Длина окружности и площадь круга · урок 8 из 16 · практикум

Практикум: число π и длина окружности

Геометрия · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R05 · GEOM9U-072

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R05 «Длина окружности и площадь круга» (16 ч), урок 8/16, единица R05.2. Тип урока — П (практикум): теория — короткие сводки и демонстрации, основное время — задачи.
Теория (12): титул 0,5 · цели 0,5 · сводка C = 2πR 2,5 · доказательство постоянства C : d 2,5 · сводка «окружности правильных многоугольников» 1,5 · Архимед 2,5 · демонстрация «нить вокруг Земли» 2.
Практика (33): разминка 2 · образцы → сам 3 + 3 + 2,5 + 3 + 2,5 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 3 · повышенный 2,5 · ОГЭ 3 · самостоятельная 4 · итог 1.
Если не успеваете: образец 5 (полуокружности) и повышенный уровень — в ДЗ.

R05.2

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Находить длину окружности

по радиусу и диаметру — и радиус по длине; ответ точно и приближённо (ПР-16)

Объяснять смысл числа π

почему $C : d$ одно и то же для всех окружностей (ПР-17)

Связывать окружность и многоугольник

длины вписанной и описанной окружностей через сторону

Решать практические задачи

колёса, обхваты, оценка π по Архимеду, задания ОГЭ (ПР-17)

0,5 мин · теория
ПР-16: «Владеть понятиями правильного многоугольника, длины окружности, длины дуги окружности и радианной меры угла…». ПР-17: «Понимать смысл числа π. Применять полученные умения при решении практических задач. Знать исторические сведения об измерении длины окружности и площади круга».
Виды деятельности ФРП R05: «Пользоваться понятием длины окружности, введенным с помощью правильных многоугольников, определять число π».

повторение: GEOM9U-071

Разминка · устно

Правильные многоугольники и вычисления

Шестиугольник вписан в окружность радиуса $5$ . Его сторона? $5$
Квадрат со стороной $6$ : $r$ и $R$ ? $3$ и $32$
Правильный треугольник, $a = 6$ . Найдите $R$ . $23$
Периметр правильного шестиугольника со стороной $4$ ? $24$

Диаметр $14$ . Радиус? $7$
$3, 14 \cdot 2 = ?$ $6, 28$
Округлите $3, 14159$ до сотых. $3, 14$

R05.2

Сводка · длина окружности

Длина окружности и число $π$

Длина окружности — предел периметров вписанных правильных многоугольников при удвоении числа сторон.

π = \frac{C}{d} \approx 3, 14

одно и то же
для всех окружностей

C = 2 π R = π d

R = \frac{C}{2 π}

6 R < C < 43 R

шестиугольники:

3 < π < 3, 47

R05.2

Теорема · доказательство

Отношение $C : d$ одно и то же для всех окружностей

Дано: окружности радиусов

R_{1}

,

R_{2}

, в них вписаны правильные

n

-угольники.
Доказать:

\frac{C _{1}}{2 R _{1}} = \frac{C _{2}}{2 R _{2}}

.

1

△ O A_{1} B_{1}

\sim

△ O A_{2} B_{2}

угол

36 0^{\circ} : n

общий,

O A_{1} : O A_{2} = O B_{1} : O B_{2} = R_{1} : R_{2}

2

\frac{a _{1}}{a _{2}} = \frac{R _{1}}{R _{2}}

⇒

\frac{P _{1}}{2 R _{1}} = \frac{P _{2}}{2 R _{2}}

P = n \cdot a

— для любого

n

3

n \to \infty

:

P_{1} \to C_{1}

,

P_{2} \to C_{2}

длина окружности — предел периметров

4

\frac{C _{1}}{2 R _{1}} = \frac{C _{2}}{2 R _{2}} = π

⇒

C = 2 π R

равные отношения имеют равные пределы

R05.2

Образец → сам · по радиусу и обратно

Длина окружности: точно и приближённо

Образец: $R = 4, 5$ см. Найдите $C$ точно и до десятых ( $π \approx 3, 14$ ).

