Длина окружности и площадь круга · урок 11 из 16 · практикум

Практикум: площадь круга и его элементов (сектора и сегмента)

Геометрия · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R05 · GEOM9U-075

1 мин · теория (орг. момент, тема и задачи практикума)
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Паспорт: R05 «Длина окружности и площадь круга» (16 ч), урок 11/16, единица R05.5. Тип урока — П (практикум): теория — только короткие сводки перед блоками задач.
Теория (12,5): титул 1 · цели 1 · сводка «сектор» 3 · сводка «сегмент» 3 · таблица 2 · сводка «кольцо» 2,5.
Практика (32,5): разминка 2,5 · образцы → сам 2,5 + 2,5 + 2,5 + 3 + 2,5 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 3 · повышенный 3 · ОГЭ 2,5 · самостоятельная 4 · итог 1.
Если не успеваете: повышенный уровень и образец «из жизни» — в ДЗ; самостоятельную не сокращать.

R05.5

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Сектор

находить площадь по углу в градусах и в радианах, по длине дуги — и решать обратные задачи (ПР-16)

Сегмент

вычислять площадь меньшего и большего сегмента через сектор и треугольник

Кольцо и подобие

площадь кольца и его части; во сколько раз меняется площадь круга

Доказывать и применять

равенство площадей (луночки Гиппократа), задачи из жизни (ПР-17)

1 мин · теория
ПР-16: «Владеть понятиями правильного многоугольника, длины окружности, длины дуги окружности и радианной меры угла, вычислять площадь круга и его частей». ПР-17: «Понимать смысл числа π. Применять полученные умения при решении практических задач».
Виды деятельности ФРП R05: «Выводить формулы (в градусной и радианной мере) для длин дуг, площадей секторов и сегментов».
Формулы выведены на уроке GEOM9U-069; сегодня — автоматизм, обратные задачи и комбинации. Следующий практикум (GEOM9U-076) — сложные фигуры из элементов круга.

повторение: R05.4, R05.5

Разминка · устно

Радианы, круг, треугольник

$6 0^{\circ}$ — сколько радиан? $\frac{π}{3}$
$\frac{3 π}{4}$ рад — сколько градусов? $13 5^{\circ}$
Площадь круга радиуса $5$ ? $25 π$
Площадь круга $36 π$ . Радиус? $6$

Какую часть круга составляет сектор $7 2^{\circ}$ ? $\frac{1}{5}$
Площадь правильного треугольника со стороной $2$ ? $3$
$△ A OB$ : $O A = OB = 4$ , $∠ A OB = 12 0^{\circ}$ . Его площадь? $43$

R05.5

Сводка · площадь круга и сектора

Сектор — доля круга

S_{сект} = \frac{π R ^{2}}{36 0 ^{\circ}} \cdot α

α

в градусах

S_{сект} = \frac{1}{2} R^{2} α

α

в радианах

S_{сект} = \frac{1}{2} l R

l = R α

— длина дуги

Пример: $R = 6$ , $α = 6 0^{\circ}$ : $S = \frac{36 π}{6} = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot \frac{π}{3} = 6 π$

R05.5

Образец → сам · площадь сектора

Прямая и обратная задача

Образец: радиус сектора $6$ , угол $15 0^{\circ}$ . Найдите площадь сектора и длину его дуги.

$S = \frac{π \cdot 6 ^{2}}{36 0 ^{\circ}} \cdot 15 0^{\circ} = 15 π$ доля $\frac{5}{12}$ круга

$l = \frac{2 π \cdot 6}{36 0 ^{\circ}} \cdot 15 0^{\circ} = 5 π$ ; проверка: $\frac{1}{2} \cdot 5 π \cdot 6 = 15 π$

Сам

Радиус сектора $4$ , угол $1, 5$ рад. Найдите площадь. $12$
Площадь сектора $6 π$ , радиус $6$ . Найдите угол. $6 0^{\circ}$
Длина дуги сектора $4 π$ , площадь $12 π$ . Найдите радиус и угол. $R = 6$ , $12 0^{\circ}$

R05.5

Сводка · площадь сегмента

Сегмент = сектор $\mp$ треугольник

S_{△ A OB} = \frac{1}{2} R^{2} sin α

две стороны
и угол

S_{сегм} = \frac{1}{2} R^{2} (α - sin α)

α

в радианах

При $α > 18 0^{\circ}$ : $sin α < 0$ — формула сама прибавляет треугольник

3 мин · теория
Меньший сегмент (α < 180°): из сектора вычитаем треугольник AOB. Больший (α > 180°): к сектору прибавляем треугольник AOB, у которого угол при O равен 360° − α.
Общая формула: S = ½R²α − ½R² sin α. При α > 180° sin α = −sin(360° − α), поэтому «минус синус» превращается в «плюс площадь треугольника».
Полезно: больший сегмент = круг − меньший сегмент. При α = 180° сегмент — полукруг, треугольник вырождается.
Вопрос классу: может ли площадь сегмента равняться площади сектора? (Только при α = 180°.)

