Векторы · урок 16 из 20 · практикум

Практикум: координаты вектора

Геометрия · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R04 · GEOM9U-060

0,5 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Паспорт: R04 «Векторы» (20 ч), урок 16/20, единица R04.4 «Координаты вектора». Тип урока — П (практикум после урока GEOM9U-048).
Теория (12,5): титул 0,5 · цели 0,5 · опорный конспект 3 · ключевые конфигурации 2,5 · разбор у доски: вид четырёхугольника 3 · разбор у доски: середины сторон 3.
Практика (32,5): разминка 2,5 · образцы → сам 2 + 2 + 2,5 + 2,5 + 2,5 + 2,5 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2,5 · повышенный 2,5 · ОГЭ 2 · самостоятельная 4,5 · итог 1.
Действия над векторами в координатах (сумма, разность, $k a$ ) — следующий практикум GEOM9U-061 (R04.5); сегодня $k a {k x; k y}$ нужен только в задачах на коллинеарность.
Если не успеваете: задание 3 «сам» к образцам 3 и 6 и задание 3 повышенного уровня — в ДЗ.

R04.4

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Решать обратные задачи

находить начало или конец вектора, четвёртую вершину параллелограмма — все случаи

Определять вид фигуры

параллелограмм, ромб, трапеция, точки на одной прямой — по координатам

Строить вектор по условию

заданной длины, сонаправленный или противоположно направленный данному

Решать задачи с параметром

условия на длину и коллинеарность, с проверкой направления

повторение: R04.3 · R04.4

Разминка · устно

Вспоминаем за три минуты

Координаты вектора $a = 2 i - j$ ? ${2; - 1}$
$A (1; 4)$ , $B (3; - 2)$ . Координаты $A B$ ? ${2; - 6}$
Длина вектора ${6; - 8}$ ? $10$

$OM {- 3; 5}$ . Координаты точки $M$ ? $M (- 3; 5)$
$b = - 2 a$ , $∣ a ∣ = 1, 5$ . Найдите $∣ b ∣$ . $3$
Коллинеарны ли ${2; - 3}$ и ${- 4; 6}$ ? да, $k = - 2$

R04.4

Опорный конспект

Всё, что нужно сегодня

Что	Формула и как применять
Координаты вектора	$a = x i + y j \Leftrightarrow a {x; y}$ , разложение единственно
По началу и концу	$A B {x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A}}$ ; начало: $x_{A} = x_{B} - x$
Равные векторы	равны координаты; $A BC D$ — параллелограмм $\Leftrightarrow$ $A B = D C$
Коллинеарность	$x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} = 0$ ; $b = k a$ : $k > 0$ — сонаправлены, $k < 0$ — противоположно
Длина вектора	$∣ a ∣ = x^{2} + y^{2}$ , $∣ k a ∣ = ∣ k ∣ \cdot ∣ a ∣$
Единичный вектор	$e = \frac{1}{∣ a ∣} a$ — длина $1$ , сонаправлен $a$

R04.4

Ключевые конфигурации

Три идеи, на которых держится практикум

Параллелограмм

$A B = D C$ и $A$ , $B$ , $D$ не на одной прямой

Одна прямая

$A C$ $= k$ $A B$ $\Leftrightarrow$ $A$ , $B$ , $C$ на одной прямой

Длина и направление

$∣ k a ∣ = ∣ k ∣ \cdot ∣ a ∣$ , знак $k$ — направление

R04.4

Разбор у доски · вид четырёхугольника

Докажем, что $A BC D$ — ромб, но не квадрат

Дано:

A (- 2; 0)

,

B (1; 4)

,

C (6; 4)

,

D (3; 0)

.

1

A B {3; 4} = D C {3; 4}

\Rightarrow

параллелограмм

A D {5; 0}

:

3 \cdot 0 - 5 \cdot 4 \neq = 0

— не на одной прямой

2

A B = 5

,

A D = 5

\Rightarrow

ромбпараллелограмм с равными соседними сторонами

3

A C = 45

,

B D = 25

\Rightarrow

не квадрату квадрата (прямоугольника) диагонали равны

3 мин · теория (учитель решает, класс отвечает «почему?»)
Шаг 1: $A B {1 + 2; 4 - 0}$ , $D C {6 - 3; 4 - 0}$ . Проверка «не на одной прямой» отсекает вырожденный случай.
Шаг 2: $∣ A B ∣ = 9 + 16 = 5$ , $∣ A D ∣ = 5$ . Шаг 3: $A C {8; 4}$ , $A C = 80 = 45$ ; $B D {2; - 4}$ , $B D = 20 = 25$ .
План для любой задачи «определите вид»: 1) равные векторы сторон → параллелограмм; 2) длины соседних сторон → ромб; 3) длины диагоналей → прямоугольник/квадрат. Нет пары равных векторов — проверяем коллинеарность сторон (трапеция).

