Векторы · урок 10 из 20

Скалярное произведение и проецирование

Геометрия · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R04 · GEOM9U-054

0,5 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Паспорт: R04 «Векторы» (20 ч), урок 10/20, единица R04.10 «Скалярное произведение и проецирование». Тип урока — Н.
Теория (13): титул 0,5 · цели 0,5 · проекция 2,5 · теорема о проекции 2,5 · дистрибутивность 3 · разложение вектора 2,5 · сводка 1,5.
Практика (32): разминка 3 · образцы → сам 2,5 + 2,5 + 3 + 2,5 + 3 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 3 · повышенный 3 · ОГЭ 2 · самостоятельная 3 · итог 1.
Если не успеваете: образец 5 (хорда) и задание 4 повышенного уровня — в ДЗ; теоремы не сокращать.

R04.10

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Находить проекцию вектора

числовую и векторную — по чертежу и в координатах (ПР-14)

Видеть смысл произведения

$a \cdot b = ∣ a ∣ \cdot пр_{a} b$ — длина на проекцию

Доказывать дистрибутивность

через проекцию суммы векторов (ПР-14)

Раскладывать вектор

на составляющие вдоль и поперёк прямой, считать работу силы (ПР-13, ПР-15)

0,5 мин · теория
ПР-14: «Владеть понятием скалярного произведения векторов, понимать его геометрический смысл … Знать дистрибутивность скалярного произведения и его связь с проецированием».
ПР-13: «Раскладывать векторы сил с помощью проецирования и тригонометрических соотношений». ПР-15: «Использовать скалярное произведение векторов в алгебраических и физических задачах».
Виды деятельности ФРП R04: «Исследовать связь скалярного произведения и ортогонального проецирования, применять в задачах», «доказывать … дистрибутивность скалярного произведения», «вычисление работы в механике».

повторение: R04.9

Разминка · устно

Скалярное произведение — вспомним

$∣ a ∣ = 3$ , $∣ b ∣ = 4$ , угол $6 0^{\circ}$ . $a \cdot b$ ? $6$
$a {2; - 1}$ , $b {3; 4}$ . $a \cdot b$ ? $2$
$a \cdot b < 0$ . Каков угол между векторами? тупой
$a {1; 3}$ , $b {- 6; 2}$ . Перпендикулярны? да: $- 6 + 6 = 0$

$a {3; 4}$ . Чему равно $a \cdot a$ ? $25 = ∣ a ∣^{2}$
Чему равен $cos 12 0^{\circ}$ ? $- \frac{1}{2}$
Гипотенуза $10$ , острый угол $6 0^{\circ}$ . Прилежащий к нему катет? $5$

R04.10

Новый материал · ортогональная проекция

Тень вектора на прямой

Проекция

b = A B

на прямую

l

с направлением

a

: из

A

и

B

опускаем перпендикуляры, получаем

A_{1} B_{1}

.

пр_{a} b

= ∣ b ∣ cos φ

число со знаком: длина

A_{1} B_{1}

, «+» если

A_{1} B_{1} ↑↑ a

φ < 9 0^{\circ}

$+$

φ = 9 0^{\circ}

$0$

φ > 9 0^{\circ}

$-$

2,5 мин · теория
Образ: солнце в зените, $b$ — палка, её тень на земле $l$ — проекция. Числовая проекция $пр_{a} b$ — длина тени со знаком: «+», если тень направлена как $a$ , «−», если против.
Почему $∣ b ∣ cos φ$ : в прямоугольном треугольнике с гипотенузой $A B$ (закрашен) катет вдоль $l$ равен $∣ b ∣ cos φ$ и равен $A_{1} B_{1}$ (противоположные стороны прямоугольника). Тупой случай — следующий слайд.
Вопрос: зависит ли проекция от длины $a$ ? (Нет — только от направления; $a \neq = 0$ .) Чему равна проекция $b$ на ось $O x$ ? (Абсциссе $b$ .)

R04.10

Теорема · геометрический смысл скалярного произведения

Произведение = длина × проекция

Дано:

a \neq = 0

,

b

, угол между ними

φ

.
Доказать:

a \cdot b = ∣ a ∣ \cdot пр_{a} b

.

