Длина окружности и площадь круга · урок 6 из 16

Периметры и площади фигур, включающих элементы круга

Геометрия · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R05 · GEOM9U-070

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R05 «Длина окружности и площадь круга» (16 ч), урок 6/16, единица R05.6 «Вычисление периметров и площадей фигур, включающих элементы круга». Тип урока — Н.
Теория (12): титул 0,5 · цели 0,5 · сводка формул 2,5 · метод «сложить/вычесть» 2 · сегмент 2 · демонстрация (три круга) 1,5 · луночки Гиппократа 3.
Практика (33): разминка 2 · образцы → сам 2,5 + 2,5 + 2,5 + 3 + 2,5 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 3 · повышенный 2,5 · ОГЭ 16/18 — 2 · ОГЭ 23 — 2 · самостоятельная 4 · итог 1.
Полное название урока по ФРП: «Вычисление периметров и площадей фигур, включающих элементы круга». Если не успеваете: образец 5 (окно) и ОГЭ 23 — в ДЗ; доказательство теоремы о луночках не сокращать.

R05.6

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Разбивать фигуру

на круг, сектор, сегмент и многоугольники; складывать и вычитать площади (ПР-16)

Считать периметр

как сумму дуг и отрезков границы — без внутренних линий (ПР-16)

Доказывать

равенство площадей криволинейных фигур: луночки Гиппократа, арбелос (ПР-17)

Решать задачи из жизни

окна, дорожки, стадионы; ответ с $π$ — точно и приближённо (ПР-17)

0,5 мин · теория
ПР-16: «Владеть понятиями правильного многоугольника, длины окружности, длины дуги окружности и радианной меры угла, вычислять площадь круга и его частей».
ПР-17: «Понимать смысл числа π. Применять полученные умения при решении практических задач. Знать исторические сведения об измерении длины окружности и площади круга».
Виды деятельности ФРП R05: «Вычислять площади сложных фигур, включающих элементы окружности (круга). Находить площади различных фигур в задачах реальной жизни».

повторение: R05.2–R05.5

Разминка · устно

Круг, дуга, сектор

Площадь круга радиуса $3$ ? $9 π$
Длина окружности диаметра $10$ ? $10 π$
На рисунке: площадь сектора? $4 π$
Длина дуги $6 0^{\circ}$ при $R = 6$ ? $2 π$
$\frac{π}{3}$ рад — сколько градусов? $6 0^{\circ}$
Площадь квадрата, вписанного в окружность $R = 2$ ? $8$
Площадь правильного треугольника со стороной $2$ ? $3$

R05.6

Сводка · формулы круга и его частей

Из чего складываются фигуры

C = 2 π R, S = π R^{2}

окружность, круг

l = \frac{π R α}{18 0 ^{\circ}} = Rφ

дуга

S = \frac{π R ^{2} α}{36 0 ^{\circ}} = \frac{R ^{2} φ}{2} = \frac{lR}{2}

сектор

S = S_{сект} \mp S_{△}

сегмент

S = π (R^{2} - r^{2})

кольцо

R05.6

Метод · сложить или вычесть

Составная фигура: площадь и периметр

Разбить на круг, сектор, сегмент, многоугольник.
Площадь — сумма или разность площадей частей.
Периметр — только граница: дуги + отрезки. Внутренние линии не входят.

$S = 10 \cdot 6$ $+$ $π \cdot 3^{2}$ $= 60 + 9 π \approx 88, 27$

$P = 2 \cdot 10 + 2 π \cdot 3 = 20 + 6 π \approx 38, 85$

R05.6

Образец → сам · вычитание на готовом чертеже

Квадрат без четверти круга

Образец: $A BC D$ — квадрат, $A B = 6$ , дуга $B D$ с центром $A$ . Найдите $S$ и $P$ закрашенной фигуры.