R04.4

Образец → сам · по клеткам

Координаты и коллинеарность на клетчатой бумаге

Образец: коллинеарны ли $a$ и $b$ ? Как направлены? (клетка — 1)

$a {4; 2}$ , $b {- 6; - 3}$ от начала к концу: вправо/вверх «+»

$4 \cdot (- 3) - (- 6) \cdot 2 = 0$ условие коллинеарности

$b = - 1, 5 a$ — противоположно $k < 0$

Сам

Координаты $c$ и $d$ ? ${2; 1}$ и ${2; - 3}$
Какой вектор сонаправлен $a$ ? $c$ : $a = 2 c$
Разложите $b$ по $i$ , $j$ . $b = - 6 i - 3 j$

R04.4

Образец → сам · обратная задача

Известны вектор и конец — найдите начало

Образец: $A B {- 3; 5}$ , $B (2; - 1)$ . Найдите точку $A$ .

$2 - x_{A} = - 3$ $\Rightarrow$ $x_{A} = 5$ конец минус начало

$- 1 - y_{A} = 5$ $\Rightarrow$ $y_{A} = - 6$ так же по ординате

$A (5; - 6)$ проверка: ${2 - 5; - 1 + 6} = {- 3; 5}$ ✓

Сам

$MN {4; - 2}$ , $M (- 1; 3)$ . Найдите $N$ . $N (3; 1)$
$A B = 2 i - 7 j$ , $B (0; 4)$ . Найдите $A$ . $A (- 2; 11)$
$PQ {- 5; 2}$ , $P (x; 7)$ , $Q$ — на оси $O y$ . Найдите $P$ и $Q$ . $P (5; 7)$ , $Q (0; 9)$

R04.4

Образец → сам · четвёртая вершина

Три точки — три параллелограмма

Образец: $A (1; 1)$ , $B (3; 4)$ , $C (6; 2)$ . Найдите все $D$ : $A$ , $B$ , $C$ , $D$ — вершины параллелограмма.

$C D_{1} = B A$ : $D_{1} (4; - 1)$ $D$ напротив $B$

$A D_{2} = CB$ : $D_{2} (- 2; 3)$ $D$ напротив $C$

$B D_{3} = A C$ : $D_{3} (8; 5)$ $D$ напротив $A$

Сам

$A BC D$ — параллелограмм, $A (0; 0)$ , $B (2; 3)$ , $C (5; 1)$ . Найдите $D$ . $D (3; - 2)$
$M (- 2; 1)$ , $N (1; 3)$ , $P (4; - 1)$ . Все $Q$ для параллелограмма? $(1; - 3)$ , $(- 5; 5)$ , $(7; 1)$
$A BC D$ — параллелограмм, $A (- 3; 2)$ , $B (1; 5)$ , $D (2; - 1)$ . Найдите $C$ и $BC$ . $C (6; 2)$ , $34$

R04.4

Образец → сам · трапеция и одна прямая

Коллинеарные векторы — параллельные стороны

Образец: $A (- 2; - 1)$ , $B (0; 3)$ , $C (4; 5)$ , $D (8; 4)$ . Докажите, что $A BC D$ — трапеция.

$BC {4; 2}$ , $A D {10; 5}$ $A D = 2, 5 BC$ $\Rightarrow$ $BC ∥ A D$

$A B {2; 4}$ , $D C {- 4; 1}$ $2 \cdot 1 - (- 4) \cdot 4 = 18 \neq = 0$

$A B ∦ C D$ — трапецияоснования $BC$ и $A D$

Сам

Лежат ли $K (1; 1)$ , $L (3; 4)$ , $M (7; 10)$ на одной прямой? да, $K M = 3 K L$
$A (0; 0)$ , $B (1; 3)$ , $C (6; 5)$ , $D (4; - 1)$ . Какие стороны параллельны? $A B ∥ C D$ , трапеция
При каком $y$ точки $A (- 1; 2)$ , $B (1; y)$ , $C (5; 11)$ на одной прямой? $y = 5$

R04.4

Разбор у доски · середины сторон

Середины сторон любого четырёхугольника

Теорема.

