Длина окружности и площадь круга · урок 9 из 16 · практикум

Практикум: длина дуги окружности

Геометрия · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R05 · GEOM9U-073

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Паспорт: R05 «Длина окружности и площадь круга» (16 ч), урок 9/16, единица R05.3 «Длина дуги окружности». Тип урока — П (практикум после урока GEOM9U-067).
Теория (12,5): титул 0,5 · цели 0,5 · вывод формулы 3 · сводка «что дано» 2 · угол дуги 3 · демонстрация учителя 3,5.
Практика (32,5): разминка 2,5 · образцы → сам 2,5 + 2,5 + 3 + 2,5 + 2,5 · ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2 · повышенный 2,5 · ОГЭ 2 · из жизни 2 · самостоятельная 4 · итог 1.
Новое по сравнению с уроком 067: угол дуги через хорду, касательные и вписанный угол, фигуры из дуг (треугольник Рёло, линза), дуги на клетчатой бумаге. Если не успеваете: образец 5 — в ДЗ, повышенный уровень — выборочно.

R05.3

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Находить длину дуги

по радиусу и центральному углу (ПР-16)

Решать обратные задачи

угол или радиус по длине дуги

Находить угол дуги

через хорду, вписанный угол, касательные

Применять на практике

фигуры из дуг, часы, задания ОГЭ 12, 16, 19 (ПР-17)

0,5 мин · теория
ПР-16 (ФРП, углублённый уровень): «Владеть понятиями правильного многоугольника, длины окружности, длины дуги окружности и радианной меры угла, вычислять площадь круга и его частей».
ПР-17: «Понимать смысл числа π. Применять полученные умения при решении практических задач».
Вид деятельности ФРП R05: «Выводить формулы (в градусной и радианной мере) для длин дуг…» — радианная мера будет на следующем уроке (GEOM9U-074).

повторение R05.2

Разминка · устно

Длина окружности и доли круга

Длина окружности при $R = 5$ ? $10 π$
$C = 18 π$ . Найдите $R$ $9$
Какая часть окружности — дуга $9 0^{\circ}$ ? $\frac{1}{4}$
Какая часть окружности — дуга $12 0^{\circ}$ ? $\frac{1}{3}$

Сколько градусов в $\frac{1}{6}$ окружности? $6 0^{\circ}$
Вписанный угол $3 5^{\circ}$ . Градусная мера дуги, на которую он опирается? $7 0^{\circ}$
$C = 24 π$ . Длина четверти окружности? $6 π$

R05.3

Сводка · формула длины дуги

Дуга $α^{\circ}$ — это $\frac{α}{360}$ часть окружности

1

C = 2 π R

длина всей окружности,

36 0^{\circ}

2дуга

1^{\circ}

:

\frac{2 π R}{360} = \frac{π R}{180}

окружность делим на

360

равных дуг

3дуга

α^{\circ}

— в

α

раз длиннееравные центральные углы — равные дуги

l = \frac{π R α}{180}

R05.3

Сводка · что дано → как найти

Одна формула — три задачи

Дано	Найти	Формула
$R$ и $α$	длину дуги $l$	$l = \frac{π R α}{180}$
$l$ и $R$	угол дуги $α$	$α = \frac{180 l}{π R}$
$l$ и $α$	радиус $R$	$R = \frac{180 l}{π α}$
$C$ и $α$	длину дуги $l$	$l = C \cdot \frac{α}{360}$
две дуги одной хорды	вторую дугу	$α_{1} + α_{2} = 36 0^{\circ}$ , $l_{1} + l_{2} = C$

R05.3 · углублённый

Сводка · как найти угол дуги

Угол $α$ часто не дан — его находят

Известно	Угол дуги $α$	Почему
вписанный угол $φ$	$α = 2 φ$	теорема о вписанном угле
угол между касательной и хордой $φ$	$α = 2 φ$	дуга внутри угла
угол между касательными $φ$	$α = 18 0^{\circ} - φ$	четырёхугольник с двумя прямыми углами
хорда $a$ : $a = R, R 2, R 3$	$6 0^{\circ}, 9 0^{\circ}, 12 0^{\circ}$	$△ A OB$ — равнобедренный
расстояние $d$ от центра до хорды	$cos \frac{α}{2} = \frac{d}{R}$	прямоугольный треугольник

R05.3 · углублённый

Демонстрация · решает учитель

Касательные из одной точки и две дуги

Дано:

P A

,

PB

— касательные,

∠ A PB = 6 0^{\circ}

,

R = 6

. Найти: длины дуг

A B

.

