Длина окружности и площадь круга · урок 1 из 16

Правильные многоугольники, вычисление их элементов

Геометрия · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R05 · GEOM9U-065

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Паспорт: R05 «Длина окружности и площадь круга» (16 ч), урок 1/16, единица R05.1. Тип урока — Н.
Теория (12,5): титул 0,5 · цели 0,5 · определение 2 · углы 1,5 · теорема об окружностях 3 · формулы 2 · сводная таблица 1,5 · построение 1,5.
Практика (32,5): разминка 2 · образцы → сам 2,5 + 3 + 3 + 2,5 + 2,5 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 3 · повышенный 2,5 · ОГЭ 3 · самостоятельная 4 · итог 1.
Если не успеваете: образец 5 (гайка) и повышенный уровень — в ДЗ; доказательство теоремы не сокращать.

R05.1

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Узнавать правильный многоугольник

по определению — и отличать от ромба и прямоугольника (ПР-16)

Находить углы

угол, центральный и внешний угол правильного $n$ -угольника — и $n$ по углу

Доказывать теорему

об описанной и вписанной окружностях правильного многоугольника

Вычислять элементы

$a$ , $R$ , $r$ , $S$ — по формулам с углом $\frac{18 0 ^{\circ}}{n}$ , в том числе в задачах ОГЭ (ПР-16)

0,5 мин · теория
ПР-16: «Владеть понятиями правильного многоугольника, длины окружности, длины дуги окружности и радианной меры угла, вычислять площадь круга и его частей». Сегодня — первая часть: правильный многоугольник и его элементы.
Виды деятельности ФРП R05: «Формулировать определение правильных многоугольников, находить их элементы».
Связь с темой строки: через периметры правильных многоугольников на следующем уроке введём длину окружности и число π.

повторение: 8–9 класс

Разминка · устно

Углы, треугольники, окружности

Сумма углов выпуклого шестиугольника? $72 0^{\circ}$
Угол равностороннего треугольника? $6 0^{\circ}$
Диагональ квадрата со стороной $5$ ? $52$
Высота равностороннего треугольника со стороной $2$ ? $3$

$sin 3 0^{\circ}$ , $cos 3 0^{\circ}$ , $tg 3 0^{\circ}$ ? $\frac{1}{2}$ ; $\frac{3}{2}$ ; $\frac{3}{3}$
Центр описанной окружности треугольника — точка пересечения… серединных перпендикуляров
Центр вписанной окружности — точка пересечения… биссектрис

2 мин · практика
Ответы: 1) 180° · (6 − 2) = 720°. 2) 60°. 3) 5√2. 4) h = √(4 − 1) = √3. 5) 1/2; √3/2; √3/3. 6) серединных перпендикуляров к сторонам. 7) биссектрис углов.
Всё это сегодня понадобится: сумма углов — для угла правильного n-угольника, 6–7 — для теоремы об окружностях, тригонометрия — для формул a = 2R sin(180°/n).
Вопрос сильным: у равностороннего треугольника центры описанной и вписанной окружностей совпадают — почему? (Биссектрисы совпадают с серединными перпендикулярами.)

R05.1

Определение

Какой многоугольник называют правильным

Правильный многоугольник — выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны.

Правильный треугольник — равносторонний; правильный четырёхугольник — квадрат. Одного условия мало!

2 мин · теория
Чёрточки — равные стороны, одинаковые дуги — равные углы. Ромб: стороны равны, углы 60° и 120° — не правильный. Прямоугольник: углы по 90°, стороны разные — не правильный.
Вопрос: бывает ли треугольник со всеми равными углами, но разными сторонами? (Нет: равные углы ⇒ равные стороны. Поэтому для треугольника хватает одного условия, а с n = 4 — уже нет.)
Почему «выпуклый»: у пятиконечной звезды-ломаной все стороны и углы при вершинах равны, но это не выпуклый многоугольник — правильным его в школьном курсе не считают.
Обозначение: правильный n-угольник A₁A₂…Aₙ; сторона a (иногда aₙ), угол αₙ.

