Векторы · урок 14 из 20 · практикум

Сложение и вычитание векторов

Геометрия · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R04 · GEOM9U-058

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R04 «Векторы» (20 ч), урок 14/20, единица R04.2 «Сложение и вычитание векторов – правила треугольника и параллелограмма». Тип урока — П (практикум).
Теория (12): титул 0,5 · цели 0,5 · сводка 2,5 · тождество параллелограмма (доказательство) 2,5 · неравенство треугольника 2,5 · разбор у доски: медианы 3,5.
Практика (33): разминка 2,5 · образцы → сам 2,5 + 2,5 + 2,5 + 2,5 + 2,5 + 2,5 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2 · повышенный 2,5 · ОГЭ 2 · самостоятельная 4,5 · итог 1.
По сравнению с уроком GEOM9U-046 (первое знакомство) новые типы задач: выражения со скобками, векторные уравнения, длины суммы и разности в фигурах, обратная задача (угол по длинам), доказательства через замкнутую цепочку, относительная скорость.
Если не успеваете: образец 6 (катер) — в ДЗ; сводку и опорные факты не сокращать.

R04.2

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Упрощать выражения

со скобками и разностями, решать векторные уравнения (ПР-12)

Находить длины

суммы и разности векторов в фигурах; угол по длинам (ПР-12)

Доказывать

векторные равенства через замкнутую цепочку

Применять

сложение скоростей: катер, самолёт, пловец

0,5 мин · теория
ПР-12: «Владеть понятием вектора. Уметь складывать и вычитать векторы, умножать на число, владеть правилами треугольника и параллелограмма. Владеть практическими интерпретациями векторов…».
Вид деятельности ФРП R04: «Знать определения суммы и разности векторов… исследовать геометрический и физический смысл этих операций. Решать геометрические задачи с использованием векторов».
Умножение вектора на число — следующий практикум (GEOM9U-059); сегодня его не используем.

повторение: R04.1–R04.2

Разминка · устно

Прямоугольник $A BC D$ , $O$ — точка пересечения диагоналей

$A B$ $+$ $BC$ $A C$
$A B$ $+$ $A D$ $A C$
$∣ A B + A D ∣$ $10$
$O A$ $+$ $OC$ $0$
$D A$ $-$ $D C$ $C A$
$∣ OB - O A ∣$ $6$
Вектор с началом $O$ , равный $A O$ $OC$

R04.2

Сводка · правила и приёмы

Три правила и три приёма упрощения

цепочка:

A B

+

BC

=

A C

; от одной точки — диагонали

a + b

и

a - b

1

- X Y = Y X

разность → сумма

2

O A - OB = B A

общее начало: от вычитаемого к уменьшаемому

3

A B = A X + XB

вставка точки

2,5 мин · теория
Сводка по уроку GEOM9U-046: правило треугольника (цепочкой), параллелограмма (от одной точки), разность из общего начала. Вопрос классу: почему $a - b$ — это $D B$ , а не $B D$ ? (Проверка: $A D + D B = A B$ .)
Приёмы открываются по щелчку: 1) каждую разность заменить суммой с противоположным вектором; 2) разность векторов с общим началом — сразу вектор «от вычитаемого к уменьшаемому»; 3) вставить промежуточную точку — главный приём в доказательствах.
Все законы сложения (переместительный, сочетательный) работают, поэтому векторные выражения преобразуют, как алгебраические: раскрывают скобки, переносят слагаемые с противоположным знаком.

R04.2

Образец → сам · выражение со скобками

Скобки, минусы — и снова цепочка

Образец: упростите $(A B - CB) - (D E - D A)$ .

$A B - CB = A B + BC = A C$ разность → сумма

$D E - D A = A E$ общее начало $D$

$A C - A E = EC$ общее начало $A$

Ответ: $EC$ проверка: $A E + EC = A C$

Сам: упростите

$(MN - K N) + (K P - MP)$ $0$
$A B - (CB + A C) + D A$ $D A$
$(O A - OB) - (OC - OB) + A D$ $C D$

R04.2

Образец → сам · векторное уравнение

Найдите неизвестный вектор

Образец: найдите $x$ , если $A B + x - CB = A D$ .

