Длина окружности и площадь круга · урок 3 из 16

Длина дуги окружности

Геометрия · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R05 · GEOM9U-067

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R05 «Длина окружности и площадь круга» (16 ч), урок 3/16, единица R05.3. Тип урока — Н.
Теория (12): титул 0,5 · цели 0,5 · градусная мера и длина дуги 2 · вывод формулы 3 · пропорциональность 2 · как найти центральный угол 2,5 · сводка 1,5.
Практика (33): разминка 2,5 · образцы → сам 2,5 + 2,5 + 3 + 2,5 + 2,5 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 3 · повышенный 2,5 · ОГЭ 16/23 — 2 · беговая дорожка 1,5 · самостоятельная 4 · итог 1.
Если не успеваете: задание 3 повышенного уровня и задачу ОГЭ 23 — в ДЗ; вывод формулы не сокращать.

R05.3

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Различать меру и длину дуги

градусы — доля окружности, сантиметры — её длина (ПР-16)

Выводить формулу

длины дуги $l = \frac{π R α}{180}$ из длины окружности

Решать прямые и обратные задачи

находить $l$ , $α$ , $R$ ; центральный угол — через вписанный, хорду, касательные

Применять на практике

стрелки часов, колёса, беговая дорожка (ПР-17, ПР-19)

0,5 мин · теория
ПР-16: «Владеть понятиями правильного многоугольника, длины окружности, длины дуги окружности и радианной меры угла, вычислять площадь круга и его частей». ПР-17: понимать смысл числа π, применять умения при решении практических задач. ПР-19: строить математические модели для задач реальной жизни.
Виды деятельности ФРП R05: определять длину дуги; выводить формулы (в градусной и радианной мере) для длин дуг — радианная мера на следующем уроке (GEOM9U-068).

повторение: GEOM9U-066, 8 класс

Разминка · устно

Окружность, её длина и углы

$R = 5$ . Найдите длину окружности. $10 π$
$C = 18 π$ . Найдите радиус. $9$
Какая часть окружности — дуга $9 0^{\circ}$ ? $\frac{1}{4}$
А дуга $6 0^{\circ}$ ? $\frac{1}{6}$
$∠ A OB = 7 0^{\circ}$ . Градусная мера дуги $A B$ ? $7 0^{\circ}$
Чему равен вписанный $∠ A CB$ ? $3 5^{\circ}$
$π$ с точностью до сотых? $3, 14$

R05.3

Понятие

Градусная мера дуги и длина дуги

Дуга $A B$ — часть окружности между точками

A

и

B

. Её градусная мера равна центральному углу

∠ A OB = α

.

Длина дуги $l$ — длина этой части окружности: в см, м, км.

Мера — «какая доля окружности», длина — «сколько сантиметров».

Точки $A$ и $B$ делят окружность на две дуги: $α$ и $36 0^{\circ} - α$ .

R05.3

Вывод формулы

Длина дуги в $α$ градусов

1Вся окружность:

36 0^{\circ}

⟶

C = 2 π R

длина окружности, прошлый урок

2Дуга

1^{\circ}

:

\frac{2 π R}{360} = \frac{π R}{180}

это

1/360

окружности

3Дуга

α^{\circ}

— в

α

раз длиннеедуги одной окружности пропорциональны мерам

l = \frac{π R α}{180}

На рисунке: $\frac{120}{360} = \frac{1}{3}$ , $l = \frac{2 π R}{3}$

R05.3

Образец → сам · прямое применение формулы

Найдите длину дуги

Образец: $R = 9$ см, $∠ A OB = 4 0^{\circ}$ . Найдите длину дуги $A B$ .

$l = \frac{π R α}{180} = \frac{π \cdot 9 \cdot 40}{180}$ формула длины дуги

$l = 2 π \approx 6, 28$ см $π \approx 3, 14$

Сам

$R = 6$ , $α = 15 0^{\circ}$ . Найдите $l$ . $5 π \approx 15, 7$
$R = 15$ , $α = 7 2^{\circ}$ . Найдите $l$ . $6 π \approx 18, 8$
$R = 8$ , $∠ A OB = 13 5^{\circ}$ . Найдите длину большей дуги $A B$ . $10 π \approx 31, 4$

R05.3

Образец → сам · обратная задача

Найдите угол или радиус по длине дуги

Образец: дуга $A B$ имеет длину $3 π$ , $R = 6$ . Найдите $∠ A OB$ .

