Векторы · урок 18 из 20 · практикум

Практикум: применение векторов в физике, центр масс

Геометрия · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R04 · GEOM9U-062

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R04 «Векторы» (20 ч), урок 18/20, единица R04.6 «Применение векторов в физике, центр масс». Тип урока — П (практикум).
Теория (12): титул 0,5 · цели 0,5 · сводка «физика → векторы» 2,5 · разложение силы 2 · центр масс 2 · вывод формулы 2,5 · центр масс треугольника 2.
Практика (33): разминка 2 · образцы → сам 2,5 + 2,5 + 3 + 2,5 + 2,5 · ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2 · повышенный 2,5 · ОГЭ 2 · из жизни 2 · самостоятельная 5 · итог 1.
Инструменты урока уже знакомы: сложение векторов и умножение на число в координатах (GEOM9U-061), длина вектора, синус и косинус углов от 0° до 180°. Если не успеваете: образец 5 (три массы) — в ДЗ.

R04.6

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Складывать силы и скорости

равнодействующая, перемещение, лодка на реке (ПР-12)

Решать задачи на равновесие

раскладывать силы по осям с помощью $sin$ и $cos$ (ПР-13)

Находить центр масс

двух точек, треугольника, системы точек — векторно и в координатах

Применять

рычаг и коромысло, задачи ОГЭ 18–19 (ПР-15)

0,5 мин · теория
ПР-12 (ФРП, углублённый уровень): «Владеть практическими интерпретациями векторов. Уверенно пользоваться координатами вектора…». ПР-13: «Раскладывать векторы сил с помощью проецирования и тригонометрических соотношений. Применять полученные знания в простейших физических задачах». ПР-15: «Использовать скалярное произведение векторов в алгебраических и физических задачах» — здесь только физическая часть без скалярного произведения.
Вид деятельности ФРП R04: «Исследовать связь векторов с понятиями равнодействующей сил и равновесия сил, применять векторы к простейшим задачам механики и статики».

повторение R04.4–R04.5

Разминка · устно

$a {3; - 1}$ , $b {- 1; 4}$

Координаты $a + b$ ${2; 3}$
Координаты $a - b$ ${4; - 5}$
Координаты $2 a$ ${6; - 2}$
Длина вектора ${6; 8}$ $10$
Середина отрезка $A B$ : $A (2; 6)$ , $B (8; - 2)$ $(5; 2)$
$p {1; 2} + q {3; - 5} + c = 0$ . Найдите $c$ и $∣ c ∣$ ${- 4; 3}$ , $5$

R04.6

Сводка · физика на языке векторов

Ситуация → векторная запись

Ситуация	Векторная запись
Перемещения одно за другим	$s = s_{1} + s_{2} + \dots$
Несколько сил приложены к точке	равнодействующая $R = F_{1} + F_{2} + \dots$
Точка (тело) в равновесии	$F_{1} + F_{2} + \dots = 0$
Лодка на реке, самолёт при ветре	$v = v_{собств} + v_{теч}$
Сила под углом $α$ к оси $O x$	$F {F cos α; F sin α}$

R04.6

Образец → сам · равнодействующая сил

Силы в координатах (клетка — $1$ Н)

Образец: $F_{1} {4; 1}$ , $F_{2} {- 1; 3}$ . Найдите $R$ , $∣ R ∣$ и уравновешивающую силу $F_{3}$ .

$R = {4 - 1; 1 + 3} = {3; 4}$ сумма векторов — сумма координат

$∣ R ∣ = 3^{2} + 4^{2} = 5$ Н длина вектора

$F_{3} = - R = {- 3; - 4}$ равновесие: $F_{1} + F_{2} + F_{3} = 0$

Сам: силы в ньютонах

$F_{1} {2; - 3}$ , $F_{2} {4; 11}$ . Найдите $R$ и $∣ R ∣$ ${6; 8}$ , $10$ Н
$F_{1} {5; 0}$ , $F_{2} {0; 12}$ . Найдите $∣ R ∣$ $13$ Н
$F_{1} {1; 2}$ , $F_{2} {3; - 4}$ . Какая сила $F_{3}$ даёт равновесие? ${- 4; 2}$

R04.6

Образец → сам · сложение скоростей

Лодка пересекает реку

Образец: собственная скорость лодки $4$ м/с поперёк реки, течение $3$ м/с, ширина $120$ м. Скорость относительно берега, время, снос?