R05.1

Свойство · углы правильного многоугольника

Угол, центральный угол, внешний угол

18 0^{\circ} (n - 2)

сумма углов выпуклого

n

-угольника

α_{n} = \frac{18 0 ^{\circ} ( n - 2 )}{n}

все

n

углов равны

φ = \frac{36 0 ^{\circ}}{n}

центральный угол:
полный угол на

n

частей

β = 18 0^{\circ} - α_{n} = \frac{36 0 ^{\circ}}{n}

внешний угол

Пятиугольник: $α_{5} = 10 8^{\circ}$ , $φ = β = 7 2^{\circ}$

R05.1

Образец → сам · угол по числу сторон и обратно

Найдите угол правильного многоугольника

Образец: найдите угол правильного двенадцатиугольника.

$α_{12} = \frac{18 0 ^{\circ} \cdot ( 12 - 2 )}{12} = 15 0^{\circ}$

Проверка: $β = \frac{36 0 ^{\circ}}{12} = 3 0^{\circ}$ , $18 0^{\circ} - 3 0^{\circ} = 15 0^{\circ}$

Обратно: $α = 15 0^{\circ} \Rightarrow β = 3 0^{\circ} \Rightarrow n = 36 0^{\circ} : 3 0^{\circ} = 12$

Сам

Найдите угол правильного десятиугольника. $14 4^{\circ}$
Угол правильного многоугольника равен $14 0^{\circ}$ . Сколько у него сторон? $9$
Существует ли правильный многоугольник с углом $10 0^{\circ}$ ? нет: $360 : 80 = 4, 5$

R05.1

Теорема · доказательство

Около правильного многоугольника можно описать окружность, в него — вписать

1Биссектрисы

∠ A_{1}

и

∠ A_{2}

пересекаются в

O

:

O A_{1} = O A_{2}

∠ O A_{1} A_{2} = ∠ O A_{2} A_{1} = \frac{α}{2}

—

△ O A_{1} A_{2}

равнобедренный

2

△ O A_{2} A_{3}

=

△ O A_{2} A_{1}

\Rightarrow O A_{3} = O A_{1}

I признак:

A_{2} A_{3} = A_{2} A_{1}

,

O A_{2}

— общая, углы при

A_{2}

по

\frac{α}{2}

3

∠ O A_{3} A_{2} = \frac{α}{2}

—

O A_{3}

тоже биссектриса; так же дальше:

O A_{1} = O A_{2} = \dots = O A_{n} = R

окружность

(O; R)

— описанная

4Треугольники

O A_{1} A_{2}, O A_{2} A_{3}, \dots

равны ⇒ равны их высоты:

O H_{1} = O H_{2} = \dots = r

окружность

(O; r)

касается всех сторон — вписанная;

O

— центр многоугольника

3 мин · теория
Каждый шаг — вопрос классу «почему?». Цвета: розовый △OA₁A₂, фиолетовый △OA₂A₃; одна дуга — половины угла при A₁ и A₂, две дуги — при A₂ и A₃. Последний щелчок рисует обе окружности на чертеже.
Шаг 3 подробно: из равенства треугольников ∠OA₃A₂ = ∠OA₁A₂ = α/2, значит OA₃ делит ∠A₃ пополам; повторяя рассуждение для △OA₃A₄ и т. д., получаем, что все отрезки OAₖ равны.
Шаг 4: стороны касаются окружности (O; r), так как радиус OHₖ перпендикулярен стороне. Следствия: центр описанной и вписанной окружностей совпадает; окружности единственны (как у треугольника).
Ошибка: «описанная окружность есть у любого многоугольника с равными сторонами» — у ромба нет (урок о вписанных четырёхугольниках).