K

,

L

,

M

,

N

— середины

A B

,

BC

,

C D

,

D A

. Тогда

K L MN

— параллелограмм.

1

A (x_{1}; y_{1})

, …,

D (x_{4}; y_{4})

;

K (\frac{x _{1} + x _{2}}{2}; \frac{y _{1} + y _{2}}{2})

координаты середины отрезка (R03)

2

K L {\frac{x _{3} - x _{1}}{2}; \frac{y _{3} - y _{1}}{2}}

конец

L

минус начало

K

:

x_{2}

сокращается

3

NM {\frac{x _{3} - x _{1}}{2}; \frac{y _{3} - y _{1}}{2}}

так же: сокращается

x_{4}

4

K L = NM

\Rightarrow

K L MN

— параллелограмми

K L = \frac{1}{2} A C

3 мин · теория (учитель доказывает, класс проговаривает обоснования)
Шаг 2: $\frac{x _{2} + x _{3}}{2} - \frac{x _{1} + x _{2}}{2} = \frac{x _{3} - x _{1}}{2}$ . Шаг 3: $\frac{x _{3} + x _{4}}{2} - \frac{x _{1} + x _{4}}{2} = \frac{x _{3} - x _{1}}{2}$ .
Шаг 4: равные векторы $K L$ и $NM$ — признак параллелограмма (точки $K$ , $L$ , $N$ не на одной прямой для невырожденного четырёхугольника). Попутно: $K L ∥ A C$ и $K L = \frac{1}{2} A C$ — теорема о средней линии треугольника $A BC$ получена методом координат.
Сравните с 8 классом (теорема Вариньона доказывалась через среднюю линию): метод координат превращает доказательство в вычисление.

R04.4

Образец → сам · длина и направление

Вектор заданной длины, коллинеарный данному

Образец: $a {- 3; 4}$ . Найдите $b$ : $∣ b ∣ = 10$ , $b$ противоположно направлен $a$ .

$b = k a$ , $k < 0$ лемма о коллинеарных векторах

$∣ b ∣ = ∣ k ∣ \cdot 5 = 10$ $\Rightarrow$ $k = - 2$ $∣ a ∣ = 9 + 16 = 5$

$b {6; - 8}$ проверка: $36 + 64 = 10$ ✓

Сам

Единичный вектор, сонаправленный ${- 8; 6}$ ? ${- 0, 8; 0, 6}$
$c$ коллинеарен ${1; - 2}$ , $∣ c ∣ = 35$ . Найдите $c$ . ${3; - 6}$ или ${- 3; 6}$
$d$ противоположно направлен ${12; - 5}$ , $∣ d ∣ = 39$ . Найдите $d$ . ${- 36; 15}$

R04.4

Образец → сам · задача с параметром

Условие на длину — квадратное уравнение

Образец: при каких $m$ длина вектора $a {m - 1; 2 m}$ равна $5$ ?

$(m - 1)^{2} + 4 m^{2} = 25$ квадрат длины

$5 m^{2} - 2 m - 24 = 0$ $D = 4 + 480 = 484 = 2 2^{2}$

$m = 2, 4$ или $m = - 2$ ${1, 4; 4, 8}$ и ${- 3; - 4}$

Сам

При каких $t$ длина ${t; t + 1}$ равна $5$ ? $t = 3$ или $t = - 4$
При каком $m$ векторы ${m; 3}$ и ${m + 4; 9}$ коллинеарны? $m = 2$
При каком $m$ векторы ${m; 2}$ и ${8; m}$ противоположно направлены? $m = - 4$

R04.4

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$A B {- 3; 5}$ , $B (2; - 1)$ : $A (- 1; 4)$	к концу прибавили вектор	$A = B - A B$ : $A (5; - 6)$
${2; 4}$ и ${- 1; - 2}$ коллинеарны — значит, сонаправлены	не проверен знак $k$	$k = - \frac{1}{2} < 0$ — противоположно
$A B = C D$ $\Rightarrow$ $A BC D$ — параллелограмм	стороны $A B$ и $C D$ «смотрят» в разные стороны	нужно $A B = D C$
$∣ b ∣ = 26$ , $b ↑↓ {- 5; 12}$ : $b {- 10; 24}$	взяли $k = 2$ , направление потеряно	$k = - 2$ : $b {10; - 24}$

R04.4

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $A (0; 0)$ , $B (3; 4)$ , $C (7; 3)$ , $D (5; 0)$ . Вид $A BC D$ ?