$v = v_{л} + v_{т}$ , $v_{л} ⊥ v_{т}$ сложение скоростей

$∣ v ∣ = 4^{2} + 3^{2} = 5$ м/с теорема Пифагора

$t = 120 : 4 = 30$ с поперёк реки движет только $v_{л}$

снос $= 3 \cdot 30 = 90$ м вдоль реки — только течение

Сам

Самолёт: $240$ км/ч на север, ветер $70$ км/ч на восток. Скорость относительно земли? $250$ км/ч
Лодка $5$ м/с поперёк, течение $2$ м/с, ширина $100$ м. Время и снос? $20$ с, $40$ м
Лодка ( $5$ м/с) идёт строго поперёк, течение $3$ м/с. Скорость относительно берега? $4$ м/с

R04.6

Метод · разложение силы по осям

Равновесие в координатах — две суммы равны нулю

F {F cos α; F sin α}

α

— угол между

F

и осью

O x

Равновесие

F_{1} + F_{2} + \dots = 0

— это две скалярные записи:

x_{1} + x_{2} + \dots = 0

y_{1} + y_{2} + \dots = 0

R04.6

Образец → сам · равновесие сил

Фонарь на двух тросах

Образец: фонарь весом $P = 60$ Н, тросы под углом $3 0^{\circ}$ к горизонту. Найдите натяжение $T$ каждого троса.

$T_{1} {- T cos 3 0^{\circ}; T sin 3 0^{\circ}}$ , $T_{2} {T cos 3 0^{\circ}; T sin 3 0^{\circ}}$ тросы симметричны

$P {0; - 60}$ вес направлен вниз

по $y$ : $2 T sin 3 0^{\circ} - 60 = 0$ по $x$ — верно при любом $T$

$T = 60$ Н $sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}$

Сам: $P = 60$ Н

Тросы под углом $4 5^{\circ}$ к горизонту. Найдите $T$ $302 \approx 42, 4$ Н
Тросы под углом $6 0^{\circ}$ к горизонту. Найдите $T$ $203 \approx 34, 6$ Н
Трос выдерживает $100$ Н, угол $3 0^{\circ}$ . Наибольший вес фонаря? $100$ Н

R04.6

Понятие · центр масс

Где подпереть стержень с грузами?

Центр масс точек

A

и

B

с массами

m_{A}

,

m_{B}

— точка

M

, для которой

m_{A} M A + m_{B} MB = 0

A M : MB = m_{B} : m_{A}

ближе к тяжёлому

Для

n

точек:

m_{1} M A_{1} + \dots + m_{n} M A_{n} = 0

.

R04.6 · углублённый

Вывод формулы · решает учитель

Радиус-вектор центра масс

Дано:

m_{A} M A + m_{B} MB = 0

,

O

— любая точка.
Найти:

OM

.

1

M A = O A - OM

,

MB = OB - OM

разность векторов с общим началом

O

2

m_{A} O A + m_{B} OB - (m_{A} + m_{B}) OM = 0

подстановка, раскрытие скобок

3

OM = \frac{m _{A} O A + m _{B} OB}{m _{A} + m _{B}}

деление на

m_{A} + m_{B} \neq = 0

4

x_{M} = \frac{m _{A} x _{A} + m _{B} x _{B}}{m _{A} + m _{B}}

, так же

y_{M}

O

— начало координат: координаты радиус-вектора = координаты точки

R04.6 · углублённый

Следствие · центр масс треугольника

Равные массы в вершинах — точка пересечения медиан

Группируем: массы

B

и

C

заменяем массой

2

в середине

K

стороны

BC

.