$x = A D - A B + CB$ прибавили к обеим частям $- A B$ и $CB$

$A D - A B = B D$ общее начало $A$

$CB + B D = C D$ правило треугольника

$x = C D$ проверка: $A B + BC + C D = A D$

Сам: найдите $x$

$x + M K = MP$ $K P$
$A B - x = CB$ $A C$
$O A - x + BC = OC$ $B A$

R04.2

Опорный факт · доказательство

$∣ a + b ∣^{2} + ∣ a - b ∣^{2} = 2 (∣ a ∣^{2} + ∣ b ∣^{2})$

A B = a

,

A D = b

,

∣ a ∣ = a

,

∣ b ∣ = b

,

∠ A = φ

1

a + b = A C

,

a - b = D B

правило параллелограмма; разность из общего начала

2

d_{1}^{2} = a^{2} + b^{2} + 2 ab cos φ

т. косинусов в

△ A BC

:

cos (18 0^{\circ} - φ) = - cos φ

3

d_{2}^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos φ

т. косинусов в

△ A B D

4

d_{1}^{2} + d_{2}^{2} = 2 (a^{2} + b^{2})

сложили; сумма квадратов диагоналей = сумме квадратов всех сторон

R04.2

Образец → сам · длины в фигуре

Сумма и разность — две диагонали параллелограмма

Образец: в $△ A BC$ $A B = 5$ , $A C = 8$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите $∣ A B - A C ∣$ и $∣ A B + A C ∣$ .

$A B - A C = CB$ общее начало $A$

$B C^{2} = 25 + 64 - 40 = 49$ , $7$ т. косинусов, $cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$

$A B + A C = A D$ $A B D C$ — параллелограмм

$A D^{2} = 25 + 64 + 40$ , $129$ $△ A B D$ , $∠ B = 12 0^{\circ}$

Сам: найдите

Квадрат $A BC D$ , сторона $4$ : $∣ A B + A C ∣$ $45$
Равносторонний $△ A BC$ , сторона $6$ : $∣ B A + BC ∣$ $63$
$△ A BC$ : $A B = 3$ , $A C = 5$ , $∠ A = 12 0^{\circ}$ : $∣ A B + A C ∣$ $19$

R04.2

Образец → сам · обратная задача

По длинам — длину и угол

Образец: $∣ a ∣ = 3$ , $∣ b ∣ = 5$ , $∣ a + b ∣ = 7$ . Найдите $∣ a - b ∣$ и угол между $a$ и $b$ .

$∣ a - b ∣^{2}$ $= 2 (9 + 25) - 49 = 19$ тождество параллелограмма

$∣ a - b ∣ = 19$

$49 = 9 + 25 + 2 \cdot 3 \cdot 5 cos φ$ $d_{1}^{2} = a^{2} + b^{2} + 2 ab cos φ$

$cos φ = \frac{1}{2}$ , $φ = 6 0^{\circ}$

Сам: найдите

$∣ a ∣ = ∣ b ∣ = 5$ , $∣ a - b ∣ = 6$ : $∣ a + b ∣$ $8$
$∣ a ∣ = 4$ , $∣ b ∣ = 6$ , $∣ a + b ∣ = ∣ a - b ∣$ : угол $9 0^{\circ}$
$∣ a ∣ = 2$ , $∣ b ∣ = 3$ , $∣ a - b ∣ = 7$ : угол $6 0^{\circ}$

R04.2

Опорный факт · неравенство треугольника

$∣ a ∣ - ∣ b ∣ \leq ∣ a + b ∣ \leq ∣ a ∣ + ∣ b ∣$

$a ↑↑ b$

$∣ a + b ∣ = ∣ a ∣ + ∣ b ∣$

$a ↑↓ b$

$∣ a + b ∣ = ∣ a ∣ - ∣ b ∣$

не коллинеарны

строгие неравенства

То же для

∣ a - b ∣

; равенство — только для коллинеарных векторов.

