Длина окружности и площадь круга · урок 7 из 16 · практикум

Практикум: правильные многоугольники, вычисление их элементов

Геометрия · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R05 · GEOM9U-071

1 мин · теория (орг. момент, тема и задачи практикума)
Хронометраж: Теория 11,5 мин · практика 33,5 мин (74 %), итого 45 мин.
Паспорт: R05 «Длина окружности и площадь круга» (16 ч), урок 7/16, единица R05.1. Тип урока — П (практикум): теория — только короткие сводки перед блоками задач.
Теория (11,5): титул 1 · цели 0,5 · сводка углов 2,5 · сводка формул 3 · таблица 2 · сводка для доказательств 2,5.
Практика (33,5): разминка 2 · образцы → сам 2,5 + 2,5 + 2,5 + 3 + 2,5 + 2,5 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 3 · повышенный 2 · ОГЭ 2,5 · самостоятельная 4 · итог 1.
Если не успеваете: образец «из жизни» и повышенный уровень — в ДЗ; самостоятельную не сокращать.

R05.1

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Находить углы

угол, центральный и внешний угол, углы между диагоналями — через дуги описанной окружности (ПР-16)

Вычислять элементы

$a$ , $r$ , $S$ правильного $n$ -угольника по радиусу $R$ — и обратно, для любого $n$

Доказывать

равенство отрезков и параллельность в правильном пятиугольнике и шестиугольнике

Применять

к задачам из жизни: раскрой заготовок, плитка, восьмиугольник из квадрата (ПР-17)

0,5 мин · теория
ПР-16: «Владеть понятиями правильного многоугольника, длины окружности, длины дуги окружности и радианной меры угла, вычислять площадь круга и его частей». ПР-17: «Применять полученные умения при решении практических задач».
Виды деятельности ФРП R05: «Формулировать определение правильных многоугольников, находить их элементы».
Это первый практикум строки: формулы урока GEOM9U-065 доводим до автоматизма и соединяем с площадью круга (GEOM9U-069).

повторение: R05

Разминка · устно

Углы, дуги, площади

Угол правильного шестиугольника? $12 0^{\circ}$
Центральный угол правильного десятиугольника? $3 6^{\circ}$
Внешний угол $4 5^{\circ}$ . Сколько сторон? $8$
$sin 3 0^{\circ}$ , $cos 4 5^{\circ}$ , $sin 6 0^{\circ}$ ? $\frac{1}{2}$ ; $\frac{2}{2}$ ; $\frac{3}{2}$

Вписанный угол опирается на дугу $7 2^{\circ}$ . Чему он равен? $3 6^{\circ}$
Площадь треугольника со сторонами $4$ и $5$ и углом $3 0^{\circ}$ между ними? $5$
Площадь круга радиуса $3$ ? $9 π$

R05.1

Сводка · углы правильного многоугольника

Три угла и одна окружность

α_{n} = \frac{18 0 ^{\circ} ( n - 2 )}{n}

угол многоугольника

φ = \frac{36 0 ^{\circ}}{n}

центральный угол =
дуга на одну сторону

β = 18 0^{\circ} - α_{n} = \frac{36 0 ^{\circ}}{n}

внешний угол;

n = 36 0^{\circ} : β

\frac{18 0 ^{\circ}}{n}

угол между соседними
диагоналями из вершины

Восьмиугольник: $α = 13 5^{\circ}$ , $φ = β = 4 5^{\circ}$

2,5 мин · теория
Сводка без вывода (вывод — GEOM9U-065). Новое для практикума: все вершины правильного многоугольника лежат на описанной окружности, каждая сторона стягивает дугу 360°/n, поэтому любой угол с вершиной в вершине многоугольника — вписанный и равен половине суммы дуг, на которые опирается.
Угол между соседними диагоналями из одной вершины опирается на одну сторону: (360°/n) : 2 = 180°/n. Из вершины выходят n − 3 диагонали, они делят угол αₙ на n − 2 равные части: (n − 2) · 180°/n = αₙ ✓.
Восьмиугольник: 180 · 6/8 = 135°, 360/8 = 45°, ∠CAD = 22,5°.

R05.1

Образец → сам · углы через дуги

Углы между диагоналями правильного многоугольника

Образец: $A BC D EFG H$ — правильный восьмиугольник. Найдите $∠ C A D$ и $∠ A CE$ .