R05.5

Образец → сам · площадь сегмента

Меньший и больший сегмент

Образец: хорда $A B$ стягивает дугу $12 0^{\circ}$ , радиус $6$ . Найдите площадь меньшего сегмента.

$S_{сект} = \frac{36 π}{3} = 12 π$ , $S_{△} = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot sin 12 0^{\circ} = 93$

$S_{сегм} = 12 π - 93 \approx 22, 1$ сектор − треугольник

Сам

$R = 4$ , дуга $9 0^{\circ}$ . Площадь меньшего сегмента? $4 π - 8$
$R = 6$ , дуга $6 0^{\circ}$ . Площадь меньшего сегмента? $6 π - 93$
$R = 4$ , хорда стягивает дугу $9 0^{\circ}$ . Площадь большего сегмента? $12 π + 8$

R05.5

Сводка · сектор и сегмент для табличных углов

Всё через $R^{2}$

	$6 0^{\circ} = \frac{π}{3}$	$9 0^{\circ} = \frac{π}{2}$	$12 0^{\circ} = \frac{2 π}{3}$	$27 0^{\circ} = \frac{3 π}{2}$
сектор	$\frac{π}{6} R^{2}$	$\frac{π}{4} R^{2}$	$\frac{π}{3} R^{2}$	$\frac{3 π}{4} R^{2}$
$△ A OB$	$\frac{3}{4} R^{2}$	$\frac{1}{2} R^{2}$	$\frac{3}{4} R^{2}$	$\frac{1}{2} R^{2}$
сегмент	$(\frac{π}{6} - \frac{3}{4}) R^{2}$	$(\frac{π}{4} - \frac{1}{2}) R^{2}$	$(\frac{π}{3} - \frac{3}{4}) R^{2}$	$(\frac{3 π}{4} + \frac{1}{2}) R^{2}$

Сегмент

6 0^{\circ}

— всего

\approx 0, 09 R^{2}

: при малой дуге сегмент почти не отличается от треугольника

R05.5

Сводка · кольцо и подобие кругов

Кольцо, часть кольца, отношение площадей

S_{кольца} = π (R^{2} - r^{2})

большой круг
без малого

S = \frac{α}{36 0 ^{\circ}} \cdot π (R^{2} - r^{2})

часть кольца

\frac{S _{1}}{S _{2}} = (\frac{R _{1}}{R _{2}})^{2}

все круги
подобны

R05.5

Образец → сам · кольцо без радиусов

Хорда, касающаяся внутренней окружности

Образец: хорда $A B$ большей из двух концентрических окружностей касается меньшей, $A B = 10$ . Найдите площадь кольца.

$O H ⊥ A B$ , $H B = 5$ радиус в точку касания

$R^{2} - r^{2} = H B^{2} = 25 \Rightarrow S = π (R^{2} - r^{2}) = 25 π$

Сам

Радиусы окружностей $7$ и $5$ . Площадь кольца? $24 π$
Площадь кольца $16 π$ , внешний радиус $5$ . Внутренний радиус? $3$
Площадь кольца равна площади меньшего круга. Найдите $R : r$ . $2 : 1$

R05.5

Образец → сам · задача на доказательство

Луночки Гиппократа

Образец: на сторонах прямоугольного $△ A BC$ построены полукруги. Докажите: $S_{1} + S_{2} = S_{△ A BC}$ .

$\frac{π}{8} A C^{2} + \frac{π}{8} B C^{2} = \frac{π}{8} A B^{2}$ т. Пифагора

Полукруг на $A B$ проходит через $C$ $∠ C = 9 0^{\circ}$

Вычтем два общих сегмента: $S_{1} + S_{2} = S_{△ A BC}$

Сам

Катеты $6$ и $8$ . Найдите $S_{1} + S_{2}$ . $24$
Докажите: площадь кольца между описанной и вписанной окружностями правильного многоугольника со стороной $a$ равна $\frac{π a ^{2}}{4}$ . $R^{2} - r^{2} = (\frac{a}{2})^{2}$
Докажите: если радиус увеличить на $10 %$ , площадь круга увеличится на $21 %$ $1, 1^{2} = 1, 21$

3 мин · практика
Образец ведёт учитель по щелчкам, на каждом шаге — «почему?». Площадь полукруга на отрезке d: ½π(d/2)² = πd²/8. Полукруги на катетах вместе = полукруг на гипотенузе. Полукруг на AB = треугольник + два сегмента (на хордах AC и BC); полукруги на катетах = луночки + те же два сегмента. Значит, луночки = треугольник.
1) ½ · 6 · 8 = 24 (π не нужно — исторически первая «квадратура» криволинейной фигуры).
2) В △OHA (H — середина стороны, OH = r, OA = R): R² = r² + (a/2)², S = π(R² − r²) = πa²/4 — не зависит от числа сторон.
3) S₂/S₁ = (1,1R/R)² = 1,21 ⇒ площадь выросла на 21 %.

