Векторы · урок 17 из 20 · практикум

Практикум: действия с векторами в координатах

Геометрия · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R04 · GEOM9U-061

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Паспорт: R04 «Векторы» (20 ч), урок 17/20, единица R04.5 «Сложение и вычитание векторов, умножение вектора на число в координатах». Тип урока — П (практикум).
Теория (13): титул 0,5 · цели 0,5 · сводка правил 2,5 · почему правила верны 2 · деление отрезка 2,5 · коллинеарность комбинации 2 · доказательство учителя 3.
Практика (32): разминка 2 · образцы → сам 2,5 × 5 · ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2 · повышенный 2 · ОГЭ 2 · из жизни 2 · самостоятельная 5 · итог 1.
Если не успеваете: задача из жизни — в ДЗ, повышенный уровень — выборочно (задания 3 и 4).

R04.5

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Считать в координатах

сумму, разность, произведение на число и их комбинации (ПР-12)

Решать обратные задачи

неизвестный вектор, точка по векторному равенству, деление отрезка

Работать с параметром

когда комбинация векторов коллинеарна данному вектору

Доказывать и применять

вид четырёхугольника, средняя линия, скорость катера, ОГЭ

повторение R04.4

Разминка · устно

Координаты вектора — по клеткам и по точкам

Координаты $a$ по рисунку? ${4; 3}$
Длина $a$ ? $5$
Координаты $b$ по рисунку? ${- 2; 1}$
$A (2; - 1)$ , $B (5; 3)$ . Найдите $A B$ ${3; 4}$
$A B {2; - 5}$ , $A (1; 4)$ . Найдите $B$ $(3; - 1)$
Вектор, противоположный ${- 3; 7}$ ? ${3; - 7}$
Равны ли ${2; 4}$ и ${4; 2}$ ? нет

R04.5

Сводка · правила в координатах

Действуем с каждой координатой отдельно

Действие	Правило	Пример: $a {2; - 1}$ , $b {- 3; 4}$
Сумма	$a + b {x_{1} + x_{2}; y_{1} + y_{2}}$	$a + b {- 1; 3}$
Разность	$a - b {x_{1} - x_{2}; y_{1} - y_{2}}$	$a - b {5; - 5}$
На число	$k a {k x_{1}; k y_{1}}$	$3 a {6; - 3}$
Комбинация	$m a + n b {m x_{1} + n x_{2}; m y_{1} + n y_{2}}$	$2 a + b {1; 2}$
Точка	$B = A + A B$ (покоординатно)	$A (1; 1)$ , $a$ : $B (3; 0)$

R04.5

Почему правила верны

Проекции на оси складываются и умножаются

a {3; 1}

:

3

клетки вправо,

1

вверх.

Приставили

b {1; 2}

: ещё

1

вправо,

2

вверх.

Итог

a + b {3 + 1; 1 + 2} = {4; 3}

: проекции на

O x

складываются:

3 + 1 = 4

.

k a

: «прямоугольный треугольник» вектора подобен с коэффициентом

∣ k ∣

⇒

{k x; k y}

.

R04.5

Образец → сам · линейная комбинация

$a {1; - 3}$ , $b {- 2; 3}$

Образец: найдите координаты и длину $c = 2 a - 3 b$ .

$2 a {2; - 6}$ каждую координату $a$ умножили на $2$

$3 b {- 6; 9}$ каждую координату $b$ умножили на $3$

$c {2 - (- 6); - 6 - 9} = {8; - 15}$ разность — покоординатно; минус на минус даёт плюс

$∣ c ∣ = 8^{2} + 1 5^{2} = 289 = 17$ длина по координатам

Сам: те же $a$ и $b$

Координаты $a + 2 b$ ${- 3; 3}$
Длина $3 a - b$ $13$
Длина $a - b$ $35$

R04.5

Образец → сам · обратная задача

Неизвестный вектор — как неизвестное в уравнении

Образец: $a {- 1; 2}$ , $b {5; 4}$ . Найдите $x$ : $2 x - a = b$ .

