Векторы · урок 12 из 20

Решение геометрических задач с помощью скалярного произведения

Геометрия · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R04 · GEOM9U-056

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R04 «Векторы» (20 ч), урок 12/20, единица R04.12 «Решение геометрических задач с помощью скалярного произведения». Тип урока — Н.
Теория (12): титул 1 · цели 0,5 · метод 2,5 · теорема о диагоналях 2 · формула медианы 2 · угол на диаметр 2 · сводка 2.
Практика (33): разминка 3,5 · образцы → сам 2,5 × 5 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 3 · повышенный 3 · ОГЭ 2,5 · самостоятельная 4 · итог 1.
Если не успеваете: образец 5 (угол между медианами) и задачу ОГЭ 24 — в ДЗ; доказательства на слайдах 6, 8, 10 не сокращать.

R04.12

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Переводить задачу на язык векторов

выбирать базис и выражать через него нужные отрезки

Находить длины и углы

через $a^{2} = ∣ a ∣^{2}$ и $cos φ$ (ПР-14)

Доказывать перпендикулярность

по условию $a \cdot b = 0$ (ПР-14)

Выводить метрические формулы

диагонали параллелограмма, медиана — и решать задачи ОГЭ 23–24

повторение: R04.9–R04.11

Разминка · устно

Скалярное произведение — за минуту

$∣ a ∣ = 3$ , $∣ b ∣ = 4$ , угол $6 0^{\circ}$ . $a \cdot b = ?$ $6$
$a {2; - 3}$ , $b {3; 2}$ . Угол между ними? $9 0^{\circ}$ : $6 - 6 = 0$
$a {3; - 4}$ . Найдите $a \cdot a$ . $25$
$a \cdot b < 0$ . Какой угол между векторами? тупой

Раскройте $(a + b)^{2}$ . $a^{2} + 2 a \cdot b + b^{2}$
Упростите $(a - b) (a + b)$ . $a^{2} - b^{2}$
Угол между ${1; 0}$ и ${1; 1}$ ? $4 5^{\circ}$
Чему равно $cos 12 0^{\circ}$ ? $- \frac{1}{2}$

R04.12

Новый материал · векторный метод

Геометрия → векторы → ответ

Нужно найти / доказать	Векторная запись
длину $A B$	$A B^{2} = A B^{2}$
угол между прямыми	$cos φ = \frac{∣ a \cdot b ∣}{∣ a ∣ ∣ b ∣}$
$A B ⊥ C D$	$A B \cdot C D = 0$
$A B ∥ C D$	$C D = k A B$

1Выбрать базис

a

,

b

известны

∣ a ∣

,

∣ b ∣

и

a \cdot b

— или ввести координаты

2Выразить нужные векторы через

a

,

b

правила треугольника, параллелограмма, середины

3Вычислить скалярные произведенияраскрыть скобки,

a^{2} = ∣ a ∣^{2}

4Перевести ответ обратно на язык геометрии

R04.12

Образец → сам · длины через базис

Найдите диагонали параллелограмма

Образец: $A B = 3$ , $A D = 5$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите $A C$ и $B D$ .

$a \cdot b = 3 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2} = 7, 5$ $a = A B$ , $b = A D$

$A C^{2} = (a + b)^{2} = 9 + 15 + 25$ $A C = a + b$

$B D^{2} = (b - a)^{2} = 25 - 15 + 9$ $B D = b - a$

$A C = 7$ , $B D = 19$

Сам

$A B = 2$ , $A D = 4$ , $∠ A = 12 0^{\circ}$ . Найдите $A C$ и $B D$ . $23$ и $27$
$∣ a ∣ = ∣ b ∣ = 4$ , угол $6 0^{\circ}$ . Найдите $∣ a + b ∣$ . $43$
$∣ a ∣ = 1$ , $∣ b ∣ = 2$ , $a \cdot b = - 1$ . Найдите $∣3 a + b ∣$ . $7$

R04.12

Теорема · доказательство

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма

Дано:

A BC D

— параллелограмм,

A B = a

,

A D = b

.
Доказать:

A C^{2} + B D^{2} = 2 (a^{2} + b^{2})

.

1

A C = a + b

,

B D = b - a

правило параллелограмма и правило вычитания

2

A C^{2} = a^{2} + 2 a \cdot b + b^{2}

квадрат вектора — квадрат длины, дистрибутивность

3

B D^{2} = a^{2} - 2 a \cdot b + b^{2}

так же

4

A C^{2} + B D^{2} = 2 a^{2} + 2 b^{2}

сложили:

\pm 2 a \cdot b

сократились

R04.12

Образец → сам · обратная задача

По сторонам и диагонали — вторая диагональ и угол

Образец: стороны параллелограмма $5$ и $7$ , диагональ $B D = 8$ . Найдите $A C$ и $cos A$ .

$A C^{2} = 2 (25 + 49) - 64 = 84$ теорема о диагоналях

$64 = 25 + 49 - 2 a \cdot b$ $B D^{2} = (b - a)^{2}$

$a \cdot b = 5$ , $cos A = \frac{5}{5 \cdot 7}$

$A C = 221$ , $cos A = \frac{1}{7}$

Сам

Стороны $3$ и $5$ , одна диагональ $4$ . Найдите другую. $213$
Сторона ромба $13$ , одна диагональ $10$ . Найдите другую. $24$
Диагонали параллелограмма $6$ и $8$ , одна сторона $4$ . Найдите другую сторону. $34$

R04.12

Следствие · формула медианы

Медиана через три стороны треугольника

Дано:

△ A BC

,

M

— середина

A B

;

CB = a

,

C A = b

,

A B = c

.
Найти:

m_{c} = CM

.

1

CM = \frac{1}{2} (a + b)

вектор медианы — полусумма векторов сторон

2

4 m_{c}^{2} = a^{2} + 2 a \cdot b + b^{2}

возвели в квадрат

3

c^{2} = (a - b)^{2} = a^{2} - 2 a \cdot b + b^{2}

B A = b - a

4

m_{c}^{2} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{4}

сложили 2 и 3:

4 m_{c}^{2} + c^{2} = 2 a^{2} + 2 b^{2}

R04.12

Образец → сам · медиана и сторона

Две стороны и угол → медиана и третья сторона

Образец: $C A = 6$ , $CB = 4$ , $∠ C = 6 0^{\circ}$ . Найдите медиану $CM$ и сторону $A B$ .

$a \cdot b = 4 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2} = 12$ $a = CB$ , $b = C A$

$4 C M^{2} = 16 + 24 + 36 = 76$ $CM = \frac{1}{2} (a + b)$

$A B^{2} = 16 - 24 + 36 = 28$ $B A = b - a$

$CM = 19$ , $A B = 27$

Сам

Стороны $3$ , $5$ и $4$ . Найдите медиану к стороне $4$ . $13$
$C A = 4$ , $CB = 6$ , медиана $CM = 3$ . Найдите $A B$ . $217$
Стороны $13$ , $14$ , $15$ . Найдите медиану к стороне $14$ . $237$

R04.12

Доказательство · векторный метод

Угол, опирающийся на диаметр, — прямой

Дано:

A B

— диаметр окружности с центром

O

,

C

— точка окружности.
Доказать:

∠ A CB = 9 0^{\circ}

.

1

O A = a

,

OB = - a

,

OC = c

O

— середина

A B

;

∣ a ∣ = ∣ c ∣ = R

2

C A = a - c

,

CB = - a - c

правило вычитания

3

C A \cdot CB = - (a - c) (a + c) = c^{2} - a^{2}

разность квадратов

4

R^{2} - R^{2} = 0

⇒

C A ⊥ CB

скалярное произведение равно нулю

R04.12

Образец → сам · задача на доказательство

Докажите перпендикулярность

Образец: $A BC D$ — квадрат, $M$ и $N$ — середины $BC$ и $C D$ . Докажите: $A M ⊥ BN$ .

$a = A B$ , $b = A D$ $∣ a ∣ = ∣ b ∣$ , $a \cdot b = 0$

$A M = a + \frac{1}{2} b$ , $BN = b - \frac{1}{2} a$ правило треугольника

$A M \cdot BN = - \frac{1}{2} a^{2} + \frac{1}{2} b^{2} = 0$ слагаемые с $a \cdot b$ равны нулю

$A M ⊥ BN$

Сам

Докажите: диагонали ромба перпендикулярны. $b^{2} - a^{2} = 0$
$A BC D$ — прямоугольник, $A B = 2 A D$ , $M$ — середина $A B$ . Докажите: $M D ⊥ MC$ . $- \frac{1}{4} a^{2} + b^{2} = 0$
Если диагонали параллелограмма равны, то он — прямоугольник. Докажите. $a \cdot b = 0$

R04.12

Образец → сам · угол между прямыми

Угол между медианами — в координатах

Образец: $C (0; 0)$ , $A (4; 0)$ , $B (0; 4)$ . Найдите угол между медианами $A M$ и $BN$ .

$M (0; 2)$ , $N (2; 0)$ середины $CB$ и $C A$

$A M {- 4; 2}$ , $BN {2; - 4}$ координаты конца минус начала

$cos = \frac{- 8 - 8}{20 \cdot 20} = - \frac{4}{5}$ угол между векторами тупой

между прямыми: $cos φ = \frac{4}{5}$ , $φ \approx 3 7^{\circ}$

Сам

$A (0; 0)$ , $B (3; 1)$ , $C (1; 2)$ . Найдите $∠ A$ . $4 5^{\circ}$
Стороны прямоугольника $23$ и $2$ . Найдите угол между диагоналями. $6 0^{\circ}$
$A (1; 0)$ , $B (3; 4)$ , $C (0; 3)$ , $D (3; 0)$ . Найдите $cos$ угла между прямыми $A B$ и $C D$ . $\frac{10}{10}$

R04.12

Схема-конспект

Что даёт скалярное произведение в задачах

Задача	Формула
длина	$∣ a + b ∣^{2} = a^{2} + 2 a \cdot b + b^{2}$
угол между прямыми	$cos φ = \frac{∣ a \cdot b ∣}{∣ a ∣ ∣ b ∣}$ , $0^{\circ} \leq φ \leq 9 0^{\circ}$
перпендикулярность	$a \cdot b = 0$ $\Leftrightarrow$ $a ⊥ b$ (векторы ненулевые)
диагонали параллелограмма	$d_{1}^{2} + d_{2}^{2} = 2 (a^{2} + b^{2})$ , $d_{1}^{2} - d_{2}^{2} = 4 a \cdot b$
медиана треугольника	$m_{c}^{2} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{4}$

R04.12

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$∣ a + b ∣ = ∣ a ∣ + ∣ b ∣$	верно только для сонаправленных векторов	$∣ a + b ∣^{2} = a^{2} + 2 a \cdot b + b^{2}$
$(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2}$	потеряно удвоенное произведение	$+ 2 a \cdot b$ ; ноль — только при $a ⊥ b$
угол между прямыми $14 3^{\circ}$	угол между прямыми не больше $9 0^{\circ}$	$cos φ = ∣ cos ∣$ : $φ \approx 3 7^{\circ}$
$a \cdot b = 0$ ⇒ $a = 0$ или $b = 0$	для векторов это не так	ненулевые векторы перпендикулярны

R04.12

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $A B = 3$ , $A D = 5$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите большую диагональ.

$d^{2} = 9 + 25 - 2 \cdot 7, 5 = 19$

$d = 19$

это меньшая; большая: $9 + 25 + 15 = 49$ , $d = 7$

б) $∣ a ∣ = 2$ , $∣ b ∣ = 3$ , $a \cdot b = - 3$ . Найдите $∣2 a - b ∣$ .

$2 \cdot 4 - 2 \cdot 2 \cdot (- 3) + 9 = 29$

$∣2 a - b ∣ = 29$

$(2 a)^{2} = 4 a^{2} = 16$ : $16 + 12 + 9 = 37$ , ответ $37$

в) Стороны $7$ , $9$ , $8$ . Найдите медиану к стороне $8$ .

$m^{2} = \frac{2 \cdot 49 + 2 \cdot 64 - 81}{4}$

$m^{2} = 36, 25$

«минус» — у стороны $8$ : $m^{2} = \frac{98 + 162 - 64}{4} = 49$ , $m = 7$

R04.12

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

база $∣ a ∣ = 2$ , $∣ b ∣ = 5$ , угол $6 0^{\circ}$ . Найдите $∣ a + b ∣$ . $39$
базаДля тех же векторов найдите $∣ a - b ∣$ . $19$
базаСтороны параллелограмма $4$ и $6$ , диагональ $8$ . Найдите другую диагональ. $210$

базаСторона ромба $5$ , диагональ $6$ . Найдите другую диагональ. $8$
базаСтороны треугольника $7$ , $9$ и $8$ . Найдите медиану к стороне $8$ . $7$
база $A (1; 2)$ , $B (4; 6)$ , $C (0; 3)$ , $D (4; 0)$ . Верно ли, что $A B ⊥ C D$ ? да: $12 - 12 = 0$

R04.12

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш. $∣ a ∣ = ∣ b ∣ = 1$ , угол между ними $12 0^{\circ}$ . Найдите угол между $a$ и $a + b$ . $6 0^{\circ}$
повыш. $∣ a ∣ = 3$ , $∣ b ∣ = 2$ , $a \cdot b = 3$ . При каком $m$ векторы $a + m b$ и $a - b$ перпендикулярны? $m = 6$
повыш. $A BC D$ — прямоугольник, $P$ — любая точка. Докажите: $P A^{2} + P C^{2} = P B^{2} + P D^{2}$ . обе суммы равны $2 P O^{2} + 2 R^{2}$ , $R = O A$
из жизниСанки тянут силой $50$ Н под углом $6 0^{\circ}$ к дороге на $10$ м. Найдите работу силы $A = F \cdot s$ . $250$ Дж

3 мин · практика
1) a · (a + b) = 1 + cos 120° = ½; |a + b|² = 1 − 1 + 1 = 1; cos φ = ½ : (1 · 1) = ½ ⇒ 60° (треугольник из векторов — равносторонний).
2) (a + mb)(a − b) = a² − a · b + m a · b − m b² = 9 − 3 + 3m − 4m = 6 − m = 0 ⇒ m = 6.
3) O — центр прямоугольника: PA = PO + OA, PC = PO − OA ⇒ PA² + PC² = 2PO² + 2OA². Так же PB² + PD² = 2PO² + 2OB², а OA = OB (диагонали прямоугольника равны и делятся пополам).
4) A = F · s · cos 60° = 50 · 10 · ½ = 250 Дж — физический смысл скалярного произведения (вид деятельности ФРП «работа в механике»).

R04.12 · ОГЭ, ч. 2

Формат ОГЭ · линии 23 и 24

Вторая часть: вычисление и доказательство

ОГЭ 23 Стороны параллелограмма равны $7$ и $9$ , а одна из диагоналей равна $8$ . Найдите другую диагональ.

$d^{2} = 2 (7^{2} + 9^{2}) - 8^{2}$ теорема о диагоналях

$d^{2} = 260 - 64 = 196$

Ответ: $14$

ОГЭ 24 Медиана $CM$ треугольника $A BC$ равна половине стороны $A B$ . Докажите, что $∠ C = 9 0^{\circ}$ .

$a = C A$ , $b = CB$ : $CM = \frac{1}{2} (a + b)$ , $A B = b - a$

$2 CM = A B$ ⇒ $(a + b)^{2} = (b - a)^{2}$ ⇒ $4 a \cdot b = 0$

$a ⊥ b$ , $∠ C = 9 0^{\circ}$

R04.12

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$∣ a ∣ = 3$ , $∣ b ∣ = 4$ , угол $6 0^{\circ}$ . Найдите $∣ a + b ∣$ . $37$
Стороны параллелограмма $5$ и $6$ , диагональ $7$ . Найдите другую диагональ. $73$
$A (1; 1)$ , $B (4; 5)$ , $C (5; - 2)$ . Найдите $cos A$ . $0$ , $∠ A = 9 0^{\circ}$
Стороны треугольника $4$ , $6$ , $8$ . Найдите медиану к стороне $8$ . $10$

Вариант 2

$∣ a ∣ = 5$ , $∣ b ∣ = 3$ , угол $12 0^{\circ}$ . Найдите $∣ a + b ∣$ . $19$
Стороны параллелограмма $4$ и $7$ , диагональ $9$ . Найдите другую диагональ. $7$
$A (2; 1)$ , $B (5; 2)$ , $C (3; 4)$ . Найдите $cos A$ . $0, 6$
Стороны треугольника $5$ , $7$ , $8$ . Найдите медиану к стороне $8$ . $21$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как найти длину отрезка векторным методом?
Как доказать перпендикулярность прямых?
Чем угол между прямыми отличается от угла между векторами?