$α = \frac{180 l}{π R}$ выразили $α$ из формулы

$α = \frac{180 \cdot 3 π}{π \cdot 6} = 9 0^{\circ}$

Сам

$l = 4 π$ , $R = 12$ . Найдите $α$ . $6 0^{\circ}$
$l = 5 π$ , $α = 15 0^{\circ}$ . Найдите $R$ . $6$
Длина окружности $36$ , длина дуги $9$ . Найдите градусную меру дуги. $9 0^{\circ}$

R05.3

Свойство

Длина дуги пропорциональна радиусу и углу

l = \frac{π α}{180} \cdot R

1Один угол

α

, разные радиусы:

\frac{l _{1}}{l _{2}} = \frac{R _{1}}{R _{2}}

множитель

π α /180

общий

2Одна окружность, разные углы:

\frac{l _{1}}{l _{2}} = \frac{α _{1}}{α _{2}}

множитель

π R /180

общий

3

R_{2} = 2 R_{1}

⟹

l_{2} = 2 l_{1}

а градусная мера дуг одинакова

R05.3

Схема · как найти центральный угол

Угол $α$ не дан — находим его

Что известно	$∠ A OB$	Почему
вписанный $∠ A CB = β$ на дугу $A B$	$2 β$	вписанный угол — половина дуги
хорда $A B = R$	$6 0^{\circ}$	$△ A OB$ равносторонний
хорда $A B = R 2$ или $R 3$	$9 0^{\circ}$ или $12 0^{\circ}$	теорема косинусов: $A B^{2} = 2 R^{2} - 2 R^{2} cos α$
касательные $P A$ , $PB$ , $∠ A PB = φ$	$18 0^{\circ} - φ$	$O A ⊥ P A$ , $OB ⊥ PB$ ; углы $O A PB$ в сумме $36 0^{\circ}$
дуги относятся как $m : n$	$\frac{36 0 ^{\circ} \cdot m}{m + n}$	вся окружность — $36 0^{\circ}$

R05.3

Образец → сам · комбинированная задача

Сначала центральный угол, потом длина

Образец: вписанный $∠ A CB = 3 5^{\circ}$ , $R = 18$ . Найдите длину дуги $A B$ , на которую он опирается.

$∠ A OB = 2 \cdot 3 5^{\circ} = 7 0^{\circ}$ вписанный угол — половина дуги

$l = \frac{π \cdot 18 \cdot 70}{180} = 7 π \approx 22, 0$

Сам

Вписанный угол $5 0^{\circ}$ , $R = 9$ . Найдите длину дуги, на которую он опирается. $5 π$
Хорда $A B = R = 12$ . Найдите длину меньшей дуги $A B$ . $4 π$
$R = 9$ , хорда $A B = 93$ . Найдите длину меньшей дуги $A B$ . $6 π$

R05.3

Образец → сам · строим чертёж и доказываем

Касательные из одной точки

Образец: $P A$ и $PB$ — касательные, $∠ A PB = 6 0^{\circ}$ , $R = 6$ . Найдите длину меньшей дуги $A B$ .

$O A ⊥ P A$ , $OB ⊥ PB$ радиус в точку касания

$∠ A OB = 36 0^{\circ} - 9 0^{\circ} - 9 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 12 0^{\circ}$

$l = \frac{π \cdot 6 \cdot 120}{180} = 4 π$

Сам: чертёж — в тетради

$∠ A PB = 9 0^{\circ}$ , $R = 10$ . Найдите меньшую дугу $A B$ . $5 π$
$R = 5$ , $OP = 10$ . Найдите длину меньшей дуги $A B$ . $\frac{10 π}{3}$
Докажите: равные хорды $A B$ и $C D$ стягивают меньшие дуги равной длины. $△ A OB = △ CO D$ (III) ⇒ $∠ A OB = ∠ CO D$

R05.3

Образец → сам · практическая задача

Путь по дуге: часы, колёса, маятник

Образец: минутная стрелка длиной $12$ см. Какой путь пройдёт её конец за $20$ минут?

$20$ мин $= \frac{1}{3}$ ч ⟹ $α = 12 0^{\circ}$ за час — полный круг

$l = \frac{π \cdot 12 \cdot 120}{180} = 8 π \approx 25, 1$ см

Сам

Часовая стрелка $9$ см. Путь её конца за $4$ часа? $6 π \approx 18, 8$ см
Колесо радиусом $35$ см повернулось на $7 2^{\circ}$ . На сколько сдвинулся велосипед? $14 π \approx 44$ см
Маятник длиной $1, 2$ м качнулся из одного крайнего положения в другое, размах $6 0^{\circ}$ . Путь груза? $0, 4 π \approx 1, 26$ м

R05.3

Итоговая сводка правил

Длина дуги: всё на одном слайде

Формула

l = \frac{π R α}{180}

или $\frac{l}{2 π R} = \frac{α}{36 0 ^{\circ}}$

Обратные задачи

$α = \frac{180 l}{π R}$ , $R = \frac{180 l}{π α}$

Центральный угол

$2 \cdot$ вписанный; $18 0^{\circ} - φ$ для касательных; по хорде — теорема косинусов

