Векторы · урок 20 из 20

Векторы: обобщение и систематизация

Геометрия · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R04 · GEOM9U-064 · единицы R04.1–R04.12

1 мин · теория (орг. момент, тема, план урока)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R04 «Векторы» (20 ч), урок 20/20, тип О (обобщение и систематизация), единицы R04.1–R04.12.
Теория (12): титул 1 · цели 1 · сводка «действия» 2,5 · сводка «координаты» 2,5 · сводка «базис и силы» 2,5 · сводка «скалярное произведение» 2,5.
Практика (33): разминка 2,5 · образцы → сам 2,5 × 4 + 3 = 13 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2,5 · повышенный 2,5 · ОГЭ 2,5 · задача из жизни 1,5 · самостоятельная 4 · итог 1.
Сводки — не новый материал: ученики называют правила сами, учитель открывает карточки по щелчку.
Если не успеваете: третье задание «сам» в образцах 3–5 — в ДЗ; самостоятельную не сокращать (это контроль по всей теме).

R04.1–R04.12

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Действовать с векторами

складывать, вычитать, умножать на число — на чертеже и в координатах (ПР-12)

Раскладывать по базису

находить коэффициенты разложения, раскладывать силу на составляющие (ПР-13)

Применять скалярное произведение

находить углы, длины, проекции, проверять перпендикулярность (ПР-14)

Решать задачи векторами

доказывать геометрические факты, считать работу силы и центр масс (ПР-15)

1 мин · теория
ПР-12: «Владеть понятием вектора… правилами треугольника и параллелограмма… координатами вектора». ПР-13: «Иметь представление о базисе… Раскладывать векторы сил с помощью проецирования». ПР-14: «…скалярного произведения… для нахождения длин и углов». ПР-15: «Использовать скалярное произведение векторов в алгебраических и физических задачах».
Урок завершает строку R04; следующий раздел — правильные многоугольники (R05).

повторение: уроки 45–63

Разминка · устно

Восемь коротких вопросов

$A B + BC = ?$ $A C$
$A B - A C = ?$ $CB$
$a {2; - 3}$ . Координаты $- 2 a$ ${- 4; 6}$
$∣ a ∣$ при $a {6; 8}$ $10$

$A (1; 2)$ , $B (4; - 1)$ . Координаты $A B$ ${3; - 3}$
$a ⊥ b$ . Чему равно $a \cdot b$ ? $0$
$a {1; 2}$ , $b {3; - 1}$ . $a \cdot b = ?$ $1$
${2; 4}$ и ${1; 2}$ коллинеарны? да, первый $= 2 \cdot$ второй

R04.1–R04.3

Сводка · действия с векторами

Сумма, разность, умножение на число

Сумма

A B + BC = A C

правило треугольника; на общем начале — параллелограмма

Разность

O A - OB = B A

вторая диагональ параллелограмма

Умножение на число

$∣ k a ∣ = ∣ k ∣ \cdot ∣ a ∣$ ; при $k > 0$ — сонаправлен, при $k < 0$ — противоположно

$b ∥ a$ $\Leftrightarrow$ $b = k a$ $(a \neq = 0)$

R04.4 · R04.5

Сводка · координаты вектора

Всё, что умеем делать в координатах

Что найти	Формула
вектор $A B$	${x_{2} - x_{1}; y_{2} - y_{1}}$
длина $∣ a ∣$	$x^{2} + y^{2}$
$a \pm b$ , $k a$	${x_{1} \pm x_{2}; y_{1} \pm y_{2}}$ , ${k x; k y}$
коллинеарность	$x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} = 0$
середина $A B$	$(\frac{x _{1} + x _{2}}{2}; \frac{y _{1} + y _{2}}{2})$

R04.6–R04.8

Сводка · базис, разложение, силы

Любой вектор — через два неколлинеарных

Базис и разложение

p = x a + y b

$a ∦ b$ — пара $(x; y)$ единственна

Сила по осям

F_{x} = F cos α, F_{y} = F sin α

Равновесие и центр масс

$F_{1} + F_{2} + \dots = 0$ ; $r = \frac{m _{1} r _{1} + m _{2} r _{2} + \dots}{m _{1} + m _{2} + \dots}$

2,5 мин · теория
Чертёж: через конец p проводим прямые, параллельные a и b; получаем параллелограмм со сторонами xa и yb (здесь x = 2, y = 1,6).
Почему единственно: если xa + yb = x′a + y′b, то (x − x′)a = (y′ − y)b, а неколлинеарные векторы так связаны лишь при нулевых коэффициентах.
Силы: в прямоугольном базисе (вдоль и поперёк движения) коэффициенты — проекции F cos α и F sin α. Центр масс — «взвешенная середина»: для двух равных масс это середина отрезка.

