Векторы · урок 9 из 20

Скалярное произведение векторов

Геометрия · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R04 · GEOM9U-053

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R04 «Векторы» (20 ч), урок 9/20, единица R04.9 «Скалярное произведение векторов, геометрический смысл и выражение в декартовых координатах». Тип урока — Н.
Теория (12): титул 1 · цели 0,5 · угол между векторами 1,5 · определение 1,5 · геометрический смысл 1,5 · формула в координатах 3 · свойства 2 · сводка 1.
Практика (33): разминка 2,5 · образцы → сам 2,5 + 2,5 + 2,5 + 2,5 + 2 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 3 · повышенный 3 · ОГЭ 2,5 · работа силы 1 · самостоятельная 4,5 · итог 1.
Проецирование (R04.10) и нахождение длин и углов (R04.11) — следующие уроки; сегодня косинус угла находим только в обратной задаче к определению.
Если не успеваете: задание 3 «сам» к образцу 5 и задание 4 повышенного уровня — в ДЗ; теорию не сокращать.

R04.9

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Находить угол между векторами

откладывать векторы от одной точки, отличать угол между векторами от угла фигуры

Вычислять $a \cdot b$ по определению

$a \cdot b = ∣ a ∣ ∣ b ∣ cos φ$ и понимать смысл его знака

Доказывать формулу в координатах

$a \cdot b = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}$ — равносильность двух определений

Проверять перпендикулярность

$x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} = 0$ ; раскрывать скобки по свойствам скалярного произведения

0,5 мин · теория
ПР-14: «Владеть понятием скалярного произведения векторов, понимать его геометрический смысл и уверенно пользоваться его выражением в декартовых координатах. Знать дистрибутивность…». ПР-15 (физические задачи) — задача о работе силы.
Вид деятельности ФРП R04: «Определять скалярное произведение векторов геометрически и в координатах, доказывать равносильность определений и дистрибутивность скалярного произведения».

повторение: R01 · R04.4

Разминка · устно

Что понадобится сегодня

$cos 6 0^{\circ}$ и $cos 12 0^{\circ}$ ? $\frac{1}{2}$ и $- \frac{1}{2}$
$cos 9 0^{\circ}$ и $cos 18 0^{\circ}$ ? $0$ и $- 1$
$cos 4 5^{\circ} \cdot 2 = ?$ $1$
Знак $cos φ$ при $9 0^{\circ} < φ < 18 0^{\circ}$ ? минус

Длина вектора ${- 3; 4}$ ? $5$
$A (1; 2)$ , $B (4; - 2)$ . Координаты $A B$ ? ${3; - 4}$
Теорема косинусов: $c^{2} = ?$ $a^{2} + b^{2} - 2 ab cos γ$

R04.9

Новый материал · угол между векторами

Откладываем от одной точки

Определение. Угол

φ

между ненулевыми векторами

a

и

b

— угол между равными им векторами, отложенными от одной точки

O

.

1

0^{\circ} \leq φ \leq 18 0^{\circ}

угол не зависит от выбора точки

O

2

a ↑↑ b

:

φ = 0^{\circ}

;

a ↑↓ b

:

φ = 18 0^{\circ}

сонаправленные и противоположно направленные

3

φ = 9 0^{\circ}

— векторы перпендикулярны:

a ⊥ b

угол фигуры и угол векторов — не одно и то же

R04.9

Новый материал · определение

Скалярное произведение — это число

Определение. Скалярным произведением ненулевых векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними.

a

\cdot

b

=

∣ a ∣

∣ b ∣

cos

φ

1Если

a = 0

или

b = 0

, то

a \cdot b = 0

по соглашению

2Скалярный квадрат:

a \cdot a = a^{2} = ∣ a ∣^{2}

φ = 0^{\circ}

,

cos 0^{\circ} = 1

R04.9

Образец → сам · по определению

Длины и угол — сразу ответ

Образец: $∣ a ∣ = 4$ , $∣ b ∣ = 5$ , угол между ними $12 0^{\circ}$ . Найдите $a \cdot b$ .

