Векторы · урок 11 из 20

Применение скалярного произведения векторов для нахождения длин и углов

Геометрия · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R04 · GEOM9U-055

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Паспорт: R04 «Векторы» (20 ч), урок 11/20, единица R04.11 «Применение скалярного произведения векторов для нахождения длин и углов». Тип урока — Н.
Теория (12,5): титул 1 · цели 0,5 · длина через скалярный квадрат 3,5 · косинус угла 2,5 · диагонали и медиана 3,5 · сводка 1,5.
Практика (32,5): разминка 3 · образцы → сам 2,5 × 5 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 3 · повышенный 3 · из жизни 1,5 · ОГЭ 2 · самостоятельная 3,5 · итог 0,5.
Если не успеваете: задачу из жизни и задание 4 повышенного уровня — в ДЗ; теорию не сокращать.

R04.11

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Находить длины

через скалярный квадрат: $∣ a ∣^{2} = a \cdot a$ , длина суммы и разности векторов

Находить углы

между векторами и углы треугольника по координатам: $cos φ = \frac{a \cdot b}{∣ a ∣ ∣ b ∣}$

Доказывать

теорему о диагоналях параллелограмма и формулу медианы векторным методом

Проверять перпендикулярность

по условию $a \cdot b = 0$ , в том числе с параметром

повторение: R04.9 · R04.10

Разминка · устно

Скалярное произведение: вспомним

По рисунку: $a {3; 4}$ , $b {2; - 1}$ . Найдите $a \cdot b$ . $2$
Длина $a$ ? $5$
Угол между $a$ и $b$ острый или тупой? острый: $a \cdot b > 0$
Найдите ${1; - 2} \cdot {1; - 2}$ . $5$
$∣ p ∣ = 2$ , $∣ q ∣ = 3$ , угол $6 0^{\circ}$ . Найдите $p \cdot q$ . $3$
$m \cdot n = 0$ , векторы ненулевые. Угол? $9 0^{\circ}$

R04.11

Новый материал · длина через скалярный квадрат

Квадрат длины — скалярный квадрат

Утверждение.

∣ a ∣^{2} = a \cdot a

,

∣ a \pm b ∣^{2} = ∣ a ∣^{2} \pm 2 a \cdot b + ∣ b ∣^{2}

.

1

a \cdot a = ∣ a ∣ \cdot ∣ a ∣ \cdot cos 0^{\circ} = ∣ a ∣^{2}

определение; угол вектора с собой равен

0^{\circ}

2

(a + b)^{2} = a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b

распределительный закон

3

= ∣ a ∣^{2} + 2 a \cdot b + ∣ b ∣^{2}

переместительный закон и пункт 1

4

∣ a + b ∣ = ∣ a ∣^{2} + 2∣ a ∣∣ b ∣ cos φ + ∣ b ∣^{2}

длину находим через скалярный квадрат

Для

a - b

— знак «−» перед

2 a \cdot b

: это теорема косинусов для

△ O A B

.

R04.11

Образец → сам · длина суммы векторов

Возводим в квадрат, потом извлекаем корень

Образец: $∣ a ∣ = 3$ , $∣ b ∣ = 4$ , угол между ними $6 0^{\circ}$ . Найдите $∣ a + b ∣$ .

$a \cdot b = 3 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} = 6$ определение скалярного произведения

$∣ a + b ∣^{2} = 9 + 2 \cdot 6 + 16 = 37$ скалярный квадрат суммы

$∣ a + b ∣ = 37$

Сам

$∣ a ∣ = 2$ , $∣ b ∣ = 5$ , угол $12 0^{\circ}$ . Найдите $∣ a + b ∣$ . $19$
$∣ a ∣ = ∣ b ∣ = 1$ , угол $6 0^{\circ}$ . Найдите $∣ a - 2 b ∣$ . $3$
$∣ a ∣ = 3$ , $∣ b ∣ = 2$ , $∣ a + b ∣ = 4$ . Найдите $a \cdot b$ . $1, 5$