$A B = 5$ , $A D = 5$

Соседние стороны равны — ромб.

$A B {3; 4} \neq = D C {2; 3}$ — не параллелограмм, не ромб

б) При каких $m$ $∣ {m; m - 7} ∣ = 13$ ?

$m^{2} + m^{2} + 49 = 169$

$m = \pm 215$

$(m - 7)^{2} = m^{2} - 14 m + 49$ : $m = 12$ или $m = - 5$

в) Лежат ли $A (1; 1)$ , $B (3; 2)$ , $C (7; 5)$ на одной прямой?

$A B {2; 1}$ , $A C {6; 4}$

$A C = 3 A B$ — лежат.

$3 {2; 1} = {6; 3}$ ;
$2 \cdot 4 - 6 \cdot 1 = 2 \neq = 0$ — не лежат

R04.4

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

база $a = - 4 j + 3 i$ . Координаты $a$ ? ${3; - 4}$
база $A (- 3; 5)$ , $B (2; - 7)$ . Найдите $B A$ . ${- 5; 12}$
базаНайдите длину $B A$ из задания 2. $13$

база $C D {6; - 1}$ , $C (- 2; 4)$ . Найдите $D$ . $D (4; 3)$
база $A (1; 2)$ , $B (4; 0)$ , $C (- 2; 5)$ , $D (1; 3)$ . Равны ли $A B$ и $C D$ ? да, ${3; - 2}$
базаПри каком $x$ векторы ${x; 6}$ и ${2; - 3}$ коллинеарны? $x = - 4$

R04.4 · из жизни

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш. $A (- 1; 3)$ , $B (5; - 5)$ . Найдите на оси $O x$ точку $C$ , для которой $A C$ коллинеарен $A B$ . $C (1, 25; 0)$
повыш. $A (4; 1)$ . Найдите на оси $O y$ все точки $M$ , для которых $∣ A M ∣ = 5$ . $M (0; 4)$ или $M (0; - 2)$
повыш.Найдите вектор длины $15$ , коллинеарный ${3; - 4}$ , с положительной абсциссой. ${9; - 12}$
из жизниДрон вылетел из точки $(0; 0)$ по направлению вектора ${3; 4}$ (км; $x$ — на восток, $y$ — на север). Где он будет, пролетев по прямой $15$ км? в точке $(9; 12)$

R04.4 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 18 и 19

Ответ — одно число

ОГЭ 18Клетка $1 \times 1$ . $M$ — середина $BC$ . Найдите длину $A M$ . $5$
ОГЭ 18Найдите сумму координат вектора $CB$ . $- 2$

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Векторы ${1; 2}$ и ${2; 1}$ коллинеарны.
Если $A B = D C$ и $A$ , $B$ , $D$ не лежат на одной прямой, то $A BC D$ — параллелограмм.
Длина вектора ${- 6; 8}$ равна $10$ .

Ответ: 23

R04.4

Самостоятельная работа · 4,5 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$A (- 3; 4)$ , $B (5; - 2)$ . Найдите $A B$ и $A B$ . ${8; - 6}$ , $10$
$MN {- 2; 5}$ , $N (3; 1)$ . Найдите $M$ . $M (5; - 4)$
Докажите, что $A (- 1; 0)$ , $B (1; 3)$ , $C (6; 2)$ , $D (4; - 1)$ — вершины параллелограмма $A BC D$ . $A B = D C = {2; 3}$
Вектор длины $5$ , противоположно направленный ${8; - 6}$ ? ${- 4; 3}$

Вариант 2

$A (4; - 1)$ , $B (- 1; 11)$ . Найдите $A B$ и $A B$ . ${- 5; 12}$ , $13$
$PQ {3; - 4}$ , $Q (- 1; 2)$ . Найдите $P$ . $P (- 4; 6)$
Докажите, что $A (- 2; 1)$ , $B (1; 3)$ , $C (5; 2)$ , $D (2; 0)$ — вершины параллелограмма $A BC D$ . $A B = D C = {3; 2}$
Вектор длины $26$ , сонаправленный ${5; - 12}$ ? ${10; - 24}$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как найти начало вектора по концу и координатам?
Сколько параллелограммов задают три точки?
Как выбрать знак $k$ в задаче «вектор заданной длины»?