$S = 36 - \frac{1}{4} π \cdot 36 = 36 - 9 π \approx 7, 73$

$P = 6 + 6 + 3 π \approx 21, 42$ $BC$ , $C D$ , дуга $B D$

Сам

Квадрат со стороной $4$ , внутри — полукруг на стороне как на диаметре. Площадь части квадрата вне полукруга? $16 - 2 π \approx 9, 72$
В квадрат со стороной $10$ вписан круг. Площадь части квадрата вне круга? $100 - 25 π \approx 21, 46$
Из каждой вершины квадрата со стороной $8$ — четверть круга радиуса $4$ . Площадь оставшейся части? $64 - 16 π \approx 13, 73$

R05.6

Ключевой элемент · сегмент

Площадь сегмента одной формулой

S_{сегм}

=

\frac{R ^{2} φ}{2}

-

\frac{R ^{2} sin φ}{2}

= \frac{R ^{2}}{2} (φ - sin φ)

$φ < π$ : сектор минус треугольник $A OB$

$φ > π$ : $sin φ < 0$ — треугольник прибавляется сам

$φ$	$9 0^{\circ}$	$12 0^{\circ}$	$6 0^{\circ}$
$S_{сегм}$	$\frac{R ^{2}}{4} (π - 2)$	$R^{2} (\frac{π}{3} - \frac{3}{4})$	$R^{2} (\frac{π}{6} - \frac{3}{4})$

R05.6

Образец → сам · фигуры из сегментов

«Лепесток» — два сегмента

Образец: $A BC D$ — квадрат, $A B = 4$ , дуги $A C$ с центрами $B$ и $D$ . Найдите $S$ и $P$ лепестка.

$S_{сегм} = 4 π - 8$ сектор $9 0^{\circ}$ − $△ A C D$

$S = 2 (4 π - 8) = 8 π - 16 \approx 9, 13$

$P = 2 \cdot \frac{1}{4} \cdot 2 π \cdot 4 = 4 π \approx 12, 57$

Сам

То же для квадрата со стороной $6$ : площадь лепестка? $18 π - 36 \approx 20, 55$
На сторонах квадрата $2 \times 2$ внутрь построены четыре полукруга. Площадь «цветка» из четырёх лепестков? $2 π - 4 \approx 2, 28$
Хорда стягивает дугу $12 0^{\circ}$ , $R = 6$ . Площадь меньшего сегмента? $12 π - 93 \approx 22, 11$

R05.6

Образец → сам · обратная задача

Известна площадь — найдите радиус

Образец: площадь сегмента с дугой $9 0^{\circ}$ равна $2 π - 4$ . Найдите радиус.

$\frac{R ^{2}}{4} (π - 2) = 2 (π - 2)$ формула сегмента $9 0^{\circ}$

$R^{2} = 8, R = 22$ $R > 0$

Сам

Площадь сектора с углом $4 0^{\circ}$ равна $4 π$ . Найдите $R$ . $6$
Площадь кольца $16 π$ , внешний радиус $5$ . Найдите внутренний. $3$
Периметр сектора с углом $1$ рад равен $15$ . Найдите площадь сектора. $12, 5$

R05.6

Демонстрация · криволинейный треугольник

Три касающихся круга радиуса $r$

1

O_{1} O_{2} = O_{2} O_{3} = O_{1} O_{3} = 2 r

расстояние между центрами касающихся окружностей

2

S_{△} = \frac{3}{4} (2 r)^{2} = 3 r^{2}

3

3 \cdot \frac{π r ^{2}}{6} = \frac{π r ^{2}}{2}

три сектора по

6 0^{\circ}

4

S = r^{2} (3 - \frac{π}{2}) \approx 0, 16 r^{2}

,

P = π r

R05.6

Теорема · доказательство · луночки Гиппократа

Площадь луночек равна площади треугольника

Дано:

∠ C = 9 0^{\circ}

, полукруги на

a

,

b

,

c

.
Доказать:

S_{луночек}

=

S_{△ A BC}

.

