Длина окружности и площадь круга · урок 10 из 16

Практикум: радианная мера угла

Геометрия · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R05 · GEOM9U-074

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R05 «Длина окружности и площадь круга» (16 ч), урок 10/16, единица R05.4. Тип урока — П (практикум после урока GEOM9U-068).
Теория (12): титул 0,5 · цели 0,5 · сводка правил 3 · шкала опорных углов 2 · хорда и дуга 2,5 · угловая скорость 2 · схема выбора формулы 1,5.
Практика (33): разминка 2,5 · образцы → сам 2,5 + 2 + 3 + 2,5 + 2,5 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2,5 · повышенный 3 · ОГЭ 2 · задача из жизни 2 · самостоятельная 4 · итог 1.
На рисунке титула: на окружности отложены дуги длиной в радиус (по 1 радиану); шесть дуг не закрывают окружность — остаётся $2 π - 6 \approx 0, 28$ радиуса.
Если не успеваете: задачу из жизни — в ДЗ; самостоятельную не сокращать.

R05.4

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Переводить и сравнивать

углы в градусах с минутами и в радианах, в том числе приближённо (ПР-16)

Связывать хорду и дугу

по центральному углу: $A B = 2 R sin \frac{α}{2}$ , $l = R α$

Решать комбинированные задачи

дуги описанной окружности, вписанные углы в радианах

Применять на практике

колёса, шкивы, Земля и опыт Эратосфена (ПР-17)

0,5 мин · теория
ПР-16: «Владеть понятиями правильного многоугольника, длины окружности, длины дуги окружности и радианной меры угла, вычислять площадь круга и его частей».
ПР-17: «Понимать смысл числа π. Применять полученные умения при решении практических задач. Знать исторические сведения об измерении длины окружности и площади круга».
Виды деятельности ФРП R05: определять длину дуги и радианную меру угла; проводить переход от радианной меры угла к градусной и наоборот; выводить формулы длин дуг в градусной и радианной мере.

повторение: R05.3, R05.4

Разминка · устно

Радианы и длина дуги

$\frac{π}{5}$ в градусах? $3 6^{\circ}$
$21 0^{\circ}$ в радианах? $\frac{7 π}{6}$
$R = 4$ , $α = 1, 5$ рад. Длина дуги? $6$
$l = 2 π$ , $R = 6$ . Угол $α$ ? $\frac{π}{3}$

Сумма углов четырёхугольника в радианах? $2 π$
$1$ рад — примерно сколько градусов? $57, 3^{\circ}$
Центральный угол $\frac{π}{2}$ . Вписанный угол на ту же дугу? $\frac{π}{4}$
Угол в $2$ рад — острый или тупой? тупой

R05.4

Сводка · правила урока

Всё, что нужно сегодня

Радианная мера

$α = \frac{l}{R}$ — сколько радиусов в дуге

$1$ рад $\approx 57, 3^{\circ}$ ( $1 < \frac{π}{3}$ )

Перевод

$π рад = 18 0^{\circ}$

$1^{\circ} = 6 0^{'}$ , $3 0^{'} = 0, 5^{\circ}$

Дуга и хорда

$l = R α$ ( $α$ в радианах)

вписанный угол $= \frac{1}{2}$ центрального

Суммы углов

треугольник — $π$

выпуклый $n$ -угольник — $(n - 2) π$

R05.4

Схема · опорные углы

Где на окружности $1$ , $2$ и $3$ радиана

Табличные углы — через $π$ , на шкале слева.

$1$ рад чуть меньше $\frac{π}{3}$

$2$ рад между $\frac{π}{2}$ и $\frac{2 π}{3}$

$3$ рад чуть меньше $π$

R05.4

Образец → сам · градусы и минуты

Сначала минуты — в доли градуса

Образец: выразите $2 2^{\circ} 3 0^{'}$ в радианах.

$3 0^{'} = \frac{30}{60}^{\circ} = 0, 5^{\circ}$ $1^{\circ} = 6 0^{'}$

$22, 5^{\circ} = \frac{22 , 5}{180} π = \frac{45}{360} π$ перевод

Ответ: $\frac{π}{8}$ проверка: $\frac{18 0 ^{\circ}}{8} = 22, 5^{\circ}$

Сам

Выразите $6 7^{\circ} 3 0^{'}$ в радианах. $\frac{3 π}{8}$
Выразите $7^{\circ} 3 0^{'}$ в радианах. $\frac{π}{24}$
Выразите $\frac{5 π}{16}$ в градусах и минутах. $5 6^{\circ} 1 5^{'}$

R05.4

Образец → сам · сравнение углов

Приводим к одной мере

Образец: что больше — $1, 8$ рад или $10 0^{\circ}$ ?

