Векторы · урок 8 из 20

Разложения векторов по базису

Геометрия · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R04 · GEOM9U-052

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Паспорт: R04 «Векторы» (20 ч), урок 8/20, единица R04.8 «Разложения векторов по базису». Тип урока — Н.
Теория (13): титул 1 · цели 0,5 · теорема о разложении 3 · опорные разложения в треугольнике 2,5 · коэффициенты в координатах 2 · разложение силы 2,5 · сводка 1,5.
Практика (32): разминка 3 · образцы → сам 2,5 × 5 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 3 · повышенный 3 · из жизни 1 · ОГЭ 2 · самостоятельная 3,5 · итог 0,5.
Если не успеваете: задачу из жизни и задание 4 повышенного уровня — в ДЗ; теорию не сокращать.

R04.8

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Раскладывать в фигуре

выражать любой вектор через два неколлинеарных: $p = x a + y b$

Находить коэффициенты

по координатам — через систему двух уравнений

Пользоваться единственностью

сравнивать коэффициенты и находить отношения отрезков

Раскладывать силы

на составляющие — проецированием и тригонометрией

повторение: R04.2 · R04.3 · R04.7

Разминка · устно

Параллелограмм $A BC D$ : $A B = a$ , $A D = b$

Выразите $A C$ . $a + b$
Выразите $B D$ . $b - a$
Выразите $A O$ . $\frac{1}{2} a + \frac{1}{2} b$
Выразите $CB$ . $- b$
Образуют ли базис ${2; - 1}$ и ${- 4; 2}$ ? нет, коллинеарны
$p = 3 a - 2 b$ . Коэффициенты разложения? $3$ и $- 2$

R04.8

Новый материал · теорема о разложении

Любой вектор — единственным образом

Теорема. Если

a

,

b

неколлинеарны, то любой

p

раскладывается по ним:

p = x a + y b

, и числа

x

,

y

единственны.

1

p = OP

; через

P

— прямая

∥ b

,

P_{1}

на прямой

a

построение (прямые не параллельны:

a ∦ b

)

2

O P_{1} = x a

,

P_{1} P = y b

лемма о коллинеарных векторах

3

p = O P_{1} + P_{1} P = x a + y b

правило треугольника

4Если ещё

p = x^{'} a + y^{'} b

, то

(x - x^{'}) a = (y^{'} - y) b

при

x \neq = x^{'}

векторы коллинеарны — противоречие; значит,

x = x^{'}

,

y = y^{'}

3 мин · теория
Чертёж: $a {1, 6; 0}$ , $b {0, 8; 1, 2}$ , $p = 2, 5 a + 2 b$ . Серые прямые — прямые, содержащие $a$ и $b$ с началом $O$ ; пунктир — построение параллелограмма. Шаги 1–2 открывают $x a$ и $y b$ на чертеже.
Шаг 4 подробно: если $x \neq = x^{'}$ , то $a = \frac{y ^{'} - y}{x - x ^{'}} b$ — коллинеарны, что противоречит условию. Значит, $x = x^{'}$ , тогда $(y^{'} - y) b = 0$ , $b \neq = 0$ , т. е. $y = y^{'}$ .
Следствие, которое будем применять: если $x a + y b = x^{'} a + y^{'} b$ и $a ∦ b$ , то $x = x^{'}$ и $y = y^{'}$ — «сравнение коэффициентов» (образец 4).
Вопрос: если $p ∥ a$ , чему равен $y$ ? ( $y = 0$ , точка $P$ на прямой $a$ .)

R04.8

Образец → сам · разложение в параллелограмме

Идём «цепочкой» по сторонам

Образец: $A BC D$ — параллелограмм, $A B = a$ , $A D = b$ , $M$ , $N$ — середины $BC$ и $C D$ . Разложите $A M$ и $MN$ .

