Векторы · урок 13 из 20 · практикум

Практикум: векторы на плоскости

Геометрия · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R04 · GEOM9U-057

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Паспорт: R04 «Векторы» (20 ч), урок 13/20, единица R04.1 «Векторы на плоскости». Тип урока — П (практикум после уроков 1–12 строки).
Теория (12,5): титул 0,5 · цели 0,5 · сводка 2,5 · смысл 1,5 · метод равенства 2 · метод коллинеарности 2 · доказательство учителя 3,5.
Практика (32,5): разминка 2 · образцы → сам 2,5 + 2,5 + 2,5 + 3 + 2 · ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2 · повышенный 2,5 · ОГЭ 2 · из жизни 2 · самостоятельная 5 · итог 1.
Ученики уже знают сложение векторов, умножение на число и координаты вектора — на практикуме это инструменты проверки равенства и коллинеарности. Если не успеваете: образец 5 (подсчёт векторов) — в ДЗ.

R04.1

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Узнавать равные векторы

на чертеже фигуры и по координатам концов (ПР-12)

Проверять коллинеарность

сонаправленность и противоположную направленность в координатах

Доказывать векторно

равенство векторов, вид четырёхугольника, точки на одной прямой

Применять

перемещения и силы, подсчёт векторов, задачи ОГЭ 17–19

повторение R04.1–R04.4

Разминка · устно

$A BC D$ — параллелограмм, $O$ — точка пересечения диагоналей

Вектор, равный $A B$ ? $D C$
Вектор, равный $A O$ ? $OC$
Векторы длины $BO$ , противоположные $BO$ ? $OB, D O$
Коллинеарны ли $A C$ и $B D$ ? нет
$∣ A C ∣ = 10$ . Найдите $∣ O A ∣$ $5$
$A (1; 2)$ , $B (4; 6)$ . Найдите $∣ A B ∣$ $5$
$A B {3; - 4}$ . Координаты $B A$ ? ${- 3; 4}$

R04.1

Сводка · понятия и проверка

Понятие → как проверить на чертеже и в координатах

Понятие	На чертеже	В координатах
Длина	$∣ A B ∣ = A B$	$∣ a ∣ = x^{2} + y^{2}$
Нулевой	$AA = 0$ , коллинеарен любому	$0 {0; 0}$
Коллинеарные	одна прямая или параллельные прямые	$x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} = 0$
$↑↑$ и $↑↓$	в одну или в разные стороны	$b = k a$ : $k > 0$ или $k < 0$
Равные	$↑↑$ и равные длины	равные координаты

R04.1

Смысл вектора · перемещение и сила

Модуль + направление (+ точка приложения)

Перемещение

PQ

— от старта к финишу; путь

\geq ∣ PQ ∣

.

Сила: модуль (Н), направление, точка приложения.

Две силы в одной точке уравновешены, если модули равны, а направления противоположны:

F_{2} = - F_{1}

.

R04.1

Образец → сам · равные векторы на чертеже

$A BC D$ — параллелограмм, $M$ и $N$ — середины $BC$ и $A D$

Образец: какие векторы с концами в отмеченных точках равны $A N$ ?

$N D = A N$ $N$ — середина $A D$ : та же прямая, $A N = N D$ , одно направление

$BM = MC = A N$ $BC ∥ A D$ , $BM = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} A D = A N$ , обход в ту же сторону

Сам: назовите равные векторы

равные $A B$ $NM, D C$
равные $MN$ $B A, C D$
равный $BN$ $M D$

R04.1

Метод · как доказать равенство векторов

Три равносильных способа

A B = D C

сонаправлены, равные длины

⟺ A BC D

— параллелограмм если точки не на одной прямой

⟺

середины

A C

и

B D

совпадают

⟺ B - A = C - D

равные координаты

R04.1

Образец → сам · достроить параллелограмм

Четвёртая вершина по равенству векторов

Образец: $A (- 2; 1)$ , $B (1; 5)$ , $C (6; 3)$ . Найдите $D$ : $A BC D$ — параллелограмм.