R04.9–R04.12

Сводка · скалярное произведение

Скалярное произведение: углы, длины, проекции

Определение и координаты

a \cdot b = ∣ a ∣∣ b ∣ cos φ = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}

Угол и перпендикулярность

cos φ = \frac{a \cdot b}{∣ a ∣∣ b ∣}

$a ⊥ b \Leftrightarrow a \cdot b = 0$

Длина, проекция, работа

$a^{2} = ∣ a ∣^{2}$ ; $пр_{a} b = \frac{a \cdot b}{∣ a ∣}$ ; $A = F \cdot s$

R04.2 · R04.3

Образец → сам · выражение векторов

$A BC D$ — параллелограмм, $A B = a$ , $A D = b$

Образец: $M$ — середина $BC$ , $CN : N D = 1 : 2$ . Выразите $A M$ и $MN$ .

$A M = a + \frac{1}{2} b$ $BM = \frac{1}{2} A D$

$A N = b + \frac{2}{3} a$ $D N = \frac{2}{3} D C$

$MN = A N - A M = - \frac{1}{3} a + \frac{1}{2} b$

Сам

Выразите $B D$ $b - a$
Выразите $D M$ $a - \frac{1}{2} b$
Выразите $NB$ $\frac{1}{3} a - b$

R04.4 · R04.5

Образец → сам · координаты и вид фигуры

Четвёртая вершина параллелограмма

Образец: $A (- 1; 2)$ , $B (3; 5)$ , $C (6; 1)$ . Найдите $D$ , если $A BC D$ — параллелограмм. Каков его вид?

$A D = BC = {3; - 4}$ ⇒ $D (2; - 2)$

$A B {4; 3}$ : $∣ A B ∣ = ∣ BC ∣ = 5$ ромб

$A B \cdot BC = 12 - 12 = 0$ ⇒ квадрат

Сам

$K L MN$ — параллелограмм, $K (1; 1)$ , $L (3; 4)$ , $M (6; 2)$ . Найдите $N$ . $N (4; - 1)$
При каком $x$ векторы ${2; - 3}$ и ${x; 6}$ коллинеарны? $x = - 4$
$a {1; 2}$ , $b {- 1; 3}$ . Найдите $∣2 a - b ∣$ . $10$

R04.7 · R04.8

Образец → сам · разложение по базису

Коэффициенты разложения — из системы

Образец: разложите $p {5; 3}$ по базису $a {1; 2}$ , $b {3; - 1}$ .

$x a + y b = p$ : ${x + 3 y = 5 2 x - y = 3$

$y = 2 x - 3$ , $7 x - 9 = 5$ ⇒ $x = 2$ , $y = 1$

$p = 2 a + b$ сверка по клеткам

Сам

Разложите $c {- 1; 5}$ по $a$ , $b$ $c = 2 a - b$
Разложите $d {7; 0}$ по $a$ , $b$ $d = a + 2 b$
Образуют ли базис ${2; - 4}$ и ${- 3; 6}$ ? нет, коллинеарны

R04.9 · R04.11

Образец → сам · угол через скалярное произведение

Угол треугольника по координатам вершин

Образец: $A (1; 1)$ , $B (4; 2)$ , $C (3; 5)$ . Найдите $∠ A$ треугольника $A BC$ .

$A B {3; 1}$ , $A C {2; 4}$ оба — из вершины $A$

$A B \cdot A C = 6 + 4 = 10$

$cos A = \frac{10}{10 \cdot 20} = \frac{1}{2}$ ⇒ $∠ A = 4 5^{\circ}$

Сам

При каком $m$ векторы ${2; m}$ и ${3; - 6}$ перпендикулярны? $m = 1$
Угол между $a {1; 1}$ и $b {- 2; 0}$ $13 5^{\circ}$
Проекция $a {4; 2}$ на направление $b {3; 4}$ $4$

R04.11 · R04.12

Образец → сам · длина через скалярный квадрат

Раскрываем скобки: $∣ v ∣^{2} = v \cdot v$

Образец: $∣ a ∣ = 3$ , $∣ b ∣ = 2$ , угол между ними $6 0^{\circ}$ . Найдите $∣ a + 2 b ∣$ .