$A M = A B + BM$ правило треугольника

$A M = a + \frac{1}{2} b$ $BM = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} A D$

$MN = MC + CN = \frac{1}{2} b - \frac{1}{2} a$ $CN = \frac{1}{2} C D = - \frac{1}{2} a$

$MN = - \frac{1}{2} a + \frac{1}{2} b$

Сам: тот же параллелограмм

Разложите $D M$ . $a - \frac{1}{2} b$
Разложите $BN$ . $- \frac{1}{2} a + b$
$K \in A D$ , $A K : KD = 1 : 3$ . Разложите $K C$ . $a + \frac{3}{4} b$

R04.8

Новый материал · опорные разложения в треугольнике

Медиана, деление стороны, центроид

Базис:

A B = a

,

A C = b

— два вектора с общим началом.

1

A M

= a + \frac{1}{2} (b - a) = \frac{1}{2} (a + b)

M

— середина

BC

,

BC = b - a

2

B K : K C = m : n

\Rightarrow

A K = \frac{n a + m b}{m + n}

A K = a + \frac{m}{m + n} (b - a)

3

A G = \frac{2}{3} A M = \frac{1}{3} (a + b)

G

— точка пересечения медиан,

A G : GM = 2 : 1

Алгоритм: базис с общим началом → «цепочка» по известным отрезкам → каждое звено через

a

,

b

.

R04.8

Образец → сам · деление стороны в отношении

Сначала опорный вектор, потом нужный

Образец: $A B = a$ , $A C = b$ , $K \in BC$ , $B K : K C = 1 : 2$ , $P$ — середина $A K$ . Разложите $BP$ .

$B K = \frac{1}{3} BC = \frac{1}{3} (b - a)$ $B K$ — треть стороны $BC$

$A K = a + \frac{1}{3} (b - a) = \frac{2}{3} a + \frac{1}{3} b$ правило треугольника

$BP = A P - A B = \frac{1}{2} A K - a$ разность векторов с общим началом $A$

$BP = - \frac{2}{3} a + \frac{1}{6} b$

Сам: $A B = a$ , $A C = b$

$G$ — точка пересечения медиан. Разложите $BG$ . $- \frac{2}{3} a + \frac{1}{3} b$
$K \in A C$ , $A K : K C = 3 : 1$ . Разложите $B K$ . $- a + \frac{3}{4} b$
$L \in BC$ , $B L : L C = 3 : 2$ . Разложите $A L$ . $\frac{2}{5} a + \frac{3}{5} b$

R04.8

Новый материал · коэффициенты разложения в координатах

Разложение = система двух уравнений

Пример:

a {2; 1}

,

b {- 1; 2}

,

p {3; 4}

. Найдите

x

,

y

:

p = x a + y b

.

1

x a + y b {2 x - y; x + 2 y}

действия над векторами в координатах

2

{2 x - y = 3, x + 2 y = 4

равные векторы — равные координаты

3

x = 2

,

y = 1

:

p = 2 a + b

решили систему; на чертеже — «два шага по

a

, один по

b

»

Система имеет единственное решение

\Leftrightarrow

a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} \neq = 0

—

a

и

b

образуют базис.

R04.8

Образец → сам · коэффициенты по координатам

Проверили базис — решили систему

Образец: разложите $p {- 1; 9}$ по $a {1; - 2}$ и $b {3; 1}$ .

$1 \cdot 1 - (- 2) \cdot 3 = 7 \neq = 0$ $a$ , $b$ неколлинеарны — базис

${x + 3 y = - 1, - 2 x + y = 9$ приравняли координаты $x a + y b$ и $p$

$x = - 1 - 3 y$ ; $2 + 6 y + y = 9$ , $y = 1$ , $x = - 4$ подстановка

$p = - 4 a + b$

Сам

Разложите $p {5; 1}$ по $a {1; 1}$ , $b {1; - 1}$ . $3 a + 2 b$
Разложите $c {0; 7}$ по $a {2; - 1}$ , $b {1; 3}$ . $- a + 2 b$
При каких $m$ векторы ${m; 2}$ и ${2; m}$ образуют базис? $m \neq = \pm 2$

R04.8

Образец → сам · сравнение коэффициентов

Единственность разложения даёт отношение

Образец: $A BC D$ — параллелограмм, $M$ — середина $BC$ , $A M \cap B D = K$ . Найдите $B K : KD$ .