$A B = D C$ стороны $A B$ и $D C$ при обходе $A BC D$

$A B {3; 4}$ $1 - (- 2)$ , $5 - 1$

$D = (3; - 1)$ $C - D = {3; 4}$ : $(6 - 3; 3 - 4)$

середины $A C$ и $B D$ : $(2; 2)$ ✓ проверка

Сам: $A (1; - 2)$ , $B (4; 2)$ , $C (7; 0)$

$D$ , если $A BC D$ — параллелограмм $(4; - 4)$
$D$ , если $A B = C D$ $(10; 4)$
Сколько всего точек $D$ дают параллелограмм с вершинами $A, B, C, D$ ? три; третья $(- 2; 0)$

R04.1

Метод · коллинеарность в координатах

Коллинеарны ⇔ один получается из другого умножением на число

b = k a ⟺ x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} = 0

b {4; 2} = 2 a {2; 1}

k > 0

:

↑↑

c {- 2; - 1} = - a

k < 0

:

↑↓

d {1; 2}

:

2 \cdot 2 - 1 \cdot 1 \neq = 0

не коллинеарен

a

R04.1

Образец → сам · коллинеарность и вид фигуры

Докажите, что $A BC D$ — трапеция

Образец: $A (- 3; 0)$ , $B (- 1; 4)$ , $C (3; 6)$ , $D (5; 4)$ .

$BC {4; 2}$ , $A D {8; 4}$ разности координат

$A D = 2 BC$ ⇒ $A D ∥ BC$ $k = 2$ , и $B \in / A D$

$A B {2; 4}$ , $D C {- 2; 2}$ не коллинеарны $2 \cdot 2 - 4 \cdot (- 2) = 12 \neq = 0$

трапеция, $A D = 2 BC$

Сам: коллинеарны ли векторы?

${3; - 4}$ и ${- 6; 8}$ да, $↑↓$
${2; 5}$ и ${4; 9}$ нет
При каком $x$ коллинеарны ${x; 6}$ и ${2; - 3}$ ? $x = - 4$
$K (1; 1)$ , $L (3; 4)$ , $P (7; 10)$ на одной прямой? да: $K P = 3 K L$

R04.1 · углублённый

Доказательство · решает учитель

Середины сторон любого четырёхугольника

Дано:

K, L, M, N

— середины

A B

,

BC

,

C D

,

D A

.
Доказать:

K L = NM

.

1

K L = K B + B L = \frac{1}{2} A B + \frac{1}{2} BC

правило треугольника; середины сторон

2

NM = N D + D M = \frac{1}{2} A D + \frac{1}{2} D C

то же для

△ A D C

3обе суммы равны

\frac{1}{2} A C

A B + BC = A D + D C = A C

4

K L = NM

⇒

K L MN

— параллелограммпризнак: равные векторы противоположных сторон

R04.1

Образец → сам · доказательство равенства

План: прямая (параллельность) → длина → направление

Образец: $M, N, P$ — середины $A B$ , $A C$ , $BC$ . Докажите: $MN = BP$ .

$MN = \frac{1}{2} BC$ $M A + A N = \frac{1}{2} (B A + A C)$

$BP = \frac{1}{2} BC$ $P$ — середина $BC$

$MN = BP$ , $MNPB$ — параллелограмм одно и то же $\frac{1}{2} BC$

Сам: докажите (план устно)

$A BC D$ — параллелограмм, $O$ — центр: $A O = OC$ $A O = OC$ , одна прямая, одно направление
$A B = D C$ , $∣ A C ∣ = ∣ B D ∣$ ⇒ $A BC D$ — прямоугольник ( $A, B, C$ не на одной прямой) параллелограмм с равными диагоналями
Трапеция $A BC D$ , $A D = 2 BC$ , $M$ — середина $A D$ : $BC = A M$ $A M = BC$ , $A M ∥ BC$ , $↑↑$

R04.1 · углублённый

Образец → сам · сколько различных векторов

Считаем пары точек и вычёркиваем равные векторы

Образец: сколько различных ненулевых векторов задают вершины параллелограмма $A BC D$ ?

$4 \cdot 3 = 12$ векторов начало — любая из 4 вершин, конец — любая из 3 других

$A B = D C$ , $B A = C D$ , $A D = BC$ , $D A = CB$ 4 совпадения

$12 - 4 = 8$ различных векторов

Сам: сколько различных ненулевых векторов?

$A$ , $B$ , $C$ на прямой, $A B = BC$ $4$
вершины параллелограмма и точка $O$ пересечения диагоналей $12$
вершины треугольника и середины его сторон $18$

R04.1

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
${2; 3} ∥ {4; 9}$ : координаты выросли	отношения $2$ и $3$ разные	не коллинеарны
$A B = C D$ ⇒ $A BC D$ — параллелограмм	перепутан порядок вершин	параллелограмм $A B D C$
$a ∥ b$ , $b ∥ c$ ⇒ $a ∥ c$ всегда	при $b = 0$ неверно	верно, если $b \neq = 0$

R04.1

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $A (1; 2)$ , $B (3; 5)$ , $C (6; 4)$ . Найти $D$ : $A BC D$ — параллелограмм.