$2 x = a + b$ перенесли $a$ — как в уравнении с числами

$a + b {4; 6}$ $- 1 + 5$ и $2 + 4$

$x = \frac{1}{2} {4; 6} = {2; 3}$ умножили на $\frac{1}{2}$

проверка: ${4; 6} - {- 1; 2} = {5; 4}$ ✓

Сам

$3 x + a = b$ , $a {2; - 1}$ , $b {- 4; 8}$ $x {- 2; 3}$
${x; - 1} - 3 {2; y} = {1; 5}$ . Найдите $x$ , $y$ $x = 7$ , $y = - 2$
$c ↑↑ a {3; - 4}$ , $∣ c ∣ = 15$ . Найдите $c$ ${9; - 12}$

R04.5 · углублённый

Вывод · деление отрезка в отношении

Точка $M$ на $A B$ , $A M : MB = m : n$

A M = \frac{m}{m + n} A B

сонаправлены

OM

= O A + \frac{m}{m + n} A B

x_{M} = \frac{n x _{A} + m x _{B}}{m + n}

и так же

y_{M}

середина:

x_{M} = \frac{x _{A} + x _{B}}{2}

m = n

R04.5

Образец → сам · точка по векторному равенству

Сначала вектор, потом точка

Образец: $A (- 2; 1)$ , $B (4; 7)$ , $M \in A B$ , $A M : MB = 1 : 2$ . Найдите $M$ .

$A B {6; 6}$ конец минус начало

$A M = \frac{1}{3} A B = {2; 2}$ $A M$ — одна часть из $1 + 2 = 3$

$M = (- 2 + 2; 1 + 2) = (0; 3)$ $M = A + A M$

Сам

$A (1; - 3)$ , $B (7; 6)$ , $A M : MB = 2 : 1$ . Найдите $M$ $(5; 3)$
$M (2; - 1)$ — середина $A B$ , $A (- 3; 4)$ . Найдите $B$ $(7; - 6)$
$A (0; 2)$ , $B (3; - 1)$ , $C (5; 4)$ . Найдите $D$ : $A D = A B + 2 A C$ $(13; 3)$

R04.5 · углублённый

Метод · коллинеарность комбинации

Векторы $a + k b$ при разных $k$

x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} = 0

условие коллинеарности

1.

a + k b {1 + 3 k; 2 - k}

координаты с

k

2. условие коллинеарности — уравнение на

k

3. проверка: подставить

k

, найти множитель

R04.5 · углублённый

Образец → сам · параметр и коллинеарность

$a {2; 1}$ , $b {- 1; 3}$

Образец: при каком $k$ векторы $p = a + k b$ и $q = 2 a - b$ коллинеарны?

$p {2 - k; 1 + 3 k}$ , $q {5; - 1}$ координаты комбинаций

$(2 - k) \cdot (- 1) - 5 (1 + 3 k) = 0$ условие $x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} = 0$

$- 7 - 14 k = 0$ , $k = - \frac{1}{2}$ линейное уравнение

$p {2, 5; - 0, 5} = \frac{1}{2} q$ проверка: множитель $\frac{1}{2} > 0$ , сонаправлены

Сам: те же $a$ и $b$

При каком $x$ коллинеарны $a + b$ и $c {x; 8}$ ? $x = 2$
При каком $k$ коллинеарны $k a + b$ и $a - b$ ? $k = - 1$
При каком $k$ вектор $a + k b$ коллинеарен $b$ ? ни при каком

R04.5 · углублённый

Доказательство · решает учитель

Средняя линия четырёхугольника векторно

Дано:

M

,

N

— середины

A B

и

C D

.
Доказать:

MN = \frac{1}{2} (A D + BC)

.

1

MN = M A + A D + D N

правило многоугольника

2

MN = MB + BC + CN

другой путь из

M

в

N

3сложим:

2 MN = A D + BC

M A + MB = 0

,

D N + CN = 0

— середины

4трапеция:

A D ↑↑ BC

⇒

MN ∥ A D

,

MN = \frac{A D + BC}{2}

длина суммы сонаправленных векторов

R04.5

Образец → сам · вид четырёхугольника

Координаты + векторное доказательство

Образец: $A (- 4; - 2)$ , $B (- 2; 2)$ , $C (1; 3)$ , $D (2; 0)$ . Докажите, что $A BC D$ — трапеция; найдите среднюю линию.

