Длина окружности и площадь круга · урок 2 из 16

Число π и длина окружности

Геометрия · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R05 · GEOM9U-066

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Паспорт: R05 «Длина окружности и площадь круга» (16 ч), урок 2/16, единица R05.2. Тип урока — Н.
Теория (12,5): титул 0,5 · цели 0,5 · понятие длины окружности 2,5 · теорема о C : d 3 · число π 2 · формула 2 · окружности правильных многоугольников 2.
Практика (32,5): разминка 2,5 · образцы → сам 2,5 + 3 + 3 + 2,5 + 2,5 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 3 · повышенный 2,5 · ОГЭ 2,5 · самостоятельная 4 · итог 1.
Если не успеваете: образец 5 (колёса) и задание 4 повышенного уровня — в ДЗ; доказательство теоремы не сокращать.

R05.2

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Понимать, что такое длина окружности

через периметры правильных многоугольников (ПР-16)

Доказывать

что отношение $C : d$ одно и то же для всех окружностей — это число $π$ (ПР-17)

Вычислять

$C = 2 π R$ , радиус по длине — точно и приближённо (ПР-16)

Решать задачи

многоугольники и окружности, колёса и шкивы, ОГЭ 16 и 18 (ПР-17)

повторение: GEOM9U-065

Разминка · устно

Правильные многоугольники и окружности

Шестиугольник вписан в окружность $R = 5$ . Сторона $a$ ? $5$
Периметр этого шестиугольника? $30$
Квадрат вписан в окружность $R = 4$ . Его сторона? $42$
Правильный треугольник со стороной $6$ . Радиус $R$ описанной окружности? $23$
Квадрат со стороной $10$ . Радиус $r$ вписанной окружности? $5$
Сторона правильного $n$ -угольника: $a_{n} = \dots$ $2 R sin \frac{18 0 ^{\circ}}{n}$

R05.2

Понятие · длина окружности

Окружность «зажата» между многоугольниками

Длина окружности $C$ — число, к которому стремятся периметры вписанных (и описанных) правильных многоугольников при неограниченном удвоении числа сторон.

$p_{n}$ — вписанный $P_{n}$ — описанный $p_{n} < C < P_{n}$

$n$	$p_{n} : d$	$P_{n} : d$
$6$	$3, 0000$	$3, 4641$
$12$	$3, 1058$	$3, 2154$
$24$	$3, 1326$	$3, 1597$
$96$	$3, 1410$	$3, 1427$

2,5 мин · теория
На чертеже: вписанный шестиугольник (бирюзовый), вписанный 12-угольник (фиолетовый пунктир), описанный шестиугольник (розовый). При удвоении числа сторон вписанный периметр растёт, описанный убывает, и оба приближаются к одному числу — его и называют длиной окружности.
Таблица: p_n/d = n·sin(180°/n), P_n/d = n·tg(180°/n) (проверено вычислением). Строки открывать по щелчку: «вилка» сужается. При n = 96 — это оценка Архимеда.
Вопрос: почему p_n < C? (Отрезок короче любой дуги с теми же концами — хорда короче дуги.)

R05.2

Теорема · доказательство

Отношение $C : d$ одинаково для всех окружностей

Дано: окружности радиусов

R_{1}

и

R_{2}

, длины

C_{1}

и

C_{2}

.
Доказать:

\frac{C _{1}}{2 R _{1}} = \frac{C _{2}}{2 R _{2}}

.

1

a_{n} = 2 R sin φ

,

φ = \frac{18 0 ^{\circ}}{n}

из

△ A O H

:

A H = R sin φ

,

A B = 2 A H

2

\frac{p _{n}}{2 R} = \frac{n \cdot 2 R sin φ}{2 R} = n sin φ

от

R

не зависит — одно число для обеих окружностей

3

\frac{p _{n}^{(1)}}{2 R _{1}} = \frac{p _{n}^{(2)}}{2 R _{2}}

при любом

n

удваиваем

n

:

p_{n}^{(1)} \to C_{1}

,

p_{n}^{(2)} \to C_{2}

4

\frac{C _{1}}{2 R _{1}} = \frac{C _{2}}{2 R _{2}} = π

это общее число обозначают буквой

π

3 мин · теория
Каждый шаг — вопрос классу «почему?». Шаг 1: в равнобедренном △AOB (OA = OB = R) высота OH — биссектриса и медиана, ∠AOH = 360°/(2n) = 180°/n; AH = R·sin φ.
Шаг 2–3: правильные n-угольники, вписанные в разные окружности, подобны с коэффициентом R₂ : R₁, поэтому отношение периметра к диаметру у них одинаково. Переход к пределу — на интуитивном уровне (строгое определение предела — в 10–11 классе).
Ошибка: «π = 3,14 по определению». Нет: π — отношение длины окружности к диаметру, 3,14 — приближение.