$A B = C D$ , $A B {2; 3}$

$D = (8; 7)$

нужно $A B = D C$ : $D = (4; 1)$

б) Как направлены $a {- 2; 6}$ и $b {1; - 3}$ ?

$a = - 2 b$ , $∣ k ∣ = 2$ ,

значит, $a ↑↑ b$

$k = - 2 < 0$ ⇒ $a ↑↓ b$

в) Трапеция $A BC D$ , $A D ∥ BC$ , $A D = 8$ , $BC = 4$ .

$A D = 2 BC$ ,

значит, $A D = 2 CB$

$CB ↑↓ A D$ : верно $A D = 2 BC$

R04.1

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

база $A (- 1; 3)$ , $B (5; - 5)$ . Найдите $∣ A B ∣$ $10$
база $A B {- 3; 4}$ , $A (2; - 1)$ . Найдите $B$ $B (- 1; 3)$
база $A (0; 1)$ , $B (2; 4)$ , $C (- 3; - 2)$ , $D (- 1; 1)$ . Равны ли $A B$ и $C D$ ? да
базаКоллинеарны ли ${4; - 6}$ и ${- 2; 3}$ ? Как направлены? да, $↑↓$
база $A BC D$ — квадрат со стороной $4$ . Найдите $∣ A C ∣$ $42$
база $A BC D EF$ — правильный шестиугольник. Вектор, равный $A B$ ? $E D$

R04.1 · углублённый

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.При каких $m$ векторы ${m; 4}$ и ${1; m}$ коллинеарны? Когда сонаправлены? $m = \pm 2$ ; $↑↑$ при $m = 2$
повыш. $∣ a ∣ = 26$ , $a ↑↑ {5; - 12}$ . Найдите координаты $a$ ${10; - 24}$
повыш. $A (1; 3)$ , $B (5; 6)$ . Найдите $C$ на оси $O x$ : $∣ A C ∣ = ∣ A B ∣$ $(5; 0)$ или $(- 3; 0)$
повыш.Докажите, что $A (- 1; - 2)$ , $B (1; 1)$ , $C (5; 7)$ на одной прямой. Найдите $A B : BC$ $BC = 2 A B$ ; $1 : 2$

R04.1 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 17, 18 и 19

Ответ — число или номера утверждений

ОГЭ 17В ромбе $A BC D$ $∣ A C ∣ = 24$ , $∣ B D ∣ = 10$ . Найдите $∣ A B ∣$ . $13$

ОГЭ 19Какие утверждения верны?

Равные векторы имеют равные длины.
Векторы равной длины равны.
Векторы ${2; - 1}$ и ${- 4; 2}$ сонаправлены.
Если $A B = D C$ и $A, B, C$ не на одной прямой, то $A BC D$ — параллелограмм.

Ответ: 14

ОГЭ 18Клетки $1 \times 1$ . Найдите длину вектора $a$ .

Ответ: $13$

R04.1 · практика

Задача из жизни · силы на грузах

Клетка — $1$ Н; грузы в точках $O$ и $T$

Модуль силы $F_{1}$ ? $5$ Н
Какие силы равны как векторы? $F_{1} = F_{3}$
Уравновешивают ли друг друга $F_{1}$ и $F_{2}$ ? да: $F_{2} = - F_{1}$ , одна точка
Равны ли $F_{1}$ и $F_{4}$ ? нет: модули по $5$ Н, направления разные

R04.1

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$A (2; - 3)$ , $B (- 4; 5)$ . Найдите $∣ A B ∣$ $10$
$A (1; 2)$ , $B (4; 6)$ , $C (8; 5)$ . Найдите $D$ : $A BC D$ — параллелограмм $D (5; 1)$
При каком $x$ коллинеарны ${x; - 2}$ и ${6; 4}$ ? $x = - 3$
$A (- 1; 0)$ , $B (1; 3)$ , $C (4; 2)$ , $D (2; - 1)$ . Параллелограмм ли $A BC D$ ? да: $A B = D C = {2; 3}$

Вариант 2

$A (- 1; 5)$ , $B (4; - 7)$ . Найдите $∣ A B ∣$ $13$
$A (- 2; 1)$ , $B (1; 3)$ , $C (5; 0)$ . Найдите $D$ : $A BC D$ — параллелограмм $D (2; - 2)$
При каком $y$ коллинеарны ${3; y}$ и ${- 6; 8}$ ? $y = - 4$
$A (0; 2)$ , $B (3; 3)$ , $C (5; 0)$ , $D (2; - 1)$ . Параллелограмм ли $A BC D$ ? да: $A B = D C = {3; 1}$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Три способа доказать $A B = D C$ ?
Как по координатам узнать, что векторы $↑↓$ ?
Чем равные силы отличаются от уравновешенных?