$a \cdot b = 3 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 3$ определение

$∣ a + 2 b ∣^{2} = a^{2} + 4 a \cdot b + 4 b^{2}$ дистрибутивность

$= 9 + 12 + 16 = 37$ ⇒ $∣ a + 2 b ∣ = 37$

Сам

Для тех же $a$ , $b$ найдите $∣ a - b ∣$ $7$
При каком $k$ вектор $a + k b$ перпендикулярен $b$ ? $k = - \frac{3}{4}$
$△ A BC$ : $A B = 4$ , $A C = 6$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите медиану $A M$ . $19$

R04.1–R04.11

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$A B + CB = A C$	в правиле треугольника конец первого — начало второго	$A B + BC = A C$
$A (2; 5)$ , $B (4; 1)$ : $A B {- 2; 4}$	из координат конца вычитают координаты начала	$A B {2; - 4}$
$∣ a + b ∣ = ∣ a ∣ + ∣ b ∣$	верно только для сонаправленных векторов	$∣ a + b ∣^{2} = a^{2} + 2 a \cdot b + b^{2}$
$a \cdot b = 0$ ⇒ $a = 0$ или $b = 0$	ненулевые векторы тоже дают $0$	$a ⊥ b$ (или один из них нулевой)

R04.9 · R04.11

Найди ошибку

Решение ученика: две ошибки

Задача. $A (5; 2)$ , $B (2; 1)$ , $C (3; 3)$ . Найдите угол $B$ треугольника $A BC$ .

1) $A B {- 3; - 1}$ , $BC {1; 2}$

2) $A B \cdot BC = - 3 - 2 = - 5$

3) $∣ A B ∣ = 10$ , $∣ BC ∣ = 1 + 2 = 3$

4) $cos B = \frac{- 5}{3 10} \approx - 0, 53$ , $∠ B \approx 12 2^{\circ}$

Шаг 1: нужен

B A {3; 1}

— из вершины

B

. Шаг 3:

∣ BC ∣ = 5

.

Верно:

cos B = \frac{5}{10 \cdot 5} = \frac{1}{2}

,

∠ B = 4 5^{\circ}

.

2 мин · практика
Минута в парах. Ошибка 1: угол B — между векторами BA и BC, выходящими из B; AB и BC дают смежный угол (180° − B). Ошибка 2: длина — корень из суммы квадратов: √(1 + 4) = √5.
Верно: BA · BC = 3 · 1 + 1 · 2 = 5; √10 · √5 = √50 = 5√2 ⇒ cos B = 1/√2, B = 45°. Проверка: CA · CB = {2; −1} · {−1; −2} = 0 ⇒ C = 90°, треугольник прямоугольный равнобедренный (CA = CB = √5) — значит, B = 45° ✓.
Обсудить: тупой угол 122° противоречит чертежу — прикидка по рисунку ловит ошибку в направлении вектора.

R04.4–R04.9

Задания с самопроверкой · база

По одному заданию на каждую формулу

Б $a {3; - 2}$ , $b {- 1; 4}$ . Найдите $a + 2 b$ . ${1; 6}$
БДлина $c {- 5; 12}$ $13$
Б $A (2; - 3)$ , $B (- 1; 1)$ . Найдите $∣ A B ∣$ . $5$

Б ${4; - 6}$ и ${- 2; y}$ коллинеарны. $y = ?$ $3$
Б ${2; 5} \cdot {3; - 1} = ?$ $1$
Б $∣ a ∣ = 4$ , $∣ b ∣ = 5$ , угол $12 0^{\circ}$ . $a \cdot b = ?$ $- 10$

R04.6–R04.12

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Медианы, диагонали, угол, центр масс

П $M$ — точка пересечения медиан $△ A BC$ , $A B = b$ , $A C = c$ . Выразите $A M$ . $\frac{1}{3} (b + c)$
ППараллелограмм построен на $a {3; 1}$ и $b {1; 2}$ . Найдите косинус угла между его диагоналями. $\frac{5}{5}$
П $∣ a ∣ = ∣ b ∣ = 1$ , $∣ a + b ∣ = 3$ . Найдите угол между $a$ и $b$ . $6 0^{\circ}$
ПГрузы $1$ кг, $2$ кг и $3$ кг — в точках $(0; 0)$ , $(6; 0)$ , $(0; 6)$ . Найдите центр масс. $(2; 3)$

R04.5 · R04.2 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 18 и 24

Векторы решают задачи на клетках и доказательства

18. Клетка $1 \times 1$ . Найдите длину медианы $A M$ треугольника $A BC$ .