1

∠ O A P = ∠ OBP = 9 0^{\circ}

касательная перпендикулярна радиусу

2

∠ A OB = 36 0^{\circ} - 9 0^{\circ} - 9 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 12 0^{\circ}

сумма углов четырёхугольника

O A PB

3

l_{1} = \frac{π \cdot 6 \cdot 120}{180} = 4 π \approx 12, 6

меньшая дуга

4

l_{2} = 12 π - 4 π = 8 π \approx 25, 1

большая дуга:

C = 12 π

R05.3

Образец → сам · длина дуги по радиусу и углу

Подставляем в формулу и сокращаем

Образец: $R = 9$ , $∠ A OB = 4 0^{\circ}$ . Найдите длину дуги $A B$ .

$l = \frac{π R α}{180}$ формула длины дуги

$l = \frac{π \cdot 9 \cdot 40}{180}$ $R = 9$ , $α = 4 0^{\circ}$

$l = 2 π \approx 6, 28$ $9 \cdot 40 = 360 = 2 \cdot 180$

Сам: найдите длину дуги

$R = 12$ , $α = 15 0^{\circ}$ $10 π$
$R = 4, 5$ , $α = 8 0^{\circ}$ $2 π$
диаметр $20$ , $α = 7 2^{\circ}$ $4 π$

R05.3

Образец → сам · обратная задача

Известна длина дуги — найдите угол или радиус

Образец: дуга окружности радиуса $15$ имеет длину $5 π$ . Найдите её градусную меру.

$\frac{π \cdot 15 \cdot α}{180} = 5 π$ подставили $R$ и $l$ в формулу

$\frac{15 α}{180} = 5$ делим обе части на $π$

$α = \frac{5 \cdot 180}{15} = 6 0^{\circ}$ проверка: $15 \cdot 60 = 900 = 5 \cdot 180$ ✓

Сам

Дуга $13 5^{\circ}$ имеет длину $3 π$ . Найдите $R$ $4$
$R = 12$ , длина дуги $14 π$ . Найдите её градусную меру $21 0^{\circ}$
Дуга $4 0^{\circ}$ имеет длину $8 π$ . Найдите длину окружности $72 π$

R05.3 · углублённый

Образец → сам · угол дуги через хорду

Сначала угол $A OB$ из треугольника, затем дуга

Образец: $R = 6$ , хорда $A B = 62$ . Найдите длины обеих дуг $A B$ .

$6^{2} + 6^{2} = 72 = (62)^{2}$ обратная теорема Пифагора ⇒ $∠ A OB = 9 0^{\circ}$

$l_{1} = \frac{π \cdot 6 \cdot 90}{180} = 3 π$ меньшая дуга

$l_{2} = 12 π - 3 π = 9 π$ большая дуга, $27 0^{\circ}$

Сам

$R = 10$ , хорда $10$ . Меньшая дуга? $\frac{10 π}{3}$
$∠ A CB = 5 0^{\circ}$ — вписанный, $R = 9$ . Дуга $A B$ без точки $C$ ? $5 π$
$R = 4$ , хорда $43$ . Меньшая дуга? $\frac{8 π}{3}$

R05.3 · углублённый

Образец → сам · фигуры из дуг

Контур фигуры — сумма дуг и отрезков

Образец: треугольник Рёло — дуги радиуса $6$ с центрами в вершинах правильного $△ A BC$ . Найдите длину контура.

каждая дуга — $6 0^{\circ}$ угол правильного треугольника

$l = \frac{π \cdot 6 \cdot 60}{180} = 2 π$ радиус — сторона, $6$

$P = 3 \cdot 2 π = 6 π \approx 18, 8$ как у круга диаметра $6$

Сам: длина контура

Квадрат $A BC D$ со стороной $4$ , дуга $B D$ с центром $A$ . Фигура: дуга $B D$ и стороны $BC$ , $C D$ $8 + 2 π$
На сторонах правильного шестиугольника со стороной $3$ — полуокружности наружу $9 π$
Две окружности $R = 6$ , центр каждой — на другой. Контур общей части $8 π$

R05.3

Образец → сам · клетчатая бумага

Клетка $1 \times 1$ . Найдите длину меньшей дуги $A B$

Образец: $O (0; 0)$ — центр, $A (3; 3)$ , $B (- 3; 3)$ .