$a \cdot b = 4 \cdot 5 \cdot cos 12 0^{\circ}$ определение

$cos 12 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$ формула приведения

$a \cdot b = 20 \cdot (- \frac{1}{2}) = - 10$

Сам

$∣ a ∣ = 3$ , $∣ b ∣ = 2$ , $φ = 6 0^{\circ}$ . $a \cdot b$ ? $3$
$∣ a ∣ = 6$ , $∣ b ∣ = 2$ , $φ = 13 5^{\circ}$ . $a \cdot b$ ? $- 6$
$a \cdot b = 12$ , $∣ a ∣ = 4$ , $∣ b ∣ = 6$ . Найдите $φ$ . $6 0^{\circ}$

R04.9

Новый материал · геометрический смысл

Знак скалярного произведения — вид угла

Теорема. Ненулевые векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда

a \cdot b = 0

. Доказательство:

∣ a ∣ ∣ b ∣ \neq = 0

, значит,

a \cdot b = 0 \Leftrightarrow cos φ = 0 \Leftrightarrow φ = 9 0^{\circ}

.

R04.9

Образец → сам · угол на чертеже

Угол векторов ≠ угол фигуры

Образец: $A BC$ — правильный треугольник со стороной $2$ . Найдите $A B \cdot A C$ и $A B \cdot BC$ .

$A B \cdot A C = 2$ $2 \cdot 2 \cdot cos 6 0^{\circ}$ ; общее начало $A$

Отложим $A B$ от $B$ :
угол $12 0^{\circ}$ смежный с углом $B$

$A B \cdot BC = - 2$ $2 \cdot 2 \cdot cos 12 0^{\circ} = 2 \cdot 2 \cdot (- \frac{1}{2})$

Сам · квадрат $A BC D$ , сторона $3$

$A B \cdot A C$ ? $9$
$A B \cdot C D$ ? $- 9$
$A C \cdot B D$ ? $0$

R04.9

Новый материал · теорема о скалярном произведении в координатах

Два определения дают одно число

Теорема.

a {x_{1}; y_{1}}

,

b {x_{2}; y_{2}}

\Rightarrow

a \cdot b = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}

.

1

△ O A B

:

A B^{2}

=

O A^{2}

+

O B^{2}

- 2 O A \cdot OB cos φ

теорема косинусов

2

∣ b - a ∣^{2} = ∣ a ∣^{2} + ∣ b ∣^{2} - 2 a \cdot b

A B = b - a

; определение скалярного произведения

3

(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2} = x_{1}^{2} + y_{1}^{2} + x_{2}^{2} + y_{2}^{2} - 2 a \cdot b

длины через координаты

4

- 2 x_{1} x_{2} - 2 y_{1} y_{2} = - 2 a \cdot b

\Rightarrow

a \cdot b = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}

раскрыли скобки, сократили квадраты

R04.9

Образец → сам · в координатах

Перемножаем «иксы» и «игреки»

Образец: $a {3; - 2}$ , $b {4; 5}$ . Найдите $a \cdot b$ и вид угла между ними.

$x_{1} x_{2} = 3 \cdot 4 = 12$ абсциссы

$y_{1} y_{2} = (- 2) \cdot 5 = - 10$ ординаты

$a \cdot b = 12 + (- 10) = 2$ сумма произведений

$2 > 0$ — угол острыйзнак = знак $cos φ$

Сам: $a \cdot b$ и вид угла

${- 1; 4}$ и ${2; 3}$ $10$ , острый
${2; - 6}$ и ${3; 1}$ $0$ , прямой
${- 3; 2}$ и ${4; 1}$ $- 10$ , тупой

R04.9

Новый материал · свойства

Скобки раскрываем как в алгебре

1

a^{2} \geq 0

, причём

a^{2} = 0 \Leftrightarrow a = 0

a^{2} = x^{2} + y^{2}

2

a \cdot b = b \cdot a

переместительный закон

3

(k a) \cdot b = k (a \cdot b)

сочетательный закон

4

(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c

распределительный закон (дистрибутивность)

Доказательство закона 4

$a {x_{1}; y_{1}}$ , $b {x_{2}; y_{2}}$ , $c {x_{3}; y_{3}}$ :
$(x_{1} + x_{2}) x_{3} + (y_{1} + y_{2}) y_{3} =$
$= (x_{1} x_{3} + y_{1} y_{3}) + (x_{2} x_{3} + y_{2} y_{3})$

Следствие

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a \cdot b + b^{2}$

R04.9

Образец → сам · доказательство перпендикулярности

Прямой угол — без транспортира

Образец: $A (- 1; 1)$ , $B (3; 3)$ , $C (1; 7)$ . Докажите, что треугольник $A BC$ прямоугольный.