$A B {6; 1}$ , $A C {2; 5}$ считаем по клеткам

$A M = \frac{1}{2} (A B + A C) = {4; 3}$

$A M = 16 + 9 = 5$

24. Докажите: середины сторон четырёхугольника $A BC D$ — вершины параллелограмма.

$K L = \frac{1}{2} A B + \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} A C$ правило треугольника

$NM = \frac{1}{2} A D + \frac{1}{2} D C = \frac{1}{2} A C$

$K L = NM$ ⇒ $K L MN$ — параллелограмм

R04.6 · R04.12

Задача из жизни · санки и работа силы

Тянем санки под углом к горизонту

Санки тянут силой $F = 50$ Н под углом $3 0^{\circ}$ к горизонту и перемещают на $20$ м. Найдите составляющие силы и работу.

$F_{x} = 50 cos 3 0^{\circ} = 253 \approx 43, 3$ Н

$F_{y} = 50 sin 3 0^{\circ} = 25$ Н

$A = F \cdot s = 50 \cdot 20 \cdot cos 3 0^{\circ} = 5003 \approx 866$ Дж

Сам: под каким углом тянуть, чтобы работа была вдвое меньше, чем при горизонтальной тяге?

6 0^{\circ}

R04.4–R04.11

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$a {2; - 1}$ , $b {- 3; 4}$ . Найдите $3 a - b$ . ${9; - 7}$
$A (1; 2)$ , $B (4; 6)$ . Найдите $∣ A B ∣$ . $5$
Разложите $p {5; 1}$ по $a {1; 1}$ , $b {1; - 1}$ . $3 a + 2 b$
Угол между ${1; 2}$ и ${3; 1}$ $4 5^{\circ}$

Вариант 2

$a {- 1; 3}$ , $b {2; - 2}$ . Найдите $2 a + b$ . ${0; 4}$
$A (- 2; 1)$ , $B (4; 9)$ . Найдите $∣ A B ∣$ . $10$
Разложите $p {1; 7}$ по $a {1; 1}$ , $b {1; - 1}$ . $4 a - 3 b$
Угол между ${1; 2}$ и ${- 3; - 1}$ $13 5^{\circ}$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как по координатам узнать, что векторы коллинеарны? перпендикулярны?
Почему разложение по базису единственно?
Как найти длину $a + b$ , зная $∣ a ∣$ , $∣ b ∣$ и угол?

Домашнее задание

$A BC D$ — параллелограмм, $O$ — точка пересечения диагоналей. Выразите $OB$ через $A B = a$ , $A D = b$ .
Найдите углы треугольника $A (0; 0)$ , $B (3; 1)$ , $C (1; 2)$ .
$∣ a ∣ = 2$ , $∣ b ∣ = 3$ , $∣ a - b ∣ = 7$ . Найдите угол между $a$ и $b$ .
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_adv_vektory-koordinaty.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9U-064 · Обобщение и систематизация по теме «Векторы»

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R04 «Векторы», 20 ч · урок 20/20 · тип О (обобщение и систематизация)
Единицы → слайды	R04.1–R04.3 → 3, 4, 8, 13 · R04.4, R04.5 → 3, 5, 9, 15, 17, 19 · R04.6 → 6, 16, 18 · R04.7, R04.8 → 6, 10, 19 · R04.9–R04.12 → 7, 11, 12, 14, 16, 18, 19
Результаты	ПР-12 → 2, 4, 5, 8, 9, 13, 15, 17 · ПР-13 → 2, 6, 10, 18 · ПР-14 → 2, 7, 11, 12, 14, 16 · ПР-15 → 2, 16, 18
Вне урока	правильные многоугольники — GEOM9U-065 (R05.1)
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending