Длина окружности и площадь круга · урок 5 из 16

Площадь круга и его элементов: сектора и сегмента

Геометрия · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R05 · GEOM9U-069

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R05 «Длина окружности и площадь круга» (16 ч), урок 5/16, единица R05.5. Тип урока — Н.
Теория (12): титул 0,5 · цели 0,5 · площадь правильного многоугольника 1,5 · вывод S = πR² 2 · сектор 1,5 · сектор в радианах 2 · сегмент 2,5 · сводка 1,5.
Практика (33): разминка 2 · образцы → сам 2,5 + 2,5 + 2,5 + 3 + 2,5 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 3 · повышенный 2,5 · ОГЭ 2 · из жизни 2 · самостоятельная 4 · итог 1.
Если не успеваете: «Задачу из жизни» и задание 3 образца «луночки» — в ДЗ; вывод формулы площади круга не сокращать.

R05.5

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Выводить формулу площади круга

через площади вписанных правильных многоугольников (ПР-16)

Находить площадь сектора

по углу в градусах и в радианах, по длине дуги — и решать обратные задачи

Находить площадь сегмента

когда дуга меньше и когда больше полуокружности

Решать задачи

на доказательство, ОГЭ 16 и 18, практические — с ответом через $π$ и приближённо (ПР-17)

повторение: R05.1–R05.4

Разминка · устно

Окружность, дуги, радианы

Длина окружности радиуса $5$ ? $10 π$
$18 0^{\circ}$ — сколько радиан? $π$
$\frac{π}{3}$ радиан — сколько градусов? $6 0^{\circ}$
Длина дуги $9 0^{\circ}$ окружности радиуса $8$ ? $4 π$

Длина дуги $l$ , если $R = 6$ , угол $2$ рад? $12$
$sin 12 0^{\circ}$ ? $\frac{3}{2}$
Площадь треугольника: стороны $6$ и $6$ , угол между ними $3 0^{\circ}$ ? $9$
Площадь правильного шестиугольника со стороной $2$ ? $63$

R05.5

Новый материал · площадь правильного многоугольника

Правильный многоугольник = $n$ равных треугольников

Правильный

n

-угольник вписан в окружность радиуса

R

;

a_{n}

— сторона,

r_{n}

— радиус вписанной окружности,

P_{n} = n a_{n}

.

1

O

соединим с вершинами:

n

равных треугольников

O A = OB = R

,

A B = a_{n}

— III признак

2Высота

△ A OB

из

O

равна

r_{n}

радиус вписанной окружности

⊥

стороне

A B

(касательной)

3

S_{△ A OB} = \frac{1}{2} a_{n} r_{n}

половина основания на высоту

4

S_{n} = n \cdot \frac{1}{2} a_{n} r_{n} = \frac{1}{2} P_{n} r_{n}

сумма площадей

n

треугольников

1,5 мин · теория
Чертёж: правильный восьмиугольник, один из восьми треугольников выделен. Пунктир бирюзовый — вписанная окружность, её радиус r_n = R cos(180°/n) — высота треугольника.
Вопрос классу: почему высота треугольника AOB попадает в середину AB? (△AOB равнобедренный.) Почему все треугольники равны? (III признак.)
Формула S = ½ P r верна для любого многоугольника, в который можно вписать окружность (ученики знают её для треугольника: S = p r, p — полупериметр).

R05.5

Новый материал · площадь круга

Круг — предел вписанных правильных многоугольников

$n$	$6$	$12$	$24$	$96$
$S_{n} : R^{2}$	$2, 598$	$3, 000$	$3, 106$	$3, 139$

1

P_{n} \to C = 2 π R

так определена длина окружности

2

r_{n} = R cos \frac{18 0 ^{\circ}}{n} \to R

угол

\frac{18 0 ^{\circ}}{n} \to 0

, косинус

\to 1

3

S_{n} = \frac{1}{2} P_{n} r_{n} \to \frac{1}{2} \cdot 2 π R \cdot R

площадь круга — предел

S_{n}

S = π R^{2} = \frac{π d ^{2}}{4}

Площади кругов относятся как квадраты радиусов: $\frac{S _{1}}{S _{2}} = \frac{R _{1}^{2}}{R _{2}^{2}}$

R05.5

Образец → сам · площадь круга

По радиусу, диаметру, длине окружности

Образец: длина окружности $C = 10 π$ . Найдите площадь круга.