Домашнее задание

Стороны параллелограмма $4$ и $5$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите диагонали.
Стороны треугольника $6$ , $10$ , $8$ . Найдите медиану к стороне $8$ .
* Докажите: если в четырёхугольнике $A B^{2} + C D^{2} = B C^{2} + A D^{2}$ , то $A C ⊥ B D$ .
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_skalyarnoe-proizvedenie.htm

1 мин · практика (рефлексия, запись ДЗ)
Ответы на вопросы: AB² = (AB-вектор)², выразив его через базис; скалярное произведение направляющих векторов равно нулю; угол между прямыми — от 0° до 90° (берём |cos|).
Ответы ДЗ: 1) a · b = 10; d² = 16 + 25 ± 20: √61 и √21. 2) (72 + 200 − 64) : 4 = 52, m = 2√13. 3) * Пусть a = AB, b = BC, c = CD, тогда AD = a + b + c, AC = a + b, BD = b + c; AD² = a² + b² + c² + 2a · b + 2b · c + 2a · c, условие даёт a · b + b · c + a · c + b² = 0, т. е. (a + b)(b + c) = 0 ⇒ AC ⊥ BD.
Следующий урок — практикум «Векторы на плоскости» (GEOM9U-057): обобщаем всю строку R04. Тренажёр по координатам векторов — 9_geometry_adv_vektory-koordinaty.htm.

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9U-056 · Решение геометрических задач с помощью скалярного произведения

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R04 «Векторы», 20 ч · урок 12/20 · тип Н
Единицы → слайды	R04.12 «Решение геометрических задач с помощью скалярного произведения» → 2, 4–20 · повторение R04.9–R04.11 → 3
Результаты	ПР-14 → 2–20 · ПР-15 (физические задачи) → 17
Виды деятельности	«Решать геометрические задачи с помощью скалярного произведения» → 6, 8, 10, 11, 18 · «Применять скалярное произведение для нахождения длин и углов» → 5, 7, 9, 12, 16, 19 · «работа в механике» → 17
ОГЭ	линия 23 → 18 · линия 24 → 18
Вне урока	практикумы строки R04 — GEOM9U-057–064; проецирование — GEOM9U-054
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Решение геометрических задач с помощью скалярного произведения

Сегодня вы научитесь

Переводить задачу на язык векторов

Находить длины и углы

Доказывать перпендикулярность

Выводить метрические формулы

Скалярное произведение — за минуту

Геометрия → векторы → ответ

Найдите диагонали параллелограмма

Образец: AB=3, AD=5, ∠A=60∘. Найдите AC и BD.

Сам

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма

По сторонам и диагонали — вторая диагональ и угол

Образец: стороны параллелограмма 5 и 7, диагональ BD=8. Найдите AC и cosA.

Сам

Медиана через три стороны треугольника

Две стороны и угол → медиана и третья сторона

Образец: CA=6, CB=4, ∠C=60∘. Найдите медиану CM и сторону AB.

Сам

Угол, опирающийся на диаметр, — прямой

Докажите перпендикулярность

Образец: ABCD — квадрат, M и N — середины BC и CD. Докажите: AM⊥BN.

Сам

Угол между медианами — в координатах

Образец: C(0;0), A(4;0), B(0;4). Найдите угол между медианами AM и BN.

Сам

Что даёт скалярное произведение в задачах

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) AB=3, AD=5, ∠A=60∘. Найдите большую диагональ.

б) ∣a∣=2, ∣b∣=3, a⋅b=−3. Найдите ∣2a−b∣.

в) Стороны 7, 9, 8. Найдите медиану к стороне 8.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Вторая часть: вычисление и доказательство

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9U-056 · Решение геометрических задач с помощью скалярного произведения

Образец: $A B = 3$ , $A D = 5$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите $A C$ и $B D$ .

Образец: стороны параллелограмма $5$ и $7$ , диагональ $B D = 8$ . Найдите $A C$ и $cos A$ .

Образец: $C A = 6$ , $CB = 4$ , $∠ C = 6 0^{\circ}$ . Найдите медиану $CM$ и сторону $A B$ .

Образец: $A BC D$ — квадрат, $M$ и $N$ — середины $BC$ и $C D$ . Докажите: $A M ⊥ BN$ .

Образец: $C (0; 0)$ , $A (4; 0)$ , $B (0; 4)$ . Найдите угол между медианами $A M$ и $BN$ .

а) $A B = 3$ , $A D = 5$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите большую диагональ.

б) $∣ a ∣ = 2$ , $∣ b ∣ = 3$ , $a \cdot b = - 3$ . Найдите $∣2 a - b ∣$ .

в) Стороны $7$ , $9$ , $8$ . Найдите медиану к стороне $8$ .