R05.2

Число π · история

$π = 3, 14159265 \dots$ — иррациональное число

$π = C : d$ — отношение длины окружности к её диаметру. Бесконечная непериодическая дробь (И. Ламберт, 1761).

Египет, Вавилон

около 2000 лет до н. э.: $π \approx 3, 16$ и $π \approx 3, 125$ — по измерениям

Архимед

III в. до н. э., 96-угольники: $3 \frac{10}{71} < π < 3 \frac{1}{7}$

Цзу Чунчжи

V в., Китай: $π \approx \frac{355}{113}$ — 6 верных знаков после запятой

Буква $π$

У. Джонс (1706), Л. Эйлер; сегодня известны триллионы знаков

2 мин · теория
Египет (папирус Ахмеса): π ≈ (16/9)² ≈ 3,1605; Вавилон: π ≈ 25/8 = 3,125. Архимед: 223/71 ≈ 3,1408 < π < 22/7 ≈ 3,1429 — ровно та «вилка» 96-угольников из таблицы. Цзу Чунчжи: 355/113 = 3,1415929… Лудольф ван Цейлен (XVI–XVII вв.) вычислил 35 знаков — «лудольфово число».
Обозначение — первая буква греческого περιφέρεια (окружность). Иррациональность доказал И. Ламберт (1761). В задачах берут π ≈ 3,14 или «ответ через π».
Вопрос: почему 22/7 не может быть точным значением π? (π иррационально, а 22/7 — рациональное число.)

R05.2

Формула · длина окружности

Колесо за один оборот проходит $π d$

C = 2 π R = π d

R = \frac{C}{2 π}

$C_{1} : C_{2} = R_{1} : R_{2}$
длины пропорциональны радиусам

R05.2

Образец → сам · прямое применение формулы

Длина окружности точно и приближённо

Образец: $R = 6, 5$ см. Найдите $C$ точно и с точностью до $0, 1$ см.

$C = 2 π R = 2 π \cdot 6, 5 = 13 π$ формула

$13 π \approx 13 \cdot 3, 1416 = 40, 84$ $π \approx 3, 1416$

$C = 13 π \approx 40, 8$ см округление

Сам

$d = 18$ см. Найдите $C$ точно и до $0, 1$ . $18 π \approx 56, 5$ см
$R = 2, 5$ м. Найдите $C$ точно и до $0, 1$ . $5 π \approx 15, 7$ м
$R = 32$ . Найдите $C$ . $62 π$

R05.2

Образец → сам · обратная задача

Радиус по длине и изменение длины

Образец: радиус окружности увеличили на $3$ см. На сколько увеличилась её длина?

$C_{1} = 2 π R$ , $C_{2} = 2 π (R + 3)$ формула

$C_{2} - C_{1} = 2 π R + 6 π - 2 π R = 6 π$ раскрыли скобки

на $6 π \approx 18, 8$ см — при любом $R$

Сам

$C = 31, 4$ см, $π \approx 3, 14$ . Найдите $R$ . $5$ см
Длина окружности выросла на $10 π$ . На сколько вырос радиус? на $5$
Верёвку вдоль экватора удлинили на $1$ м и подняли равномерно. Какой зазор? $\frac{1}{2 π} \approx 0, 16$ м

R05.1 · R05.2

Сводка · окружности правильных многоугольников

Радиусы $R$ и $r$ через сторону $a$

R = \frac{a}{2 sin φ}

,

r = \frac{a}{2 tg φ}

,

φ = \frac{18 0 ^{\circ}}{n}

$n$	$R$	$r$	$C_{опис}$
$3$	$\frac{a 3}{3}$	$\frac{a 3}{6}$	$\frac{2 πa 3}{3}$
$4$	$\frac{a 2}{2}$	$\frac{a}{2}$	$πa 2$
$6$	$a$	$\frac{a 3}{2}$	$2 πa$

R05.1 · R05.2

Образец → сам · правильные многоугольники

Вписанная и описанная окружности

Образец: правильный треугольник, сторона $6$ . Найдите длины описанной и вписанной окружностей.