R04.11

Новый материал · угол между векторами

Косинус угла — из скалярного произведения

cos φ = \frac{a \cdot b}{∣ a ∣ ∣ b ∣} = \frac{x _{1} x _{2} + y _{1} y _{2}}{x _{1}^{2} + y _{1}^{2} x _{2}^{2} + y _{2}^{2}}

1

a \cdot b = ∣ a ∣ ∣ b ∣ cos φ

определение скалярного произведения

2делим на

∣ a ∣ ∣ b ∣ \neq = 0

векторы ненулевые

3

a \cdot b = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}

,

∣ a ∣ = x_{1}^{2} + y_{1}^{2}

скалярное произведение и длина в координатах

4знак

a \cdot b

— знак

cos φ

> 0

— острый,

= 0

— прямой,

< 0

— тупой

R04.11

Образец → сам · угол между векторами

Три числа: произведение и две длины

Образец: найдите угол между $a {1; 3}$ и $b {2; 1}$ .

$a \cdot b = 1 \cdot 2 + 3 \cdot 1 = 5$ скалярное произведение в координатах

$∣ a ∣ = 10$ , $∣ b ∣ = 5$ длины векторов

$cos φ = \frac{5}{10 \cdot 5} = \frac{5}{5 2} = \frac{2}{2}$ формула косинуса угла

$φ = 4 5^{\circ}$

Сам

Угол между ${- 1; 1}$ и ${1; 0}$ . $13 5^{\circ}$
Угол между ${4; - 2}$ и ${1; 2}$ . $9 0^{\circ}$
Косинус угла между ${3; 4}$ и ${4; 3}$ . $0, 96$

R04.11

Образец → сам · углы треугольника по координатам

Векторы — из одной вершины

Образец: $A (1; 1)$ , $B (5; 3)$ , $C (2; 4)$ . Найдите углы $△ A BC$ .

$A B {4; 2}$ , $A C {1; 3}$ оба вектора выходят из $A$

$cos A = \frac{4 + 6}{20 \cdot 10} = \frac{2}{2}$ , $∠ A = 4 5^{\circ}$ формула косинуса угла

$C A \cdot CB = - 3 + 3 = 0$ $C A {- 1; - 3}$ , $CB {3; - 1}$

$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $∠ B = 4 5^{\circ}$

Сам

$△ A BC$ : $A (- 2; 1)$ , $B (2; 3)$ , $C (4; - 1)$ . Найдите $∠ B$ . $9 0^{\circ}$
Определите вид треугольника: $A (0; 0)$ , $B (4; 1)$ , $C (1; 3)$ . остроугольный
$A (1; 0)$ , $B (5; 0)$ , $C (3; y)$ . При каких $y$ угол $C$ прямой? $y = \pm 2$

R04.11

Новый материал · диагонали параллелограмма и медиана

Сумма квадратов диагоналей и медиана

Дано:

A CB D

— параллелограмм,

u = C A

,

v = CB

,

M

— середина

A B

.

1

C D = u + v

,

B A = u - v

правило параллелограмма и разность векторов

2

C D^{2} + A B^{2} = (u + v)^{2} + (u - v)^{2} = 2 u^{2} + 2 v^{2}

слагаемые

\pm 2 u \cdot v

сокращаются

3

d_{1}^{2} + d_{2}^{2} = 2 (C A^{2} + C B^{2})

сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон

4

m_{c}^{2}

= \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{4}

CM = \frac{1}{2} C D

;

a = BC

,

b = C A

,

c = A B

R04.11

Образец → сам · медиана и диагонали

Длина медианы через векторы

Образец: в $△ A BC$ $BC = 5$ , $C A = 7$ , $A B = 6$ . Найдите медиану $CM$ .

$CM = \frac{1}{2} (C A + CB)$ середина отрезка $A B$

$C A \cdot CB = \frac{49 + 25 - 36}{2} = 19$ из $A B^{2} = (CB - C A)^{2}$

$C M^{2} = \frac{1}{4} (49 + 2 \cdot 19 + 25) = 28$ скалярный квадрат суммы

$CM = 27$

Сам

Стороны параллелограмма $3$ и $5$ , одна диагональ $6$ . Найдите другую. $42$
$A B = 4$ , $BC = 6$ , $A C = 8$ . Найдите медиану к стороне $A C$ . $10$
$∣ a ∣ = ∣ b ∣ = 2$ , $∣ a - b ∣ = 2$ . Найдите $∣ a + b ∣$ . $23$

R04.11

Образец → сам · задача на доказательство

Диагонали ромба перпендикулярны

Образец: $A BC D$ — ромб, $a = A B$ , $b = A D$ . Докажите, что $A C ⊥ B D$ .

$A C = a + b$ , $B D = b - a$ правило параллелограмма и разность

$A C \cdot B D = b^{2} - a^{2}$ распределительный закон, $a \cdot b$ сокращается

$= A D^{2} - A B^{2} = 0$ стороны ромба равны

$A C ⊥ B D$ скалярное произведение ненулевых векторов равно $0$

Сам

Докажите: если $∣ a + b ∣ = ∣ a - b ∣$ , то $a ⊥ b$ . разность квадратов: $4 a \cdot b = 0$
$∣ a ∣ = ∣ b ∣ = 1$ , $(a + 2 b) ⊥ (5 a - 4 b)$ . Найдите угол между $a$ и $b$ . $6 0^{\circ}$
$a {1; 2}$ , $b {3; - 1}$ . При каком $k$ $(a + k b) ⊥ a$ ? $k = - 5$

R04.11

Схема-конспект

Длины и углы через скалярное произведение

Что	Формула
Длина вектора	$∣ a ∣ = a \cdot a = x^{2} + y^{2}$
Длина суммы, разности	$∣ a \pm b ∣^{2} = ∣ a ∣^{2} \pm 2 a \cdot b + ∣ b ∣^{2}$
Угол между векторами	$cos φ = \frac{a \cdot b}{∣ a ∣ ∣ b ∣} = \frac{x _{1} x _{2} + y _{1} y _{2}}{x _{1}^{2} + y _{1}^{2} x _{2}^{2} + y _{2}^{2}}$
Вид угла	$a \cdot b > 0$ — острый, $= 0$ — прямой ( $a ⊥ b$ ), $< 0$ — тупой
Угол $A$ треугольника	угол между $A B$ и $A C$ (оба из вершины $A$ )
Диагонали параллелограмма	$d_{1}^{2} + d_{2}^{2} = 2 (a^{2} + b^{2})$
Медиана	$m_{c}^{2} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{4}$

R04.11

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$∣ a ∣ = 3$ , $∣ b ∣ = 4$ : $∣ a + b ∣ = 7$	длина суммы — не сумма длин	$25 + 2 a \cdot b$
$(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2}$	потеряно $2 a \cdot b$	$a^{2} + 2 a \cdot b + b^{2}$
${1; 1}$ , ${2; 0}$ : $cos φ = 2$	не разделили на длины	$\frac{2}{2 \cdot 2} = \frac{2}{2}$ , $4 5^{\circ}$
$∠ B$ : угол между $A B$ и $BC$	векторы не из одной вершины	между $B A$ и $BC$

R04.11

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $∣ a ∣ = 2$ , $∣ b ∣ = 3$ , угол $12 0^{\circ}$ . Найдите $∣ a - b ∣$ .

$a \cdot b = 2 \cdot 3 \cdot (- \frac{1}{2}) = - 3$

$∣ a - b ∣^{2} = 4 - 6 + 9 = 7$

$- 2 \cdot (- 3) = + 6$ : $19$ , ответ $19$

б) $A (0; 0)$ , $B (3; 0)$ , $C (0; 3)$ . Найдите $∠ B$ .

