Векторы · урок 19 из 20 · практикум

Практикум: понятие о базисе на плоскости

Геометрия · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R04 · GEOM9U-063

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R04 «Векторы» (20 ч), урок 19/20, единица R04.7 «Понятие о базисе (на плоскости)». Тип урока — П (практикум после урока GEOM9U-051).
Теория (12): титул 0,5 · цели 0,5 · сводка 2,5 · косая сетка 2,5 · метод единственности 2 · доказательство учителя 4.
Практика (33): разминка 2 · образцы → сам 2,5 + 2,5 + 2,5 + 2,5 + 3 · ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2 · повышенный 2,5 · ОГЭ 2 · из жизни 2 · самостоятельная 5 · итог 1.
Новое по сравнению с уроком 051: базис из комбинаций, разложение в правильном шестиугольнике, отношение отрезков через единственность разложения. Если не успеваете: образец 5 — в ДЗ, повышенный уровень — выборочно.

R04.7

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Проверять базис

по координатам и по коэффициентам комбинаций (ПР-13)

Раскладывать по базису

построением на клетках, системой уравнений, в фигуре

Применять единственность

приравнивать коэффициенты и находить отношения отрезков

Решать задачи

разложение силы по двум тросам, задания ОГЭ 18, 19, 23

повторение R04.2–R04.7

Разминка · устно

$A BC D$ — параллелограмм, $a = A B$ , $b = A D$

Выразите $A C$ $a + b$
Выразите $B D$ $b - a$
Выразите $A O$ $\frac{1}{2} a + \frac{1}{2} b$
Выразите $CB$ $- b$
Координаты $3 a - 2 b$ в базисе $(a, b)$ ? $(3; - 2)$
Образуют ли базис $(3; - 6)$ и $(- 1; 2)$ ? нет
Образуют ли базис $a$ и $A C$ ? да

R04.7

Сводка · базис и разложение

Понятие → запись → как проверить или найти

Понятие	Запись	Как проверить / найти
Базис	$a {x_{1}; y_{1}}$ , $b {x_{2}; y_{2}}$ не коллинеарны	$x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} \neq = 0$
Разложение	$p = x a + y b$	существует и единственно
Координаты в базисе	$(x; y)$	построение на клетках или система по координатам
Единственность	$x a + y b = x^{'} a + y^{'} b$	$x = x^{'}$ , $y = y^{'}$ — только для базиса
Комбинации	$p = (m; n)$ , $q = (k; l)$ в базисе	базис $⟺ m l - kn \neq = 0$

R04.7

Смысл · косая сетка базиса

Базис задаёт свою «клетку» на плоскости

a {2; 1}

,

b {- 1; 1}

— базис:

2 \cdot 1 - (- 1) \cdot 1 = 3 \neq = 0

Прямые

∥ a

и

∥ b

— косая сетка; узлы — векторы

x a + y b

с целыми

x, y

.

p {3; 3} = 2 a + b

: в базисе

(a, b)

его координаты $(2; 1)$ .

R04.7

Образец → сам · разложение на клетках

Через конец $p$ — прямая, параллельная второму вектору

Образец: $a {3; 1}$ , $b {1; 2}$ , $p {5; 5}$ . Разложите $p$ по $a$ и $b$ .

через конец $p$ — прямая $∥ b$ до прямой, на которой лежит $a$

попали в конец $a$ : $1 \cdot a$ точка $(3; 1)$

остаток ${2; 4} = 2 b$ $(5; 5) - (3; 1)$

$p = a + 2 b$ , координаты $(1; 2)$

Сам: тот же базис $a {3; 1}$ , $b {1; 2}$

$c {7; 4}$ $2 a + b$
$d {2; - 1}$ $a - b$
$e {- 1; 3}$ $- a + 2 b$

R04.7

Образец → сам · координаты в базисе системой

Приравниваем абсциссы и ординаты

Образец: $a {2; - 1}$ , $b {1; 3}$ , $c {8; 3}$ . Найдите координаты $c$ в базисе $(a, b)$ .

$x a + y b = c$ : ${2 x + y = 8 - x + 3 y = 3$ первые координаты, затем вторые

$x = 3 y - 3 \Rightarrow 7 y - 6 = 8$ подстановка из второго уравнения

$y = 2$ , $x = 3$ проверка: $(6 + 2; - 3 + 6) = (8; 3)$ ✓

$c = 3 a + 2 b$ , координаты $(3; 2)$

Сам: тот же базис $a {2; - 1}$ , $b {1; 3}$

Координаты $d {1; - 4}$ в базисе $(1; - 1)$
Координаты $e {5; 1}$ в базисе $(2; 1)$
В базисе $(a, b)$ у $p$ координаты $(- 2; 3)$ . Найдите обычные координаты $p$ ${- 1; 11}$

R04.7

Образец → сам · базис в фигуре

Правильный шестиугольник: $a = A B$ , $b = A F$

Образец: $O$ — центр. Разложите $A C$ и $A D$ по базису $(a, b)$ .