Тогда

A M : M K = 2 : 1

— точка медианы

A K

, делящая её в отношении

2 : 1

.

OM = \frac{1}{3} (O A + OB + OC)

R04.6

Образец → сам · центр масс двух точек

Формула и правило рычага

Образец: $A (1; 2)$ , $m_{A} = 1$ ; $B (7; 5)$ , $m_{B} = 2$ . Найдите центр масс $M$ .

$x_{M} = \frac{1 \cdot 1 + 2 \cdot 7}{3} = 5$ формула, $m_{A} + m_{B} = 3$

$y_{M} = \frac{1 \cdot 2 + 2 \cdot 5}{3} = 4$ так же по $y$

$A M {4; 2} = 2 MB$ , $MB {2; 1}$ проверка: $A M : MB = m_{B} : m_{A}$

Сам

$A (- 2; 3)$ , $m_{A} = 3$ ; $B (6; - 1)$ , $m_{B} = 1$ . Найдите $M$ $(0; 2)$
$A (0; 0)$ , $m_{A} = 2$ ; $B (9; 0)$ . Центр масс $M (6; 0)$ . Найдите $m_{B}$ $4$
Гантель: грузы $2$ кг и $3$ кг на концах стержня $50$ см. Расстояние от центра масс до лёгкого груза? $30$ см

R04.6 · углублённый

Образец → сам · центр масс системы точек

Три массы: формула или группировка

Образец: массы $1$ , $2$ , $3$ в точках $A (0; 0)$ , $B (6; 0)$ , $C (0; 6)$ . Найдите центр масс $M$ .

$A$ и $B$ → масса $3$ в точке $P (4; 0)$ $A P : PB = 2 : 1$

$P$ и $C$ — по массе $3$ → середина: $M (2; 3)$ равные массы

$x_{M} = \frac{0 + 12 + 0}{6} = 2$
$y_{M} = \frac{0 + 0 + 18}{6} = 3$ ✓ проверка формулой

Сам

Равные массы в $A (1; 1)$ , $B (7; 3)$ , $C (4; 8)$ . Найдите $M$ $(4; 4)$
Массы $1$ , $1$ , $2$ в $A (0; 0)$ , $B (4; 0)$ , $C (2; 6)$ $(2; 3)$
Равные массы в вершинах параллелограмма $A (0; 0)$ , $B (2; 4)$ , $C (8; 4)$ , $D (6; 0)$ $(4; 2)$ — точка пересечения диагоналей

R04.6

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
Силы $3$ Н и $4$ Н: $R = 7$ Н	складывают векторы, а не модули	$1 \leq R \leq 7$ ; при $⊥$ — $5$ Н
$1$ кг в $A$ , $3$ кг в $B$ : $A M : MB = 1 : 3$	центр масс ближе к тяжёлому	$A M : MB = 3 : 1$
$t = ширина : ∣ v ∣$	поперёк реки движет только $v_{л}$	$t = ширина : v_{л}$

R04.6

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $A (2; 1)$ , $m_{A} = 1$ ; $B (8; 4)$ , $m_{B} = 2$ . Центр масс?

$x_{M} = \frac{1 \cdot 2 + 2 \cdot 8}{2} = 9$

$y_{M} = \frac{1 \cdot 1 + 2 \cdot 4}{2} = 4, 5$

делить на $m_{A} + m_{B} = 3$ : $M (6; 3)$

б) $F_{1} {3; - 2}$ , $F_{2} {- 1; 5}$ . Уравновешивающая сила?

$F_{3} = F_{1} + F_{2}$

$F_{3} = {2; 3}$

$F_{3} = - (F_{1} + F_{2}) = {- 2; - 3}$

в) $P = 40$ Н, тросы под углом $3 0^{\circ}$ к горизонту. Натяжение?