R04.2

Разбор у доски · точка пересечения медиан

$G$ — точка пересечения медиан: $G A + GB + GC = 0$

1

M

— середина

BC

; отложим

M D = GM

построение на луче

GM

2

GB D C

— параллелограммдиагонали

G D

и

BC

делятся точкой

M

пополам

3

GB

+

GC

=

G D

правило параллелограмма

4

G D = 2 GM = A G

,

G D

= -

G A

медиана делится в отношении

2 : 1

от вершины; лучи противоположны

5

G A + G D = 0

сумма противоположных векторов

3,5 мин · теория (учитель доказывает у доски, класс записывает план)
План: «удвоить медиану» — достроить треугольник до параллелограмма, затем свести сумму трёх векторов к сумме двух противоположных.
Шаг 4: по свойству медиан (8 класс) $A G : GM = 2 : 1$ , значит $G D = 2 GM = A G$ ; точки $A$ , $G$ , $D$ лежат на одной прямой, $G$ между $A$ и $D$ , поэтому $G D$ и $G A$ противоположны.
Чертёж точный: $A (2; 6)$ , $B (0; 0)$ , $C (8; 0)$ , $G (\frac{10}{3}; 2)$ , $M (4; 0)$ , $D (\frac{14}{3}; - 2)$ . Этот факт понадобится в теме «центр масс» (GEOM9U-050, практикум GEOM9U-062).

R04.2

Образец → сам · доказательство

Доказательство через замкнутую цепочку

Образец: в шестиугольнике $A BC D EF$ $A B = E D$ , $BC = FE$ . Докажите: $C D = A F$ .

$A B + BC + C D + D E + EF + F A = 0$ цепочка замкнулась

$A B + D E = 0$ , $BC + EF = 0$ по условию — противоположные

$C D + F A = 0$ остаток суммы

$C D = - F A = A F$

Сам: докажите

Для любых $A$ , $B$ , $C$ , $D$ : если $A B = D C$ , то $A D = BC$ $A D = A B + B D$ $= B D + D C$
$O A + OC = OB + O D$ , $A$ , $B$ , $C$ не на одной прямой ⇒ $A BC D$ — параллелограмм $B A = C D$ , т. е. $A B = D C$

R04.2

Образец → сам · задача из жизни

Сложение скоростей

Образец: катер идёт относительно воды со скоростью $10$ км/ч, течение $6$ км/ч. С какой скоростью катер пересекает реку строго поперёк?

$v$ $=$ $v_{к}$ $+$ $u$ скорость относительно берега = сумма

$v$ $⊥$ $u$ , $∣ v_{к} ∣ = 10$ — гипотенуза правило треугольника

$∣ v ∣ = 100 - 36 = 8$ км/ч теорема Пифагора

Сам: найдите скорость

Самолёт $400$ км/ч на север, ветер $300$ км/ч на восток $500$ км/ч
Пловец $2$ км/ч поперёк реки, течение $1, 5$ км/ч $2, 5$ км/ч
Катер $13$ км/ч, течение $5$ км/ч, плыть строго поперёк $12$ км/ч

R04.2

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$x + A B = A C$ ⇒ $x = A C + A B$	перенос слагаемого — со сменой знака	$x = A C - A B = BC$
угол между $A B$ и $BC$ равен $∠ B$	угол между векторами — при общем начале	$18 0^{\circ} - ∠ B$
в $△ A BC$ : $∣ A B + A C ∣ = BC$	$BC$ — длина разности, сумма — другая диагональ	$∣ A B - A C ∣ = BC$ , сумма — $2 m_{a}$

R04.2

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $△ A BC$ равносторонний, сторона $4$ . Найдите $∣ A B + BC ∣$ .

угол между векторами $6 0^{\circ}$

$16 + 16 + 16 = 48$ , ответ $43$

угол $12 0^{\circ}$ ; проще: $A B + BC = A C$ , ответ $4$

б) Найдите $x$ : $A B - x = A C$ .

