образец: дуги с центрами в вершинах правильного △ABC, a=6 (треугольник Рёло). Найдите S и P.

Сам

Сначала радиус — из прямоугольного треугольника

Образец: в сектор 60∘ радиуса 9 вписан круг. Найдите его радиус и какую долю сектора он занимает.

Сам

Длина ремня: два отрезка и две дуги

Сколько ленты, чтобы стянуть трубы

Образец: три трубы диаметром 20 см стянуты лентой. Найдите длину ленты.

Сам

Кольцо правильного многоугольника

Образец: докажите, что кольцо между описанной и вписанной окружностями правильного n-угольника со стороной a имеет площадь 4πa2​.

Сам: план и обоснования

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Треугольник Рёло, a=6. Площадь.

б) В сектор 60∘, R=12, вписан круг. Радиус.

в) Ремень на двух равных шкивах, r=5, между осями 20.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9U-076 · Практикум: Вычисление периметров и площадей фигур, включающих элементы круга

Правильный $n$ -угольник

Образец: часть кольца, $R = 6$ , $r = 4$ , угол $12 0^{\circ}$ . Найдите $S$ и $P$ .

Образец: окружности радиуса $6$ проходят через центры друг друга. Найдите $S$ и $P$ общей части.

Образец: дуги с центрами в вершинах правильного $△ A BC$ , $a = 6$ (треугольник Рёло). Найдите $S$ и $P$ .

Образец: в сектор $6 0^{\circ}$ радиуса $9$ вписан круг. Найдите его радиус и какую долю сектора он занимает.

Образец: три трубы диаметром $20$ см стянуты лентой. Найдите длину ленты.

Образец: докажите, что кольцо между описанной и вписанной окружностями правильного $n$ -угольника со стороной $a$ имеет площадь $\frac{π a ^{2}}{4}$ .

а) Треугольник Рёло, $a = 6$ . Площадь.

б) В сектор $6 0^{\circ}$ , $R = 12$ , вписан круг. Радиус.

в) Ремень на двух равных шкивах, $r = 5$ , между осями $20$ .