R05.1

Вывод формул · сторона и радиусы

Всё решает прямоугольный треугольник $O H A_{2}$

$∠ H O A_{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{36 0 ^{\circ}}{n} = \frac{18 0 ^{\circ}}{n}$ , $H A_{2} = \frac{a}{2}$

a = 2 R sin \frac{18 0 ^{\circ}}{n}

противолежащий
катет

r = R cos \frac{18 0 ^{\circ}}{n}

прилежащий катет

a = 2 r tg \frac{18 0 ^{\circ}}{n}

через тангенс

S = \frac{1}{2} P r

n

треугольников
с высотой

r

2 мин · теория
OH — высота, медиана и биссектриса равнобедренного △OA₁A₂, поэтому H — середина стороны и ∠HOA₂ — половина центрального угла 360°/n.
Из прямоугольного △OHA₂: sin = противолежащий / гипотенуза ⇒ a/2 = R sin(180°/n); cos ⇒ r = R cos(180°/n); tg ⇒ a/2 = r tg(180°/n).
Площадь: многоугольник разбит на n равных треугольников с основанием a и высотой r: S = n · ½ a r = ½ P r. (Также S = ½ n R² sin(360°/n).)
Для углов 30°, 45°, 60° значения табличные — следующий слайд; для остальных n — калькулятор (повышенный уровень, задача 3 — через теорему косинусов).

R05.1

Сводка · треугольник, квадрат, шестиугольник

Формулы для $n = 3, 4, 6$ — через сторону $a$

	$n = 3$	$n = 4$	$n = 6$
$\frac{18 0 ^{\circ}}{n}$ · $α_{n}$	$6 0^{\circ}$ · $6 0^{\circ}$	$4 5^{\circ}$ · $9 0^{\circ}$	$3 0^{\circ}$ · $12 0^{\circ}$
$R$	$\frac{a 3}{3}$	$\frac{a 2}{2}$	$a$
$r$	$\frac{a 3}{6}$	$\frac{a}{2}$	$\frac{a 3}{2}$
$a$ через $R$	$R 3$	$R 2$	$R$
$S$	$\frac{a ^{2} 3}{4}$	$a^{2}$	$\frac{3 a ^{2} 3}{2}$

Треугольник:

R = 2 r

· квадрат:

R = r 2

· шестиугольник:

a = R

R05.1

Образец → сам · по одному элементу найти остальные

Сторона, $R$ и $r$ правильного многоугольника

Образец: сторона правильного треугольника $6$ . Найдите $R$ и $r$ .

$R = \frac{a}{2 sin 6 0 ^{\circ}} = \frac{6}{3} = 23$ из формулы стороны

$r = R cos 6 0^{\circ} = 3$ прилежащий катет

Проверка: $R = 2 r$ центр делит медиану $2 : 1$

Сам

Квадрат вписан в окружность радиуса $42$ . Найдите сторону и $r$ . $a = 8$ , $r = 4$
Правильный шестиугольник: $r = 53$ . Найдите $a$ и $R$ . $a = R = 10$
Правильный треугольник: $r = 4$ . Найдите $a$ и $R$ . $a = 83$ , $R = 8$

R05.1

Образец → сам · два многоугольника и одна окружность

Окружность — мостик между фигурами

Образец: квадрат со стороной $8$ описан около окружности. Найдите сторону правильного треугольника, вписанного в неё.

$r_{□} = \frac{8}{2} = 4$ для квадрата окружность — вписанная

$R_{△} = 4$ для треугольника та же окружность — описанная

$a_{△} = R 3 = 43$ $a = 2 R sin 6 0^{\circ}$

Сам

Правильный треугольник со стороной $12$ вписан в окружность. Найдите сторону квадрата, вписанного в неё. $46$
В окружность вписан правильный шестиугольник со стороной $6$ . Найдите сторону правильного треугольника, описанного около неё. $123$
Во сколько раз сторона квадрата, описанного около окружности, больше стороны вписанного? в $2$ раз

R05.1

Построение · циркуль и линейка

Как построить правильный шестиугольник, треугольник, квадрат

1Окружность

(O; R)