$B A {- 4; - 2}$ , $BC {- 2; 4}$ оба вектора — из вершины $B$

$B A \cdot BC = 8 - 8 = 0$ формула в координатах

$B A ⊥ BC$ теорема о перпендикулярности

$∠ B = 9 0^{\circ}$ , что и требовалось

Сам

При каком $m$ векторы ${m; 3}$ и ${2; - 4}$ перпендикулярны? $m = 6$
Прямоугольный ли $△ A BC$ : $A (1; 0)$ , $B (3; 4)$ , $C (5; 3)$ ? да, $∠ B = 9 0^{\circ}$
Все векторы длины $10$ , перпендикулярные ${3; - 4}$ ? ${8; 6}$ и ${- 8; - 6}$

R04.9

Образец → сам · по свойствам

Раскрываем скобки

Образец: $∣ a ∣ = 2$ , $∣ b ∣ = 3$ , угол между ними $6 0^{\circ}$ . Найдите $(a + b) \cdot (a - 2 b)$ .

$a \cdot b = 2 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} = 3$ , $a^{2} = 4$ , $b^{2} = 9$ определение и скалярный квадрат

$= a^{2} - 2 a \cdot b + b \cdot a - 2 b^{2}$ распределительный закон

$= a^{2} - a \cdot b - 2 b^{2}$ $b \cdot a = a \cdot b$ , приводим подобные

$= 4 - 3 - 18 = - 17$

Сам (те же $a$ , $b$ )

$(2 a - b) \cdot b = ?$ $- 3$
$(a + b)^{2} = ?$ $19$
При каком $k$ $(a + k b) ⊥ a$ ? $k = - \frac{4}{3}$

R04.9

Схема-конспект

Всё о скалярном произведении

Что	Формула
Определение	$a \cdot b = ∣ a ∣ ∣ b ∣ cos φ$ , $φ$ — угол между векторами от одной точки
В координатах	$a {x_{1}; y_{1}}$ , $b {x_{2}; y_{2}}$ : $a \cdot b = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}$
Знак и угол	$> 0$ — острый, $= 0$ — прямой ( $a ⊥ b$ ), $< 0$ — тупой
Скалярный квадрат	$a^{2} = ∣ a ∣^{2} = x^{2} + y^{2}$
Свойства	$a \cdot b = b \cdot a$ , $(k a) \cdot b = k (a \cdot b)$ , $(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$

R04.9

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
Правильный $△ A BC$ , сторона $2$ : $A B \cdot BC = 2$	взяли угол треугольника $6 0^{\circ}$ , а векторы не из одной точки	угол $12 0^{\circ}$ : $- 2$
${2; 3} \cdot {4; - 1} = {8; - 3}$	скалярное произведение — число, не вектор	$8 - 3 = 5$
${1; 2} \cdot {3; 4} = 1 \cdot 2 + 3 \cdot 4 = 14$	перемножили координаты одного вектора	$1 \cdot 3 + 2 \cdot 4 = 11$
$a \cdot b = 0 \Rightarrow a = 0$ или $b = 0$	забыли перпендикулярные векторы	или $a ⊥ b$

R04.9

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $a {3; - 2}$ , $b {- 4; 6}$ . Найдите $a \cdot b$ и вид угла.

$a \cdot b = - 12 + 12 = 0$

Ответ: $a ⊥ b$

$(- 2) \cdot 6 = - 12$ : $- 24$ , угол тупой

б) $A BC D$ — квадрат со стороной $4$ . Найдите $A C \cdot CB$ .

$A C = 42$ , угол $A CB = 4 5^{\circ}$

$42 \cdot 4 \cdot \frac{2}{2} = 16$

Угол между векторами $13 5^{\circ}$ : $- 16$

в) $∣ a ∣ = 3$ , $∣ b ∣ = 2$ , угол $6 0^{\circ}$ . Найдите $(a + b)^{2}$ .