Домашнее задание

$A (- 2; 3)$ , $B (4; - 5)$ . Найдите $A B$ и $A B$ .
Докажите, что $A (- 3; - 1)$ , $B (1; 2)$ , $C (6; 2)$ , $D (2; - 1)$ — вершины ромба $A BC D$ .
* При каких $m$ $∣ {m + 1; m - 1} ∣ = 25$ ?
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_adv_vektory-koordinaty.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9U-060 · Практикум: координаты вектора

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R04 «Векторы», 20 ч · урок 16/20 · тип П (практикум)
Единицы → слайды	R04.4 «Координаты вектора» → 2, 4–20 · повторение (R04.3, R04.4) → 3
Результаты	ПР-12 → 4–20 · ПР-9, ПР-10 (метод координат, опора) → 6, 11, 17
Виды деятельности	«Решать геометрические задачи с использованием векторов» → 6, 9, 10, 11, 19 · «исследовать геометрический (перемещение) смысл» → 17 (задача 4)
ОГЭ	линия 18 → 18 (задачи 1, 2) · линия 19 → 18
Вне урока	действия над векторами в координатах — GEOM9U-061 (R04.5); базис — R04.7–R04.8; скалярное произведение — R04.9
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: координаты вектора

Сегодня вы научитесь

Решать обратные задачи

Определять вид фигуры

Строить вектор по условию

Решать задачи с параметром

Вспоминаем за три минуты

Всё, что нужно сегодня

Три идеи, на которых держится практикум

Параллелограмм

Одна прямая

Длина и направление

Докажем, что ABCD — ромб, но не квадрат

Координаты и коллинеарность на клетчатой бумаге

Образец: коллинеарны ли a и b? Как направлены? (клетка — 1)

Сам

Известны вектор и конец — найдите начало

Образец: AB{−3;5}, B(2;−1). Найдите точку A.

Сам

Три точки — три параллелограмма

Образец: A(1;1), B(3;4), C(6;2). Найдите все D: A, B, C, D — вершины параллелограмма.

Сам

Коллинеарные векторы — параллельные стороны

Образец: A(−2;−1), B(0;3), C(4;5), D(8;4). Докажите, что ABCD — трапеция.

Сам

Середины сторон любого четырёхугольника

Вектор заданной длины, коллинеарный данному

Образец: a{−3;4}. Найдите b: ∣b∣=10, b противоположно направлен a.

Сам

Условие на длину — квадратное уравнение

Образец: при каких m длина вектора a{m−1;2m} равна 5?

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) A(0;0), B(3;4), C(7;3), D(5;0). Вид ABCD?

б) При каких m ∣{m;m−7}∣=13?

в) Лежат ли A(1;1), B(3;2), C(7;5) на одной прямой?

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9U-060 · Практикум: координаты вектора

Докажем, что $A BC D$ — ромб, но не квадрат

Образец: коллинеарны ли $a$ и $b$ ? Как направлены? (клетка — 1)

Образец: $A B {- 3; 5}$ , $B (2; - 1)$ . Найдите точку $A$ .

Образец: $A (1; 1)$ , $B (3; 4)$ , $C (6; 2)$ . Найдите все $D$ : $A$ , $B$ , $C$ , $D$ — вершины параллелограмма.

Образец: $A (- 2; - 1)$ , $B (0; 3)$ , $C (4; 5)$ , $D (8; 4)$ . Докажите, что $A BC D$ — трапеция.

Образец: $a {- 3; 4}$ . Найдите $b$ : $∣ b ∣ = 10$ , $b$ противоположно направлен $a$ .

Образец: при каких $m$ длина вектора $a {m - 1; 2 m}$ равна $5$ ?

а) $A (0; 0)$ , $B (3; 4)$ , $C (7; 3)$ , $D (5; 0)$ . Вид $A BC D$ ?

б) При каких $m$ $∣ {m; m - 7} ∣ = 13$ ?

в) Лежат ли $A (1; 1)$ , $B (3; 2)$ , $C (7; 5)$ на одной прямой?