$10 0^{\circ} = \frac{100}{180} π = \frac{5 π}{9}$ в радианы

$\frac{5 π}{9} \approx \frac{5 \cdot 3 , 14}{9} \approx 1, 74$ $π \approx 3, 14$

$1, 74 < 1, 8$ ⇒ $1, 8$ рад больше $1, 8 \cdot 57, 3^{\circ} \approx 10 3^{\circ}$

Сам: что больше?

$2, 5$ рад или $\frac{3 π}{4}$ $2, 5$ рад
$1$ рад или $5 7^{\circ}$ $1$ рад
$3$ рад или $17 0^{\circ}$ $3$ рад

R05.4 · R05.3

Вывод · хорда и дуга одного угла

Хорда $A B = 2 R sin \frac{α}{2}$ , дуга $l = R α$

1

O A = OB = R

,

O H ⊥ A B

△ A OB

равнобедренный:

O H

— высота и биссектриса

2

A H = R sin \frac{α}{2}

из прямоугольного

△ A O H

3

A B = 2 R sin \frac{α}{2}

H

— середина

A B

4

α = \frac{π}{3}, \frac{π}{2}, \frac{2 π}{3}

⇒

A B = R, R 2, R 3

опорные случаи

R05.4 · R05.3

Образец → сам · по хорде найти дугу

Хорда → половина угла → дуга

Образец: $R = 6$ , хорда $A B = 63$ . Найдите $∠ A OB$ и меньшую дугу $A B$ .

$sin ∠ A O H = \frac{A H}{O A} = \frac{3 3}{6} = \frac{3}{2}$ ⇒ $∠ A O H = \frac{π}{3}$

$∠ A OB = \frac{2 π}{3}$ , $l = 6 \cdot \frac{2 π}{3} = 4 π$

Сам

$R = 5$ , хорда $A B = 5$ . Меньшая дуга $A B$ ? $\frac{5 π}{3}$
$R = 4$ , хорда $A B = 42$ . Меньшая дуга $A B$ ? $2 π$
$R = 9$ , дуга $A B = 3 π$ . Найдите хорду $A B$ . $9$

R05.4 · R05.3

Образец → сам · дуги описанной окружности

Углы в радианах + теорема синусов

Образец: $∠ A = \frac{π}{4}$ , $∠ B = \frac{5 π}{12}$ , $A B = 6$ . Найдите дугу $A B$ , не содержащую $C$ .

$∠ C = π - \frac{π}{4} - \frac{5 π}{12} = \frac{π}{3}$ ; $R = \frac{A B}{2 sin C} = 23$

$∠ A OB = 2∠ C = \frac{2 π}{3}$ ⇒ $l = \frac{4 π 3}{3}$ $\approx 7, 26$

Сам

$∠ A = \frac{π}{6}$ , $BC = 5$ . Дуга $BC$ , не содержащая $A$ ? $\frac{5 π}{3}$
$R = 10$ , вписанный $∠ A CB = \frac{2 π}{5}$ . Дуга $A B$ , не содержащая $C$ ? $8 π$
$∠ C = \frac{π}{4}$ , $A B = 42$ . Дуга $A B$ , не содержащая $C$ ? $2 π$

R05.4 · ПР-17

Дополнительно · угловая скорость

Поворот за время: $ω = \frac{α}{t}$ , $v = ω R$

1Угловая скорость

ω = \frac{α}{t}

рад/сугол поворота за единицу времени

2

n

оборотов в секунду ⇒

ω = 2 πn

один оборот —

2 π

рад

3

l = R α

⇒

v = \frac{l}{t} = ω R

скорость точки на ободе

4Ремень без проскальзывания:

ω_{1} R_{1} = ω_{2} R_{2}

скорость ремня одна

R05.4 · ПР-17

Образец → сам · колёса и шкивы

Путь $=$ угол в радианах $\times$ радиус

Образец: шкив $R_{1} = 10$ см вращается с $ω_{1} = 3$ рад/с и ремнём вращает шкив $R_{2} = 15$ см. Найдите скорость ремня и $ω_{2}$ .