1

φ < 9 0^{\circ}

:

пр_{a} b = ∣ b ∣ cos φ

прилежащий катет прямоугольного треугольника (сл. 4)

2

φ > 9 0^{\circ}

:

∣ O B_{1} ∣ = ∣ b ∣ cos (18 0^{\circ} - φ) = - ∣ b ∣ cos φ

O B_{1}

против

a

— знак «−»: снова

пр_{a} b = ∣ b ∣ cos φ

3

a \cdot b = ∣ a ∣ ∣ b ∣ cos φ = ∣ a ∣ \cdot (∣ b ∣ cos φ)

определение скалярного произведения; при

φ = 9 0^{\circ}

обе части равны

0

4

a \cdot b = ∣ a ∣ \cdot пр_{a} b

,

пр_{a} b = \frac{a \cdot b}{∣ a ∣}

аналогично

a \cdot b = ∣ b ∣ \cdot пр_{b} a

2,5 мин · теория
Шаг 2 — формула приведения $cos (18 0^{\circ} - φ) = - cos φ$ : в треугольнике $OB B_{1}$ угол при $O$ равен $18 0^{\circ} - φ$ (синяя дуга), катет $O B_{1} = ∣ b ∣ cos (18 0^{\circ} - φ)$ , а знак «−», потому что проекция направлена против $a$ .
Вывод: формула $пр_{a} b = ∣ b ∣ cos φ$ верна при любом угле, знак проекции даёт косинус сам.
Главная формула урока: $пр_{a} b = \frac{a \cdot b}{∣ a ∣}$ — делим на длину того вектора, НА который проецируем. Вопрос: равны ли $пр_{a} b$ и $пр_{b} a$ ? (Нет, в общем случае; равны при $∣ a ∣ = ∣ b ∣$ .)

R04.10

Образец → сам · проекция по длинам и углу

Тупой угол — проекция отрицательна

Образец: $∣ a ∣ = 5$ , $∣ b ∣ = 6$ , угол $12 0^{\circ}$ . Найдите $пр_{a} b$ и $a \cdot b$ .

$пр_{a} b = 6 cos 12 0^{\circ}$ определение проекции

$= 6 \cdot (- \frac{1}{2}) = - 3$ $cos 12 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$

$a \cdot b = 5 \cdot (- 3) = - 15$ длина × проекция

Сам

$∣ a ∣ = 4$ , $∣ b ∣ = 10$ , угол $6 0^{\circ}$ . Найдите $пр_{a} b$ и $a \cdot b$ . $5$ ; $20$
$△ A BC$ — равносторонний, сторона $6$ . Найдите $A B \cdot A C$ . $6 \cdot 3 = 18$
$∣ a ∣ = 8$ , $a \cdot b = - 24$ . Найдите $пр_{a} b$ . $- 3$

R04.10

Теорема · проекция суммы и дистрибутивность

Проекции складываются — значит, раскрываем скобки

Доказать:

a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c

,

a \neq = 0

.

1

пр_{a} (b + c)

=

пр_{a} b

+

пр_{a} c

b = A B

,

c = BC

; на оси

l

:

x_{C} - x_{A} = (x_{B} - x_{A}) + (x_{C} - x_{B})

2

a \cdot (b + c) = ∣ a ∣ \cdot пр_{a} (b + c)

теорема о проекции (сл. 5)

3

= ∣ a ∣ пр_{a} b + ∣ a ∣ пр_{a} c = a \cdot b + a \cdot c

пункт 1 и снова теорема о проекции

4

(x_{1} i + y_{1} j) \cdot (x_{2} i + y_{2} j) = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}

следствие:

i \cdot i = j \cdot j = 1

,

i \cdot j = 0

— определения равносильны

3 мин · теория
Шаг 1: введём на $l$ координату по направлению $a$ ; числовая проекция $PQ$ — это $x_{Q} - x_{P}$ (со знаком). На чертеже $пр c < 0$ (бирюзовая стрелка влево), и всё равно фиолетовая + бирюзовая = розовая: знаки учтены автоматически.
Шаг 4 опирается ещё на $(k a) \cdot b = k (a \cdot b)$ (из определения: при $k > 0$ угол тот же, при $k < 0$ — смежный, косинус меняет знак). Раскрываем скобки как в алгебре: $x_{1} x_{2} i \cdot i + (x_{1} y_{2} + y_{1} x_{2}) i \cdot j + y_{1} y_{2} j \cdot j$ .
Итог: геометрическое определение и координатная формула (урок GEOM9U-053) дают одно и то же — «доказывать равносильность определений» из ФРП.