$2 T cos 3 0^{\circ} = 40$

$T = \frac{40}{3}$ Н

вертикальная проекция $T sin 3 0^{\circ}$ : $T = 40$ Н

R04.6

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

база $F_{1} {6; - 1}$ , $F_{2} {- 2; 4}$ . Найдите $R$ и $∣ R ∣$ ${4; 3}$ , $5$
база $F_{1} {2; 7}$ , $F_{2} {- 5; - 3}$ . Уравновешивающая сила? ${3; - 4}$
базаТурист прошёл $3$ км на восток, затем $4$ км на север. Модуль перемещения? $5$ км
базаРавные массы в $A (- 1; 4)$ и $B (5; - 2)$ . Центр масс? $(2; 1)$
базаРавные массы в $A (- 2; 0)$ , $B (4; 1)$ , $C (1; 5)$ . Центр масс? $(1; 2)$
базаСила $10$ Н под углом $6 0^{\circ}$ к оси $O x$ . Её координаты? ${5; 53}$

R04.6 · углублённый

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Массы $2$ , $3$ , $5$ в точках $A (1; 0)$ , $B (6; 5)$ , $C (- 2; 3)$ . Найдите центр масс $(1; 3)$
повыш.Массы $1$ в $A (0; 0)$ и $3$ в $B (5; 0)$ . Куда поместить массу $4$ , чтобы центр масс системы оказался в $(3; 2)$ ? $C (2, 25; 4)$
повыш.Однородная Г-образная пластина из прямоугольников $[0; 6] \times [0; 2]$ и $[0; 2] \times [2; 6]$ . Центр масс? $(2, 2; 2, 2)$
повыш.Две силы по $10$ Н, угол между ними $12 0^{\circ}$ . Модуль равнодействующей? $10$ Н

R04.6 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 18 и 19

Ответ — число или номера утверждений

ОГЭ 18Клетки $1 \times 1$ . Найдите длину вектора $a + b$ .

Ответ: $10$

ОГЭ 19Какие утверждения верны?

Равнодействующая двух сил всегда больше каждой из них.
Центр масс двух равных масс — середина отрезка между ними.
Центр масс равных масс в вершинах треугольника — точка пересечения его медиан.
Если сумма сил равна нулю, то модули всех сил равны.

Ответ: 23

R04.6 · практика

Задача из жизни · коромысло и качели

Где держать коромысло длиной $1, 5$ м?

На каком расстоянии от ведра $6$ кг держать коромысло? $0, 9$ м
С какой силой коромысло давит на плечо ( $g \approx 10$ Н/кг)? $150$ Н
Качели-балансир $4$ м: папа $80$ кг и сын $20$ кг на концах. Где опора? в $0, 8$ м от папы

R04.6

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$F_{1} {3; - 5}$ , $F_{2} {1; 8}$ . Найдите $∣ R ∣$ $5$
$A (1; 3)$ , $m_{A} = 1$ ; $B (7; 0)$ , $m_{B} = 2$ . Центр масс? $(5; 1)$
Равные массы в $A (- 3; 2)$ , $B (3; - 1)$ , $C (3; 8)$ . Центр масс? $(1; 3)$
Лодка $3$ м/с поперёк реки $60$ м, течение $4$ м/с. Время, снос, $∣ v ∣$ ? $20$ с, $80$ м, $5$ м/с

Вариант 2

$F_{1} {- 2; 7}$ , $F_{2} {8; 1}$ . Найдите $∣ R ∣$ $10$
$A (- 2; 5)$ , $m_{A} = 3$ ; $B (6; 1)$ , $m_{B} = 1$ . Центр масс? $(0; 4)$
Равные массы в $A (0; - 4)$ , $B (5; 2)$ , $C (- 2; 5)$ . Центр масс? $(1; 1)$
Лодка $4$ м/с поперёк реки $80$ м, течение $3$ м/с. Время, снос, $∣ v ∣$ ? $20$ с, $60$ м, $5$ м/с

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как записать равновесие сил в координатах?
В каком отношении центр масс делит отрезок?
Почему центр масс треугольника — на медианах?