$R = O A = 3^{2} + 3^{2} = 32$ теорема Пифагора по клеткам

$∠ A OB = 4 5^{\circ} + 4 5^{\circ} = 9 0^{\circ}$ диагонали клеток

$l = \frac{π \cdot 3 2 \cdot 90}{180} = \frac{3 2 π}{2} \approx 6, 7$

Сам: центр $O (0; 0)$

$A (4; 0)$ , $B (0; 4)$ $2 π$
$A (2; 2)$ , $B (- 2; - 2)$ $22 π$
$A (3; 1)$ , $B (- 1; 3)$ $\frac{10}{2} π$

R05.3

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$l = \frac{π R α}{360}$	дуга $1^{\circ}$ — это $\frac{2 π R}{360}$	$l = \frac{π R α}{180}$
вписанный угол $4 0^{\circ}$ ⇒ дуга $4 0^{\circ}$	вписанный угол — половина дуги	дуга $8 0^{\circ}$
$R = 6$ , хорда $6$ ⇒ дуга $= 6$	дуга длиннее стягивающей её хорды	$6 0^{\circ}$ : $l = 2 π \approx 6, 28$

R05.3

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Диаметр $8$ , $α = 4 5^{\circ}$ . Найдите длину дуги.

$l = \frac{π \cdot 8 \cdot 45}{180}$

$l = 2 π$

$R = 4$ : $l = \frac{π \cdot 4 \cdot 45}{180} = π$

б) Касательные $P A$ , $PB$ , $∠ A PB = 5 0^{\circ}$ , $R = 9$ . Меньшая дуга $A B$ ?

$∠ A OB = ∠ A PB = 5 0^{\circ}$

$l = \frac{π \cdot 9 \cdot 50}{180} = 2, 5 π$

$∠ A OB = 13 0^{\circ}$ : $l = 6, 5 π$

в) Дуга длины $5 π$ , $R = 10$ . Найдите $α$ .

$α = \frac{180 \cdot 5 π}{10}$

$α = 90 π^{\circ}$

$α = \frac{180 \cdot 5 π}{π \cdot 10} = 9 0^{\circ}$

R05.3

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

база $R = 6$ , $α = 3 0^{\circ}$ . Длина дуги? $π$
база $R = 10$ , $α = 27 0^{\circ}$ . Длина дуги? $15 π$
базаДиаметр $12$ , $α = 12 0^{\circ}$ . Длина дуги? $4 π$
базаДлина дуги $4 π$ , $R = 8$ . Градусная мера дуги? $9 0^{\circ}$
базаДуга $6 0^{\circ}$ имеет длину $5 π$ . Найдите $R$ $15$
база $C = 36 π$ . Длина дуги $10 0^{\circ}$ ? $10 π$

R05.3 · углублённый

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш. $R = 12$ , хорда $A B = 12$ . Найдите длины обеих дуг $A B$ $4 π$ и $20 π$
повыш.Вписанный $∠ A CB = 10 5^{\circ}$ , $R = 6$ . Длина дуги $A B$ , на которую он опирается? $7 π$
повыш.Точки делят окружность $R = 9$ на дуги в отношении $2 : 3 : 7$ . Длина наибольшей дуги? $10, 5 π$
повыш.Хорда удалена от центра на половину радиуса, $R = 6$ . Длина меньшей дуги? $4 π$

R05.3 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 12, 16 и 19

Ответ — число или номера утверждений

ОГЭ 12Длину дуги вычисляют по формуле

$l = \frac{π R α}{180}$

Найдите $α$ (в градусах), если $l = 6, 28$ , $R = 4$ . Считайте $π \approx 3, 14$ .

Ответ: $90$

ОГЭ 16Точки $A$ , $B$ , $C$ делят окружность на дуги, градусные меры которых относятся как $1 : 3 : 5$ . Найдите больший угол $△ A BC$ .

Ответ: $100$

ОГЭ 19Какие утверждения верны?

При одном радиусе длина дуги пропорциональна её градусной мере.
Длина полуокружности радиуса $R$ равна $π R$ .
Вписанный угол равен дуге, на которую он опирается.
Длина дуги $9 0^{\circ}$ окружности радиуса $4$ равна $4 π$ .

Ответ: $12$

R05.3 · практика

Задача из жизни · стрелки часов

Какой путь проходит конец стрелки?