$A K = t A M = t a + \frac{t}{2} b$ $K \in A M$

$A K = a + s (b - a)$
$= (1 - s) a + s b$ $K \in B D$ , $B K = s B D$

$t = 1 - s$ , $\frac{t}{2} = s$ разложение по базису единственно

$t = \frac{2}{3}$ , $s = \frac{1}{3}$ : $B K : KD = 1 : 2$

Сам

$A BC D$ — параллелограмм, $N$ — середина $C D$ , $A N \cap B D = L$ . Найдите $B L : L D$ . $2 : 1$
$(x - 1) a + (y + 2) b = 0$ , $a ∦ b$ . Найдите $x$ , $y$ . $x = 1$ , $y = - 2$
$M$ — середина $BC$ , $P \in A M$ , $A P = x A B + y A C$ . Докажите: $x = y$ . $A P = \frac{t}{2} A B + \frac{t}{2} A C$

R04.8

Новый материал · разложение силы на составляющие

Параллелограмм сил и теорема синусов

Силу

F

раскладывают по двум заданным направлениям:

F

=

F_{1}

+

F_{2}

— это разложение по базису.

1

\frac{F _{1}}{sin β} = \frac{F _{2}}{sin α} = \frac{F}{sin ( α + β )}

теорема синусов в треугольнике сил; угол против

F

равен

18 0^{\circ} - α - β

2

α + β = 9 0^{\circ}

:

F_{1} = F cos α

,

F_{2} = F sin α

перпендикулярные направления — проекции на оси

Координаты силы в базисе

i

,

j

:

F {F cos φ; F sin φ}

,

φ

— угол с осью

O x

.

R04.8

Образец → сам · разложение силы

Брусок на наклонной плоскости

Образец: вес бруска $P = 200$ Н, угол наклона $α = 3 0^{\circ}$ . Разложите $P$ вдоль плоскости и перпендикулярно ей.

$∠ (P, P_{⊥}) = α$ стороны углов перпендикулярны

$P_{∥} = P sin α = 100$ Нкатет против угла $α$

$P_{⊥} = P cos α \approx 173$ Н $1003$ — прилежащий катет

проверка: $10 0^{2} + (1003)^{2} = 20 0^{2}$

Сам

$40$ Н под углом $6 0^{\circ}$ к горизонту. Составляющие? $20$ Н и $203 \approx 34, 6$ Н
Фонарь $60$ Н на двух тросах, каждый под $6 0^{\circ}$ к вертикали. Натяжение троса? $60$ Н
$10$ Н разложили на две перпендикулярные, одна — $6$ Н. Другая? $8$ Н

2,5 мин · практика
Образец: $P$ вертикален, $P_{⊥}$ перпендикулярен плоскости, основание горизонтально — угол между $P$ и $P_{⊥}$ равен углу наклона (стороны углов попарно перпендикулярны). $P_{∥} = 200 \cdot \frac{1}{2} = 100$ Н тянет брусок вниз по склону, $P_{⊥} = 200 \cdot \frac{3}{2} \approx 173, 2$ Н прижимает к плоскости.
1) $40 cos 6 0^{\circ} = 20$ Н, $40 sin 6 0^{\circ} = 203 \approx 34, 6$ Н.
2) Вес раскладываем по направлениям тросов: $α = β = 6 0^{\circ}$ , $T = \frac{60 sin 6 0 ^{\circ}}{sin 12 0 ^{\circ}} = 60$ Н (треугольник сил равносторонний).
3) $1 0^{2} - 6^{2} = 8$ Н — составляющие — катеты, сила — гипотенуза.