$C = 2 π R = 2 π \cdot 4, 5 = 9 π$ см точный ответ

$C \approx 9 \cdot 3, 14 = 28, 26 \approx 28, 3$ см

Обратно: $C = 25, 12 \Rightarrow R = \frac{25 , 12}{6 , 28} = 4$ $R = \frac{C}{2 π}$

Сам

$d = 12$ . Найдите $C$ точно и до десятых. $12 π \approx 37, 7$
$C = 18 π$ . Найдите $R$ . $9$
$C = 31, 4$ м, $π \approx 3, 14$ . Найдите $d$ . $10$ м

R05.1 · R05.2

Сводка · окружности правильных многоугольников

Длины описанной и вписанной окружностей через сторону $a$

	$n = 3$	$n = 4$	$n = 6$
$R$	$\frac{a 3}{3}$	$\frac{a 2}{2}$	$a$
$C_{опис} = 2 π R$	$\frac{2 πa 3}{3}$	$πa 2$	$2 πa$
$r$	$\frac{a 3}{6}$	$\frac{a}{2}$	$\frac{a 3}{2}$
$C_{впис} = 2 π r$	$\frac{πa 3}{3}$	$πa$	$πa 3$

Любое

n

:

C_{опис} = \frac{πa}{sin \frac{18 0 ^{\circ}}{n}}

,

C_{впис} = \frac{πa}{tg \frac{18 0 ^{\circ}}{n}}

R05.2

Образец → сам · окружности многоугольника

Окружность около многоугольника и в нём

Образец: сторона правильного треугольника $6$ . Найдите длины описанной и вписанной окружностей.

$R = \frac{6}{3} = 23$ ⇒ $C_{1} = 43 π$ $\approx 21, 8$

$r = \frac{R}{2} = 3$ ⇒ $C_{2} = 23 π$ $\approx 10, 9$

Сам

Квадрат со стороной $5$ . Длина описанной окружности? $52 π$
Длина окружности, вписанной в правильный шестиугольник, $63 π$ . Найдите сторону. $6$
Длина окружности $8 π$ . Сторона вписанного в неё квадрата? $42$

R05.2 · история

Число π · как его оценил Архимед

Зажать окружность между многоугольниками

$n$	$\frac{P _{впис}}{d}$	$\frac{P _{опис}}{d}$
$6$	$3$	$3, 464$
$12$	$3, 106$	$3, 215$
$24$	$3, 133$	$3, 160$
$96$	$3, 141$	$3, 143$

Архимед, III в. до н. э.:

3 \frac{10}{71} < π < 3 \frac{1}{7}

R05.2 · исследование

Образец → сам · оценка π периметрами

Оцените $π$ сами — как Архимед

Образец: оцените $π$ по вписанному и описанному квадратам.

$P_{впис} = 4 R 2$ , $P_{опис} = 8 R$ $a = R 2$ и $a = 2 R$

$42 R < 2 π R < 8 R$ делим на $2 R$

$22 < π < 4$ , то есть $2, 83 < π < 4$

Сам

Оцените $π$ по правильным шестиугольникам. $3 < π < 23$
То же — по правильным треугольникам. $\frac{3 3}{2} < π < 33$
Какая оценка точнее и почему? шестиугольники: больше сторон

R05.2 · из жизни

Демонстрация · нить вокруг Земли

Нить удлинили на 1 м — пролезет ли кошка?

Нить обтягивает экватор (

R \approx 6400

км). Её удлинили на

1

м и подняли равномерно. Какой зазор

h

?

1

2 π (R + h) - 2 π R = 1

новая длина минус старая

2

2 πh = 1 \Rightarrow h = \frac{1}{2 π} \approx 0, 16

м

R

сократился!

3

h \approx 16

см — кошка пролезетдля апельсина зазор тот же

R05.2 · из жизни

Образец → сам · задача из жизни

Колёса, стрелки и стволы

Образец: диаметр колеса $70$ см. Сколько оборотов оно сделает на пути $1, 1$ км ( $π \approx 3, 14$ )?