, точка

A_{1}

на нейцентр будущего многоугольника

2Тем же раствором циркуля откладываем хорды

A_{1} A_{2} = A_{2} A_{3} = \dots = R

сторона шестиугольника равна

R

— 6 шагов замыкают круг

3Вершины через одну — правильный треугольник

A_{1} A_{3} A_{5}

центральный угол

12 0^{\circ}

4Два перпендикулярных диаметра — квадрат; удвоение

n

— серединными перпендикулярами

4 \to 8 \to 16

,

6 \to 12 \to 24

1,5 мин · теория
Почему хорда R даёт шестиугольник: △OA₁A₂ с OA₁ = OA₂ = A₁A₂ = R равносторонний ⇒ центральный угол 60° ⇒ 360 : 60 = 6 шагов.
Удвоение: серединный перпендикуляр к стороне AₖAₖ₊₁ проходит через O и делит дугу пополам — получаем новую вершину, n → 2n.
Дома (по желанию): построить правильный восьмиугольник. Исторически: Гаусс доказал, что циркулем и линейкой можно построить правильный 17-угольник, а 7-угольник и 9-угольник — нельзя.

R05.1

Образец → сам · задача на доказательство

Правильный шестиугольник: диагонали и углы

Образец: $A BC D EF$ — правильный шестиугольник. Докажите, что $A D = 2 A B$ и $∠ A C D = 9 0^{\circ}$ .

$∠ A OB = 6 0^{\circ}$ , $O A = OB$ ⇒ $A B = R$ $△ A OB$ равносторонний

$∠ A O D = 18 0^{\circ}$ ⇒ $A D = 2 R = 2 A B$ $A D$ — диаметр

$∠ A C D$ опирается на диаметр ⇒ $∠ A C D = 9 0^{\circ}$

Сам

Докажите, что $△ A CE$ — правильный. $△ A BC = △ C D E = △ EF A$ (I) ⇒ $A C = CE = E A$
$A B = a$ . Найдите $A C$ . $a 3$
Докажите, что $BE ∥ C D$ . $OBC D$ — ромб ⇒ $OB ∥ C D$

2,5 мин · практика
Образец: план → обоснование каждого шага. Шаг 3 опирается на теорему о вписанном угле, опирающемся на диаметр (8 класс): все вершины лежат на описанной окружности.
1) AB = BC = CD = DE = EF = FA, ∠B = ∠D = ∠F = 120° ⇒ треугольники равны по двум сторонам и углу между ними ⇒ AC = CE = EA. (Другой способ: хорды, стягивающие дуги по 120°.)
2) Из прямоугольного △ACD: AC² = AD² − CD² = 4a² − a² = 3a², AC = a√3. Или по теореме косинусов в △ABC: AC² = a² + a² − 2a² cos 120° = 3a².
3) OB = BC = CD = DO = R (треугольники OBC и OCD равносторонние) ⇒ OBCD — ромб ⇒ OB ∥ CD, а O лежит на BE ⇒ BE ∥ CD.

R05.1 · из жизни

Образец → сам · задача из жизни

Гайки, плитка и брёвна

Образец: гайка «под ключ 17 мм» — это расстояние между параллельными гранями. Найдите сторону $a$ и размер «по углам» $2 R$ .

$2 r = 17 \Rightarrow r = 8, 5$ мм грани касаются вписанной окружности

$a = 2 r tg 3 0^{\circ} = \frac{17}{3} \approx 9, 8$ мм

$2 R = 2 a \approx 19, 6$ мм у шестиугольника $R = a$

Сам

Из бревна диаметром $30$ см вытёсывают брус квадратного сечения наибольшего размера. Сторона сечения? $152 \approx 21, 2$ см
Плитка — правильный шестиугольник со стороной $10$ см. Расстояние между противоположными сторонами? $103 \approx 17, 3$ см
Подойдёт ли ключ на $22$ мм к гайке со стороной $13$ мм? нет: $133 \approx 22, 5$ мм