$BC {3; 1}$ , $A D {6; 2} = 2 BC$ $A D ∥ BC$ , $B \in / A D$

$A B {2; 4} ∦ D C {- 1; 3}$ $2 \cdot 3 - 4 \cdot (- 1) \neq = 0$ ⇒ трапеция

$MN = \frac{1}{2} {9; 3}$ $\frac{1}{2} (A D + BC)$

$MN = \frac{1}{2} 90 = \frac{3 10}{2}$

Сам

$K (- 1; 0)$ , $L (1; 4)$ , $P (6; 4)$ , $Q (8; 0)$ . Средняя линия трапеции $K L PQ$ ? $7$
$A (- 1; 1)$ , $B (1; 4)$ , $C (6; 3)$ , $D (4; 0)$ . $A BC D$ — параллелограмм? да: $A B = D C = {2; 3}$
Трапеция $A BC D$ , $A D = 3 BC$ , $A (0; 0)$ , $B (1; 2)$ , $C (3; 3)$ . Найдите $D$ $(6; 3)$

R04.5

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$A (1; 2)$ , $B (4; 6)$ : $A B {- 3; - 4}$	вычли «начало минус конец»	$A B {3; 4}$
$3 {2; - 1} = {6; - 1}$	на число умножают обе координаты	${6; - 3}$
$∣ a + b ∣ = ∣ a ∣ + ∣ b ∣$ всегда	верно только при $a ↑↑ b$	${3; 0} + {0; 4}$ : $5$ , а не $7$

R04.5

Найди ошибку

$a {3; - 2}$ , $b {- 2; 2}$ . Найдите $∣2 a - b ∣$

Решение ученика

1) $2 a {6; - 4}$

2) $2 a - b {6 - 2; - 4 - 2} = {4; - 6}$

3) $∣2 a - b ∣ = 4^{2} + 6^{2} = 52$

4) Ответ: $52 = 226$

Шаг 2:

6 - (- 2) = 8

⇒

{8; - 6}

Шаг 4:

52 = 4 \cdot 13 = 213

Верно:

64 + 36 = 10

R04.5

Задания с самопроверкой · база

$a {- 2; 3}$ , $b {4; - 1}$

база $a + b$ ${2; 2}$
база $a - b$ ${- 6; 4}$
база $- 3 a$ ${6; - 9}$
база $2 a + b$ ${0; 5}$

база $\frac{1}{2} b - a$ ${4; - 3, 5}$
база $∣ a + b ∣$ $22$
базаСередина $A B$ : $A (2; 5)$ , $B (- 4; 1)$ $(- 1; 3)$
база $A B {3; - 2}$ , $BC {- 1; 6}$ : $A C$ ${2; 4}$

R04.5 · углублённый

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш. $a {3; - 4}$ . При каких $k$ длина $k a$ равна $10$ ? $k = \pm 2$
повыш. $a {1; - 2}$ , $b {- 2; y}$ . При каких $y$ $∣ a + b ∣ = 10$ ? $y = - 1$ или $y = 5$
повыш. $A (1; 1)$ , $B (5; 3)$ , $C (3; 7)$ . Найдите длину медианы $A M$ треугольника $A BC$ $5$
повыш. $A BC D$ — параллелограмм, $A (- 1; 2)$ , $B (3; 5)$ , диагонали пересекаются в $O (2; 1)$ . Найдите $C$ и $D$ $C (5; 0)$ , $D (1; - 3)$
повыш.Найдите вектор длины $1$ , сонаправленный ${- 5; 12}$ ${- \frac{5}{13}; \frac{12}{13}}$

R04.5

Формат ОГЭ · линии 18 и 19

Клетка $1 \times 1$

Линия 18

Найдите длину вектора $a + b$ . $5$

Найдите длину вектора $a - b$ . $5$

Линия 19 · какие утверждения верны?

Координаты суммы векторов равны суммам соответствующих координат.
Длина суммы двух векторов всегда равна сумме их длин.
Векторы ${2; - 6}$ и ${- 1; 3}$ коллинеарны.
При умножении вектора на $- 2$ его длина уменьшается.

Ответ: $13$

R04.5 · практика

Задача из жизни · катер и течение

Нос катера — перпендикулярно берегу

Скорость катера в стоячей воде $v {0; 12}$ км/ч, течение $u {5; 0}$ км/ч, ширина реки $3$ км.

Скорость $w$ относительно берега? $w = v + u = {5; 12}$
Модуль $w$ ? $13$ км/ч
За сколько минут катер пересечёт реку? $15$ мин
На сколько км его снесёт течением? $1, 25$ км

R04.5

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта — решите свой

Вариант 1 · $a {3; - 1}$ , $b {- 2; 4}$

Координаты $2 a - b$ ${8; - 6}$
Длина $2 a - b$ $10$
$A (- 1; 4)$ , $B (5; - 2)$ , $A M : MB = 1 : 2$ . Найдите $M$ $(1; 2)$
При каком $k$ векторы $a + k b$ и ${1; 1}$ коллинеарны? $k = \frac{2}{3}$

Вариант 2 · $a {1; 3}$ , $b {3; - 1}$

Координаты $3 a + b$ ${6; 8}$
Длина $3 a + b$ $10$
$A (2; - 3)$ , $B (- 4; 6)$ , $A M : MB = 2 : 1$ . Найдите $M$ $(- 2; 3)$
При каком $k$ векторы $a + k b$ и ${1; - 1}$ коллинеарны? $k = - 2$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как найти координаты $2 a - 3 b$ ?
Как найти точку, делящую $A B$ в отношении $1 : 2$ ?
Как найти $k$ , при котором комбинация коллинеарна вектору?