$R = \frac{6 3}{3} = 23$ , $r = \frac{R}{2} = 3$ таблица

$C_{R} = 43 π$ , $C_{r} = 23 π$ $C = 2 π R$

Сам

Квадрат со стороной $8$ : длины описанной и вписанной окружностей. $82 π$ и $8 π$
Правильный шестиугольник со стороной $4$ : то же. $8 π$ и $43 π$
Длина вписанной в правильный треугольник окружности $6 π$ . Найдите сторону. $63$

R05.2

Образец → сам · комбинированная задача

Окружности и произвольный треугольник

Образец: катеты $6$ и $8$ . Найдите длины описанной и вписанной окружностей.

$c = 6^{2} + 8^{2} = 10$ , $R = \frac{c}{2} = 5$ гипотенуза — диаметр

$r = \frac{6 + 8 - 10}{2} = 2$ отрезки касательных

$C_{R} = 10 π$ , $C_{r} = 4 π$

Сам

Прямоугольник $5 \times 12$ . Длина описанной окружности? $13 π$
В треугольнике $a = 10$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ . Длина описанной окружности? $20 π$
Равнобедренный треугольник: основание $12$ , боковая $10$ . Длина вписанной окружности? $6 π$

R05.2

Образец → сам · задача из жизни

Колёса, стрелки, планеты

Образец: диаметр колеса велосипеда $70$ см. Сколько оборотов оно сделает на пути $1$ км?

$C = π d = 0, 7 π \approx 2, 199$ м путь за оборот

$1000 : 2, 199 \approx 454, 7$ деление пути

около $455$ оборотов

Сам

Минутная стрелка $12$ см. Какой путь проходит её конец за сутки? $576 π \approx 18, 1$ м
Длина экватора $\approx 40075$ км. Найдите радиус Земли. $\approx 6378$ км
Ремень на двух шкивах радиуса $10$ см, центры в $50$ см. Длина ремня? $100 + 20 π \approx 162, 8$ см

R05.2

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$C = π R$	перепутаны радиус и диаметр	$C = 2 π R = π d$
$C = π R^{2}$	это площадь круга (следующие уроки); длина — линейная величина	$C = 2 π R$ , в см, а не в см²
« $π = 3, 14$ », ответ $C = 31, 4$ при $R = 5$	$π$ иррационально, $3, 14$ — приближение	$C = 10 π \approx 31, 4$
$R$ увеличили в $3$ раза ⇒ $C$ в $9$ раз	$C$ пропорциональна $R$ , а не $R^{2}$	$C$ увеличится в $3$ раза

R05.2

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $C = 18, 84$ , $π \approx 3, 14$ . Найдите $R$ .

$R = 18, 84 : 3, 14 = 6$

$18, 84 : 3, 14 = 6$ — это $d$ ; $R = 3$

б) Шестиугольник со стороной $5$ . Длина вписанной окружности?

$r = a = 5$

$C = 2 π \cdot 5 = 10 π$

$r = \frac{5 3}{2}$ , $C = 53 π$

в) «Докажем», что $C : d$ одинаково для всех окружностей.

Измерили нитью три банки: везде $\approx 3, 1$ . Значит, верно.

опыт — не доказательство: нужно $p_{n} : 2 R = n sin φ$ и предел

2 мин · практика
Сначала видны «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Делить на π — значит найти диаметр: d = C/π = 6, R = 3. б) R = a у шестиугольника — радиус описанной окружности; вписанная касается сторон, r — высота равностороннего треугольника OAB: 5√3/2; C = 2πr = 5√3π. в) «На рисунке/опыте видно» — не обоснование: опыт даёт приближение для конкретных банок, а теорема — для всех окружностей (доказательство на сл. 5).

R05.2

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

база $R = 9$ . Найдите $C$ . $18 π$
база $d = 7$ , $π \approx 3, 14$ . Найдите $C$ . $21, 98$
база $C = 16 π$ . Найдите $d$ . $16$
база $C = 9, 42$ , $π \approx 3, 14$ . Найдите $R$ . $1, 5$
база $R_{1} = 3$ , $R_{2} = 12$ . Во сколько раз $C_{2} > C_{1}$ ? в $4$ раза
базаКвадрат со стороной $10$ . Длина описанной окружности? $102 π$

R05.2

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Во сколько раз длина окружности, описанной около квадрата, больше длины вписанной в него окружности? в $2$ раз
повыш.Длина окружности, вписанной в правильный шестиугольник, равна $6 π$ . Найдите периметр шестиугольника. $123$
повыш.В $△ A BC$ : $A B = 8$ , $∠ C = 4 5^{\circ}$ . Найдите длину описанной окружности. $82 π$
повыш.Сравните периметры $p_{6}$ и $P_{6}$ с $C$ и докажите оценку $3 < π < 23$ . $6 R < 2 π R < 43 R$

R05.2 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 16 и 18

Ответ — одно число: $C$ , делённая на $π$

ОГЭ 16Сторона квадрата равна $42$ . Найдите длину описанной около него окружности, делённую на $π$ . $8$
ОГЭ 16Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен $5$ . Найдите длину описанной окружности, делённую на $π$ . $20$

ОГЭ 18 Клетка $1 \times 1$ . Найдите длину окружности, делённую на $π$ .