$A O = a + b$ $A BOF$ — ромб, правило параллелограмма

$A D = 2 a + 2 b$ $O$ — середина $A D$

$A C = 2 a + b$ $A B + BC$ , $BC = A O$

Сам: координаты в базисе $(a, b)$

$A E$ $(1; 2)$
$CE$ $(- 1; 1)$
$FC$ $(2; 0)$

R04.7 · углублённый

Образец → сам · базис из комбинаций

$a, b$ — базис. Работаем с координатами в нём

Образец: при каких $k$ векторы $p = 2 a + k b$ и $q = k a + 8 b$ образуют базис?

$p (2; k)$ , $q (k; 8)$ координаты в базисе $(a, b)$

$2 \cdot 8 - k \cdot k \neq = 0$ базис ⇔ векторы не коллинеарны

$k^{2} \neq = 16$ : $k \neq = \pm 4$ проверка: при $k = 4$ $q = 4 a + 8 b = 2 p$

Сам: $a, b$ — базис

Образуют ли базис $a + 2 b$ и $3 a + 6 b$ ? нет: второй втрое больше
При каком $k$ коллинеарны $3 a - 2 b$ и $k a + 4 b$ ? $k = - 6$
$p = a - b$ , $q = a + b$ . Разложите $c = 3 a + b$ по $p$ и $q$ $c = p + 2 q$

R04.7 · углублённый

Метод · единственность разложения

Один вектор — двумя путями, затем приравнять коэффициенты

1. Базис — два неколлинеарных вектора фигуры обычно две стороны из одной вершины

2. Точка

K

на отрезке

A M

:

A K = t A M

t

— неизвестная доля

3. Та же точка на

BN

:

A K = A B + s BN

второй путь из той же точки

A

4. Оба выражения — в виде

x a + y b

раскрыть скобки, собрать коэффициенты

5. Единственность ⇒ система для

t

и

s

коэффициенты при

a

равны, при

b

равны

Ответ — отношения:

A K : K M = t : (1 - t)

,

B K : K N = s : (1 - s)

.

R04.7 · углублённый

Доказательство · решает учитель

Медианы треугольника делятся точкой пересечения $2 : 1$

Дано:

A M

,

BN

— медианы

△ A BC

,

K = A M \cap BN

. Доказать:

A K : K M = B K : K N = 2 : 1

.

1

A M = \frac{1}{2} a + \frac{1}{2} b

базис

a = A B

,

b = A C

;

M

— середина

BC

2

A K = t A M = \frac{t}{2} a + \frac{t}{2} b

K

лежит на

A M

3

A K = a + s (\frac{1}{2} b - a) = (1 - s) a + \frac{s}{2} b

K

на

BN

:

BN = A N - A B

4

\frac{t}{2} = 1 - s

,

\frac{t}{2} = \frac{s}{2}

⇒

t = s = \frac{2}{3}

единственность разложения по базису

5

A K : K M = B K : K N = 2 : 1

то же для третьей медианы ⇒ все три проходят через

K

R04.7 · углублённый

Образец → сам · отношение отрезков

$A BC D$ — параллелограмм, $a = A B$ , $b = A D$

Образец: $M$ — середина $BC$ , $K = A M \cap B D$ . Найдите $B K : KD$ .

$A K = t (a + \frac{1}{2} b)$ , $A K = a + s (b - a)$ $K$ на $A M$ и на $B D$

$t = 1 - s$ , $\frac{t}{2} = s$ ⇒ $t = \frac{2}{3}$ , $s = \frac{1}{3}$ единственность разложения

$B K : KD = 1 : 2$ , $A K : K M = 2 : 1$

Сам: тот же параллелограмм

$N$ — середина $C D$ , $L = A N \cap B D$ . Найдите $D L : L B$ $1 : 2$
$P$ на $BC$ , $BP : PC = 1 : 2$ . Разложите $A P$ $a + \frac{1}{3} b$
$Q = A P \cap B D$ для той же $P$ . Найдите $BQ : Q D$ $1 : 3$

R04.7

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
${1; 2}$ и ${2; 4}$ — базис: оба ненулевые	они коллинеарны: $1 \cdot 4 - 2 \cdot 2 = 0$	не базис
$c = x {1; 2} + y {3; 1}$ : $x + 2 y = c_{1}$	в уравнение взяли координаты одного вектора	$x + 3 y = c_{1}$ , $2 x + y = c_{2}$
$A K = t A M$ и $A K = s BN$	у векторов разные начала	$A K = A B + s BN$

R04.7

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $a {1; 2}$ , $b {3; 1}$ . Разложите $c {5; 5}$ .