$A B {3; 0}$ , $BC {- 3; 3}$

$cos B = \frac{- 9}{3 \cdot 3 2} = - \frac{2}{2}$ , $13 5^{\circ}$

нужен $B A {- 3; 0}$ : $cos B = \frac{2}{2}$ , $4 5^{\circ}$

в) Перпендикулярны ли $a {3; - 1}$ и $b {2; 6}$ ?

$a \cdot b = 6 + 6 = 12$

$12 \neq = 0$ — не перпендикулярны

$- 1 \cdot 6 = - 6$ : $6 - 6 = 0$ , перпендикулярны

R04.11

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

база $a {3; - 4}$ . Найдите $∣ a ∣$ . $5$
база $a {3; - 4}$ , $b {1; 2}$ . Найдите $a \cdot b$ . $- 5$
базаУгол между ними острый, прямой или тупой? тупой

базаНайдите косинус этого угла. $- \frac{5}{5}$
база $∣ p ∣ = 4$ , $∣ q ∣ = 1$ , угол $6 0^{\circ}$ . Найдите $∣ p + q ∣$ . $21$
базаПри каком $m$ ${m; 3} ⊥ {6; - 2}$ ? $m = 1$

R04.11

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш. $∣ a ∣ = ∣ b ∣ = 1$ , $∣ a + b ∣ = 3$ . Найдите угол между $a$ и $b$ . $6 0^{\circ}$
повыш. $△ A BC$ : $A (- 2; 1)$ , $B (2; 3)$ , $C (4; - 1)$ . Найдите все углы. $4 5^{\circ}$ , $9 0^{\circ}$ , $4 5^{\circ}$
повыш.Стороны параллелограмма $4$ и $6$ , угол между ними $6 0^{\circ}$ . Найдите диагонали. $219$ и $27$
повыш. $∣ a ∣ = 3$ , $∣ b ∣ = 5$ . При каких $k$ $(a + k b) ⊥ (a - k b)$ ? $k = \pm 0, 6$

R04.11 · из жизни

Задача из жизни · два буксира

Равнодействующая двух сил

Два буксира тянут баржу с силами

3 кН

и

5 кН

, угол между тросами

6 0^{\circ}

.

Найдите равнодействующую $∣ R ∣$ . $7$ кН
Какой будет $∣ R ∣$ , если угол $9 0^{\circ}$ ? $34 \approx 5, 8$ кН
При каком угле $∣ R ∣ = 4$ кН? $cos φ = - 0, 6$ , $φ \approx 12 7^{\circ}$

R04.11 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 18, 19 и 23

Ответ — одно число

ОГЭ 18Клетка $1 \times 1$ . Найдите скалярное произведение $a \cdot b$ . $6$
ОГЭ 23Стороны параллелограмма $7$ и $9$ , одна диагональ $8$ . Найдите другую. $14$

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю.
Если скалярное произведение векторов отрицательно, угол между ними острый.
Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.

Ответ: 13

R04.11

Самостоятельная работа · 3,5 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

${2; - 1} \cdot {3; 4}$ $2$
Длина вектора ${3; 4}$ $5$
$∣ p ∣ = 2$ , $∣ q ∣ = 3$ , угол $6 0^{\circ}$ . Найдите $∣ p + q ∣$ . $19$
Угол между ${1; 2}$ и ${3; 1}$ $4 5^{\circ}$

Вариант 2

${- 3; 2} \cdot {4; 1}$ $- 10$
Длина вектора ${- 3; 2}$ $13$
$∣ p ∣ = 3$ , $∣ q ∣ = 1$ , угол $12 0^{\circ}$ . Найдите $∣ p + q ∣$ . $7$
Угол между ${1; 2}$ и ${- 3; - 1}$ $13 5^{\circ}$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как найти длину $a + b$ , зная длины и угол?
Как найти угол между векторами по координатам?
Как по знаку $a \cdot b$ узнать вид угла?