Каждая сторона стягивает дугу $36 0^{\circ} : 8 = 4 5^{\circ}$ описанная окружность

$∠ C A D = \frac{1}{2} ⌣ C D = 22, 5^{\circ}$ вписанный угол

$∠ A CE = \frac{1}{2} ⌣ EFG H A = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 5^{\circ} = 9 0^{\circ}$

Сам

Внешний угол правильного многоугольника в $4$ раза меньше его угла. Найдите $n$ . $10$
Угол правильного многоугольника на $14 0^{\circ}$ больше внешнего. Найдите $n$ . $18$
Найдите угол между диагоналями $A_{1} A_{3}$ и $A_{1} A_{4}$ правильного $12$ -угольника. $1 5^{\circ}$

R05.1

Сводка · сторона, радиусы, площадь

Всё решает треугольник $O A_{1} A_{2}$

a = 2 R sin \frac{18 0 ^{\circ}}{n}

противолежащий
катет

\frac{a}{2}

r = R cos \frac{18 0 ^{\circ}}{n}

прилежащий катет

S = \frac{1}{2} n R^{2} sin \frac{36 0 ^{\circ}}{n}

n

треугольников

\frac{1}{2} R^{2} sin φ

S = \frac{1}{2} P r

,

P = na

основание

a

,
высота

r

3 мин · теория
OH — высота, медиана и биссектриса равнобедренного △OA₁A₂: ∠HOA₂ = 180°/n, HA₂ = a/2. Из прямоугольного △OHA₂ — первые две формулы (повторение GEOM9U-065).
Новая для практикума формула площади через R: каждый из n треугольников OAₖAₖ₊₁ имеет стороны R, R и угол φ = 360°/n между ними ⇒ S△ = ½R² sin φ (тригонометрическая формула площади, R01).
Вопрос классу: почему в формуле площади 360°/n, а в формуле стороны 180°/n? (Площадь — целый треугольник с углом φ; сторона — из половины треугольника.)
Если угол нетабличный — сторону удобно искать теоремой косинусов: a² = 2R² − 2R² cos φ.

R05.1

Сводка · элементы через радиус $R$

Таблица для $n = 3, 4, 6, 8, 12$

	$n = 3$	$n = 4$	$n = 6$	$n = 8$	$n = 12$
$φ$	$12 0^{\circ}$	$9 0^{\circ}$	$6 0^{\circ}$	$4 5^{\circ}$	$3 0^{\circ}$
$a$	$R 3$	$R 2$	$R$	$R 2 - 2$	$R 2 - 3$
$r$	$\frac{R}{2}$	$\frac{R 2}{2}$	$\frac{R 3}{2}$	$\frac{R 2 + 2}{2}$	$\frac{R 2 + 3}{2}$
$S$	$\frac{3 3}{4} R^{2}$	$2 R^{2}$	$\frac{3 3}{2} R^{2}$	$22 R^{2}$	$3 R^{2}$

Чем больше

n

, тем ближе

S

к площади круга

π R^{2} \approx 3, 14 R^{2}

:

1, 30 R^{2} \to 2 R^{2} \to 2, 60 R^{2} \to 2, 83 R^{2} \to 3 R^{2}

R05.1

Образец → сам · сторона и площадь по радиусу

Любой $n$ : прямая и обратная задача

Образец: правильный $12$ -угольник вписан в окружность радиуса $6$ . Найдите его площадь и сторону.

$S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 6^{2} \cdot sin 3 0^{\circ} = 108$ $n$ треугольников

$a^{2} = 36 + 36 - 72 cos 3 0^{\circ} = 72 - 363$ т. косинусов

$a = 6 2 - 3 = 3 (6 - 2) \approx 3, 11$

Сам

Правильный восьмиугольник вписан в окружность радиуса $3$ . Найдите его площадь. $182$
Площадь правильного шестиугольника $243$ . Найдите $R$ . $4$
Площадь правильного $12$ -угольника $75$ . Найдите радиус описанной окружности. $5$

R05.1

Образец → сам · описанный и вписанный многоугольники

Одна окружность — две фигуры

Образец: около окружности описан правильный шестиугольник со стороной $43$ . Найдите сторону правильного треугольника, вписанного в неё.