Домашнее задание

Массы $1, 2, 3, 4$ в вершинах квадрата $A (0; 0)$ , $B (4; 0)$ , $C (4; 4)$ , $D (0; 4)$ . Найдите центр масс.
Фонарь $80$ Н на тросах под $4 5^{\circ}$ к горизонту: натяжение?
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_adv_vektory-koordinaty.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9U-062 · Практикум: применение векторов в физике, центр масс

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R04 «Векторы», 20 ч · урок 18/20 · тип П
Единицы → слайды	R04.6 «Применение векторов в физике, центр масс» → 2–21 · повторение R04.4–R04.5 (координаты, операции) как инструмент → 3, 5, 12, 13
Результаты	ПР-12 (практические интерпретации векторов) → 4–6, 18–20 · ПР-13 (разложение сил, физические задачи) → 7, 8, 15 · ПР-15 (векторы в физических задачах) → 19
Вне урока	базис и разложение по двум неколлинеарным векторам — GEOM9U-063 (R04.7); скалярное произведение (работа силы) — не используется
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: применение векторов в физике, центр масс

Сегодня вы научитесь

Складывать силы и скорости

Решать задачи на равновесие

Находить центр масс

Применять

a{3;−1}, b{−1;4}

Ситуация → векторная запись

Силы в координатах (клетка — 1 Н)

Образец: F1​{4;1}, F2​{−1;3}. Найдите R, ∣R∣ и уравновешивающую силу F3​.

Сам: силы в ньютонах

Лодка пересекает реку

Образец: собственная скорость лодки 4 м/с поперёк реки, течение 3 м/с, ширина 120 м. Скорость относительно берега, время, снос?

Сам

Равновесие в координатах — две суммы равны нулю

Фонарь на двух тросах

Образец: фонарь весом P=60 Н, тросы под углом 30∘ к горизонту. Найдите натяжение T каждого троса.

Сам: P=60 Н

Где подпереть стержень с грузами?

Радиус-вектор центра масс

Равные массы в вершинах — точка пересечения медиан

Формула и правило рычага

Образец: A(1;2), mA​=1; B(7;5), mB​=2. Найдите центр масс M.

Сам

Три массы: формула или группировка

Образец: массы 1, 2, 3 в точках A(0;0), B(6;0), C(0;6). Найдите центр масс M.

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) A(2;1), mA​=1; B(8;4), mB​=2. Центр масс?

б) F1​{3;−2}, F2​{−1;5}. Уравновешивающая сила?

в) P=40 Н, тросы под углом 30∘ к горизонту. Натяжение?

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — число или номера утверждений

Где держать коромысло длиной 1,5 м?

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9U-062 · Практикум: применение векторов в физике, центр масс

$a {3; - 1}$ , $b {- 1; 4}$

Силы в координатах (клетка — $1$ Н)

Образец: $F_{1} {4; 1}$ , $F_{2} {- 1; 3}$ . Найдите $R$ , $∣ R ∣$ и уравновешивающую силу $F_{3}$ .

Образец: собственная скорость лодки $4$ м/с поперёк реки, течение $3$ м/с, ширина $120$ м. Скорость относительно берега, время, снос?

Образец: фонарь весом $P = 60$ Н, тросы под углом $3 0^{\circ}$ к горизонту. Найдите натяжение $T$ каждого троса.

Сам: $P = 60$ Н

Образец: $A (1; 2)$ , $m_{A} = 1$ ; $B (7; 5)$ , $m_{B} = 2$ . Найдите центр масс $M$ .

Образец: массы $1$ , $2$ , $3$ в точках $A (0; 0)$ , $B (6; 0)$ , $C (0; 6)$ . Найдите центр масс $M$ .

а) $A (2; 1)$ , $m_{A} = 1$ ; $B (8; 4)$ , $m_{B} = 2$ . Центр масс?

б) $F_{1} {3; - 2}$ , $F_{2} {- 1; 5}$ . Уравновешивающая сила?

в) $P = 40$ Н, тросы под углом $3 0^{\circ}$ к горизонту. Натяжение?

Где держать коромысло длиной $1, 5$ м?