Домашнее задание

$A (- 3; 1)$ , $B (3; 4)$ . Найдите $M \in A B$ : $A M : MB = 2 : 1$ .
$a {1; 2}$ , $b {- 1; 1}$ . При каком $k$ коллинеарны $k a - b$ и $a + 2 b$ ?
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_adv_vektory-koordinaty.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9U-061 · Практикум: действия с векторами в координатах

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R04 «Векторы», 20 ч · урок 17/20 · тип П
Единицы → слайды	R04.5 «Сложение и вычитание векторов, умножение вектора на число в координатах» → 2–21 · повторение R04.4 (координаты вектора) → 3
Результаты	ПР-12 (координаты вектора; сложение, вычитание, умножение на число в координатах) → 2–21
Вне урока	векторы в физике и центр масс — GEOM9U-062 (R04.6); базис и разложение — GEOM9U-063 (R04.7); скалярное произведение не используется
Время	теория 13 мин · практика 32 мин (71 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: действия с векторами в координатах

Сегодня вы научитесь

Считать в координатах

Решать обратные задачи

Работать с параметром

Доказывать и применять

Координаты вектора — по клеткам и по точкам

Действуем с каждой координатой отдельно

Проекции на оси складываются и умножаются

a{1;−3}, b{−2;3}

Образец: найдите координаты и длину c=2a−3b.

Сам: те же a и b

Неизвестный вектор — как неизвестное в уравнении

Образец: a{−1;2}, b{5;4}. Найдите x: 2x−a=b.

Сам

Точка M на AB, AM:MB=m:n

Сначала вектор, потом точка

Образец: A(−2;1), B(4;7), M∈AB, AM:MB=1:2. Найдите M.

Сам

Векторы a+kb при разных k

a{2;1}, b{−1;3}

Образец: при каком k векторы p​=a+kb и q​=2a−b коллинеарны?

Сам: те же a и b

Средняя линия четырёхугольника векторно

Координаты + векторное доказательство

Образец: A(−4;−2), B(−2;2), C(1;3), D(2;0). Докажите, что ABCD — трапеция; найдите среднюю линию.

Сам

Неверно → почему → верно

a{3;−2}, b{−2;2}. Найдите ∣2a−b∣

Решение ученика

a{−2;3}, b{4;−1}

Подумайте и решите

Клетка 1×1

Линия 18

Линия 19 · какие утверждения верны?

Нос катера — перпендикулярно берегу

Два варианта — решите свой

Вариант 1 · a{3;−1}, b{−2;4}

Вариант 2 · a{1;3}, b{3;−1}

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9U-061 · Практикум: действия с векторами в координатах

$a {1; - 3}$ , $b {- 2; 3}$

Образец: найдите координаты и длину $c = 2 a - 3 b$ .

Сам: те же $a$ и $b$

Образец: $a {- 1; 2}$ , $b {5; 4}$ . Найдите $x$ : $2 x - a = b$ .

Точка $M$ на $A B$ , $A M : MB = m : n$

Образец: $A (- 2; 1)$ , $B (4; 7)$ , $M \in A B$ , $A M : MB = 1 : 2$ . Найдите $M$ .

Векторы $a + k b$ при разных $k$

$a {2; 1}$ , $b {- 1; 3}$

Образец: при каком $k$ векторы $p = a + k b$ и $q = 2 a - b$ коллинеарны?

Сам: те же $a$ и $b$

Образец: $A (- 4; - 2)$ , $B (- 2; 2)$ , $C (1; 3)$ , $D (2; 0)$ . Докажите, что $A BC D$ — трапеция; найдите среднюю линию.

$a {3; - 2}$ , $b {- 2; 2}$ . Найдите $∣2 a - b ∣$

$a {- 2; 3}$ , $b {4; - 1}$

Клетка $1 \times 1$

Вариант 1 · $a {3; - 1}$ , $b {- 2; 4}$

Вариант 2 · $a {1; 3}$ , $b {3; - 1}$