$r_{6} = \frac{a 3}{2} = \frac{4 3 \cdot 3}{2} = 6$ для $6$ -угольника — вписанная

$R_{3} = 6$ , $a_{3} = R 3 = 63$ для треугольника — описанная

Сам

Во сколько раз площадь квадрата, описанного около окружности, больше площади вписанного в неё квадрата? в $2$ раза
То же для правильных треугольников. в $4$ раза
В окружность вписан правильный треугольник со стороной $6$ . Найдите сторону правильного шестиугольника, описанного около неё. $4$

R05.1

Сводка · инструменты для доказательств

Правильный пятиугольник: всё через дуги по $7 2^{\circ}$

1Все вершины — на описанной окружностилюбой угол при вершине — вписанный: половина дуги

2Равные стороны стягивают равные дуги

36 0^{\circ} / n

равные дуги ⇔ равные хорды ⇔ равные вписанные углы

3Диагонали из вершины делят угол на части по

18 0^{\circ} / n

пятиугольник:

10 8^{\circ} = 3 \cdot 3 6^{\circ}

4Равнобедренные треугольники и односторонние углы

\to

равенство отрезков и параллельностьсумма односторонних углов

18 0^{\circ}

⇒ прямые параллельны

R05.1

Образец → сам · задача на доказательство

Диагонали правильного пятиугольника

Образец: в правильном пятиугольнике $A BC D E$ диагонали $A C$ и $B D$ пересекаются в $K$ . Докажите: $A K = A B$ .

$∠ B A C = (18 0^{\circ} - 10 8^{\circ}) : 2 = 3 6^{\circ}$ $△ A BC$ равнобедр.

$∠ A B K = 10 8^{\circ} - ∠ CB D = 7 2^{\circ}$ $∠ CB D = 3 6^{\circ}$ так же

$∠ A K B = 7 2^{\circ} = ∠ A B K \Rightarrow A K = A B$ сумма углов

Сам

Докажите, что $△ B K C$ равнобедренный. $∠ K BC = ∠ K CB = 3 6^{\circ}$
Докажите, что $A C ∥ D E$ . $∠ A C D + ∠ C D E = 7 2^{\circ} + 10 8^{\circ} = 18 0^{\circ}$
Докажите, что $A C$ и $A D$ делят $∠ A$ на три равных угла. каждый опирается на дугу $7 2^{\circ}$

R05.1

Образец → сам · строим уравнение по чертежу

Правильный восьмиугольник из квадрата

Образец: у квадрата со стороной $10$ срезали углы так, что получился правильный восьмиугольник. Найдите его сторону $x$ .

Угол $13 5^{\circ}$ ⇒ срезаны равнобедренные прямоугольные треугольники, катет $x / 2$

$\frac{x}{2} + x + \frac{x}{2} = 10 \Rightarrow x (1 + 2) = 10$

$x = \frac{10}{1 + 2} = 10 (2 - 1) \approx 4, 14$

Сам

Найдите площадь этого восьмиугольника. $200 (2 - 1) \approx 82, 8$
У правильного треугольника со стороной $9$ срезали углы — получился правильный шестиугольник. Его сторона? $3$
Какую часть площади треугольника составляет этот шестиугольник? $\frac{2}{3}$

2,5 мин · практика
Образец: внешний угол восьмиугольника 45° ⇒ у срезанного треугольника углы 45°, 45°, 90°, гипотенуза x, катеты x/√2. x = 10/(1 + √2) = 10(√2 − 1) ≈ 4,142 (домножили на сопряжённое).
1) S = 100 − 4 · ½ · (x/√2)² = 100 − x² = 100 − 100(3 − 2√2) = 200(√2 − 1) ≈ 82,84. Проверка по таблице: 2(1 + √2)x² — то же число.
2) Внешний угол шестиугольника 60° ⇒ срезаны равносторонние треугольники со стороной x: x + x + x = 9 ⇒ x = 3. 3) Площадь треугольника 81√3/4, шестиугольника 6 · 9√3/4 = 54√3/4 ⇒ 54 : 81 = 2/3 (или: срезали 3 из 9 маленьких треугольников).
Ошибка в образце: срезать по трети стороны (10/3) — получится восьмиугольник с разными сторонами 10/3 и 10√2/3.

R05.1 · из жизни

Образец → сам · задача из жизни

Раскрой заготовок, плитка, бассейн

Образец: из круглой заготовки радиусом $10$ см вырезают правильный шестиугольник наибольшей площади. Сколько процентов материала уйдёт в отходы?