$R = \frac{C}{2 π} = \frac{10 π}{2 π} = 5$ $C = 2 π R$

$S = π R^{2} = 25 π$ формула площади

$S \approx 25 \cdot 3, 14 \approx 78, 5$ приближённо

Сам

Диаметр круга $12$ . Найдите $S$ . $36 π \approx 113, 1$
Площадь круга $49 π$ . Найдите длину окружности. $14 π$
Квадрат со стороной $8$ : во сколько раз площадь описанного круга больше площади вписанного? в $2$ раза

R05.5

Новый материал · площадь сектора

Сектор — такая же доля круга, как угол — доля $36 0^{\circ}$

Круговой сектор — часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, проведёнными к концам дуги.

1Сектор

36 0^{\circ}

— весь круг:

π R^{2}

2Сектор

1^{\circ}

:

\frac{π R ^{2}}{360}

равные центральные углы — равные секторы

S_{сект} = \frac{π R ^{2}}{36 0 ^{\circ}} \cdot α

R05.4 · R05.5

Новый материал · сектор в радианной мере

$S = \frac{1}{2} R^{2} α = \frac{1}{2} lR$ — как у треугольника

1Полный угол —

2 π

рад, доля сектора

\frac{α}{2 π}

2

S = π R^{2} \cdot \frac{α}{2 π} = \frac{1}{2} R^{2} α

α

— в радианах

3

l = R α

\Rightarrow

S = \frac{1}{2} lR

длина дуги — прошлый урок

Сектор и треугольник с основанием

l

и высотой

R

— равновелики.

R05.5

Образец → сам · площадь сектора

Градусы, радианы, длина дуги

Образец: $R = 6$ , $α = 12 0^{\circ}$ . Найдите площадь сектора.

$S = \frac{π \cdot 6 ^{2}}{36 0 ^{\circ}} \cdot 12 0^{\circ} = \frac{36 π}{3} = 12 π$ сектор — $\frac{1}{3}$ круга

Проверка: $α = \frac{2 π}{3}$ , $S = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot \frac{2 π}{3} = 12 π$ $\approx 37, 7$

Сам

$R = 4$ , $α = \frac{3 π}{4}$ . Найдите $S$ . $6 π$
$R = 10$ , длина дуги $l = 7$ . Найдите $S$ . $35$
$R = 6$ , площадь сектора $6 π$ . Найдите угол. $6 0^{\circ}$

R05.5

Образец → сам · обратная задача

По площади и дуге найти радиус и угол

Образец: площадь сектора $24$ , длина его дуги $8$ . Найдите $R$ и угол $α$ .

$S = \frac{1}{2} lR \Rightarrow R = \frac{2 S}{l} = \frac{48}{8} = 6$

$α = \frac{l}{R} = \frac{4}{3}$ рад $l = R α$

$α = \frac{4}{3} \cdot \frac{18 0 ^{\circ}}{π} \approx 76, 4^{\circ}$

Сам

$S = 15$ , $l = 6$ . Найдите $R$ и $α$ (рад). $R = 5$ , $α = 1, 2$
$S = 3 π$ , $l = π$ . Найдите $R$ и $α$ в градусах. $R = 6$ , $α = 3 0^{\circ}$
Периметр сектора $20$ . При каком $R$ его площадь наибольшая? Найдите её. $R = 5$ , $S = 25$ ( $α = 2$ рад)

R05.5

Новый материал · площадь сегмента

Сегмент — часть круга между дугой и хордой

α < 18 0^{\circ}

:

S_{сегм} = S_{сект} - S_{△}

треугольник вырезаем из сектора

α > 18 0^{\circ}

:

S_{сегм} = S_{сект} + S_{△}

треугольник добавляем к сектору

S_{сегм} = \frac{π R ^{2}}{36 0 ^{\circ}} α - \frac{1}{2} R^{2} sin α = \frac{1}{2} R^{2} (α - sin α)

(справа

α

в радианах)

R05.5

Образец → сам · площадь сегмента

Сектор минус (или плюс) треугольник

Образец: $R = 6$ , дуга сегмента $6 0^{\circ}$ . Найдите площадь сегмента.