1

\frac{π a ^{2}}{8} + \frac{π b ^{2}}{8} = \frac{π c ^{2}}{8}

a^{2} + b^{2} = c^{2}

— теорема Пифагора

2полукруг на

c

=

△

+

два сегмента

C

на окружности с диаметром

A B

3луночки

=

(малые полукруги) − (сегменты)

=

S_{△}

вычли одно и то же из равных площадей

3 мин · теория
Шаг 2: вписанный угол $C$ — прямой, значит $C$ лежит на окружности с диаметром $A B$ ; полукруг на гипотенузе (пунктир) состоит из треугольника и двух сегментов, отсечённых катетами.
Шаг 3: каждая луночка = полукруг на катете минус сегмент над этим катетом. Сумма малых полукругов равна большому полукругу (шаг 1), вычитаем те же два сегмента — остаётся треугольник.
История (ПР-17): Гиппократ Хиосский, V в. до н. э., — первые криволинейные фигуры, площадь которых точно равна площади многоугольника. Это вселило надежду решить «квадратуру круга» циркулем и линейкой; в 1882 г. Ф. Линдеман доказал трансцендентность π, и задача оказалась неразрешимой.
Пример: катеты $6$ и $8$ — площадь луночек $24$ (ДЗ, задача 3).

R05.6

Образец → сам · задача на доказательство

Арбелос Архимеда

Образец: $C \in A B$ , полукруги на $A B$ , $A C$ , $CB$ ; $C D ⊥ A B$ . Докажите: $S_{арбелоса} = \frac{π C D ^{2}}{4}$ .

$A C = x$ , $CB = y$ : $S = \frac{π}{8} ((x + y)^{2} - x^{2} - y^{2}) = \frac{π x y}{4}$

$∠ A D B = 9 0^{\circ}$ ⇒ $C D^{2} = x y$ высота из прямого угла

Сам

$A C = 6$ , $CB = 2$ . Найдите площадь и периметр арбелоса. $S = 3 π$ , $P = 8 π$
Докажите: большая полуокружность равна по длине сумме двух малых. $\frac{π ( x + y )}{2} = \frac{π x}{2} + \frac{π y}{2}$
«Инь-ян»: круг радиуса $R$ разделён двумя полуокружностями радиуса $\frac{R}{2}$ . Найдите $S$ и $P$ каждой части. $\frac{π R ^{2}}{2}$ и $2 π R$

R05.6 · задача из жизни

Образец → сам · задача из жизни

Окно-арка, клумба, стадион

Образец: окно — прямоугольник $1, 2 \times 1, 5$ м с полукругом сверху. Сколько стекла и сколько профиля для рамы?

$S = 1, 8 + \frac{1}{2} π \cdot 0, 6^{2} \approx 2, 37 м^{2}$ стекло

$P = 3 + 1, 2 + 0, 6 π \approx 6, 08 м$ рама по контуру

Сам

Вокруг круглой клумбы радиуса $3$ м — дорожка шириной $1$ м. Её площадь? $7 π \approx 22 м^{2}$
Стадион: прямые по $80$ м, полуокружности радиуса $30$ м. Длина круга? $160 + 60 π \approx 348, 5$ м
Одна пицца $\emptyset 30$ см или две по $\emptyset 20$ см — где больше? одна: $225 π > 200 π см^{2}$

R05.6

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$S_{кольца} = π (R - r)^{2}$	вычитают площади, а не радиусы	$π (R^{2} - r^{2})$
$R = 6$ , $6 0^{\circ}$ : $S = \frac{36 \cdot 60}{2}$	в $\frac{R ^{2} φ}{2}$ угол — в радианах	$\frac{36}{2} \cdot \frac{π}{3} = 6 π$
$P_{стадиона} = 2 a + 4 r + 2 π r$	диаметры — внутри фигуры, не граница	$P = 2 a + 2 π r$
дуга $24 0^{\circ}$ : сектор − треугольник	дуга больше полуокружности	сектор $+$ треугольник

R05.6

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Сегмент: дуга $12 0^{\circ}$ , $R = 6$ .