$S_{6} = \frac{3 3}{2} \cdot 1 0^{2} = 1503 \approx 259, 8$ см² вписан в круг

$S_{кр} = 100 π \approx 314, 2$ см², $\frac{314 , 2 - 259 , 8}{314 , 2} \approx 17 %$

Сам

Из такой же заготовки вырезают квадрат. Процент отходов? $\approx 36 %$
Плитка — правильный шестиугольник со стороной $10$ см. Сколько плиток (примерно) на $1$ м²? $\approx 39$
Дно бассейна — правильный восьмиугольник, вписанный в окружность радиуса $4$ м. Площадь дна? $322 \approx 45, 3$ м²

R05.1

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$S = \frac{1}{2} n R^{2} sin \frac{18 0 ^{\circ}}{n}$	в треугольнике $O A_{1} A_{2}$ угол при $O$ — весь центральный угол	$S = \frac{1}{2} n R^{2} sin \frac{36 0 ^{\circ}}{n}$
В правильном пятиугольнике $∠ C A D = 7 2^{\circ}$	$7 2^{\circ}$ — дуга (центральный угол), а угол $C A D$ — вписанный	$∠ C A D = 3 6^{\circ}$
Восьмиугольник из квадрата: срезать углы по $a /3$	гипотенуза среза $a 2 /3 \neq = a /3$ — стороны не равны	$x = a (2 - 1)$
Площади описанного и вписанного квадратов: в $2$ раз	площади подобных фигур относятся как квадраты сторон	в $(2)^{2} = 2$ раза

R05.1

Найди ошибку

Решение ученика: две ошибки

Задача. В окружность радиуса $6$ вписан правильный восьмиугольник. Найдите его сторону и площадь.

1) $φ = \frac{36 0 ^{\circ}}{8} = 4 5^{\circ}$

2) $a = 2 R sin 4 5^{\circ} = 12 \cdot \frac{2}{2} = 62$

3) $S = 8 \cdot \frac{1}{2} \cdot 6^{2} \cdot sin 4 5^{\circ} = 144 \cdot \frac{1}{2} = 72$

4)Ответ: $62$ ; $72$ .

Шаг 2: в формуле угол

18 0^{\circ} : 8 = 22, 5^{\circ}

;

a = 6 2 - 2 \approx 4, 59

.

Шаг 3:

sin 4 5^{\circ} = 2 /2

, а не

1/2

:

S = 722 \approx 101, 8

.

Проверка: шестиугольник в том же круге:

S \approx 93, 5

— у восьмиугольника площадь больше, а

72

меньше.

R05.1

Задания с самопроверкой · база

Углы, радиусы, площадь

БУгол правильного $30$ -угольника $16 8^{\circ}$
БЦентральный угол $2 0^{\circ}$ . Сколько сторон? $18$
БПравильный треугольник, высота $9$ . Найдите $R$ . $6$

БДиагональ квадрата $10$ . Найдите $r$ . $2, 52$
БМеньшая диагональ правильного шестиугольника $6$ . Сторона? $23$
БПравильный $12$ -угольник, $R = 2$ . Площадь? $12$

R05.1

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Комбинированные задачи

повыш.Сторона правильного восьмиугольника равна $2$ . Найдите его площадь. $8 (1 + 2)$
повыш.Угол правильного многоугольника $15 0^{\circ}$ . Сколько у него диагоналей? $54$
повыш.Найдите отношение площадей правильных треугольника и шестиугольника, вписанных в одну окружность. $1 : 2$
повыш. $A BC D EF$ — правильный шестиугольник со стороной $2$ . Найдите расстояние от $A$ до прямой $C D$ . $23$

R05.1 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 16, 19 и 23

Короткий ответ и развёрнутое решение

ОГЭ 16Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен $8$ . Найдите высоту треугольника. $12$
ОГЭ 16Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен $32$ . Найдите радиус описанной окружности. $6$
ОГЭ 23Расстояние между противоположными сторонами правильного шестиугольника $63$ . Найдите его площадь. $543$

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Сумма углов правильного шестиугольника равна $72 0^{\circ}$ .
Угол правильного восьмиугольника равен $13 5^{\circ}$ .
Сторона правильного треугольника равна радиусу описанной окружности.