$(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2}$

$= 9 + 4 = 13$

Потеряно $2 a \cdot b = 6$ : $19$

R04.9

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

база $∣ a ∣ = 5$ , $∣ b ∣ = 4$ , $φ = 6 0^{\circ}$ . Найдите $a \cdot b$ . $10$
база $a {- 2; 5}$ , $b {3; 1}$ . Найдите $a \cdot b$ . $- 1$
базаНайдите скалярный квадрат вектора ${- 6; 8}$ . $100$

базаПри каком $x$ векторы ${x; - 2}$ и ${4; 6}$ перпендикулярны? $x = 3$
базаВид угла между ${1; - 3}$ и ${- 2; - 1}$ ? острый ( $1 > 0$ )
база $a \cdot b = - 6$ , $∣ a ∣ = 3$ , $∣ b ∣ = 4$ . Найдите $φ$ . $12 0^{\circ}$

R04.9

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш. $A BC D$ — прямоугольник, $A B = 3$ , $A D = 4$ . Найдите $A C \cdot B D$ . $7$
повыш. $∣ a ∣ = ∣ b ∣ = 1$ , угол между ними $12 0^{\circ}$ . Найдите $(a - b) \cdot (a + 2 b)$ . $- \frac{3}{2}$
повыш.Вектор $b$ коллинеарен $a {1; - 2}$ , $a \cdot b = 10$ . Найдите координаты $b$ . ${2; - 4}$
повыш.При каких $m$ угол между векторами ${m; 2}$ и ${3; - 1}$ тупой? $m < \frac{2}{3}$ , $m \neq = - 6$

R04.9 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 18 и 19

Ответ — одно число

ОГЭ 18Клетка $1 \times 1$ . Найдите $a \cdot b$ . $5$
ОГЭ 18Найдите $a \cdot c$ . $- 14$

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Скалярное произведение двух векторов — вектор.
Если угол между ненулевыми векторами тупой, то их скалярное произведение отрицательно.
Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.

Ответ: 23

R04.9 · из жизни

Задача из жизни · работа силы

Физика: $A = F \cdot s$

Санки тянут за верёвку с силой

∣ F ∣ = 50

Н под углом

6 0^{\circ}

к горизонту и перемещают на

20

м.

Найдите работу силы $F$ . $500$ Дж
$F {30; 40}$ Н, $s {12; - 5}$ м. Найдите работу. $160$ Дж
Когда сила не совершает работы? при $F ⊥ s$

R04.9

Самостоятельная работа · 4,5 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$∣ a ∣ = 6$ , $∣ b ∣ = 5$ , $φ = 6 0^{\circ}$ . Найдите $a \cdot b$ . $15$
$a {3; - 4}$ , $b {2; 5}$ : $a \cdot b$ и вид угла. $- 14$ , тупой
При каком $y$ ${6; y} ⊥ {- 2; 3}$ ? $y = 4$
$∣ a ∣ = 2$ , $∣ b ∣ = 3$ , угол $12 0^{\circ}$ . Найдите $(a + b) \cdot b$ . $6$

Вариант 2

$∣ a ∣ = 4$ , $∣ b ∣ = 7$ , $φ = 12 0^{\circ}$ . Найдите $a \cdot b$ . $- 14$
$a {- 5; 2}$ , $b {1; 4}$ : $a \cdot b$ и вид угла. $3$ , острый
При каком $x$ ${x; 4} ⊥ {6; - 3}$ ? $x = 2$
$∣ a ∣ = 3$ , $∣ b ∣ = 2$ , угол $6 0^{\circ}$ . Найдите $(a - b) \cdot a$ . $6$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как найти угол между $A B$ и $BC$ ?
Почему два определения дают одно число?
Как по координатам проверить $a ⊥ b$ ?