R05.5 · из жизни

Образец → сам · задача из жизни

Стеклоочиститель, пицца, поливалка

Образец: щётка стеклоочистителя очищает стекло от $15$ до $65$ см от оси и поворачивается на $12 0^{\circ}$ . Какую площадь она очищает?

Часть кольца: $S = \frac{12 0 ^{\circ}}{36 0 ^{\circ}} \cdot π (6 5^{2} - 1 5^{2}) = \frac{4000 π}{3}$

$S \approx 4189$ см² $\approx 0, 42$ м²

Сам

Пицца диаметром $30$ см разрезана на $8$ равных кусков. Площадь куска? $\frac{225 π}{8} \approx 88$ см²
Поливалка поливает сектор радиусом $10$ м и углом $13 5^{\circ}$ . Площадь? $37, 5 π \approx 118$ м²
Что больше: одна пицца $\emptyset 40$ см или две $\emptyset 28$ см? одна: $400 π > 392 π$

R05.5

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$α = 6 0^{\circ}$ : $S = \frac{1}{2} R^{2} \cdot 60 = 30 R^{2}$	в формуле $\frac{1}{2} R^{2} α$ угол — в радианах	$\frac{1}{2} R^{2} \cdot \frac{π}{3} = \frac{π R ^{2}}{6}$
Больший сегмент = сектор $-$ треугольник	при $α > 18 0^{\circ}$ треугольник лежит внутри сегмента	сектор $+$ треугольник
Диаметр в $2$ раза больше $\Rightarrow$ площадь в $2$ раза больше	площадь пропорциональна квадрату радиуса	в $4$ раза
$S_{кольца} = π (R - r)^{2}$	кольцо — разность площадей кругов	$π (R^{2} - r^{2})$

R05.5

Найди ошибку

Решение ученика: две ошибки

Задача. В окружности радиуса $6$ проведена хорда $A B = 63$ . Найдите площадь меньшего сегмента.

1) $cos ∠ A OB = \frac{36 + 36 - 108}{72} = - \frac{1}{2}$ , $∠ A OB = 12 0^{\circ}$

2) $S_{сект} = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot 120 = 2160$

3) $S_{△} = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot sin 12 0^{\circ} = 93$

4) $S_{сегм} = S_{сект} + S_{△} = 2160 + 93$

Шаг 2: угол в радианах:

\frac{1}{2} \cdot 36 \cdot \frac{2 π}{3} = 12 π

.

Шаг 4: меньший сегмент — вычитаем:

12 π - 93 \approx 22, 1

.

Проверка: весь круг

36 π \approx 113

— сегмент

2160

невозможен.

R05.5

Задания с самопроверкой · база

Круг, сектор, сегмент

БПлощадь круга с диаметром $10$ $25 π$
БДлина окружности $10 π$ . Площадь круга? $25 π$
БСектор: $R = 3$ , $α = 4 0^{\circ}$ . Площадь? $π$

БСектор: $R = 10$ , $α = 0, 6$ рад. Площадь? $30$
БКруг $64 π$ , сектор $8 π$ . Угол сектора? $4 5^{\circ}$
Б $R = 2$ , дуга $9 0^{\circ}$ . Меньший сегмент? $π - 2$

R05.5

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Комбинированные задачи

повыш.Около правильного треугольника со стороной $3$ описана окружность. Найдите площадь части круга вне треугольника. $3 π - \frac{9 3}{4}$
повыш.Хорда равна радиусу $4$ . Найдите площадь меньшего сегмента. $\frac{8 π}{3} - 43$
повыш.Площадь сектора $3 π$ , длина его дуги $π$ . Найдите радиус и угол в радианах. $6$ ; $\frac{π}{6}$
повыш.Две окружности радиуса $6$ проходят через центры друг друга. Найдите площадь общей части кругов. $24 π - 183$

R05.5 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 16 и 18

Площадь круга и сектора — короткий ответ

ОГЭ 16Площадь круга равна $90$ . Найдите площадь сектора этого круга с центральным углом $6 0^{\circ}$ . $15$
ОГЭ 16Найдите площадь кольца между окружностями, описанной около квадрата со стороной $4$ и вписанной в него. В ответ запишите $\frac{S}{π}$ . $4$

ОГЭ 18 Клетка $1 \times 1$ . Найдите $\frac{S}{π}$ сектора.