Ответ

точно: $5 π$ ; приближённо: $\approx 15, 7$ . Большая дуга: $36 0^{\circ} - α$

R05.3

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$l = \frac{π R α}{360}$	за всю окружность взяли $π R$ , а не $2 π R$	$l = \frac{2 π R α}{360} = \frac{π R α}{180}$
«Дуга $6 0^{\circ}$ длиннее дуги $5 0^{\circ}$ »	у разных окружностей длина зависит от $R$	$R = 5$ , $6 0^{\circ}$ : $\frac{5}{3} π$ ; $R = 10$ , $5 0^{\circ}$ : $\frac{25}{9} π$ — длиннее
вписанный угол $3 0^{\circ}$ ⟹ дуга $3 0^{\circ}$	вписанный угол — половина дуги	дуга $6 0^{\circ}$
$d = 10$ , $α = 9 0^{\circ}$ : $l = 5 π$	подставили диаметр вместо радиуса	$R = 5$ : $l = 2, 5 π$

R05.3

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $R = 12$ , $α = 7 5^{\circ}$ . Найдите $l$ .

$l = \frac{π \cdot 12 \cdot 75}{360} = 2, 5 π$

делить на $180$ : $l = 5 π$

б) $P A$ , $PB$ — касательные, $∠ A PB = 5 0^{\circ}$ , $R = 9$ . Найдите меньшую дугу $A B$ .

$∠ A OB = 5 0^{\circ}$ , $l = 2, 5 π$

$∠ A OB = 18 0^{\circ} - 5 0^{\circ} = 13 0^{\circ}$ , $l = 6, 5 π$

в) Дуги окружности $R = 6$ относятся как $1 : 5$ . Найдите меньшую.

$\frac{1}{5}$ окружности: $7 2^{\circ}$ , $l = 2, 4 π$

$\frac{1}{6}$ окружности: $6 0^{\circ}$ , $l = 2 π$

R05.3

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

база $R = 3$ , $α = 12 0^{\circ}$ . Найдите $l$ . $2 π$
база $R = 18$ , $α = 5 0^{\circ}$ . Найдите $l$ . $5 π$
база $R = 10$ , $l = 5 π$ . Найдите $α$ . $9 0^{\circ}$

база $α = 4 5^{\circ}$ , $l = 3 π$ . Найдите $R$ . $12$
базаДуга — шестая часть окружности, $R = 12$ . Найдите $l$ . $4 π$
базаДлина окружности $40$ , дуга $2 7^{\circ}$ . Найдите её длину. $3$

R05.3

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Точки $A$ , $B$ , $C$ делят окружность радиуса $9$ на дуги, градусные меры которых относятся как $2 : 3 : 4$ . Найдите длину наибольшей дуги. $8 π$
повыш.Квадрат со стороной $62$ вписан в окружность. Найдите длину дуги между соседними вершинами. $3 π$
повыш.Хорда $A B = 8$ стягивает дугу $9 0^{\circ}$ . Найдите длину этой дуги. $22 π$
повыш.Окружности с общим центром, $R_{1} = 10$ , $R_{2} = 14$ ; центральный угол $4 5^{\circ}$ . На сколько дуга большей окружности длиннее? на $π$

R05.3 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 16 и 23

Ответ — одно число

ОГЭ 16Точки $A$ и $B$ делят окружность на две дуги, длины которых $9, 7$ и $26, 3$ . Найдите градусную меру центрального угла, опирающегося на меньшую дугу. $97$
ОГЭ 16Длина окружности равна $72$ . Найдите длину дуги, на которую опирается вписанный угол $3 5^{\circ}$ . $14$

ОГЭ 23 $A B$ — хорда окружности с центром $O$ , $∠ O A B = 3 0^{\circ}$ , $R = 12$ . Найдите длину $l$ меньшей дуги $A B$ . В ответ запишите $l : π$ .

$∠ OB A = 3 0^{\circ}$ ( $O A = OB$ )

$∠ A OB = 12 0^{\circ}$

$l = 8 π$ , ответ $8$

R05.3 · ПР-19

Задача из жизни · беговая дорожка

Почему старты на стадионе сдвинуты

Поворот — полуокружность ( $18 0^{\circ}$ ). Дорожка 2 на $1, 22$ м дальше от центра. Насколько её поворот длиннее?

$l_{1} = π R$ , $l_{2} = π (R + 1, 22)$

$l_{2} - l_{1} = 1, 22 π \approx 3, 83$ м — при любом $R$ !