R04.8

Схема-конспект

Разложение вектора по базису

Что	Как
Теорема	$a ∦ b$ $\Rightarrow$ $p = x a + y b$ , числа $x$ , $y$ единственны
В фигуре	базис с общим началом, «цепочка» по сторонам: $B D = b - a$
Медиана, деление	$A M = \frac{1}{2} (a + b)$ ; $B K : K C = m : n$ $\Rightarrow$ $A K = \frac{n a + m b}{m + n}$
В координатах	система ${a_{1} x + b_{1} y = p_{1} a_{2} x + b_{2} y = p_{2}$ , базис $\Leftrightarrow$ $a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} \neq = 0$
Отношение отрезков	выразить вектор двумя способами и сравнить коэффициенты
Сила	$\frac{F _{1}}{sin β} = \frac{F _{2}}{sin α} = \frac{F}{sin ( α + β )}$ ; перпендикулярно: $F cos α$ , $F sin α$

R04.8

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$A B = a$ , $A D = b$ : $B D = a - b$	вычли «начало минус конец»	$B D = b - a$
$M$ — середина $BC$ : $A M = \frac{1}{2} (b - a)$	это $BM$ , а не $A M$	$A M = \frac{1}{2} (a + b)$
$B K : K C = 1 : 2$ : $A K = \frac{1}{3} a + \frac{2}{3} b$	коэффициенты переставлены: $K$ ближе к $B$	$\frac{2}{3} a + \frac{1}{3} b$
По ${1; 2}$ , ${2; 4}$ разложение ${3; 6}$ единственно	векторы коллинеарны — не базис	разложений бесконечно много: $x + 2 y = 3$

R04.8

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $A BC D$ — параллелограмм, $A B = a$ , $A D = b$ , $N$ — середина $C D$ . Разложите $A N$ .

$A N = A C + CN$

$= a + b + \frac{1}{2} a = \frac{3}{2} a + b$

$CN = - \frac{1}{2} a$ : $A N = \frac{1}{2} a + b$

б) Разложите $p {1; 5}$ по $a {1; 2}$ , $b {- 1; 1}$ .

$x + 2 y = 1$ , $- x + y = 5$

$3 y = 6$ , $y = 2$ , $x = - 3$

уравнения по координатам: $x - y = 1$ , $2 x + y = 5$ ; $x = 2$ , $y = 1$

в) Сила $100$ Н направлена под углом $3 0^{\circ}$ к горизонту. Найдите составляющие.

$F_{x} = 100 sin 3 0^{\circ} = 50$ Н

$F_{y} = 100 cos 3 0^{\circ} \approx 86, 6$ Н

синус и косинус перепутаны: $F_{x} \approx 86, 6$ Н, $F_{y} = 50$ Н

2 мин · практика
Сначала видны «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) $CN$ направлен от $C$ к $D$ , т. е. против $a$ : $CN = \frac{1}{2} C D = - \frac{1}{2} a$ . Проверка другим путём: $A N = A D + D N = b + \frac{1}{2} a$ ✓.
б) Ученик составил уравнения «по векторам» (столбцы вместо строк). Верно: первая координата $x \cdot 1 + y \cdot (- 1) = 1$ , вторая $x \cdot 2 + y \cdot 1 = 5$ ; $3 x = 6$ . Проверка: $2 {1; 2} + {- 1; 1} = {1; 5}$ ✓, а у ученика $- 3 {1; 2} + 2 {- 1; 1} = {- 5; - 4}$ ✗.
в) Горизонтальная составляющая прилежит к углу $3 0^{\circ}$ : $F_{x} = F cos 3 0^{\circ} = 503 \approx 86, 6$ Н, $F_{y} = F sin 3 0^{\circ} = 50$ Н.

R04.8

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

В задачах 1–3:

A BC D

— параллелограмм,

A B = a

,

A D = b

,

O

— точка пересечения диагоналей.