R04.10

Образец → сам · проекция в координатах

Делим на длину того, на кого проецируем

Образец: $a {3; 4}$ , $b {7; 1}$ . Найдите $пр_{a} b$ и $пр_{b} a$ .

$a \cdot b = 3 \cdot 7 + 4 \cdot 1 = 25$ координатная формула

$∣ a ∣ = 9 + 16 = 5$ , $∣ b ∣ = 49 + 1 = 52$ длины векторов

$пр_{a} b = \frac{25}{5} = 5$ делим на $∣ a ∣$

$пр_{b} a = \frac{25}{5 2} = \frac{5 2}{2}$ делим на $∣ b ∣$ — проекции разные

Сам

$a {4; - 3}$ , $b {2; 6}$ . Найдите $пр_{a} b$ . $- 2$
$b {5; - 2}$ . Найдите проекции $b$ на оси $O x$ и $O y$ . $5$ и $- 2$ — координаты
$A (1; 1)$ , $B (4; 5)$ , $C (5; - 1)$ . Найдите $пр_{A B} A C$ . $0, 8$

R04.10

Теорема · векторная проекция и разложение

Вдоль прямой и поперёк

Дано:

a \neq = 0

,

b

.
Найти:

b_{∥} ∥ a

и

b_{⊥} ⊥ a

,

b = b_{∥} + b_{⊥}

.

1

b_{∥} = t a

,

b_{⊥} = b - t a

коллинеарный

a

вектор — это

t a

2

a \cdot (b - t a) = 0 \Rightarrow a \cdot b - t a \cdot a = 0

условие перпендикулярности и дистрибутивность

3

b_{∥} = \frac{a \cdot b}{a \cdot a} a

t = \frac{a \cdot b}{∣ a ∣ ^{2}}

; такое

t

единственно — разложение единственно

4

∣ b_{∥} ∣ = ∣ пр_{a} b ∣

,

∣ b_{⊥} ∣ = B H

B H

— расстояние от точки

B

до прямой

l

R04.10

Образец → сам · разложение на составляющие

Нашли $t$ — нашли обе составляющие

Образец: $a {2; 1}$ , $b {3; 4}$ . Разложите $b$ на $b_{∥} ∥ a$ и $b_{⊥} ⊥ a$ .

$t = \frac{6 + 4}{4 + 1} = 2$ $t = \frac{a \cdot b}{a \cdot a}$

$b_{∥} = 2 a = {4; 2}$

$b_{⊥} = {3 - 4; 4 - 2} = {- 1; 2}$

проверка: $a \cdot b_{⊥} = - 2 + 2 = 0$

Сам

$a {1; 1}$ , $b {5; 1}$ . Найдите $b_{∥}$ и $b_{⊥}$ . ${3; 3}$ и ${2; - 2}$
$a {3; 0}$ , $b {2; 5}$ . Найдите $b_{∥}$ . ${2; 0}$
Найдите расстояние от $M (5; 0)$ до прямой через $O$ с направлением $a {3; 4}$ . $∣ b_{⊥} ∣ = 4$

R04.10 · физика

Образец → сам · задача из жизни: работа силы

Работает только проекция силы

Образец: санки тянут на $30$ м силой $60$ Н под углом $3 0^{\circ}$ к горизонту. Найдите работу силы $A = F \cdot s$ .