R05.1

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
Ромб — правильный: все стороны равны	нужны ещё равные углы; правильный четырёхугольник — только квадрат	ромб с углом $\neq = 9 0^{\circ}$ — не правильный
Угол правильного $n$ -угольника $\frac{36 0 ^{\circ}}{n}$	это центральный (и внешний) угол, а не угол многоугольника	$α_{n} = \frac{18 0 ^{\circ} ( n - 2 )}{n}$
Треугольник: $R = \frac{a 3}{6}$	перепутаны $R$ и $r$ : описанная окружность больше вписанной	$R = \frac{a 3}{3} = 2 r$
$a = R sin \frac{18 0 ^{\circ}}{n}$	синус даёт половину стороны: $H A_{2} = \frac{a}{2}$	$a = 2 R sin \frac{18 0 ^{\circ}}{n}$

R05.1

Найди ошибку

Решение ученика: две ошибки

Задача. Сторона правильного шестиугольника равна $8$ . Найдите его угол и радиус вписанной окружности.

1) $α = \frac{36 0 ^{\circ}}{6} = 6 0^{\circ}$

2) $R = a = 8$

3) $r = R sin 3 0^{\circ} = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$

4)Ответ: $6 0^{\circ}$ ; $r = 4$ .

Шаг 1: это центральный угол. Угол

α_{6} = 12 0^{\circ}

.

Шаг 3:

r

— прилежащий катет:

r = R cos 3 0^{\circ} = 43

.

Верно:

12 0^{\circ}

;

r = 43

. Шаг 2 — верный.

R05.1

Задания с самопроверкой · база

Углы и радиусы

БУгол правильного $15$ -угольника $15 6^{\circ}$
БВнешний угол $3 0^{\circ}$ . Число сторон? $12$
БКвадрат, $a = 6$ . Найдите $R$ . $32$

БПравильный треугольник, $R = 10$ . Найдите $r$ . $5$
БШестиугольник, $r = 33$ . Найдите $a$ . $6$
БПравильный треугольник, $a = 9$ . Найдите $r$ . $\frac{3 3}{2}$

R05.1

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Обратные задачи и любой $n$

повыш.Сторона правильного многоугольника равна радиусу описанной окружности. Найдите $n$ . $6$
повыш.Найдите отношение $R : r$ для правильного шестиугольника. $\frac{2 3}{3}$
повыш.Правильный восьмиугольник вписан в окружность радиуса $R$ . Найдите его сторону. $R 2 - 2$
повыш.Площадь правильного шестиугольника со стороной $4$ (через $S = \frac{1}{2} P r$ ). $243$

R05.1 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 16 и 19

Ответ — одно число

ОГЭ 16Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен $6$ . Найдите высоту этого треугольника. $18$
ОГЭ 16Сторона правильного треугольника равна $103$ . Найдите радиус описанной окружности. $10$
ОГЭ 16Найдите радиус окружности, описанной около квадрата со стороной $42$ . $4$

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Каждый угол правильного шестиугольника равен $12 0^{\circ}$ .
Около любого ромба можно описать окружность.
Радиус вписанной в правильный треугольник окружности вдвое меньше радиуса описанной.

Ответ: 13

R05.1

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Угол правильного $20$ -угольника. $16 2^{\circ}$
Угол правильного многоугольника $13 5^{\circ}$ . Число сторон? $8$
Квадрат, $r = 7$ . Найдите $R$ . $72$
Правильный треугольник, $a = 63$ . Найдите $R$ и $r$ . $6$ и $3$

Вариант 2

Угол правильного $18$ -угольника. $16 0^{\circ}$
Угол правильного многоугольника $14 4^{\circ}$ . Число сторон? $10$
Квадрат вписан в окружность радиуса $6$ . Найдите сторону. $62$
Правильный шестиугольник, $a = 4$ . Найдите $R$ и $r$ . $4$ и $23$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Почему ромб — не правильный многоугольник?
Как найти $n$ , зная угол?
Чему равна сторона шестиугольника, вписанного в окружность радиуса $R$ ?