Домашнее задание

$∣ a ∣ = 1$ , $∣ b ∣ = 2$ , угол $12 0^{\circ}$ . Найдите $∣2 a + b ∣$ .
Вид треугольника: $A (1; 2)$ , $B (3; 6)$ , $C (5; 2)$ .
* Медиана к большей стороне треугольника $3, 4, 5$ .
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_adv_vektory-koordinaty.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9U-055 · Длины и углы через скалярное произведение

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R04 «Векторы», 20 ч · урок 11/20 · тип Н
Единицы → слайды	R04.11 «Применение скалярного произведения векторов для нахождения длин и углов» → 2, 4–20 · повторение (R04.9, R04.10) → 3
Результаты	ПР-14 → 2–20 · ПР-15 (физическая задача) → 17
Виды деятельности	«Применять скалярное произведение для нахождения длин и углов» → 4–12, 15, 16, 19 · «Решать геометрические задачи с помощью скалярного произведения» → 9–11, 16, 18
ОГЭ	линия 18 → 18 (задача 1) · линия 19 → 18 · линия 23 → 18 (задача 2)
Вне урока	решение геометрических задач с помощью скалярного произведения — GEOM9U-056 (R04.12); работа силы — практикумы строки R04
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Применение скалярного произведения векторов для нахождения длин и углов

Сегодня вы научитесь

Находить длины

Находить углы

Доказывать

Проверять перпендикулярность

Скалярное произведение: вспомним

Квадрат длины — скалярный квадрат

Возводим в квадрат, потом извлекаем корень

Образец: ∣a∣=3, ∣b∣=4, угол между ними 60∘. Найдите ∣a+b∣.

Сам

Косинус угла — из скалярного произведения

Три числа: произведение и две длины

Образец: найдите угол между a{1;3} и b{2;1}.

Сам

Векторы — из одной вершины

Образец: A(1;1), B(5;3), C(2;4). Найдите углы △ABC.

Сам

Сумма квадратов диагоналей и медиана

Длина медианы через векторы

Образец: в △ABC BC=5, CA=7, AB=6. Найдите медиану CM.

Сам

Диагонали ромба перпендикулярны

Образец: ABCD — ромб, a=AB, b=AD. Докажите, что AC⊥BD.

Сам

Длины и углы через скалярное произведение

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) ∣a∣=2, ∣b∣=3, угол 120∘. Найдите ∣a−b∣.

б) A(0;0), B(3;0), C(0;3). Найдите ∠B.

в) Перпендикулярны ли a{3;−1} и b{2;6}?

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Равнодействующая двух сил

Ответ — одно число

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9U-055 · Длины и углы через скалярное произведение

Образец: $∣ a ∣ = 3$ , $∣ b ∣ = 4$ , угол между ними $6 0^{\circ}$ . Найдите $∣ a + b ∣$ .

Образец: найдите угол между $a {1; 3}$ и $b {2; 1}$ .

Образец: $A (1; 1)$ , $B (5; 3)$ , $C (2; 4)$ . Найдите углы $△ A BC$ .

Образец: в $△ A BC$ $BC = 5$ , $C A = 7$ , $A B = 6$ . Найдите медиану $CM$ .

Образец: $A BC D$ — ромб, $a = A B$ , $b = A D$ . Докажите, что $A C ⊥ B D$ .

а) $∣ a ∣ = 2$ , $∣ b ∣ = 3$ , угол $12 0^{\circ}$ . Найдите $∣ a - b ∣$ .

б) $A (0; 0)$ , $B (3; 0)$ , $C (0; 3)$ . Найдите $∠ B$ .

в) Перпендикулярны ли $a {3; - 1}$ и $b {2; 6}$ ?