$пр_{s} F = 60 cos 3 0^{\circ} = 303$ Н«тянущая» составляющая

$A = ∣ s ∣ \cdot пр_{s} F = 30 \cdot 303$ длина × проекция

$A = 9003 \approx 1559$ Дж

Сам

$F = 50$ Н, $s = 10$ м, угол $6 0^{\circ}$ . Найдите $A$ . $250$ Дж
$F {3; 4}$ (Н), $s {6; 0}$ (м). Найдите $A$ . $18$ Дж
Ящик весом $200$ Н везут по полу на $5$ м. Работа силы тяжести? $0$ : сила $⊥$ перемещению

R04.10

Образец → сам · задача на доказательство

Проекция вместо косинуса

Образец: $A B$ — хорда окружности с центром $O$ . Докажите: $A B \cdot A O = \frac{1}{2} A B^{2}$ .

$O H ⊥ A B$ , $A H = \frac{1}{2} A B$ $△ A OB$ равнобедренный, высота — медиана

$пр_{A B} A O = A H = \frac{1}{2} A B$ $O$ проецируется в $H$

$A B \cdot A O = A B \cdot \frac{1}{2} A B = \frac{1}{2} A B^{2}$

Сам

$∠ C = 9 0^{\circ}$ в $△ A BC$ . Докажите: $A B \cdot A C = A C^{2}$ . $B$ проецируется в $C$
Квадрат $A BC D$ , сторона $4$ , $M$ — середина $C D$ . Найдите $A B \cdot A M$ . $4 \cdot 2 = 8$
$O$ — центр описанной окружности $△ A BC$ , $A B = 6$ , $A C = 8$ . Найдите $A O \cdot BC$ . $32 - 18 = 14$

R04.10

Схема-конспект

Проекция и скалярное произведение

Что	Формула
Числовая проекция	$пр_{a} b = ∣ b ∣ cos φ = \frac{a \cdot b}{∣ a ∣}$
Знак проекции	$+$ при $φ < 9 0^{\circ}$ , $0$ при $φ = 9 0^{\circ}$ , $-$ при $φ > 9 0^{\circ}$
Смысл произведения	$a \cdot b = ∣ a ∣ \cdot пр_{a} b = ∣ b ∣ \cdot пр_{b} a$
Дистрибутивность	$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$
Разложение вектора	$b_{∥} = \frac{a \cdot b}{a \cdot a} a$ , $b_{⊥} = b - b_{∥}$
Работа силы	$A = F \cdot s = ∣ s ∣ \cdot пр_{s} F$

R04.10

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
«Проекция — это длина, она не бывает отрицательной»	при тупом угле тень направлена против $a$	$пр_{a} b = ∣ b ∣ cos φ < 0$
$пр_{a} b = \frac{a \cdot b}{∣ b ∣}$	делят на длину вектора, НА который проецируют	$пр_{a} b = \frac{a \cdot b}{∣ a ∣}$
$b_{∥} = \frac{a \cdot b}{∣ a ∣} a$	$a$ не единичный: длина выйдет в $∣ a ∣$ раз больше	$b_{∥} = \frac{a \cdot b}{∣ a ∣ ^{2}} a$
Равносторонний, сторона $6$ : $A B \cdot BC = 18$	угол между векторами — от общего начала: $12 0^{\circ}$ , не $6 0^{\circ}$	$A B \cdot BC = - 18$

R04.10

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $a {1; 2}$ , $b {3; 1}$ . Найдите $пр_{a} b$ .

$a \cdot b = 3 + 2 = 5$

$пр_{a} b = \frac{5}{∣ b ∣} = \frac{5}{10}$

делить на $∣ a ∣ = 5$ : $пр_{a} b = 5$

б) $a {2; 1}$ , $b {3; 4}$ . Найдите $b_{∥}$ .

$t = \frac{a \cdot b}{∣ a ∣} = \frac{10}{5} = 25$

$b_{∥} = {45; 25}$

$t = \frac{10}{∣ a ∣ ^{2}} = 2$ , $b_{∥} = {4; 2}$

в) Квадрат $A BC D$ , сторона $3$ . Найдите $A B \cdot C A$ .