Ответ: 10

R05.2

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$R = 4, 5$ . Найдите $C$ (точно). $9 π$
$C = 20 π$ . Найдите $d$ . $20$
Правильный треугольник со стороной $9$ : длина описанной окружности. $63 π$
Колесо $d = 60$ см. Сколько оборотов на $942$ м? ( $π \approx 3, 14$ ) $500$

Вариант 2

$d = 13$ . Найдите $C$ (точно). $13 π$
$C = 14 π$ . Найдите $R$ . $7$
Квадрат со стороной $6$ : длина вписанной окружности. $6 π$
Колесо $d = 50$ см. Сколько оборотов на $785$ м? ( $π \approx 3, 14$ ) $500$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как определяется длина окружности?
Что такое число $π$ ? Почему $π \neq = 3, 14$ ?
Как изменится $C$ , если $R$ увеличить в $k$ раз?

Домашнее задание

Прямоугольник $9 \times 12$ : длина описанной окружности.
Шкив $R = 15$ см, $200$ об/мин. Скорость точки обода (м/мин)?
* Докажите: $3 < π < 23$ .
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_adv_mnogougolniki.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9U-066 · Число π и длина окружности

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R05 «Длина окружности и площадь круга», 16 ч · урок 2/16 · тип Н
Единицы → слайды	R05.2 «Число π и длина окружности» → 2, 4–20 · повторение R05.1 (GEOM9U-065) → 3, 10–11
Результаты	ПР-16 (понятие длины окружности) → 4, 5, 7–19 · ПР-17 (смысл числа π, история, практические задачи) → 5, 6, 9, 13
Вне урока	длина дуги — GEOM9U-067; радианная мера — GEOM9U-068; площадь круга — R05.5; задача о ремне — подготовка к R05.6
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Число π и длина окружности

Сегодня вы научитесь

Понимать, что такое длина окружности

Доказывать

Вычислять

Решать задачи

Правильные многоугольники и окружности

Окружность «зажата» между многоугольниками

Отношение C:d одинаково для всех окружностей

π=3,14159265… — иррациональное число

Египет, Вавилон

Архимед

Цзу Чунчжи

Буква π

Колесо за один оборот проходит πd

Длина окружности точно и приближённо

Образец: R=6,5 см. Найдите C точно и с точностью до 0,1 см.

Сам

Радиус по длине и изменение длины

Образец: радиус окружности увеличили на 3 см. На сколько увеличилась её длина?

Сам

Радиусы R и r через сторону a

Вписанная и описанная окружности

Образец: правильный треугольник, сторона 6. Найдите длины описанной и вписанной окружностей.

Сам

Окружности и произвольный треугольник

Образец: катеты 6 и 8. Найдите длины описанной и вписанной окружностей.

Сам

Колёса, стрелки, планеты

Образец: диаметр колеса велосипеда 70 см. Сколько оборотов оно сделает на пути 1 км?

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) C=18,84, π≈3,14. Найдите R.

б) Шестиугольник со стороной 5. Длина вписанной окружности?

в) «Докажем», что C:d одинаково для всех окружностей.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число: C, делённая на π

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9U-066 · Число π и длина окружности

Отношение $C : d$ одинаково для всех окружностей

$π = 3, 14159265 \dots$ — иррациональное число

Буква $π$

Колесо за один оборот проходит $π d$

Образец: $R = 6, 5$ см. Найдите $C$ точно и с точностью до $0, 1$ см.

Образец: радиус окружности увеличили на $3$ см. На сколько увеличилась её длина?

Радиусы $R$ и $r$ через сторону $a$

Образец: правильный треугольник, сторона $6$ . Найдите длины описанной и вписанной окружностей.

Образец: катеты $6$ и $8$ . Найдите длины описанной и вписанной окружностей.

Образец: диаметр колеса велосипеда $70$ см. Сколько оборотов оно сделает на пути $1$ км?

а) $C = 18, 84$ , $π \approx 3, 14$ . Найдите $R$ .

б) Шестиугольник со стороной $5$ . Длина вписанной окружности?

в) «Докажем», что $C : d$ одинаково для всех окружностей.

Ответ — одно число: $C$ , делённая на $π$