$S_{сект} = \frac{36 π}{3} = 12 π$

$S_{△} = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot \frac{1}{2} = 9$

$S = 12 π - 9$

$sin 12 0^{\circ} = \frac{3}{2}$ , а не $\frac{1}{2}$

$S = 12 π - 93$

б) Квадрат $8 \times 8$ без вписанного круга.

$S = 64 - π \cdot 8^{2} = 64 - 64 π$

радиус — половина стороны: $r = 4$

$S = 64 - 16 π \approx 13, 73$

в) Квадрат $6 \times 6$ без четверти круга (как в образце 1). Периметр.

$P = 4 \cdot 6 + 3 π = 24 + 3 π$

$A B$ и $A D$ — не граница фигуры

$P = 12 + 3 π$

R05.6

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

базаПлощадь полукруга радиуса $4$ . $8 π$
базаПериметр полукруга радиуса $5$ . $5 π + 10 \approx 25, 71$
базаКольцо между окружностями радиусов $7$ и $3$ . Его площадь? $40 π$

базаПлощадь сектора $7 2^{\circ}$ при $R = 5$ . $5 π$
базаПериметр сектора $9 0^{\circ}$ при $R = 8$ . $16 + 4 π \approx 28, 57$
базаКруг $R = 5$ без вписанного квадрата. Площадь? $25 π - 50 \approx 28, 54$

R05.6

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.В правильный шестиугольник со стороной $2$ вписан круг. Площадь части шестиугольника вне круга? $63 - 3 π \approx 0, 97$
повыш.Два круга радиуса $R$ , каждый проходит через центр другого. Площадь их общей части? $R^{2} (\frac{2 π}{3} - \frac{3}{2})$
повыш.Хорда длины $63$ в круге $R = 6$ . Площади обоих сегментов? $12 π - 93$ и $24 π + 93$
из жизниИз квадратного листа $1 \times 1$ м вырезают наибольший круг. Какой процент отходов? $\approx 21, 5 %$

R05.6 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 16 и 18

Ответ — одно число

ОГЭ 16Найдите площадь кольца между окружностями, описанной около квадрата со стороной $6$ и вписанной в него. В ответе укажите $S : π$ . $9$
ОГЭ 16Площадь круга равна $90$ . Найдите площадь сектора с центральным углом $6 0^{\circ}$ . $15$
ОГЭ 18На клетчатой бумаге изображён круг площадью $48$ . Найдите площадь закрашенного сектора. $18$

R05.6 · ОГЭ, ч. 2

Формат ОГЭ · линия 23

Вторая часть: полное решение

ОГЭ 23 Две окружности радиуса $2$ касаются друг друга внешним образом и касаются одной прямой. Найдите площадь фигуры, ограниченной этими окружностями и прямой.

1

O_{1} O_{2} = 2 + 2 = 4

,

O_{1} T_{1} = O_{2} T_{2} = 2

радиусы в точки касания

⊥

прямой

2

O_{1} O_{2} T_{2} T_{1}

— прямоугольник

4 \times 2

,

S = 8

3вычесть две четверти круга:

2 \cdot \frac{π \cdot 2 ^{2}}{4} = 2 π

4

S = 8 - 2 π \approx 1, 72

R05.6

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Площадь сектора $12 0^{\circ}$ при $R = 3$ . $3 π$
Квадрат со стороной $14$ без вписанного круга: площадь. $196 - 49 π \approx 42, 06$
Площадь кольца: $R = 6$ , $r = 4$ . $20 π$
Сегмент с дугой $9 0^{\circ}$ , $R = 4$ : площадь. $4 π - 8 \approx 4, 57$

Вариант 2

Площадь сектора $6 0^{\circ}$ при $R = 6$ . $6 π$
Квадрат со стороной $12$ без вписанного круга: площадь. $144 - 36 π \approx 30, 90$
Площадь кольца: $R = 5$ , $r = 2$ . $21 π$
Сегмент с дугой $9 0^{\circ}$ , $R = 6$ : площадь. $9 π - 18 \approx 10, 27$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Что входит в периметр составной фигуры?
Когда площадь сегмента — сектор плюс треугольник?
Чему равна площадь луночек Гиппократа?