$v = ω_{1} R_{1} = 3 \cdot 10 = 30$ см/с скорость обода

$ω_{2} = \frac{v}{R _{2}} = \frac{30}{15} = 2$ рад/с

Сам

Колесо $R = 0, 35$ м делает $2$ оборота в секунду. Найдите $ω$ и $v$ . $4 π$ рад/с; $\approx 4, 4$ м/с
Часовая стрелка $6$ см. Путь её конца за $1$ ч $40$ мин? $\frac{5 π}{3} \approx 5, 2$ см
Шкив $R_{1} = 12$ см повернулся на $2$ рад. На какой угол повернулся связанный ремнём шкив $R_{2} = 8$ см? $3$ рад

R05.4

Схема · что дано — что делать

Как начать задачу на радианы

Угол в градусах (с минутами)

минуты $: 60$ , затем $\cdot \frac{π}{180}$

Дана хорда

$sin \frac{α}{2} = \frac{A B}{2 R}$ → $α$ → $l = R α$

Дан вписанный угол

центральный $= 2 \cdot$ вписанный → $l = R α$

Дано время или обороты

$α = ω t$ , $ω = 2 πn$ → путь $l = R α$

R05.4

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$2 2^{\circ} 3 0^{'} = 22, 3^{\circ}$	в градусе $6 0^{'}$ , а не $10 0^{'}$	$22, 5^{\circ} = \frac{π}{8}$
$R = 6$ , $α = \frac{π}{3}$ : хорда $= R α = 2 π$	$R α$ — длина дуги, не хорды	хорда $= 2 \cdot 6 sin \frac{π}{6} = 6$
дуга $\frac{2 π}{3}$ ⇒ вписанный угол $\frac{2 π}{3}$	вписанный угол — половина дуги	$\frac{π}{3}$

R05.4 · ПР-17

Найди ошибку

Колесо $R = 25$ см делает $120$ оборотов в минуту

Найдите угловую скорость (рад/с) и скорость точки обода (м/с). Решение ученика:

1) $120$ об/мин $= 2$ об/с
2) $ω = 2 \cdot 360 = 720$ рад/с
3) $v = ω R = 720 \cdot 25 = 18000$ м/с

2) оборот — $2 π$ рад, а не $360$ : $ω = 4 π \approx 12, 6$ рад/с

3) радиус в метрах: $v = 4 π \cdot 0, 25 = π \approx 3, 14$ м/с

R05.4

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

база $1 8^{\circ}$ в радианах $\frac{π}{10}$
база $\frac{7 π}{12}$ в градусах $10 5^{\circ}$
база $2, 5$ рад в градусах (до десятых) $\approx 143, 2^{\circ}$

база $R = 12$ , $α = \frac{5 π}{6}$ . $l = ?$ $10 π$
база $l = 7$ , $α = 0, 35$ рад. $R = ?$ $20$
базаУгол правильного $12$ -угольника в радианах $\frac{5 π}{6}$

R05.4

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.В треугольнике $∠ A = \frac{π}{5}$ , а $∠ B$ на $\frac{π}{10}$ больше $∠ C$ . Найдите $∠ B$ в радианах и градусах. $\frac{9 π}{20} = 8 1^{\circ}$
повыш.Дуга $A B$ окружности радиуса $6$ равна $2 π$ . Найдите хорду $A B$ . $6$
повыш.Хорда $A B$ равна радиусу. Во сколько раз меньшая дуга $A B$ длиннее хорды? в $\frac{π}{3} \approx 1, 05$ раза
из жизниНа какой угол Земля поворачивается за $1$ ч? Какой путь проходит точка экватора ( $R \approx 6400$ км)? $\frac{π}{12}$ ; $\approx 1676$ км

R05.4 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 16 и 19

Ответ — одно число

ОГЭ 16Точки $A$ и $B$ делят окружность на дуги, длины которых относятся как $7 : 11$ . Найдите вписанный угол, опирающийся на меньшую дугу. Ответ дайте в градусах. $70$
ОГЭ 16Хорда $A B$ стягивает дугу в $\frac{5 π}{9}$ рад. Найдите угол между хордой $A B$ и касательной в точке $A$ . Ответ дайте в градусах. $50$

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Угол в $2$ радиана тупой.
Дуга в $1$ радиан равна по длине диаметру.
Сумма углов выпуклого пятиугольника равна $3 π$ .

Ответ: 13

R05.4 · ПР-17

Задача из жизни · как измерили Землю

Меридиан — дуга окружности радиуса $R \approx 6400$ км

а) Сколько километров по меридиану приходится на $1^{\circ}$ ? $\approx 111, 7$ км

б) Две точки на одном меридиане в $1600$ км. Разница широт в радианах и градусах? $0, 25$ рад $\approx 14, 3^{\circ}$

в) Эратосфен: угол $α$ между Сиеной и Александрией — $\frac{1}{50}$ полного угла, дуга — $5000$ стадиев. Найдите $α$ в радианах и длину окружности Земли. $\frac{π}{25}$ ; $250000$ стадиев