базаРазложите $C A$ . $- a - b$
базаРазложите $OB$ . $\frac{1}{2} a - \frac{1}{2} b$
база $M$ — середина $A D$ . Разложите $CM$ . $- a - \frac{1}{2} b$

базаРазложите $p {5; 3}$ по $a {2; 1}$ , $b {1; 1}$ . $2 a + b$
базаОбразуют ли базис ${3; - 1}$ и ${- 6; 2}$ ? нет
базаСила $20$ Н под углом $6 0^{\circ}$ к горизонту. Горизонтальная составляющая? $10$ Н

R04.8

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш. $A BC D$ — трапеция, $A D ∥ BC$ , $A D = 3 BC$ , $A B = a$ , $A D = b$ . Разложите $C D$ . $- a + \frac{2}{3} b$
повыш. $△ A BC$ : $A B = a$ , $A C = b$ , $G$ — точка пересечения медиан, $M$ — середина $A B$ . Разложите $GM$ . $\frac{1}{6} a - \frac{1}{3} b$
повыш. $a {1; 2}$ , $b {3; - 1}$ . При каком $k$ коэффициенты разложения $p {k; 4}$ по $a$ , $b$ равны? $k = 16$
повыш. $A BC D$ — параллелограмм, $K \in BC$ , $B K : K C = 1 : 2$ , $A K \cap B D = P$ . Найдите $BP : P D$ . $1 : 3$

R04.8 · из жизни

Задача из жизни · санки

Какая часть силы везёт санки?

Санки тянут за верёвку с силой

60

Н под углом

3 0^{\circ}

к горизонту.

Какая составляющая везёт санки вперёд? $303 \approx 52$ Н
Какая «приподнимает» санки? $30$ Н
Под каким углом тянуть, чтобы вперёд было $30$ Н? $6 0^{\circ}$

R04.8 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 18 и 19

Ответ — одно число

ОГЭ 18Клетка $1 \times 1$ , $c = x a + y b$ . Найдите $x - y$ . $3$
ОГЭ 18Найдите длину вектора $a + 2 b$ . $5$

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Вектор можно разложить по двум неколлинеарным векторам несколькими способами.
Любой вектор плоскости можно разложить по двум неколлинеарным векторам.
Координаты вектора — коэффициенты его разложения по векторам $i$ и $j$ .

Ответ: 23

R04.8

Самостоятельная работа · 3,5 минуты

$A BC D$ — параллелограмм, $A B = a$ , $A D = b$

Вариант 1

Разложите $D B$ . $a - b$
$M$ — середина $C D$ . Разложите $BM$ . $- \frac{1}{2} a + b$
Разложите $p {4; 3}$ по $m {1; 2}$ , $n {2; - 1}$ . $2 m + n$
Сила $40$ Н под углом $3 0^{\circ}$ к горизонту. Вертикальная составляющая? $20$ Н

Вариант 2

Разложите $B D$ . $- a + b$
$N$ — середина $BC$ . Разложите $D N$ . $a - \frac{1}{2} b$
Разложите $p {3; 4}$ по $m {2; 1}$ , $n {1; - 2}$ . $2 m - n$
Сила $50$ Н под углом $6 0^{\circ}$ к горизонту. Горизонтальная составляющая? $25$ Н

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Когда два вектора образуют базис?
Почему коэффициенты разложения можно сравнивать?
Как найти коэффициенты по координатам?