$x + 2 y = 5$ , $3 x + y = 5$

$x = 1$ , $y = 2$ : $c = a + 2 b$

$x + 3 y = 5$ , $2 x + y = 5$ ⇒ $c = 2 a + b$

б) $A BC D$ — параллелограмм, $M$ — середина $BC$ , $K = A M \cap B D$ .

$A K = t a + \frac{t}{2} b$ , $B K = - s a + s b$

$t = - s$ , $\frac{t}{2} = s$ ⇒ $t = 0$

приравнивать $A K$ и $A B + B K$ : $t = \frac{2}{3}$

в) $a, b$ — базис, $(x - 2) a = (y + 1) b$ . Найдите $x, y$ .

коэффициенты равны:

$x - 2 = y + 1$ , решений много

$a$ и $b$ не коллинеарны ⇒ оба коэффициента $0$ : $x = 2$ , $y = - 1$

R04.7

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

базаОбразуют ли базис ${4; - 2}$ и ${- 6; 3}$ ? нет
базаОбразуют ли базис ${2; 5}$ и ${1; 3}$ ? да
база $a {1; 0}$ , $b {1; 2}$ . Разложите $c {4; 6}$ $a + 3 b$
база $a {1; 2}$ , $b {0; 1}$ . Обычные координаты $3 a - b$ ? ${3; 5}$
базаВ базисе $(a, b)$ : $p (2; - 1)$ , $q (1; 3)$ . Координаты $2 p - q$ ? $(3; - 5)$
база $A BC D$ — параллелограмм, $O$ — центр, $a = A B$ , $b = A D$ . Координаты $BO$ ? $(- \frac{1}{2}; \frac{1}{2})$

R04.7 · углублённый

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.При каких $m$ векторы ${m; 1}$ и ${m + 2; m}$ образуют базис? $m \neq = 2$ , $m \neq = - 1$
повыш. $a {1; 1}$ , $b {2; - 1}$ . Разложите $c {1; 7}$ по базису $(a, b)$ $5 a - 2 b$
повыш. $a, b$ — базис. Найдите $x, y$ : $(2 x - y) a + (x + y - 6) b = 3 a$ $x = 3$ , $y = 3$
повыш. $A BC D$ — параллелограмм, $M$ на $C D$ , $D M : MC = 1 : 3$ , $K = A M \cap B D$ . Найдите $B K : KD$ $4 : 1$

R04.7 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 18, 19 и 23

Ответ — число или номера утверждений

ОГЭ 19Какие утверждения верны?

Любой вектор плоскости раскладывается по двум неколлинеарным векторам.
Векторы ${2; 3}$ и ${4; 6}$ образуют базис.
Если $a, b$ — базис, то $a + b$ и $a - b$ — тоже базис.
Координаты вектора одинаковы в любом базисе.

Ответ: 13

ОГЭ 23Диагонали трапеции $A BC D$ ( $A D ∥ BC$ ) пересекаются в точке $K$ ; $A D = 12$ , $BC = 4$ , $A C = 20$ . Найдите $A K$ . $15$

ОГЭ 18Клетки $1 \times 1$ . Найдите длину вектора $a + b$ .

Ответ: $5$

R04.7 · практика

Задача из жизни · фонарь на двух тросах

Клетка — $1$ Н, вес фонаря $P = 6$ Н

Тросы идут вдоль $u {- 1; 2}$ и $v {1; 1}$ . Почему это базис? $- 1 \cdot 1 - 1 \cdot 2 = - 3 \neq = 0$
$T_{1} = x u$ , $T_{2} = y v$ , $T_{1} + T_{2} = - P = {0; 6}$ . Найдите $x, y$ $x = y = 2$
Силы натяжения тросов? $∣ T_{1} ∣ = 25 \approx 4, 5$ Н, $∣ T_{2} ∣ = 22 \approx 2, 8$ Н
Какой трос натянут сильнее? левый — он ближе к вертикали

R04.7

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Образуют ли базис ${3; - 1}$ и ${- 6; 2}$ ? нет
$a {1; 1}$ , $b {1; - 1}$ . Разложите $c {6; 2}$ $4 a + 2 b$
$a, b$ — базис. При каком $k$ коллинеарны $2 a - 3 b$ и $k a + 6 b$ ? $k = - 4$
$A BC D$ — параллелограмм, $M$ — середина $C D$ . Разложите $A M$ по $a = A B$ , $b = A D$ $\frac{1}{2} a + b$

Вариант 2

Образуют ли базис ${2; 5}$ и ${4; - 10}$ ? да
$a {1; 1}$ , $b {1; - 1}$ . Разложите $c {1; 5}$ $3 a - 2 b$
$a, b$ — базис. При каком $k$ коллинеарны $3 a + k b$ и $6 a - 4 b$ ? $k = - 2$
$A BC D$ — параллелограмм, $N$ — середина $BC$ . Разложите $D N$ по $a = A B$ , $b = A D$ $a - \frac{1}{2} b$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как по координатам понять, что пара векторов — базис?
Как найти координаты вектора в базисе?
Почему можно приравнивать коэффициенты?