R05.4

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Выразите $3 7^{\circ} 3 0^{'}$ в радианах. $\frac{5 π}{24}$
Выразите $\frac{13 π}{18}$ в градусах. $13 0^{\circ}$
$R = 8$ , хорда $A B = 82$ . Меньшая дуга $A B$ ? $4 π$
Колесо $R = 0, 4$ м, $ω = 5$ рад/с. Скорость точки обода? $2$ м/с

Вариант 2

Выразите $5 2^{\circ} 3 0^{'}$ в радианах. $\frac{7 π}{24}$
Выразите $\frac{11 π}{18}$ в градусах. $11 0^{\circ}$
$R = 10$ , хорда $A B = 103$ . Меньшая дуга $A B$ ? $\frac{20 π}{3}$
Колесо $R = 0, 3$ м, $ω = 8$ рад/с. Скорость точки обода? $2, 4$ м/с

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как перевести $1 5^{'}$ в доли градуса?
Чем хорда $2 R sin \frac{α}{2}$ отличается от дуги $R α$ ?
Почему в $v = ω R$ угол — в радианах?

Домашнее задание

$8 2^{\circ} 3 0^{'}$ — в радианы; $\frac{7 π}{15}$ — в градусы.
$R = 12$ , хорда $A B = 12$ . Меньшая дуга $A B$ ?
* Шкивы $15$ и $6$ см, первый — $4$ рад/с. $ω_{2}$ ?
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_adv_mnogougolniki.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9U-074 · Практикум: радианная мера угла

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R05 «Длина окружности и площадь круга», 16 ч · урок 10/16 · тип П
Единицы → слайды	R05.4 «Радианная мера угла» → 2–21 · повторение R05.3 (длина дуги) → 3, 8–10 · R05.1 (углы правильных многоугольников) → 16
Результаты	ПР-16 (длина дуги, радианная мера угла) → 2–10, 13–18, 20 · ПР-17 (практические задачи, история) → 11, 12, 15, 17, 19
Вне урока	площадь сектора и сегмента — GEOM9U-075 (R05.5); угловая скорость — физика 9 класса (слайд 11 «Дополнительно»)
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: радианная мера угла

Сегодня вы научитесь

Переводить и сравнивать

Связывать хорду и дугу

Решать комбинированные задачи

Применять на практике

Радианы и длина дуги

Всё, что нужно сегодня

Радианная мера

Перевод

Дуга и хорда

Суммы углов

Где на окружности 1, 2 и 3 радиана

Сначала минуты — в доли градуса

Образец: выразите 22∘30′ в радианах.

Сам

Приводим к одной мере

Образец: что больше — 1,8 рад или 100∘?

Сам: что больше?

Хорда AB=2Rsin2α​, дуга l=Rα

Хорда → половина угла → дуга

Образец: R=6, хорда AB=63​. Найдите ∠AOB и меньшую дугу AB.

Сам

Углы в радианах + теорема синусов

Образец: ∠A=4π​, ∠B=125π​, AB=6. Найдите дугу AB, не содержащую C.

Сам

Поворот за время: ω=tα​, v=ωR

Путь = угол в радианах × радиус

Образец: шкив R1​=10 см вращается с ω1​=3 рад/с и ремнём вращает шкив R2​=15 см. Найдите скорость ремня и ω2​.

Сам

Как начать задачу на радианы

Угол в градусах (с минутами)

Дана хорда

Дан вписанный угол

Дано время или обороты

Неверно → почему → верно

Колесо R=25 см делает 120 оборотов в минуту

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Меридиан — дуга окружности радиуса R≈6400 км

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9U-074 · Практикум: радианная мера угла

Где на окружности $1$ , $2$ и $3$ радиана

Образец: выразите $2 2^{\circ} 3 0^{'}$ в радианах.

Образец: что больше — $1, 8$ рад или $10 0^{\circ}$ ?

Хорда $A B = 2 R sin \frac{α}{2}$ , дуга $l = R α$

Образец: $R = 6$ , хорда $A B = 63$ . Найдите $∠ A OB$ и меньшую дугу $A B$ .

Образец: $∠ A = \frac{π}{4}$ , $∠ B = \frac{5 π}{12}$ , $A B = 6$ . Найдите дугу $A B$ , не содержащую $C$ .

Поворот за время: $ω = \frac{α}{t}$ , $v = ω R$

Путь $=$ угол в радианах $\times$ радиус

Образец: шкив $R_{1} = 10$ см вращается с $ω_{1} = 3$ рад/с и ремнём вращает шкив $R_{2} = 15$ см. Найдите скорость ремня и $ω_{2}$ .

Колесо $R = 25$ см делает $120$ оборотов в минуту

Меридиан — дуга окружности радиуса $R \approx 6400$ км