Домашнее задание

$A BC D$ — параллелограмм, $K \in C D$ , $DK : K C = 1 : 3$ . Разложите $A K$ и $B K$ по $A B$ , $A D$ .
Разложите $p {1; 5}$ по $a {3; 1}$ , $b {- 1; 2}$ .
* $M$ — середина $BC$ , $K \in A C$ , $A K : K C = 1 : 2$ , $A M \cap B K = P$ . Найдите $A P : PM$ .
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_adv_vektory-koordinaty.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9U-052 · Разложения векторов по базису

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R04 «Векторы», 20 ч · урок 8/20 · тип Н
Единицы → слайды	R04.8 «Разложения векторов по базису» → 2, 4–21 · повторение (R04.2, R04.3, R04.7) → 3
Результаты	ПР-13 → 2–21
Виды деятельности	«Раскладывать вектор по двум неколлинеарным векторам» → 4–10, 13–17, 19, 20 · «раскладывать векторы сил с помощью проецирования и тригонометрических соотношений» → 11, 12, 15, 18, 20
ОГЭ	линия 18 → 19 (задачи 1, 2) · линия 19 → 19
Вне урока	понятие базиса — GEOM9U-051 (R04.7); скалярное произведение — GEOM9U-053 (R04.9)
Время	теория 13 мин · практика 32 мин (71 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Разложения векторов по базису

Сегодня вы научитесь

Раскладывать в фигуре

Находить коэффициенты

Пользоваться единственностью

Раскладывать силы

Параллелограмм ABCD: AB=a, AD=b

Любой вектор — единственным образом

Идём «цепочкой» по сторонам

Образец: ABCD — параллелограмм, AB=a, AD=b, M, N — середины BC и CD. Разложите AM и MN.

Сам: тот же параллелограмм

Медиана, деление стороны, центроид

Сначала опорный вектор, потом нужный

Образец: AB=a, AC=b, K∈BC, BK:KC=1:2, P — середина AK. Разложите BP.

Сам: AB=a, AC=b

Разложение = система двух уравнений

Проверили базис — решили систему

Образец: разложите p​{−1;9} по a{1;−2} и b{3;1}.

Сам

Единственность разложения даёт отношение

Образец: ABCD — параллелограмм, M — середина BC, AM∩BD=K. Найдите BK:KD.

Сам

Параллелограмм сил и теорема синусов

Брусок на наклонной плоскости

Образец: вес бруска P=200 Н, угол наклона α=30∘. Разложите P вдоль плоскости и перпендикулярно ей.

Сам

Разложение вектора по базису

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) ABCD — параллелограмм, AB=a, AD=b, N — середина CD. Разложите AN.

б) Разложите p​{1;5} по a{1;2}, b{−1;1}.

в) Сила 100 Н направлена под углом 30∘ к горизонту. Найдите составляющие.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Какая часть силы везёт санки?

Ответ — одно число

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

ABCD — параллелограмм, AB=a, AD=b

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9U-052 · Разложения векторов по базису

Параллелограмм $A BC D$ : $A B = a$ , $A D = b$

Образец: $A BC D$ — параллелограмм, $A B = a$ , $A D = b$ , $M$ , $N$ — середины $BC$ и $C D$ . Разложите $A M$ и $MN$ .

Образец: $A B = a$ , $A C = b$ , $K \in BC$ , $B K : K C = 1 : 2$ , $P$ — середина $A K$ . Разложите $BP$ .

Сам: $A B = a$ , $A C = b$

Образец: разложите $p {- 1; 9}$ по $a {1; - 2}$ и $b {3; 1}$ .

Образец: $A BC D$ — параллелограмм, $M$ — середина $BC$ , $A M \cap B D = K$ . Найдите $B K : KD$ .

Образец: вес бруска $P = 200$ Н, угол наклона $α = 3 0^{\circ}$ . Разложите $P$ вдоль плоскости и перпендикулярно ей.

а) $A BC D$ — параллелограмм, $A B = a$ , $A D = b$ , $N$ — середина $C D$ . Разложите $A N$ .

б) Разложите $p {1; 5}$ по $a {1; 2}$ , $b {- 1; 1}$ .

в) Сила $100$ Н направлена под углом $3 0^{\circ}$ к горизонту. Найдите составляющие.

$A BC D$ — параллелограмм, $A B = a$ , $A D = b$