$x = A C - A B$

$x = BC$

$x = A B - A C = CB$

в) $∣ a ∣ = 6$ , $∣ b ∣ = 4$ , $a ↑↓ b$ . Найдите $∣ a - b ∣$ .

$∣ a - b ∣ = 6 - 4 = 2$

$- b ↑↑ a$ : $∣ a - b ∣ = 6 + 4 = 10$

R04.2

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

базаУпростите $A B - CB + C A$ $0$
базаНайдите $x$ : $x + BC = A C$ $A B$
базаРомб $A BC D$ , сторона $5$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ : $∣ A B + A D ∣$ $53$
база $∣ a ∣ = ∣ b ∣ = 1$ , $a ⊥ b$ : $∣ a - b ∣$ $2$
база $∣ a ∣ = 8$ , $∣ b ∣ = 15$ , $a ⊥ b$ : $∣ a + b ∣$ $17$
базаКвадрат $A BC D$ , сторона $3$ : $∣ A B + C D ∣$ $0$

R04.2

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш. $∣ a ∣ = 3$ , $∣ b ∣ = 7$ . Какие значения может принимать $∣ a + b ∣$ ? $[4; 10]$
повыш. $∣ a ∣ = ∣ b ∣ = ∣ a + b ∣ = 1$ . Найдите $∣ a - b ∣$ $3$
повыш.Найдите $x$ : $(M A - MB) - x = C A$ $BC$
доказать $A BC D$ — параллелограмм, $M$ — любая точка: $M A + MC = MB + M D$ $M A - MB = B A = C D = M D - MC$

R04.2 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 17, 18 и 19

Ответ — число или номера утверждений

ОГЭ 17Диагонали ромба $A BC D$ равны $12$ и $16$ . Найдите длину вектора $A B + BC + C D$ . $10$

ОГЭ 19Какие утверждения верны?

Длина разности двух векторов не больше суммы их длин.
Если $a + b = 0$ , то $b = - a$ .
Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов двух его соседних сторон.

Ответ: 12

ОГЭ 18На клетчатой бумаге с клетками $1 \times 1$ изображены векторы $a$ и $b$ . Найдите длину вектора $a + b$ .

Ответ: $5$

R04.2

Самостоятельная работа · 4,5 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Упростите $(A B - CB) + C D - A D$ $0$
Найдите $x$ : $x - K M = MP$ $K P$
$△ A BC$ : $A B = 3$ , $A C = 8$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите $∣ A B - A C ∣$ $7$
$∣ a ∣ = 5$ , $∣ b ∣ = 6$ , $∣ a + b ∣ = 9$ . Найдите $∣ a - b ∣$ $41$

Вариант 2

Упростите $(MN - PN) + P K - M K$ $0$
Найдите $x$ : $A B + x = CB$ $C A$
$△ A BC$ : $A B = 3$ , $A C = 5$ , $∠ A = 12 0^{\circ}$ . Найдите $∣ A B - A C ∣$ $7$
$∣ a ∣ = 4$ , $∣ b ∣ = 6$ , $∣ a - b ∣ = 6$ . Найдите $∣ a + b ∣$ $217$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как перенести вектор в другую часть равенства?
Чему равна сумма квадратов диагоналей параллелограмма?
Когда $∣ a + b ∣ = ∣ a ∣ + ∣ b ∣$ ?