$400$ м — два поворота. Сдвиг старта дорожки 2? $\approx 7, 67$ м
А дорожки 8 относительно дорожки 1? $\approx 53, 7$ м

R05.3

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$R = 12$ , $α = 3 0^{\circ}$ . Найдите $l$ . $2 π$
$l = 6 π$ , $R = 9$ . Найдите $α$ . $12 0^{\circ}$
Вписанный угол $2 0^{\circ}$ , $R = 27$ . Найдите длину дуги, на которую он опирается. $6 π$
$P A$ , $PB$ — касательные, $∠ A PB = 8 0^{\circ}$ , $R = 9$ . Найдите меньшую дугу $A B$ . $5 π$

Вариант 2

$R = 15$ , $α = 4 8^{\circ}$ . Найдите $l$ . $4 π$
$l = 5 π$ , $R = 6$ . Найдите $α$ . $15 0^{\circ}$
Вписанный угол $2 5^{\circ}$ , $R = 18$ . Найдите длину дуги, на которую он опирается. $5 π$
$P A$ , $PB$ — касательные, $∠ A PB = 12 0^{\circ}$ , $R = 12$ . Найдите меньшую дугу $A B$ . $4 π$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Чем градусная мера дуги отличается от её длины?
Почему дуга $1^{\circ}$ имеет длину $\frac{π R}{180}$ ?
Как найти центральный угол по вписанному и по касательным?

Домашнее задание

$R = 20$ , $α = 2 7^{\circ}$ . Найдите $l$ .
$l = 10 π$ , $α = 15 0^{\circ}$ . Найдите $R$ .
* Хорда $A B = 10$ , вписанный $∠ A CB = 4 5^{\circ}$ . Найдите длину меньшей дуги $A B$ .
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_adv_mnogougolniki.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9U-067 · Длина дуги окружности

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R05 «Длина окружности и площадь круга», 16 ч · урок 3/16 · тип Н
Единицы → слайды	R05.3 «Длина дуги окружности» → 2, 4–21 · повторение (длина окружности GEOM9U-066, углы в окружности 8 кл.) → 3
Результаты	ПР-16 (длина дуги окружности) → 4–18, 20 · ПР-17 (смысл π, практические задачи) → 12, 19 · ПР-19 (модели реальной жизни) → 12, 19
Вне урока	радианная мера угла и l = Rα — GEOM9U-068 (R05.4); площадь сектора и сегмента — R05.5; фигуры с элементами круга — R05.6
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Длина дуги окружности

Сегодня вы научитесь

Различать меру и длину дуги

Выводить формулу

Решать прямые и обратные задачи

Применять на практике

Окружность, её длина и углы

Градусная мера дуги и длина дуги

Длина дуги в α градусов

Найдите длину дуги

Образец: R=9 см, ∠AOB=40∘. Найдите длину дуги AB.

Сам

Найдите угол или радиус по длине дуги

Образец: дуга AB имеет длину 3π, R=6. Найдите ∠AOB.

Сам

Длина дуги пропорциональна радиусу и углу

Угол α не дан — находим его

Сначала центральный угол, потом длина

Образец: вписанный ∠ACB=35∘, R=18. Найдите длину дуги AB, на которую он опирается.

Сам

Касательные из одной точки

Образец: PA и PB — касательные, ∠APB=60∘, R=6. Найдите длину меньшей дуги AB.

Сам: чертёж — в тетради

Путь по дуге: часы, колёса, маятник

Образец: минутная стрелка длиной 12 см. Какой путь пройдёт её конец за 20 минут?

Сам

Длина дуги: всё на одном слайде

Формула

Обратные задачи

Центральный угол

Ответ

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) R=12, α=75∘. Найдите l.

б) PA, PB — касательные, ∠APB=50∘, R=9. Найдите меньшую дугу AB.

в) Дуги окружности R=6 относятся как 1:5. Найдите меньшую.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

Почему старты на стадионе сдвинуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9U-067 · Длина дуги окружности

Длина дуги в $α$ градусов

Образец: $R = 9$ см, $∠ A OB = 4 0^{\circ}$ . Найдите длину дуги $A B$ .

Образец: дуга $A B$ имеет длину $3 π$ , $R = 6$ . Найдите $∠ A OB$ .

Угол $α$ не дан — находим его

Образец: вписанный $∠ A CB = 3 5^{\circ}$ , $R = 18$ . Найдите длину дуги $A B$ , на которую он опирается.

Образец: $P A$ и $PB$ — касательные, $∠ A PB = 6 0^{\circ}$ , $R = 6$ . Найдите длину меньшей дуги $A B$ .

Образец: минутная стрелка длиной $12$ см. Какой путь пройдёт её конец за $20$ минут?

а) $R = 12$ , $α = 7 5^{\circ}$ . Найдите $l$ .

б) $P A$ , $PB$ — касательные, $∠ A PB = 5 0^{\circ}$ , $R = 9$ . Найдите меньшую дугу $A B$ .

в) Дуги окружности $R = 6$ относятся как $1 : 5$ . Найдите меньшую.