$C = π d \approx 3, 14 \cdot 0, 7 = 2, 198$ м путь за 1 оборот

$N = \frac{1100}{2 , 198} \approx 500$ оборотов путь : длину

Сам

Колесо радиусом $35$ см сделало $1000$ оборотов. Путь? $700 π$ м $\approx 2, 2$ км
Минутная стрелка $3$ см. Путь её конца за сутки? $144 π \approx 452$ см
Обхват ствола $1, 57$ м. Диаметр ( $π \approx 3, 14$ )? $0, 5$ м

R05.2

Образец → сам · задача на доказательство

Полуокружности на отрезке

Образец: $A B$ разбит точками $C$ , $D$ ; на $A C$ , $C D$ , $D B$ построены полуокружности. Докажите: сумма их длин равна длине полуокружности на $A B$ .

Полуокружность на диаметре $d$ : $\frac{π d}{2}$ половина $C = π d$

$\frac{π A C}{2} + \frac{π C D}{2} + \frac{π D B}{2} = \frac{π ( A C + C D + D B )}{2} = \frac{π A B}{2}$

Сам

Докажите: длина окружности, описанной около квадрата, в $2$ раз больше вписанной. $R = r 2 \Rightarrow C_{1} : C_{2} = 2$
$A B = 10$ , $A C = 4$ . Полуокружности на $A B$ — сверху, на $A C$ и $CB$ — снизу. Длина замкнутой линии? $10 π$

R05.2

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$C = π R$	перепутаны радиус и диаметр: $C = π d$ , а $d = 2 R$	$C = 2 π R = π d$
$C = π R^{2}$	это площадь круга — другая величина, в квадратных единицах	$C = 2 π R$
$C = 12 π \Rightarrow R = 12$	поделили только на $π$ — получили диаметр	$R = \frac{12 π}{2 π} = 6$
$π = 3, 14$ , $C = 10 π = 31, 4$	$π$ иррационально: $3, 14$ — приближение	$C = 10 π \approx 31, 4$

R05.2

Найди ошибку

Решение ученика: две ошибки

Задача. Длина окружности, описанной около квадрата, равна $8 π$ . Найдите длину окружности, вписанной в этот квадрат.

1) $2 π R = 8 π \Rightarrow R = 8$

2) $a = R 2 = 82$

3) $r = \frac{a 2}{2} = 8$

4) $C = 2 π r = 16 π$

Шаг 1:

R = \frac{8 π}{2 π} = 4

, тогда

a = 42

.

Шаг 3:

\frac{a 2}{2}

— это

R

;

r = \frac{a}{2} = 22

.

Верно:

C = 2 π \cdot 22 = 42 π

.

R05.2

Задания с самопроверкой · база

Длина окружности, радиус, диаметр

Б $R = 7$ . Найдите $C$ . $14 π \approx 44$
Б $d = 2, 5$ м. $C \approx ?$ ( $π \approx 3, 14$ ) $7, 85$ м
Б $C = 20 π$ . Найдите $d$ . $20$

Б $C = 9, 42$ , $π \approx 3, 14$ . Найдите $R$ . $1, 5$
БКвадрат, $a = 10$ . Длина вписанной окружности? $10 π$
БШестиугольник, $a = 3$ . Длина описанной окружности? $6 π$

R05.2

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Изменения, отношения, обратные задачи

повыш.Радиус окружности увеличили на $2$ . На сколько увеличилась её длина? на $4 π$
повыш.Длину окружности увеличили на $25 %$ . Как изменился радиус? вырос на $25 %$
повыш.Длина окружности, вписанной в правильный шестиугольник, $6 π$ . Найдите длину описанной. $43 π$
повыш.На пути $471$ м колесо сделало $250$ оборотов. Диаметр колеса ( $π \approx 3, 14$ )? $60$ см

R05.2 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 16, 18 и 19

Ответ — одно число

ОГЭ 16Около правильного треугольника со стороной $93$ описана окружность. Найдите её длину, делённую на $π$ . $18$
ОГЭ 18Клетка $1 \times 1$ . Найдите длину окружности, делённую на $π$ . $10$

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Длина окружности пропорциональна её радиусу.
Число $π$ равно $3, 14$ .
Длина окружности радиуса $R$ равна $π R^{2}$ .
Отношение длины окружности к диаметру одинаково для всех окружностей.