Домашнее задание

Найдите $x$ : $A B - x + C D = CB$ .
$∣ a ∣ = ∣ b ∣ = ∣ a + b ∣ = 2$ : найдите $∣ a - b ∣$ и угол.
$A B = E D$ , $C D = A F$ в шестиугольнике $A BC D EF$ . Докажите: $BC = FE$ .
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_adv_vektory-koordinaty.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9U-058 · Практикум: Сложение и вычитание векторов – правила треугольника и параллелограмма

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R04 «Векторы», 20 ч · урок 14/20 · тип П (практикум)
Единицы → слайды	R04.2 «Сложение и вычитание векторов – правила треугольника и параллелограмма» → 2, 4–20 · повторение R04.1 (равные, противоположные векторы) → 3
Результаты	ПР-12 (сложение и вычитание векторов, правила треугольника и параллелограмма, практические интерпретации) → 4–20
Вне урока	умножение вектора на число — GEOM9U-059; координаты — GEOM9U-060, 061; центр масс — GEOM9U-062 (здесь только $G A + GB + GC = 0$ , сл. 11)
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Сложение и вычитание векторов

Сегодня вы научитесь

Упрощать выражения

Находить длины

Доказывать

Применять

Прямоугольник ABCD, O — точка пересечения диагоналей

Три правила и три приёма упрощения

Скобки, минусы — и снова цепочка

Образец: упростите (AB−CB)−(DE−DA).

Сам: упростите

Найдите неизвестный вектор

Образец: найдите x, если AB+x−CB=AD.

Сам: найдите x

∣a+b∣2+∣a−b∣2=2(∣a∣2+∣b∣2)

Сумма и разность — две диагонали параллелограмма

Образец: в △ABC AB=5, AC=8, ∠A=60∘. Найдите ∣AB−AC∣ и ∣AB+AC∣.

Сам: найдите

По длинам — длину и угол

Образец: ∣a∣=3, ∣b∣=5, ∣a+b∣=7. Найдите ∣a−b∣ и угол между a и b.

Сам: найдите

​∣a∣−∣b∣​≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣

a↑↑b

a↑↓b

не коллинеарны

G — точка пересечения медиан: GA+GB+GC=0

Доказательство через замкнутую цепочку

Образец: в шестиугольнике ABCDEF AB=ED, BC=FE. Докажите: CD=AF.

Сам: докажите

Сложение скоростей

Образец: катер идёт относительно воды со скоростью 10 км/ч, течение 6 км/ч. С какой скоростью катер пересекает реку строго поперёк?

Сам: найдите скорость

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) △ABC равносторонний, сторона 4. Найдите ∣AB+BC∣.

б) Найдите x: AB−x=AC.

в) ∣a∣=6, ∣b∣=4, a↑↓b. Найдите ∣a−b∣.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — число или номера утверждений

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9U-058 · Практикум: Сложение и вычитание векторов – правила треугольника и параллелограмма

Прямоугольник $A BC D$ , $O$ — точка пересечения диагоналей

Образец: упростите $(A B - CB) - (D E - D A)$ .

Образец: найдите $x$ , если $A B + x - CB = A D$ .

Сам: найдите $x$

$∣ a + b ∣^{2} + ∣ a - b ∣^{2} = 2 (∣ a ∣^{2} + ∣ b ∣^{2})$

Образец: в $△ A BC$ $A B = 5$ , $A C = 8$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите $∣ A B - A C ∣$ и $∣ A B + A C ∣$ .

Образец: $∣ a ∣ = 3$ , $∣ b ∣ = 5$ , $∣ a + b ∣ = 7$ . Найдите $∣ a - b ∣$ и угол между $a$ и $b$ .

$∣ a ∣ - ∣ b ∣ \leq ∣ a + b ∣ \leq ∣ a ∣ + ∣ b ∣$

$a ↑↑ b$

$a ↑↓ b$

$G$ — точка пересечения медиан: $G A + GB + GC = 0$

Образец: в шестиугольнике $A BC D EF$ $A B = E D$ , $BC = FE$ . Докажите: $C D = A F$ .

Образец: катер идёт относительно воды со скоростью $10$ км/ч, течение $6$ км/ч. С какой скоростью катер пересекает реку строго поперёк?

а) $△ A BC$ равносторонний, сторона $4$ . Найдите $∣ A B + BC ∣$ .

б) Найдите $x$ : $A B - x = A C$ .

в) $∣ a ∣ = 6$ , $∣ b ∣ = 4$ , $a ↑↓ b$ . Найдите $∣ a - b ∣$ .