Домашнее задание

Найдите угол правильного $24$ -угольника.
Правильный треугольник, $r = 23$ . Найдите $a$ и $R$ .
* Докажите: в правильном пятиугольнике каждая диагональ параллельна одной из сторон.
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_adv_mnogougolniki.htm

1 мин · практика (рефлексия, запись ДЗ)
Ответы ДЗ: 1) 180 · 22/24 = 165°. 2) R = 2r = 4√3, a = R√3 = 12.
3) Например, BE ∥ CD в пятиугольнике ABCDE: △ABE равнобедренный, ∠A = 108° ⇒ ∠ABE = 36°, ∠EBC = 108° − 36° = 72°; ∠BCD = 108°; 72° + 108° = 180° — односторонние углы при прямых BE, CD и секущей BC ⇒ BE ∥ CD. Для остальных диагоналей — так же (поворот).
Следующий урок — число π и длина окружности (GEOM9U-066): периметры вписанных правильных многоугольников при удвоении n приближаются к длине окружности.

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9U-065 · Правильные многоугольники, вычисление их элементов

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R05 «Длина окружности и площадь круга», 16 ч · урок 1/16 · тип Н
Единицы → слайды	R05.1 «Правильные многоугольники, вычисление их элементов» → 2, 4–21 · повторение 8 класса (сумма углов, окружности треугольника, тригонометрия) → 3
Результаты	ПР-16 (понятие правильного многоугольника, вычисление его элементов) → 2, 4–21 · ПР-17 (практические задачи) → 14
Вне урока	число π и длина окружности — GEOM9U-066; длина дуги — GEOM9U-067; радианная мера — R05.4; площадь круга, сектора, сегмента — R05.5
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Правильные многоугольники, вычисление их элементов

Сегодня вы научитесь

Узнавать правильный многоугольник

Находить углы

Доказывать теорему

Вычислять элементы

Углы, треугольники, окружности

Какой многоугольник называют правильным

Угол, центральный угол, внешний угол

Найдите угол правильного многоугольника

Образец: найдите угол правильного двенадцатиугольника.

Сам

Около правильного многоугольника можно описать окружность, в него — вписать

Всё решает прямоугольный треугольник OHA2​

Формулы для n=3, 4, 6 — через сторону a

Сторона, R и r правильного многоугольника

Образец: сторона правильного треугольника 6. Найдите R и r.

Сам

Окружность — мостик между фигурами

Образец: квадрат со стороной 8 описан около окружности. Найдите сторону правильного треугольника, вписанного в неё.

Сам

Как построить правильный шестиугольник, треугольник, квадрат

Правильный шестиугольник: диагонали и углы

Образец: ABCDEF — правильный шестиугольник. Докажите, что AD=2AB и ∠ACD=90∘.

Сам

Гайки, плитка и брёвна

Образец: гайка «под ключ 17 мм» — это расстояние между параллельными гранями. Найдите сторону a и размер «по углам» 2R.

Сам

Неверно → почему → верно

Решение ученика: две ошибки

Углы и радиусы

Обратные задачи и любой n

Ответ — одно число

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9U-065 · Правильные многоугольники, вычисление их элементов

Всё решает прямоугольный треугольник $O H A_{2}$

Формулы для $n = 3, 4, 6$ — через сторону $a$

Сторона, $R$ и $r$ правильного многоугольника

Образец: сторона правильного треугольника $6$ . Найдите $R$ и $r$ .

Образец: квадрат со стороной $8$ описан около окружности. Найдите сторону правильного треугольника, вписанного в неё.

Образец: $A BC D EF$ — правильный шестиугольник. Докажите, что $A D = 2 A B$ и $∠ A C D = 9 0^{\circ}$ .

Образец: гайка «под ключ 17 мм» — это расстояние между параллельными гранями. Найдите сторону $a$ и размер «по углам» $2 R$ .

Обратные задачи и любой $n$