угол $4 5^{\circ}$ , $∣ C A ∣ = 32$

$3 \cdot 32 \cdot \frac{2}{2} = 9$

угол $13 5^{\circ}$ : ответ $- 9$

2 мин · практика
Сначала видны «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открыть исправления.
а) Скалярное произведение верно, ошибка в делителе: проецируем НА $a$ , значит делим на $∣ a ∣ = 5$ : $\frac{5}{5} = 5$ . (Ученик нашёл $пр_{b} a = \frac{10}{2}$ .)
б) В формуле векторной проекции знаменатель $a \cdot a = ∣ a ∣^{2} = 5$ : $t = 2$ . Проверка: $b_{⊥} = {- 1; 2}$ , $a \cdot b_{⊥} = 0$ ✓; у ученика $∣ b_{∥} ∣ = 10 > ∣ b ∣ = 5$ — абсурд.
в) $C A$ направлен от $C$ к $A$ , угол между $A B$ и $C A$ равен $18 0^{\circ} - 4 5^{\circ} = 13 5^{\circ}$ . В координатах: $A (0; 0)$ , $B (3; 0)$ , $C (3; 3)$ : ${3; 0} \cdot {- 3; - 3} = - 9$ ✓.

R04.10

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

база $∣ a ∣ = 6$ , $∣ b ∣ = 4$ , угол $4 5^{\circ}$ . Найдите $пр_{b} a$ . $32$
база $∣ a ∣ = 3$ , $пр_{a} b = - 4$ . Найдите $a \cdot b$ . $- 12$
база $a {3; - 4}$ , $b {1; 7}$ . Найдите $пр_{a} b$ . $- 5$

база $a {0; 5}$ , $b {- 3; 2}$ . Найдите $пр_{a} b$ . $2$
базаКвадрат $A BC D$ со стороной $5$ . Найдите $A B \cdot A C$ . $25$
база $a ⊥ b$ . Чему равна $пр_{a} b$ ? $0$

R04.10

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш. $a {1; 2}$ , $b {4; - 3}$ . Разложите $b$ на $b_{∥} ∥ a$ и $b_{⊥} ⊥ a$ . ${- 0, 4; - 0, 8}$ и ${4, 4; - 2, 2}$
повыш.При каком $m$ проекция $b {m; 1}$ на направление $a {3; 4}$ равна $2$ ? $m = 2$
повыш.В $△ A BC$ : $A B = 5$ , $A C = 8$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите $пр_{A B} BC$ . $- 1$
повыш.Найдите расстояние от $M (4; 7)$ до прямой через $A (1; 1)$ с направлением $a {1; 1}$ . $\frac{3 2}{2}$

R04.10 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 18 и 19

Ответ — одно число

ОГЭ 18Клетка $1 \times 1$ . Найдите скалярное произведение $a \cdot b$ . $20$
ОГЭ 18Найдите проекцию $b$ на направление $a$ . $4$

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Скалярное произведение векторов равно произведению длины одного из них на проекцию другого на его направление.
Проекция вектора на направление другого вектора всегда неотрицательна.
Если скалярное произведение ненулевых векторов отрицательно, то угол между ними тупой.

Ответ: 13

R04.10

Самостоятельная работа · 3 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$∣ a ∣ = 4$ , $∣ b ∣ = 6$ , угол $6 0^{\circ}$ . $пр_{a} b$ ? $3$
$a {3; 4}$ , $b {2; - 1}$ . $пр_{a} b$ ? $0, 4$
$a {1; 1}$ , $b {3; - 1}$ . Найдите $b_{∥}$ . ${1; 1}$
$F = 40$ Н под углом $6 0^{\circ}$ к перемещению $5$ м. Работа? $100$ Дж

Вариант 2

$∣ a ∣ = 10$ , $∣ b ∣ = 4$ , угол $12 0^{\circ}$ . $пр_{a} b$ ? $- 2$
$a {- 4; 3}$ , $b {2; 6}$ . $пр_{a} b$ ? $2$
$a {2; 0}$ , $b {3; 5}$ . Найдите $b_{∥}$ . ${3; 0}$
$F = 80$ Н под углом $6 0^{\circ}$ к перемещению $3$ м. Работа? $120$ Дж

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как найти проекцию $b$ на направление $a$ ?
Когда проекция отрицательна?
Почему можно раскрывать скобки в скалярном произведении?