$S_{сект} = \frac{1}{6} \cdot 36 π = 6 π$ $6 0^{\circ}$ — шестая часть

$S_{△} = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot sin 6 0^{\circ} = 93$ треугольник равносторонний

$S = 6 π - 93 \approx 3, 26$

Сам

$R = 4$ , дуга $9 0^{\circ}$ . $4 π - 8 \approx 4, 57$
$R = 2$ , дуга $12 0^{\circ}$ . $\frac{4 π}{3} - 3 \approx 2, 46$
$R = 6$ , дуга $30 0^{\circ}$ . $30 π + 93 \approx 109, 8$

R05.5

Сводка формул

Круг и его части

Фигура	угол в градусах	угол в радианах
Круг	$S = π R^{2} = \frac{π d ^{2}}{4} = \frac{1}{2} CR$
Сектор	$\frac{π R ^{2}}{36 0 ^{\circ}} \cdot α$	$\frac{1}{2} R^{2} α = \frac{1}{2} lR$
Сегмент	$\frac{π R ^{2}}{36 0 ^{\circ}} \cdot α - \frac{1}{2} R^{2} sin α$	$\frac{1}{2} R^{2} (α - sin α)$
Подобие	$S_{1} : S_{2} = R_{1}^{2} : R_{2}^{2}$ — радиус в $k$ раз больше ⇒ площадь в $k^{2}$ раз больше

R05.5

Образец → сам · задача на доказательство

Луночка Гиппократа: криволинейная фигура = треугольник

Образец: $A B$ — диаметр, $A C = BC$ , на $A C$ вне круга построен полукруг. Докажите: луночка равновелика $△ A OC$ .

$A C = R 2$ ⇒ полукруг на $A C$ : $\frac{1}{2} π (\frac{R 2}{2})^{2} = \frac{π R ^{2}}{4}$

сегмент над $A C$ ( $∠ A OC = 9 0^{\circ}$ ): $\frac{π R ^{2}}{4} - \frac{R ^{2}}{2}$

$S_{лун} = \frac{π R ^{2}}{4} - (\frac{π R ^{2}}{4} - \frac{R ^{2}}{2}) = \frac{R ^{2}}{2} = S_{△ A OC}$

Сам: план и обоснования

Докажите: две луночки на $A C$ и $BC$ вместе равновелики $△ A BC$ . $2 \cdot \frac{R ^{2}}{2} = R^{2} = \frac{1}{2} \cdot 2 R \cdot R$
Докажите: полукруг на гипотенузе равновелик двум полукругам на катетах. $\frac{π c ^{2}}{8} = \frac{π a ^{2}}{8} + \frac{π b ^{2}}{8}$ — т. Пифагора
* То же, что в 1, для любого прямоугольного треугольника. из 2: луночки $=$ полукруги на катетах $-$ (полукруг на гипотенузе $-$ $S_{△}$ )

2,5 мин · практика
Образец: △AOC прямоугольный равнобедренный (OA = OC = R, OC ⟂ AB, так как C — середина дуги), AC = R√2. Луночка = полукруг на AC минус сегмент большого круга над AC. S△AOC = ½ R · R = R²/2. Исторически — первая «квадрируемая» криволинейная фигура (Гиппократ Хиосский, V в. до н. э.).
1) Луночка на BC такая же (симметрия относительно OC); сумма R² = ½ · AB · OC = S△ABC.
2) Площадь полукруга на отрезке x: ½ π (x/2)² = πx²/8; a² + b² = c² ⇒ равенство.
3) Полукруг на гипотенузе (со стороны C) = S△ + два сегмента над катетами. Луночки = (полукруги на катетах) − (сегменты) = (полукруг на гипотенузе) − (полукруг на гипотенузе − S△) = S△. Работа в парах: один пишет план, другой — обоснования.