Домашнее задание

$A (- 1; 2)$ , $B (3; 5)$ , $C (6; 1)$ : найдите все точки $D$ , дающие параллелограмм.
Сколько различных ненулевых векторов задают вершины и центр правильного шестиугольника?
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_adv_vektory-koordinaty.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9U-057 · Практикум: векторы на плоскости

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R04 «Векторы», 20 ч · урок 13/20 · тип П
Единицы → слайды	R04.1 «Векторы на плоскости» → 2–21 · повторение R04.2–R04.4 (координаты, сумма, умножение на число) как инструмент → 3, 4, 8–11
Результаты	ПР-12 (понятие вектора, практические интерпретации, координаты) → 2–21
Вне урока	практикум по сложению и вычитанию — GEOM9U-058 (R04.2); скалярное произведение — не используется
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: векторы на плоскости

Сегодня вы научитесь

Узнавать равные векторы

Проверять коллинеарность

Доказывать векторно

Применять

ABCD — параллелограмм, O — точка пересечения диагоналей

Понятие → как проверить на чертеже и в координатах

Модуль + направление (+ точка приложения)

ABCD — параллелограмм, M и N — середины BC и AD

Образец: какие векторы с концами в отмеченных точках равны AN?

Сам: назовите равные векторы

Три равносильных способа

Четвёртая вершина по равенству векторов

Образец: A(−2;1), B(1;5), C(6;3). Найдите D: ABCD — параллелограмм.

Сам: A(1;−2), B(4;2), C(7;0)

Коллинеарны ⇔ один получается из другого умножением на число

Докажите, что ABCD — трапеция

Образец: A(−3;0), B(−1;4), C(3;6), D(5;4).

Сам: коллинеарны ли векторы?

Середины сторон любого четырёхугольника

План: прямая (параллельность) → длина → направление

Образец: M,N,P — середины AB, AC, BC. Докажите: MN=BP.

Сам: докажите (план устно)

Считаем пары точек и вычёркиваем равные векторы

Образец: сколько различных ненулевых векторов задают вершины параллелограмма ABCD?

Сам: сколько различных ненулевых векторов?

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) A(1;2), B(3;5), C(6;4). Найти D: ABCD — параллелограмм.

б) Как направлены a{−2;6} и b{1;−3}?

в) Трапеция ABCD, AD∥BC, AD=8, BC=4.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — число или номера утверждений

Клетка — 1 Н; грузы в точках O и T

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9U-057 · Практикум: векторы на плоскости

$A BC D$ — параллелограмм, $O$ — точка пересечения диагоналей

$A BC D$ — параллелограмм, $M$ и $N$ — середины $BC$ и $A D$

Образец: какие векторы с концами в отмеченных точках равны $A N$ ?

Образец: $A (- 2; 1)$ , $B (1; 5)$ , $C (6; 3)$ . Найдите $D$ : $A BC D$ — параллелограмм.

Сам: $A (1; - 2)$ , $B (4; 2)$ , $C (7; 0)$

Докажите, что $A BC D$ — трапеция

Образец: $A (- 3; 0)$ , $B (- 1; 4)$ , $C (3; 6)$ , $D (5; 4)$ .

Образец: $M, N, P$ — середины $A B$ , $A C$ , $BC$ . Докажите: $MN = BP$ .

Образец: сколько различных ненулевых векторов задают вершины параллелограмма $A BC D$ ?

а) $A (1; 2)$ , $B (3; 5)$ , $C (6; 4)$ . Найти $D$ : $A BC D$ — параллелограмм.

б) Как направлены $a {- 2; 6}$ и $b {1; - 3}$ ?

в) Трапеция $A BC D$ , $A D ∥ BC$ , $A D = 8$ , $BC = 4$ .

Клетка — $1$ Н; грузы в точках $O$ и $T$