Минутная стрелка $12$ см. Путь конца за $20$ мин? $8 π \approx 25, 1$ см
Та же стрелка, за $45$ мин? $18 π \approx 56, 5$ см
Часовая стрелка $9$ см. Путь конца за $4$ ч? $6 π \approx 18, 8$ см
Конец минутной стрелки прошёл $2 π$ см. Сколько минут прошло? $5$ мин

R05.3

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$R = 9$ , $α = 8 0^{\circ}$ . Длина дуги? $4 π$
Длина дуги $6 π$ , $R = 12$ . Найдите $α$ $9 0^{\circ}$
$R = 5$ , хорда $52$ . Меньшая дуга? $2, 5 π$
Касательные из $P$ , $∠ A PB = 4 0^{\circ}$ , $R = 9$ . Меньшая дуга $A B$ ? $7 π$

Вариант 2

$R = 12$ , $α = 7 5^{\circ}$ . Длина дуги? $5 π$
Дуга $15 0^{\circ}$ имеет длину $10 π$ . Найдите $R$ $12$
$R = 7$ , хорда $7$ . Меньшая дуга? $\frac{7 π}{3}$
Касательные из $P$ , $∠ A PB = 8 0^{\circ}$ , $R = 9$ . Меньшая дуга $A B$ ? $5 π$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Почему в формуле делят на $180$ ?
Как найти угол дуги, если дана хорда?
Почему у хорды две дуги?

Домашнее задание

$R = 15$ , длина дуги $10 π$ . Найдите $α$ .
Касательные из $P$ , $∠ A PB = 7 0^{\circ}$ , $R = 18$ . Длины обеих дуг $A B$ .
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_adv_mnogougolniki.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9U-073 · Практикум: длина дуги окружности

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R05 «Длина окружности и площадь круга», 16 ч · урок 9/16 · тип П
Единицы → слайды	R05.3 «Длина дуги окружности» → 2, 4–20 · повторение R05.2 (длина окружности) → 3; вписанные углы и касательные (R02) как инструмент → 6, 7, 10, 14, 16
Результаты	ПР-16 (длина дуги окружности) → 2–20 · ПР-17 (практические задачи) → 11, 18
Вне урока	радианная мера угла (R05.4) — GEOM9U-074; площадь сектора и сегмента (R05.5) — GEOM9U-075
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: длина дуги окружности

Сегодня вы научитесь

Находить длину дуги

Решать обратные задачи

Находить угол дуги

Применять на практике

Длина окружности и доли круга

Дуга α∘ — это 360α​ часть окружности

Одна формула — три задачи

Угол α часто не дан — его находят

Касательные из одной точки и две дуги

Подставляем в формулу и сокращаем

Образец: R=9, ∠AOB=40∘. Найдите длину дуги AB.

Сам: найдите длину дуги

Известна длина дуги — найдите угол или радиус

Образец: дуга окружности радиуса 15 имеет длину 5π. Найдите её градусную меру.

Сам

Сначала угол AOB из треугольника, затем дуга

Образец: R=6, хорда AB=62​. Найдите длины обеих дуг AB.

Сам

Контур фигуры — сумма дуг и отрезков

Образец: треугольник Рёло — дуги радиуса 6 с центрами в вершинах правильного △ABC. Найдите длину контура.

Сам: длина контура

Клетка 1×1. Найдите длину меньшей дуги AB

Образец: O(0;0) — центр, A(3;3), B(−3;3).

Сам: центр O(0;0)

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Диаметр 8, α=45∘. Найдите длину дуги.

б) Касательные PA, PB, ∠APB=50∘, R=9. Меньшая дуга AB?

в) Дуга длины 5π, R=10. Найдите α.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — число или номера утверждений

Какой путь проходит конец стрелки?

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9U-073 · Практикум: длина дуги окружности

Дуга $α^{\circ}$ — это $\frac{α}{360}$ часть окружности

Угол $α$ часто не дан — его находят

Образец: $R = 9$ , $∠ A OB = 4 0^{\circ}$ . Найдите длину дуги $A B$ .

Образец: дуга окружности радиуса $15$ имеет длину $5 π$ . Найдите её градусную меру.

Сначала угол $A OB$ из треугольника, затем дуга

Образец: $R = 6$ , хорда $A B = 62$ . Найдите длины обеих дуг $A B$ .

Образец: треугольник Рёло — дуги радиуса $6$ с центрами в вершинах правильного $△ A BC$ . Найдите длину контура.

Клетка $1 \times 1$ . Найдите длину меньшей дуги $A B$

Образец: $O (0; 0)$ — центр, $A (3; 3)$ , $B (- 3; 3)$ .

Сам: центр $O (0; 0)$

а) Диаметр $8$ , $α = 4 5^{\circ}$ . Найдите длину дуги.

б) Касательные $P A$ , $PB$ , $∠ A PB = 5 0^{\circ}$ , $R = 9$ . Меньшая дуга $A B$ ?

в) Дуга длины $5 π$ , $R = 10$ . Найдите $α$ .