Домашнее задание

$a {2; 3}$ , $b {4; - 1}$ . Найдите $пр_{a} b$ .
Разложите $b {1; 5}$ по направлению $a {1; 1}$ и перпендикулярно ему.
* Прямоугольник $A BC D$ : $A B = 6$ , $A D = 4$ , $M$ — середина $BC$ . Найдите $A M \cdot A C$ .
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_adv_vektory-koordinaty.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9U-054 · Скалярное произведение и проецирование

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R04 «Векторы», 20 ч · урок 10/20 · тип Н
Единицы → слайды	R04.10 «Скалярное произведение и проецирование» → 2, 4–20 · повторение R04.9 → 3
Результаты	ПР-14 → 2, 4–10, 12–18 · ПР-13 (разложение сил проецированием) → 9–11 · ПР-15 (физические задачи) → 11, 19
Виды деятельности	«Исследовать связь скалярного произведения и ортогонального проецирования, применять в задачах» → 4–6, 8, 12 · «доказывать равносильность определений и дистрибутивность» → 7 · «раскладывать векторы сил с помощью проецирования» → 9–11 · «вычисление работы в механике» → 11
ОГЭ	линия 18 (векторы на клетчатой бумаге) → 18 · линия 19 → 18
Вне урока	длины и углы через скалярное произведение — GEOM9U-055 (R04.11); геометрические задачи — GEOM9U-056 (R04.12)
Время	теория 13 мин · практика 32 мин (71 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Скалярное произведение и проецирование

Сегодня вы научитесь

Находить проекцию вектора

Видеть смысл произведения

Доказывать дистрибутивность

Раскладывать вектор

Скалярное произведение — вспомним

Тень вектора на прямой

Произведение = длина × проекция

Тупой угол — проекция отрицательна

Образец: ∣a∣=5, ∣b∣=6, угол 120∘. Найдите прa​b и a⋅b.

Сам

Проекции складываются — значит, раскрываем скобки

Делим на длину того, на кого проецируем

Образец: a{3;4}, b{7;1}. Найдите прa​b и прb​a.

Сам

Вдоль прямой и поперёк

Нашли t — нашли обе составляющие

Образец: a{2;1}, b{3;4}. Разложите b на b∥​∥a и b⊥​⊥a.

Сам

Работает только проекция силы

Образец: санки тянут на 30 м силой 60 Н под углом 30∘ к горизонту. Найдите работу силы A=F⋅s.

Сам

Проекция вместо косинуса

Образец: AB — хорда окружности с центром O. Докажите: AB⋅AO=21​AB2.

Сам

Проекция и скалярное произведение

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) a{1;2}, b{3;1}. Найдите прa​b.

б) a{2;1}, b{3;4}. Найдите b∥​.

в) Квадрат ABCD, сторона 3. Найдите AB⋅CA.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9U-054 · Скалярное произведение и проецирование

Образец: $∣ a ∣ = 5$ , $∣ b ∣ = 6$ , угол $12 0^{\circ}$ . Найдите $пр_{a} b$ и $a \cdot b$ .

Образец: $a {3; 4}$ , $b {7; 1}$ . Найдите $пр_{a} b$ и $пр_{b} a$ .

Нашли $t$ — нашли обе составляющие

Образец: $a {2; 1}$ , $b {3; 4}$ . Разложите $b$ на $b_{∥} ∥ a$ и $b_{⊥} ⊥ a$ .

Образец: санки тянут на $30$ м силой $60$ Н под углом $3 0^{\circ}$ к горизонту. Найдите работу силы $A = F \cdot s$ .

Образец: $A B$ — хорда окружности с центром $O$ . Докажите: $A B \cdot A O = \frac{1}{2} A B^{2}$ .

а) $a {1; 2}$ , $b {3; 1}$ . Найдите $пр_{a} b$ .

б) $a {2; 1}$ , $b {3; 4}$ . Найдите $b_{∥}$ .

в) Квадрат $A BC D$ , сторона $3$ . Найдите $A B \cdot C A$ .