R05.5

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$R = 6$ , $α = 6 0^{\circ}$ : $S = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot 60 = 1080$	формула $\frac{1}{2} R^{2} α$ — только для радиан	$α = \frac{π}{3}$ : $S = 6 π$
дуга $24 0^{\circ}$ : сегмент $=$ сектор $-$ треугольник	при $α > 18 0^{\circ}$ треугольник входит в сегмент	сектор $+$ треугольник
$S = π d^{2}$	в формулу входит радиус, а не диаметр	$S = π R^{2} = \frac{π d ^{2}}{4}$
«Радиус вдвое больше — площадь вдвое больше»	площадь пропорциональна квадрату радиуса	площадь в $4$ раза больше

R05.5

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Сегмент: $R = 4$ , дуга $15 0^{\circ}$ .

$S_{сект} = \frac{16 π \cdot 150}{360} = \frac{20 π}{3}$

$S_{△} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8$

$S_{△} = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot sin 15 0^{\circ} = 4$

$S = \frac{20 π}{3} - 4 \approx 16, 9$

б) Сектор: $R = 9$ , $l = 6 π$ .

$α = \frac{l}{R} = \frac{2 π}{3}$

$S = \frac{81 π}{360} \cdot \frac{2 π}{3} = \frac{3 π ^{2}}{20}$

угол в радианах — формула для радиан:

$S = \frac{1}{2} \cdot 81 \cdot \frac{2 π}{3} = 27 π$

в) $C = 16 π$ . Найдите площадь круга.

$R = 16$

$S = π \cdot 1 6^{2} = 256 π$

$R = \frac{16 π}{2 π} = 8$ , $S = 64 π$

R05.5

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

база $R = 3$ . Площадь круга? $9 π$
база $d = 10$ . Площадь круга? $25 π$
базаСектор: $R = 6$ , $α = 9 0^{\circ}$ . $9 π$

базаСектор: $R = 5$ , $α = 2$ рад. $25$
базаПлощадь круга $64 π$ . Длина окружности? $16 π$
базаСегмент: $R = 10$ , дуга $9 0^{\circ}$ . $25 π - 50$

R05.5

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Хорда длиной $63$ стягивает дугу $12 0^{\circ}$ . Найдите площадь меньшего сегмента. $12 π - 93$
повыш.В круг радиуса $2$ вписан правильный шестиугольник. Найдите площадь части круга вне шестиугольника. $4 π - 63$
повыш.Площадь сектора равна площади квадрата со стороной $R$ . Найдите угол сектора. $2$ рад $\approx 114, 6^{\circ}$
повыш.Окружность с тем же центром делит круг радиуса $10$ на две равновеликие части. Найдите её радиус. $52$

R05.5 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 16 и 18

Ответ — одно число

ОГЭ 16Площадь круга равна $90$ . Найдите площадь сектора этого круга с центральным углом $6 0^{\circ}$ . $15$
ОГЭ 16Найдите площадь сектора круга радиуса $R = \frac{3}{π}$ с центральным углом $12 0^{\circ}$ . $3$
ОГЭ 18Клетка $1 \times 1$ . Найдите площадь закрашенного сектора, делённую на $π$ . $12$

R05.5 · практика

Задача из жизни

Дворник, поливалка и пицца

Щётка дворника — от $10$ до $50$ см от оси, поворот на $12 0^{\circ}$ . Какую площадь стекла она очищает? $800 π \approx 2513 см^{2}$
Поливалка поворачивается на $27 0^{\circ}$ и бьёт на $6$ м. Площадь полива? $27 π \approx 84, 8 м^{2}$
Что больше: одна пицца $d = 30$ см или две пиццы $d = 20$ см? одна большая: $225 π > 200 π$

R05.5

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$R = 7$ . Площадь круга? $49 π$
Сектор: $R = 6$ , $α = 4 0^{\circ}$ . $4 π$
Сектор: $R = 4$ , длина дуги $5$ . $10$
Сегмент: $R = 6$ , дуга $9 0^{\circ}$ . $9 π - 18$