$R^{2} = 3^{2} + 1^{2} = 10$ , $∠ = 9 0^{\circ}$ → $2, 5$

R05.5

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Площадь круга радиуса $7$ . $49 π$
Сектор: $R = 6$ , $α = 8 0^{\circ}$ . Площадь? $8 π$
Сектор: $R = 4$ , $α = 2, 5$ рад. Площадь? $20$
$R = 6$ , дуга $9 0^{\circ}$ . Меньший сегмент? $9 π - 18$

Вариант 2

Площадь круга с диаметром $18$ . $81 π$
Сектор: $R = 3$ , $α = 16 0^{\circ}$ . Площадь? $4 π$
Сектор: $R = 6$ , $α = 0, 5$ рад. Площадь? $9$
$R = 2$ , дуга $12 0^{\circ}$ . Меньший сегмент? $\frac{4 π}{3} - 3$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Когда в формуле сектора угол в радианах?
Когда к сектору треугольник прибавляют?
Как найти площадь кольца, не зная радиусов?

Домашнее задание

Сектор площадью $10 π$ имеет угол $10 0^{\circ}$ . Найдите радиус.
$R = 6$ , дуга $6 0^{\circ}$ . Найдите площадь большего сегмента.
* Докажите, что $S_{сект} = \frac{1}{2} lR$ .
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_adv_mnogougolniki.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9U-075 · Практикум: площадь круга и его элементов (сектора и сегмента)

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R05 «Длина окружности и площадь круга», 16 ч · урок 11/16 · тип П
Единицы → слайды	R05.5 «Площадь круга и его элементов (сектора и сегмента)» → 2, 4–19 · повторение (радианная мера R05.4, площадь треугольника) → 3
Результаты	ПР-16 (площадь круга и его частей) → 2, 4–19 · ПР-17 (практические задачи) → 12, 17
Вне урока	сложные фигуры из элементов круга — GEOM9U-076; правильные многоугольники (практикум) — GEOM9U-077
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: площадь круга и его элементов (сектора и сегмента)

Сегодня вы научитесь

Сектор

Сегмент

Кольцо и подобие

Доказывать и применять

Радианы, круг, треугольник

Сектор — доля круга

Прямая и обратная задача

Образец: радиус сектора 6, угол 150∘. Найдите площадь сектора и длину его дуги.

Сам

Сегмент = сектор ∓ треугольник

Меньший и больший сегмент

Образец: хорда AB стягивает дугу 120∘, радиус 6. Найдите площадь меньшего сегмента.

Сам

Всё через R2

Кольцо, часть кольца, отношение площадей

Хорда, касающаяся внутренней окружности

Образец: хорда AB большей из двух концентрических окружностей касается меньшей, AB=10. Найдите площадь кольца.

Сам

Луночки Гиппократа

Образец: на сторонах прямоугольного △ABC построены полукруги. Докажите: S1​+S2​=S△ABC​.

Сам

Стеклоочиститель, пицца, поливалка

Образец: щётка стеклоочистителя очищает стекло от 15 до 65 см от оси и поворачивается на 120∘. Какую площадь она очищает?

Сам

Неверно → почему → верно

Решение ученика: две ошибки

Круг, сектор, сегмент

Комбинированные задачи

Площадь круга и сектора — короткий ответ

ОГЭ 18 Клетка 1×1. Найдите πS​ сектора.

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9U-075 · Практикум: площадь круга и его элементов (сектора и сегмента)

Образец: радиус сектора $6$ , угол $15 0^{\circ}$ . Найдите площадь сектора и длину его дуги.

Сегмент = сектор $\mp$ треугольник

Образец: хорда $A B$ стягивает дугу $12 0^{\circ}$ , радиус $6$ . Найдите площадь меньшего сегмента.

Всё через $R^{2}$

Образец: хорда $A B$ большей из двух концентрических окружностей касается меньшей, $A B = 10$ . Найдите площадь кольца.

Образец: на сторонах прямоугольного $△ A BC$ построены полукруги. Докажите: $S_{1} + S_{2} = S_{△ A BC}$ .

Образец: щётка стеклоочистителя очищает стекло от $15$ до $65$ см от оси и поворачивается на $12 0^{\circ}$ . Какую площадь она очищает?

ОГЭ 18 Клетка $1 \times 1$ . Найдите $\frac{S}{π}$ сектора.