Домашнее задание

$a {- 3; 5}$ , $b {4; 2}$ : $a \cdot b$ и вид угла.
Правильный $△ A BC$ , сторона $4$ : $A B \cdot BC + BC \cdot C A + C A \cdot A B$ .
* При каких $m$ угол между ${m; 1}$ и ${2; m}$ острый?
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_skalyarnoe-proizvedenie.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9U-053 · Скалярное произведение векторов

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R04 «Векторы», 20 ч · урок 9/20 · тип Н
Единицы → слайды	R04.9 «Скалярное произведение векторов, геометрический смысл и выражение в декартовых координатах» → 2, 4–22 · повторение (R01, R04.4) → 3
Результаты	ПР-14 → 2, 4–22 · ПР-15 (физические задачи) → 20 · ПР-3 (теорема косинусов, опора) → 3, 9
Виды деятельности	«Определять скалярное произведение векторов геометрически и в координатах, доказывать равносильность определений и дистрибутивность» → 5, 9, 11 · «Вычислять… скалярное произведение векторов в координатах» → 10, 17 · «Решать задачи на практическое применение… в физике (вычисление работы)» → 20
ОГЭ	линия 18 → 19 (задачи 1, 2) · линия 19 → 19
Вне урока	скалярное произведение и проецирование — GEOM9U-054 (R04.10); длины и углы — GEOM9U-055 (R04.11); геометрические задачи — R04.12
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Скалярное произведение векторов

Сегодня вы научитесь

Находить угол между векторами

Вычислять a⋅b по определению

Доказывать формулу в координатах

Проверять перпендикулярность

Что понадобится сегодня

Откладываем от одной точки

Скалярное произведение — это число

Длины и угол — сразу ответ

Образец: ∣a∣=4, ∣b∣=5, угол между ними 120∘. Найдите a⋅b.

Сам

Знак скалярного произведения — вид угла

Угол векторов ≠ угол фигуры

Образец: ABC — правильный треугольник со стороной 2. Найдите AB⋅AC и AB⋅BC.

Сам · квадрат ABCD, сторона 3

Два определения дают одно число

Перемножаем «иксы» и «игреки»

Образец: a{3;−2}, b{4;5}. Найдите a⋅b и вид угла между ними.

Сам: a⋅b и вид угла

Скобки раскрываем как в алгебре

Доказательство закона 4

Следствие

Прямой угол — без транспортира

Образец: A(−1;1), B(3;3), C(1;7). Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.

Сам

Раскрываем скобки

Образец: ∣a∣=2, ∣b∣=3, угол между ними 60∘. Найдите (a+b)⋅(a−2b).

Сам (те же a, b)

Всё о скалярном произведении

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) a{3;−2}, b{−4;6}. Найдите a⋅b и вид угла.

б) ABCD — квадрат со стороной 4. Найдите AC⋅CB.

в) ∣a∣=3, ∣b∣=2, угол 60∘. Найдите (a+b)2.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Физика: A=F⋅s

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9U-053 · Скалярное произведение векторов

Вычислять $a \cdot b$ по определению

Образец: $∣ a ∣ = 4$ , $∣ b ∣ = 5$ , угол между ними $12 0^{\circ}$ . Найдите $a \cdot b$ .

Образец: $A BC$ — правильный треугольник со стороной $2$ . Найдите $A B \cdot A C$ и $A B \cdot BC$ .

Сам · квадрат $A BC D$ , сторона $3$

Образец: $a {3; - 2}$ , $b {4; 5}$ . Найдите $a \cdot b$ и вид угла между ними.

Сам: $a \cdot b$ и вид угла

Образец: $A (- 1; 1)$ , $B (3; 3)$ , $C (1; 7)$ . Докажите, что треугольник $A BC$ прямоугольный.

Образец: $∣ a ∣ = 2$ , $∣ b ∣ = 3$ , угол между ними $6 0^{\circ}$ . Найдите $(a + b) \cdot (a - 2 b)$ .

Сам (те же $a$ , $b$ )

а) $a {3; - 2}$ , $b {- 4; 6}$ . Найдите $a \cdot b$ и вид угла.

б) $A BC D$ — квадрат со стороной $4$ . Найдите $A C \cdot CB$ .

в) $∣ a ∣ = 3$ , $∣ b ∣ = 2$ , угол $6 0^{\circ}$ . Найдите $(a + b)^{2}$ .

Физика: $A = F \cdot s$