Вариант 2

$d = 18$ . Площадь круга? $81 π$
Сектор: $R = 3$ , $α = 8 0^{\circ}$ . $2 π$
Сектор: $R = 6$ , длина дуги $4$ . $12$
Сегмент: $R = 4$ , дуга $6 0^{\circ}$ . $\frac{8 π}{3} - 43$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как из площади многоугольника получили $π R^{2}$ ?
Чем формулы сектора в градусах и радианах отличаются?
Когда к сектору треугольник прибавляют?

Домашнее задание

Площадь круга $100 π$ . Найдите длину окружности.
Сектор: $R = 12$ , $α = 15 0^{\circ}$ ; сегмент: $R = 8$ , дуга $12 0^{\circ}$ .
* Докажите задание 3 о луночках письменно.
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_adv_mnogougolniki.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9U-069 · Площадь круга и его элементов (сектора и сегмента)

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R05 «Длина окружности и площадь круга», 16 ч · урок 5/16 · тип Н
Единицы → слайды	R05.5 «Площадь круга и его элементов (сектора и сегмента)» → 2, 4–22 · повторение R05.1–R05.4 → 3, 8
Результаты	ПР-16 (вычислять площадь круга и его частей) → 4–19, 21 · ПР-17 (смысл числа π, практические задачи) → 5, 20
Вне урока	периметры и площади фигур с элементами круга, кольцо — GEOM9U-070 (на этом уроке только задача 1 сл. 20); правильные многоугольники — практикум GEOM9U-071
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Площадь круга и его элементов: сектора и сегмента

Сегодня вы научитесь

Выводить формулу площади круга

Находить площадь сектора

Находить площадь сегмента

Решать задачи

Окружность, дуги, радианы

Правильный многоугольник = n равных треугольников

Круг — предел вписанных правильных многоугольников

По радиусу, диаметру, длине окружности

Образец: длина окружности C=10π. Найдите площадь круга.

Сам

Сектор — такая же доля круга, как угол — доля 360∘

S=21​R2α=21​lR — как у треугольника

Градусы, радианы, длина дуги

Образец: R=6, α=120∘. Найдите площадь сектора.

Сам

По площади и дуге найти радиус и угол

Образец: площадь сектора 24, длина его дуги 8. Найдите R и угол α.

Сам

Сегмент — часть круга между дугой и хордой

Сектор минус (или плюс) треугольник

Образец: R=6, дуга сегмента 60∘. Найдите площадь сегмента.

Сам

Круг и его части

Луночка Гиппократа: криволинейная фигура = треугольник

Образец: AB — диаметр, AC=BC, на AC вне круга построен полукруг. Докажите: луночка равновелика △AOC.

Сам: план и обоснования

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Сегмент: R=4, дуга 150∘.

б) Сектор: R=9, l=6π.

в) C=16π. Найдите площадь круга.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

Дворник, поливалка и пицца

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9U-069 · Площадь круга и его элементов (сектора и сегмента)

Правильный многоугольник = $n$ равных треугольников

Образец: длина окружности $C = 10 π$ . Найдите площадь круга.

Сектор — такая же доля круга, как угол — доля $36 0^{\circ}$

$S = \frac{1}{2} R^{2} α = \frac{1}{2} lR$ — как у треугольника

Образец: $R = 6$ , $α = 12 0^{\circ}$ . Найдите площадь сектора.

Образец: площадь сектора $24$ , длина его дуги $8$ . Найдите $R$ и угол $α$ .

Образец: $R = 6$ , дуга сегмента $6 0^{\circ}$ . Найдите площадь сегмента.

Образец: $A B$ — диаметр, $A C = BC$ , на $A C$ вне круга построен полукруг. Докажите: луночка равновелика $△ A OC$ .

а) Сегмент: $R = 4$ , дуга $15 0^{\circ}$ .

б) Сектор: $R = 9$ , $l = 6 π$ .

в) $C = 16 π$ . Найдите площадь круга.