Ответ: 14

R05.2

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$R = 8$ . Найдите $C$ . $16 π$
$C = 15 π$ . Найдите $d$ . $15$
Правильный треугольник, $a = 33$ . Длина описанной окружности? $6 π$
Колесо $d = 50$ см, $200$ оборотов. Путь ( $π \approx 3, 14$ )? $314$ м

Вариант 2

$d = 9$ . Найдите $C$ . $9 π$
$C = 22 π$ . Найдите $R$ . $11$
Квадрат, $a = 8$ . Длина вписанной окружности? $8 π$
Колесо $R = 40$ см, путь $502, 4$ м ( $π \approx 3, 14$ ). Оборотов? $200$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Почему $C : d$ одно и то же для всех окружностей?
Как найти $R$ , зная $C$ ?
Радиус увеличили в $3$ раза. Что с длиной?

Домашнее задание

Длина описанной около правильного шестиугольника окружности $12 π$ . Найдите его периметр.
Колесо $d = 65$ см. Сколько оборотов на $1$ км?
* Оцените $π$ по 12-угольникам.
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_adv_mnogougolniki.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9U-072 · Практикум: Число π и длина окружности

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R05 «Длина окружности и площадь круга», 16 ч · урок 8/16 · тип П (практикум)
Единицы → слайды	R05.2 «Число π и длина окружности» → 2, 4–20 · R05.1 (правильные многоугольники, повторение GEOM9U-071) → 3, 7, 8, 10
Результаты	ПР-16 (длина окружности, элементы правильных многоугольников) → 2, 4–8, 10, 13–20 · ПР-17 (смысл π, практические задачи, история) → 4, 5, 9, 11, 12
Вне урока	длина дуги — GEOM9U-073; радианная мера — GEOM9U-074; площадь круга, сектора, сегмента — R05.5
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: число π и длина окружности

Сегодня вы научитесь

Находить длину окружности

Объяснять смысл числа π

Связывать окружность и многоугольник

Решать практические задачи

Правильные многоугольники и вычисления

Длина окружности и число π

Отношение C:d одно и то же для всех окружностей

Длина окружности: точно и приближённо

Образец: R=4,5 см. Найдите C точно и до десятых (π≈3,14).

Сам

Длины описанной и вписанной окружностей через сторону a

Окружность около многоугольника и в нём

Образец: сторона правильного треугольника 6. Найдите длины описанной и вписанной окружностей.

Сам

Зажать окружность между многоугольниками

Оцените π сами — как Архимед

Образец: оцените π по вписанному и описанному квадратам.

Сам

Нить удлинили на 1 м — пролезет ли кошка?

Колёса, стрелки и стволы

Образец: диаметр колеса 70 см. Сколько оборотов оно сделает на пути 1,1 км (π≈3,14)?

Сам

Полуокружности на отрезке

Образец: AB разбит точками C, D; на AC, CD, DB построены полуокружности. Докажите: сумма их длин равна длине полуокружности на AB.

Сам

Неверно → почему → верно

Решение ученика: две ошибки

Длина окружности, радиус, диаметр

Изменения, отношения, обратные задачи

Ответ — одно число

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9U-072 · Практикум: Число π и длина окружности

Длина окружности и число $π$

Отношение $C : d$ одно и то же для всех окружностей

Образец: $R = 4, 5$ см. Найдите $C$ точно и до десятых ( $π \approx 3, 14$ ).

Длины описанной и вписанной окружностей через сторону $a$

Образец: сторона правильного треугольника $6$ . Найдите длины описанной и вписанной окружностей.

Оцените $π$ сами — как Архимед

Образец: оцените $π$ по вписанному и описанному квадратам.

Образец: диаметр колеса $70$ см. Сколько оборотов оно сделает на пути $1, 1$ км ( $π \approx 3, 14$ )?

Образец: $A B$ разбит точками $C$ , $D$ ; на $A C$ , $C D$ , $D B$ построены полуокружности. Докажите: сумма их длин равна длине полуокружности на $A B$ .