Домашнее задание

Прямоугольник $8 \times 4$ с полукругами на сторонах $4$ снаружи: $S$ и $P$ .
Лепесток в квадрате со стороной $10$ : $S$ и $P$ .
* Катеты $6$ и $8$ : площадь луночек Гиппократа.
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_adv_mnogougolniki.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9U-070 · Вычисление периметров и площадей фигур, включающих элементы круга

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R05 «Длина окружности и площадь круга», 16 ч · урок 6/16 · тип Н
Единицы → слайды	R05.6 «Вычисление периметров и площадей фигур, включающих элементы круга» → 2, 4–21 · повторение R05.2–R05.5 → 3
Результаты	ПР-16 (площадь круга и его частей, длина дуги) → 4–9, 14–20 · ПР-17 (практические задачи, исторические сведения) → 11, 13, 17
Вне урока	правильные многоугольники (практикум) — GEOM9U-071; число π и длина окружности (практикум) — GEOM9U-072
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Периметры и площади фигур, включающих элементы круга

Сегодня вы научитесь

Разбивать фигуру

Считать периметр

Доказывать

Решать задачи из жизни

Круг, дуга, сектор

Из чего складываются фигуры

Составная фигура: площадь и периметр

Квадрат без четверти круга

Образец: ABCD — квадрат, AB=6, дуга BD с центром A. Найдите S и P закрашенной фигуры.

Сам

Площадь сегмента одной формулой

«Лепесток» — два сегмента

Образец: ABCD — квадрат, AB=4, дуги AC с центрами B и D. Найдите S и P лепестка.

Сам

Известна площадь — найдите радиус

Образец: площадь сегмента с дугой 90∘ равна 2π−4. Найдите радиус.

Сам

Три касающихся круга радиуса r

Площадь луночек равна площади треугольника

Арбелос Архимеда

Образец: C∈AB, полукруги на AB, AC, CB; CD⊥AB. Докажите: Sарбелоса​=4πCD2​.

Сам

Окно-арка, клумба, стадион

Образец: окно — прямоугольник 1,2×1,5 м с полукругом сверху. Сколько стекла и сколько профиля для рамы?

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Сегмент: дуга 120∘, R=6.

б) Квадрат 8×8 без вписанного круга.

в) Квадрат 6×6 без четверти круга (как в образце 1). Периметр.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

Вторая часть: полное решение

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9U-070 · Вычисление периметров и площадей фигур, включающих элементы круга

Образец: $A BC D$ — квадрат, $A B = 6$ , дуга $B D$ с центром $A$ . Найдите $S$ и $P$ закрашенной фигуры.

Образец: $A BC D$ — квадрат, $A B = 4$ , дуги $A C$ с центрами $B$ и $D$ . Найдите $S$ и $P$ лепестка.

Образец: площадь сегмента с дугой $9 0^{\circ}$ равна $2 π - 4$ . Найдите радиус.

Три касающихся круга радиуса $r$

Образец: $C \in A B$ , полукруги на $A B$ , $A C$ , $CB$ ; $C D ⊥ A B$ . Докажите: $S_{арбелоса} = \frac{π C D ^{2}}{4}$ .

Образец: окно — прямоугольник $1, 2 \times 1, 5$ м с полукругом сверху. Сколько стекла и сколько профиля для рамы?

а) Сегмент: дуга $12 0^{\circ}$ , $R = 6$ .

б) Квадрат $8 \times 8$ без вписанного круга.

в) Квадрат $6 \times 6$ без четверти круга (как в образце 1). Периметр.