Домашнее задание

$a {3; 1}$ , $b {1; 2}$ : разложите $c {1; 7}$ .
$A BC D$ — параллелограмм, $M$ — середина $A D$ , $K = BM \cap A C$ . Найдите $A K : K C$ .
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_adv_vektory-koordinaty.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9U-063 · Практикум: понятие о базисе (на плоскости)

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R04 «Векторы», 20 ч · урок 19/20 · тип П
Единицы → слайды	R04.7 «Понятие о базисе (на плоскости)» → 2, 4–20 · повторение R04.2–R04.5 (сумма, разность, умножение на число, координаты) как инструмент → 3, 6–9, 12
Результаты	ПР-13 (базис, разложение по базису, разложение сил в простейших физических задачах) → 2–20
Вне урока	обобщение по теме «Векторы» — GEOM9U-064; скалярное произведение (R04.9) — не используется
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: понятие о базисе на плоскости

Сегодня вы научитесь

Проверять базис

Раскладывать по базису

Применять единственность

Решать задачи

ABCD — параллелограмм, a=AB, b=AD

Понятие → запись → как проверить или найти

Базис задаёт свою «клетку» на плоскости

Через конец p​ — прямая, параллельная второму вектору

Образец: a{3;1}, b{1;2}, p​{5;5}. Разложите p​ по a и b.

Сам: тот же базис a{3;1}, b{1;2}

Приравниваем абсциссы и ординаты

Образец: a{2;−1}, b{1;3}, c{8;3}. Найдите координаты c в базисе (a,b).

Сам: тот же базис a{2;−1}, b{1;3}

Правильный шестиугольник: a=AB, b=AF

Образец: O — центр. Разложите AC и AD по базису (a,b).

Сам: координаты в базисе (a,b)

a, b — базис. Работаем с координатами в нём

Образец: при каких k векторы p​=2a+kb и q​=ka+8b образуют базис?

Сам: a, b — базис

Один вектор — двумя путями, затем приравнять коэффициенты

Медианы треугольника делятся точкой пересечения 2:1

ABCD — параллелограмм, a=AB, b=AD

Образец: M — середина BC, K=AM∩BD. Найдите BK:KD.

Сам: тот же параллелограмм

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) a{1;2}, b{3;1}. Разложите c{5;5}.

б) ABCD — параллелограмм, M — середина BC, K=AM∩BD.

в) a, b — базис, (x−2)a=(y+1)b. Найдите x, y.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — число или номера утверждений

Клетка — 1 Н, вес фонаря P=6 Н

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9U-063 · Практикум: понятие о базисе (на плоскости)

$A BC D$ — параллелограмм, $a = A B$ , $b = A D$

Через конец $p$ — прямая, параллельная второму вектору

Образец: $a {3; 1}$ , $b {1; 2}$ , $p {5; 5}$ . Разложите $p$ по $a$ и $b$ .

Сам: тот же базис $a {3; 1}$ , $b {1; 2}$

Образец: $a {2; - 1}$ , $b {1; 3}$ , $c {8; 3}$ . Найдите координаты $c$ в базисе $(a, b)$ .

Сам: тот же базис $a {2; - 1}$ , $b {1; 3}$

Правильный шестиугольник: $a = A B$ , $b = A F$

Образец: $O$ — центр. Разложите $A C$ и $A D$ по базису $(a, b)$ .

Сам: координаты в базисе $(a, b)$

$a, b$ — базис. Работаем с координатами в нём

Образец: при каких $k$ векторы $p = 2 a + k b$ и $q = k a + 8 b$ образуют базис?

Сам: $a, b$ — базис

Медианы треугольника делятся точкой пересечения $2 : 1$

$A BC D$ — параллелограмм, $a = A B$ , $b = A D$

Образец: $M$ — середина $BC$ , $K = A M \cap B D$ . Найдите $B K : KD$ .

а) $a {1; 2}$ , $b {3; 1}$ . Разложите $c {5; 5}$ .

б) $A BC D$ — параллелограмм, $M$ — середина $BC$ , $K = A M \cap B D$ .

в) $a, b$ — базис, $(x - 2) a = (y + 1) b$ . Найдите $x, y$ .

Клетка — $1$ Н, вес фонаря $P = 6$ Н