Ответ: 12

R05.1

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Угол правильного $36$ -угольника. $17 0^{\circ}$
Внешний угол в $5$ раз меньше угла. Найдите $n$ . $12$
Правильный треугольник, $r = 3$ . Найдите сторону. $63$
Правильный $12$ -угольник вписан в окружность радиуса $4$ . Площадь? $48$

Вариант 2

Угол правильного $40$ -угольника. $17 1^{\circ}$
Внешний угол в $3$ раза меньше угла. Найдите $n$ . $8$
Квадрат вписан в окружность радиуса $5$ . Найдите сторону. $52$
Правильный восьмиугольник вписан в окружность радиуса $2$ . Площадь? $82$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как найти угол между диагоналями из одной вершины?
Почему в формуле площади синус центрального угла?
Какой многоугольник даёт меньше отходов при раскрое круга?

Домашнее задание

Найдите угол между диагоналями $A_{1} A_{3}$ и $A_{1} A_{5}$ правильного $10$ -угольника.
Из квадрата со стороной $20$ см вырезали правильный восьмиугольник. Его сторона?
* Докажите: площадь правильного $12$ -угольника, вписанного в окружность радиуса $R$ , равна $3 R^{2}$ .
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_adv_mnogougolniki.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9U-071 · Практикум: правильные многоугольники, вычисление их элементов

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R05 «Длина окружности и площадь круга», 16 ч · урок 7/16 · тип П
Единицы → слайды	R05.1 «Правильные многоугольники, вычисление их элементов» → 2, 4–20 · повторение (вписанный угол, площадь треугольника, площадь круга R05.5) → 3, 13
Результаты	ПР-16 (правильный многоугольник, вычисление элементов) → 2, 4–20 · ПР-17 (практические задачи) → 12, 13
Вне урока	число π и длина окружности — GEOM9U-072; длина дуги — GEOM9U-073; радианная мера — GEOM9U-074
Время	теория 11,5 мин · практика 33,5 мин (74 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: правильные многоугольники, вычисление их элементов

Сегодня вы научитесь

Находить углы

Вычислять элементы

Доказывать

Применять

Углы, дуги, площади

Три угла и одна окружность

Углы между диагоналями правильного многоугольника

Образец: ABCDEFGH — правильный восьмиугольник. Найдите ∠CAD и ∠ACE.

Сам

Всё решает треугольник OA1​A2​

Таблица для n=3, 4, 6, 8, 12

Любой n: прямая и обратная задача

Образец: правильный 12-угольник вписан в окружность радиуса 6. Найдите его площадь и сторону.

Сам

Одна окружность — две фигуры

Образец: около окружности описан правильный шестиугольник со стороной 43​. Найдите сторону правильного треугольника, вписанного в неё.

Сам

Правильный пятиугольник: всё через дуги по 72∘

Диагонали правильного пятиугольника

Образец: в правильном пятиугольнике ABCDE диагонали AC и BD пересекаются в K. Докажите: AK=AB.

Сам

Правильный восьмиугольник из квадрата

Образец: у квадрата со стороной 10 срезали углы так, что получился правильный восьмиугольник. Найдите его сторону x.

Сам

Раскрой заготовок, плитка, бассейн

Образец: из круглой заготовки радиусом 10 см вырезают правильный шестиугольник наибольшей площади. Сколько процентов материала уйдёт в отходы?

Сам

Неверно → почему → верно

Решение ученика: две ошибки

Углы, радиусы, площадь

Комбинированные задачи

Короткий ответ и развёрнутое решение

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9U-071 · Практикум: правильные многоугольники, вычисление их элементов

Образец: $A BC D EFG H$ — правильный восьмиугольник. Найдите $∠ C A D$ и $∠ A CE$ .

Всё решает треугольник $O A_{1} A_{2}$

Таблица для $n = 3, 4, 6, 8, 12$

Любой $n$ : прямая и обратная задача

Образец: правильный $12$ -угольник вписан в окружность радиуса $6$ . Найдите его площадь и сторону.

Образец: около окружности описан правильный шестиугольник со стороной $43$ . Найдите сторону правильного треугольника, вписанного в неё.

Правильный пятиугольник: всё через дуги по $7 2^{\circ}$

Образец: в правильном пятиугольнике $A BC D E$ диагонали $A C$ и $B D$ пересекаются в $K$ . Докажите: $A K = A B$ .

Образец: у квадрата со стороной $10$ срезали углы так, что получился правильный восьмиугольник. Найдите его сторону $x$ .

Образец: из круглой заготовки радиусом $10$ см вырезают правильный шестиугольник наибольшей площади. Сколько процентов материала уйдёт в отходы?